Коллинеарность

Найдите коллинеарность или коллинеарность в Викисловаре, бесплатном словаре.

В геометрии , коллинеарность множества точек является собственностью их лежащими на одной линии . ^[1] Набор точек с этим свойством называется коллинеарным (иногда обозначается как коллинеарный ^[2] ). В более общем смысле этот термин использовался для выровненных объектов, то есть вещей, находящихся «в линию» или «в ряд».

Точки на линии [ править ]

В любой геометрии множество точек на прямой называется коллинеарным . В евклидовой геометрии это отношение интуитивно визуализируется точками, лежащими в ряд на «прямой». Однако в большинстве геометрий (включая евклидову) линия обычно является примитивным (неопределенным) типом объекта , поэтому такая визуализация не обязательно будет подходящей. Модель для геометрии предлагает интерпретацию того , как точки, линии и другие типы объектов связаны друг с другом и понятия , такие как коллинеарности должны быть интерпретированы в контексте этой модели. Например, в сферической геометрии, где прямые представлены в стандартной модели большими окружностями сферы, а наборы коллинеарных точек лежат на одной большой окружности. Такие точки не лежат на «прямой линии» в евклидовом смысле и не считаются расположенными в ряд .

Отображение геометрии на себя, при котором линии переходят в линии, называется коллинеацией ; он сохраняет свойство коллинеарности. Эти линейные карты (или линейные функции) из векторных пространств , рассматриваемых как геометрические карты, карт линий к линиям; то есть они сопоставляют наборы коллинеарных точек с наборами коллинеарных точек и, таким образом, являются коллинеациями. В проективной геометрии эти линейные отображения называются гомографиями и представляют собой лишь один из типов коллинеаций.

Примеры в евклидовой геометрии [ править ]

Треугольники [ править ]

В любом треугольнике коллинеарны следующие множества точек:

Ортоцентр , то Окружность , то медиан , то точка Exeter , то де Longchamps точка и центр девяти точек окружности лежат на одной прямой, все падают на линии , называемой Эйлера линии .
У точки де Лоншама есть и другие коллинеарности .
Любая вершина, касание противоположной стороны с вневписанной окружностью и точка Нагеля лежат на одной прямой, называемой разделителем треугольника.
Середина любой стороны, точка , которая находится на одинаковом расстоянии от него вдоль границы треугольника в любом направлении (так что эти две точек делящих по периметру ), а центр окружности Spieker коллинеарны в линии называется тесаком треугольника. (The круг Шпикера является вписанным в медиальном треугольнике , а его центр является центром масс по периметру треугольника.)
Любая вершина, касание противоположной стороны с вписанной окружностью и точка Жергонна коллинеарны.
От любой точки описанной окружности треугольника ближайшие точки на каждой из трех вытянутых сторон треугольника коллинеарны по линии Симсона точки на описанной окружности.
Линии, соединяющие основания высот, пересекают противоположные стороны в коллинеарных точках. ^[3]^{: с.199}
Треугольника по вписанной , средняя точка на высоте , и точка контакта соответствующей стороне с вневписанной окружности по отношению к той стороне коллинеарны. ^[4]^{: с.120, № 78}
Теорема Менелая утверждает, что три точки на сторонах (некоторые расширенные ) треугольника, противоположных вершинам, соответственно, коллинеарны тогда и только тогда, когда следующие произведения длин отрезков равны: ^[3]^:^p.¹⁴⁷ ${\ Displaystyle P_ {1}, P_ {2}, P_ {3}}$ ${\ displaystyle A_ {1}, A_ {2}, A_ {3}}$

{\ Displaystyle P_ {1} A_ {2} \ cdot P_ {2} A_ {3} \ cdot P_ {3} A_ {1} = P_ {1} A_ {3} \ cdot P_ {2} A_ {1} \ cdot P_ {3} A_ {2}.}

Инцентр, центроид и центр круга Шпикера коллинеарны.
Центр описанной окружности, средняя точка Брокара и точка Лемуана треугольника лежат на одной прямой. ^[5]
Две перпендикулярные линии, пересекающиеся в ортоцентре треугольника, пересекают каждую из вытянутых сторон треугольника . Середины по трем сторонам этих точек пересечения лежат на одной прямой на линии Дроза – Фарни .

Четырехугольники [ править ]

В выпуклый четырехугольник ABCD , чьи противоположные стороны пересекаются в точке E и F , в серединах от сети переменного тока , BD и EF лежат на одной прямой , а линия , проходящая через них называется линия Ньютона (иногда известный как линии Ньютона-Гаусса ^{[ править ]} ). Если четырехугольник является касательным четырехугольником , то его центр также лежит на этой прямой. ^[6]
В выпуклом четырехугольнике квазиортоцентр H , «центр тяжести площади» G и квазицикругцентр O коллинеарны в этом порядке, и HG = 2 GO . ^[7] (См. Четырехугольник # Замечательные точки и прямые в выпуклом четырехугольнике .)

Другие коллинеарности касательного четырехугольника даны в касательном четырехугольнике # Коллинеарные точки .
В циклическом четырехугольнике , на описанной окружности , то вершина центр тяжести (пересечение два bimedians), а антипод эпицентр коллинеарен. ^[8]
В циклическом четырехугольнике центр тяжести площади , центр тяжести вершины и пересечение диагоналей коллинеарны. ^[9]
В тангенциальной трапеции касания вписанной окружности с двумя основаниями коллинеарны центру.
В тангенциальной трапеции середины опор коллинеарны центру.

Шестиугольники [ править ]

Теорема Паскаля (также известная как теорема Hexagrammum Mysticum) утверждает, что если на коническом сечении (т.е. эллипсе , параболе или гиперболе ) выбраны произвольные шесть точек и соединены отрезками прямых в любом порядке, чтобы образовать шестиугольник , тогда три пары противоположных сторон шестиугольника (при необходимости удлиненного) встречаются в трех точках, лежащих на прямой линии, называемой линией Паскаля шестиугольника. Верно и обратное: теорема Брейкенриджа – Маклорена утверждает, что если три точки пересечения трех пар прямых, проходящих через противоположные стороны шестиугольника, лежат на одной прямой, то шесть вершин шестиугольника лежат на конике, которая может быть выродиться как вТеорема Паппа о шестиугольнике .

Конические сечения [ править ]

По теореме Монжа для любых трех окружностей на плоскости, ни одна из которых не находится полностью внутри одной из других, три точки пересечения трех пар прямых, каждая из которых касается двух окружностей, коллинеарны.
В эллипсе центр, два фокуса и две вершины с наименьшим радиусом кривизны коллинеарны, а центр и две вершины с наибольшим радиусом кривизны коллинеарны.
В гиперболе центр, два фокуса и две вершины лежат на одной прямой.

Конусы [ править ]

Центр масс о наличии конического твердого вещества равномерной плотности лежит одной четверти пути от центра основания до вершины, на прямой линии , соединяющей два.

Тетраэдры [ править ]

Центроид тетраэдра - это середина между его точкой Монжа и центром описанной окружности . Эти точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична линии Эйлера треугольника. Центр двенадцатиточечной сферы тетраэдра также лежит на прямой Эйлера.

Алгебра [ править ]

Коллинеарность точек, координаты которых даны [ править ]

В координатной геометрии в n -мерном пространстве набор из трех или более различных точек коллинеарен тогда и только тогда, когда матрица координат этих векторов имеет ранг 1 или меньше. Например, для трех точек X = ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ), Y = ( y ₁ ,  y ₂ , ...,  y _n ) и Z = ( z ₁ ,  z ₂ , ...,  z _n ), если матрица

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x_ {1} & x_ {2} & \ dots & x_ {n} \\ y_ {1} & y_ {2} & \ dots & y_ {n} \\ z_ {1} & z_ {2 } & \ точки & z_ {n} \ end {bmatrix}}}

имеет ранг 1 или меньше, точки лежат на одной прямой.

Эквивалентно, для каждого подмножества из трех точек X = ( x ₁ ,  x ₂ , ...,  x _n ), Y = ( y ₁ ,  y ₂ , ...,  y _n ) и Z = ( z ₁ ,  z ₂ , ...,  z _n ), если матрица

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} 1 & x_ {1} & x_ {2} & \ dots & x_ {n} \\ 1 & y_ {1} & y_ {2} & \ dots & y_ {n} \\ 1 & z_ {1} & z_ {2 } & \ точки & z_ {n} \ end {bmatrix}}}

имеет ранг 2 или меньше, точки лежат на одной прямой. В частности, для трех точек на плоскости ( n = 2) указанная выше матрица является квадратной, а точки коллинеарны тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю; поскольку этот определитель 3 × 3 в два раза больше или меньше площади треугольника с этими тремя точками в качестве вершин, это эквивалентно утверждению, что три точки коллинеарны тогда и только тогда, когда треугольник с этими точками в качестве вершин имеет нулевую площадь.

Коллинеарность точек, попарные расстояния которых заданы [ править ]

Набор по крайней мере из трех различных точек называется прямым , что означает, что все точки коллинеарны, если и только если для каждых трех из этих точек A , B и C следующий определитель определителя Кэли-Менгера равен нулю (с d ( AB ) означает расстояние между A и B и т. д.):

\det {\begin{bmatrix}0&d(AB)^{2}&d(AC)^{2}&1\\d(AB)^{2}&0&d(BC)^{2}&1\\d(AC)^{2}&d(BC)^{2}&0&1\\1&1&1&0\end{bmatrix}}=0.

Этот определитель, согласно формуле Герона , равен −16 квадрату площади треугольника со сторонами d ( AB ), d ( BC ) и d ( AC ); поэтому проверка того, равен ли этот определитель нулю, эквивалентна проверке того, имеет ли треугольник с вершинами A , B и C нулевую площадь (так что вершины коллинеарны).

Эквивалентно, набор по крайней мере из трех различных точек является коллинеарным тогда и только тогда, когда для каждых трех из этих точек A , B и C с d ( AC ) больше или равно каждой из d ( AB ) и d ( BC ) , неравенство треугольника d ( AC ) ≤ d ( AB ) + d ( BC ) выполняется с равенством.

Теория чисел [ править ]

Два числа m и n не являются взаимно простыми, т. Е. Имеют общий множитель, отличный от 1, тогда и только тогда, когда для прямоугольника, нанесенного на квадратную решетку с вершинами в точках (0, 0), ( m , 0), ( m ,  n ) и (0,  n ), по крайней мере, одна внутренняя точка коллинеарна с (0, 0) и ( m ,  n ).

Параллелизм (плоский двойной) [ править ]

В различных плоских геометриях идея смены ролей «точек» и «линий» при сохранении взаимосвязи между ними называется плоской двойственностью . Учитывая набор коллинеарных точек, по двойственности плоскости мы получаем набор прямых, все из которых пересекаются в общей точке. Свойство, которое имеет этот набор линий (встреча в общей точке), называется параллелизмом , а линии называются параллельными линиями . Таким образом, параллелизм - это плоское понятие, двойственное коллинеарности.

График коллинеарности [ править ]

Учитывая частичной геометрии Р , где две точки определяют не более одной линии, коллинеарности график , из Р является граф , вершинами которого являются точки P , где две вершины являются смежными тогда и только тогда , когда они определяют линию в P .

Использование в статистике и эконометрике [ править ]

В статистике , коллинеарности относится к линейной зависимости между двумя объясняющими переменными . Две переменные идеально коллинеарны, если между ними существует точная линейная связь, поэтому корреляция между ними равна 1 или -1. То есть и идеально коллинеарны, если существуют параметры и такие, что для всех наблюдений i мы имеем $X_{1}$ $X_{2}$ $\lambda _{0}$ $\lambda _{1}$

X_{2i}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}.

Это означает, что если различные наблюдения ( X _{1 i} , X _{2 i} ) нанесены на плоскость ( X ₁ , X ₂ ), эти точки коллинеарны в смысле, определенном ранее в этой статье.

Идеальная мультиколлинеарность относится к ситуации, в которой k ( k ≥ 2) объясняющих переменных в модели множественной регрессии совершенно линейно связаны, согласно

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}

для всех наблюдений i . На практике мы редко сталкиваемся с идеальной мультиколлинеарностью в наборе данных. Чаще проблема мультиколлинеарности возникает, когда существует «сильная линейная связь» между двумя или более независимыми переменными, что означает, что

X_{ki}=\lambda _{0}+\lambda _{1}X_{1i}+\lambda _{2}X_{2i}+\dots +\lambda _{k-1}X_{(k-1),i}+\varepsilon _{i}

где разброс относительно невелик. $\varepsilon _{i}$

Концепция латеральной коллинеарности расширяет эту традиционную точку зрения и относится к коллинеарности между объясняющими и критериальными (т. Е. Объясненными) переменными. ^[10]

Использование в других областях [ править ]

Антенные решетки [ править ]

Антенная мачта с четырьмя коллинеарными решетками направленности.

В области телекоммуникаций , A коллинеарны (или со-линейный) антенная решетка представляет собой массив из дипольных антенн установлена таким образом , что соответствующие элементы каждой антенны параллельны и выровнены, то есть они расположены вдоль общей линии или оси.

Фотография [ править ]

Уравнения коллинеарности - это набор из двух уравнений, используемых в фотограмметрии и компьютерном стереозрении , чтобы связать координаты в плоскости изображения ( датчика ) (в двух измерениях) с координатами объекта (в трех измерениях). В настройках фотографий, уравнения получены путем рассмотрения центральной проекции из точки на объекте через оптический центр в камерек изображению в плоскости изображения (сенсора). Три точки: точка объекта, точка изображения и оптический центр - всегда коллинеарны. Другими словами, сегменты линии, соединяющие точки объекта с их точками изображения, совпадают в оптическом центре. ^[11]

См. Также [ править ]

Теорема Паппа о шестиугольнике
Нет трехрядной проблемы
Частота (геометрия) # Коллинеарность
Копланарность

Заметки [ править ]

^ Эта концепция применима к любой геометрии Dembowski (1968 , стр. 26), но часто определяется только в рамках обсуждения конкретной геометрии Coxeter (1969 , стр. 178), Brannan, Esplen & Gray (1998 , стр. 106)
^ Colinear (словарь Merriam-Webster)
^ a b Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (исходный текст 1929 г.).
^ Altshiller-Суд, Натан. Геометрия колледжа , Dover Publications, 1980.
^ Скотт, JA "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.
^ Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Matić, Никола Петрович, ИМО компендиум , Springer, 2006, стр. 15.
↑ Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.
^ Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники» , Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, 37 , Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
^ Брэдли, Кристофер (2011), Три центроида, созданные циклическим четырехугольником (PDF)
^ Kock, N .; Линн, GS (2012). «Боковая коллинеарность и вводящие в заблуждение результаты в SEM на основе дисперсии: иллюстрация и рекомендации» (PDF) . Журнал Ассоциации информационных систем . 13 (7): 546–580.
^ С математической точки зрения более естественно называть эти уравнения уравнениями параллелизма , но в фотограмметрической литературе такая терминология не используется.

Ссылки [ править ]

Браннан, Дэвид А .; Эсплен, Мэтью Ф .; Грей, Джереми Дж. (1998), Геометрия , Кембридж: Издательство Кембриджского университета, ISBN 0-521-59787-0
Кокстер, HSM (1969), Введение в геометрию , Нью-Йорк: John Wiley & Sons, ISBN 0-471-50458-0
Дембовски, Питер (1968), Конечные геометрии , Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete , Band 44, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , ISBN 3-540-61786-8, MR 0233275

[1] Эта концепция применима к любой геометрии Dembowski (1968 , стр. 26), но часто определяется только в рамках обсуждения конкретной геометрии Coxeter (1969 , стр. 178), Brannan, Esplen & Gray (1998 , стр. 106)

[2] Colinear (словарь Merriam-Webster)

[Johnson-3] Джонсон, Роджер А., Advanced Euclidean Geometry , Dover Publ., 2007 (исходный текст 1929 г.).

[AC-4] Altshiller-Суд, Натан. Геометрия колледжа , Dover Publications, 1980.

[5] Скотт, JA "Некоторые примеры использования площадных координат в геометрии треугольника", Mathematical Gazette 83, ноябрь 1999 г., 472–477.

[6] Душан Джукич, Владимир Янкович, Иван Matić, Никола Петрович, ИМО компендиум , Springer, 2006, стр. 15.

[Myakishev-7] Мякишев, Алексей (2006), «О двух замечательных прямых, связанных с четырехугольником» (PDF) , Forum Geometricorum , 6 : 289–295.

[Honsberger-8] Хонсбергер, Росс (1995), «4.2 Циклические четырехугольники» , Эпизоды евклидовой геометрии девятнадцатого и двадцатого веков , Новая математическая библиотека, 37 , Cambridge University Press, стр. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0

[9] Брэдли, Кристофер (2011), Три центроида, созданные циклическим четырехугольником (PDF)

[10] Kock, N .; Линн, GS (2012). «Боковая коллинеарность и вводящие в заблуждение результаты в SEM на основе дисперсии: иллюстрация и рекомендации» (PDF) . Журнал Ассоциации информационных систем . 13 (7): 546–580.

[11] С математической точки зрения более естественно называть эти уравнения уравнениями параллелизма , но в фотограмметрической литературе такая терминология не используется.

[1]