В геометрии , то де Longchamps точка треугольника является треугольник центр имени французского математика Гастона Альберт Gohierre де Лонгчемп . Это отражение от ортоцентра треугольника об описанной окружности . [1]
Определение
Пусть данный треугольник имеет вершины , , а также , напротив соответствующих сторон , , а также , как и стандартные обозначения в геометрии треугольника. В статье 1886 года, в которой он представил эту точку, де Лоншам первоначально определил ее как центр круга. перпендикулярно трем окружностям , , а также , где сосредоточен в с радиусом а два других круга определены симметрично. De Longchamps затем также показал , что та же точка, теперь известная как точка де Longchamps, может быть эквивалентно определена как ортоцентр из антикомплементарную треугольника из, и что это отражение ортоцентра вокруг центра окружности. [2]
Штайнер круг треугольника является концентрической с девяти точек окружности и имеет радиус описанной окружности 3/2 треугольника; точка де Лоншана является гомотетическим центром окружности Штейнера и описанной окружности. [3]
Дополнительные свойства
Как отражение ортоцентра вокруг центра описанной окружности, точка де Лоншана принадлежит прямой, проходящей через обе эти точки, которая является линией Эйлера данного треугольника. Таким образом, он коллинеарен всем остальным треугольникам с центрами на линии Эйлера, которые наряду с ортоцентром и центром описанной окружности включают центроид и центр окружности из девяти точек . [1] [3] [4]
Точка де Лоншана также коллинеарна по другой линии центру и точке Жергонна своего треугольника. [1] [5] Три круга с центром в, , а также , с радиусами , , а также соответственно (где - полупериметр ) касаются друг друга, и есть еще две окружности, касающиеся всех трех из них, внутренняя и внешняя окружности Содди; центры этих двух кругов также лежат на одной линии с точкой де Лоншана и центром. [1] [3] Точка де Лоншана - это точка совпадения этой линии с линией Эйлера и с тремя другими линиями, определенными аналогично линии, проходящей через центр, но с использованием вместо этого трех концов треугольника. [3] [5]
Дарбоукс кубических может быть определена с точки де Longchamps, как геометрическое место точек такой, что , То изогональный конъюгат из, и точка де Лоншама коллинеарны. Это единственный инвариант кубической кривой треугольника, который является как изогонально самосопряженным, так и центрально-симметричным; его центр симметрии - центр описанной окружности треугольника. [6] Сама точка де Лоншана лежит на этой кривой, как и ее отражение в ортоцентре. [1]
Рекомендации
- ^ a b c d e Кимберлинг, Кларк , «X (20) = точка де Лоншампа» , Энциклопедия центров треугольников..
- ^ de Longchamps, G. (1886), "Sur un nouveau cercle remarquable du plan du треугольник" , Journal de Mathématiques spéciales , 2. Sér. (на французском языке), 5 : 57–60. См., В частности, раздел 4 «Определение центра Δ», стр. 58–59.
- ^ а б в г Vandeghen, A. (1964), "Математические заметки: Круги дерново в и Де Longchamps точка треугольника", Американский Математический Месячный , 71 (2): 176-179, DOI : 10,2307 / 2311750 , JSTOR 2311750 , MR 1532529.
- ^ Косетер, ИМП (1995), "Некоторые приложения координат трилинейных", Линейная алгебра и ее применения , 226/228: 375-388, DOI : 10.1016 / 0024-3795 (95) 00169-Р , МР 1344576. См., В частности, раздел 5 «Шесть примечательных точек на прямой Эйлера», стр. 380–383.
- ^ а б Лонг-Хиггинс, Майкл (2000), "Точка четырехкратного совпадения , лежащее на линии Эйлера треугольника", Математическая Интеллидженсер , 22 (1): 54-59, DOI : 10.1007 / BF03024448 , МР 1745563 , S2CID 123022896 CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка ).
- ^ Жиберт, Бернар, "K004 Darboux cubic = pK (X6, X20)" , Кубики в плоскости треугольника , получено 06.09.2012..
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. "де Лоншамп-Пойнт" . MathWorld .