Точечное отражение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Точечное отражение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( апрель 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Точечное отражение в двух измерениях аналогично повороту на 180 °.

Двойные тетраэдры, центрально симметричные друг другу

В геометрии , в отражении точки или инверсии в точке (или инверсии через точку , или центральной инверсии ) представляет собой тип изометрии в евклидовом пространстве . Говорят, что объект, инвариантный относительно точечного отражения, обладает точечной симметрией ; если он инвариантен относительно точечного отражения через свой центр, то говорят, что он обладает центральной симметрией или центрально-симметричным .

Отражение точки можно классифицировать как аффинное преобразование . А именно, это изометрическое инволютивное аффинное преобразование, которое имеет ровно одну фиксированную точку , которая является точкой инверсии. Это эквивалентно гомотетическому преобразованию с масштабным коэффициентом, равным -1. Точку инверсии также называют гомотетическим центром .

Терминология [ править ]

Термин « отражение» является расплывчатым, и некоторые считают его злоупотреблением языком, предпочитая инверсию ; однако широко используется точечное отражение . Такие карты являются инволюциями , что означает, что они имеют порядок 2 - они сами себе обратны: их двойное применение дает тождественное отображение, что также верно и для других карт, называемых отражениями . В более узком смысле, отражение относится к отражению в гиперплоскости ( размерное аффинное подпространство - точка на линии , линия на плоскости , плоскость в 3-м пространстве), при этом гиперплоскость фиксирована, но в более широком смысле${\ displaystyle n-1}$отражение применяется к любой инволюции евклидова пространства, а фиксированное множество (аффинное пространство размерности k , где ) называется зеркалом . В размерности 1 они совпадают, поскольку точка является гиперплоскостью на прямой.${\ Displaystyle 1 \ Leq К \ Leq N-1}$

В терминах линейной алгебры, предполагая, что начало координат фиксировано, инволюции - это в точности диагонализуемые отображения со всеми собственными значениями либо 1, либо -1. Отражение в гиперплоскости имеет единственное собственное значение -1 (и кратность на собственном значении 1), тогда как точечное отражение имеет только собственное значение -1 (с кратностью n ).${\ displaystyle n-1}$

Термин инверсия не следует путать с инверсивной геометрией , где инверсия определяется по отношению к окружности.

Примеры [ править ]

В двух измерениях точечное отражение совпадает с поворотом на 180 градусов. В трех измерениях точечное отражение можно описать как поворот на 180 градусов, состоящий из отражения в плоскости, перпендикулярной оси вращения. В размерности n точечные отражения сохраняют ориентацию, если n четно, и меняют ориентацию, если n нечетно.

Формула [ править ]

Для вектора a в евклидовом пространстве R ⁿ формула для отражения a через точку p имеет вид

${\ displaystyle \ mathrm {Ref} _ {\ mathbf {p}} (\ mathbf {a}) = 2 \ mathbf {p} - \ mathbf {a}.}$

В случае, когда p - начало координат, точечное отражение - это просто отрицание вектора a .

В евклидовой геометрии , то инверсии из точки X по отношению к точке Р является точкой Х * такой , что Р является средней точкой отрезка с концами Х и Х *. Другими словами, вектор от X до P такой же, как вектор от P до X *.

Формула обращения в P такова:

х * = 2 а - х

где a , x и x * - векторы позиций P , X и X * соответственно.

Это отображение является изометрическим инволютивно аффинным преобразованием , которое имеет ровно один фиксированный пункт , который является Р .

Отражение точки как частный случай равномерного масштабирования или гомотетии [ править ]

Когда точка инверсии P совпадает с началом координат, точечное отражение эквивалентно частному случаю равномерного масштабирования : равномерному масштабированию с масштабным коэффициентом, равным -1. Это пример линейного преобразования .

Когда P не совпадает с началом координат, точечное отражение эквивалентно частному случаю гомотетического преобразования : гомотетия с гомотетическим центром, совпадающим с P, и масштабным коэффициентом −1. Это пример нелинейного аффинного преобразования ).

Группа отражения точек [ править ]

Композиция двух точечных рефлексов является перевод . В частности, отражение точки в точке p с последующим отражением точки в точке q является переносом вектора 2 ( q  - p ).

Множество , состоящее из всех точек отражений и сдвигов является подгруппой Ли в евклидовой группе . Это полупрямое произведение из R ^п с циклической группой порядка 2, последний действующий на R ^п путем отрицания. Именно подгруппа евклидовой группы поточечно фиксирует бесконечно удаленную прямую .

В случае n = 1 группа точечного отражения является полной группой изометрии прямой.

Точечные размышления в математике [ править ]

• Отражение точки через центр сферы дает карту противоположностей .
• Симметричное пространство является риманов многообразия с изометрическим отражением через каждую точку. Симметричные пространства играют важную роль в изучении групп Ли и римановой геометрии .

Отражение точки в аналитической геометрии [ править ]

Учитывая точку и ее отражение относительно точки , последняя является средней точкой сегмента ;${\ Displaystyle Р (х, у)}$${\ Displaystyle Р '(х', у ')}$${\ displaystyle C (x_ {c}, y_ {c})}$${\ displaystyle {\ overline {PP '}}}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} x_ {c} = {\ frac {x + x '} {2}} \\ y_ {c} = {\ frac {y + y'} {2}} \ end { случаи}}}$

Следовательно, уравнения для нахождения координат отраженной точки следующие:

${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= 2x_ {c} -x \\ y' = 2y_ {c} -y \ end {cases}}}$

В частности, это случай, когда точка C имеет координаты (см. Параграф ниже )${\ displaystyle (0,0)}$

${\ displaystyle {\ begin {cases} x '= - x \\ y' = - y \ end {cases}}}$

Свойства [ править ]

В четномерном евклидовом пространстве , скажем , 2 Н - мерное пространство, инверсия в точке Р эквивалентно N вращений по углам тг в каждой плоскости произвольного множества N взаимно ортогональных плоскостей , пересекающихся в Р . Эти повороты взаимно коммутативны. Следовательно, инверсия в точке четномерного пространства является изометрией с сохранением ориентации или прямой изометрией .

В нечетномерном евклидовом пространстве , скажем (2 N  + 1) -мерном пространстве, это эквивалентно N поворотам по π в каждой плоскости произвольного набора из N взаимно ортогональных плоскостей, пересекающихся в P , в сочетании с отражением в 2 N -мерное подпространство, натянутое на эти плоскости вращения. Следовательно, он меняет ориентацию , а не сохраняет ее, это косвенная изометрия .

Геометрически в 3D это означает вращение вокруг оси, проходящей через P , на угол 180 ° в сочетании с отражением в плоскости, проходящей через P, которая перпендикулярна оси; результат не зависит от ориентации (в другом смысле) оси. Условные обозначения для типа операции, или типа группы он генерирует, являются , С _я , S ₂ , и 1 ×. Тип группы - это один из трех типов групп симметрии в 3D без какой-либо чистой вращательной симметрии , см. Циклические симметрии с n  = 1.${\ displaystyle {\ overline {1}}}$

Следующие группы точек в трех измерениях содержат инверсию:

• C _{n h} и D _{n h} для четных n
• S _{2 n} и D _{n d} для нечетных n
• Т _ч , о _ч , и я _ч

Тесно связано с инверсией в точке отражение относительно плоскости , которое можно рассматривать как «инверсию в плоскости».

Центры инверсии в кристаллографии [ править ]

Молекулы содержат центр инверсии, когда существует точка, через которую все атомы могут отражаться, сохраняя при этом симметрию. В кристаллографии наличие центров инверсии различает центросимметричные и нецентросимметричные соединения. Кристаллические структуры состоят из различных полиэдров, классифицированных по их координационному числу и валентным углам. Например, четырехкоординатные многогранники классифицируются как тетраэдры, в то время как пятикоординатные среды могут быть квадратно-пирамидальными или тригонально-бипирамидальными в зависимости от углов соединения. Все кристаллические соединения происходят из повторения атомного строительного блока, известного как элементарная ячейка, и эти элементарные ячейки определяют, какие многогранники образуются и в каком порядке. Эти многогранники соединяются вместе посредством общих углов, ребер или граней, в зависимости от того, какие атомы имеют общие связи.Многогранники, содержащие центры инверсии, называются центросимметричными, а многогранники без центров - нецентросимметричными. Шестикоординатные октаэдры являются примером центросимметричных многогранников, поскольку центральный атом действует как центр инверсии, через который шесть связанных атомов сохраняют симметрию. Тетраэдры, с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом приведет к переворачиванию многогранника. Важно отметить, что геометрия связи с нечетными координационными числами должна быть нецентросимметричной, поскольку эти многогранники не будут содержать центров инверсии.с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом привела бы к переворачиванию многогранника. Важно отметить, что геометрия связи с нечетными координационными числами должна быть нецентросимметричной, поскольку эти многогранники не будут содержать центров инверсии.с другой стороны, нецентросимметричны, поскольку инверсия через центральный атом привела бы к переворачиванию многогранника. Важно отметить, что геометрии связи с нечетными координационными числами должны быть нецентросимметричными, поскольку эти многогранники не будут содержать центров инверсии.

Реальным многогранникам в кристаллах часто не хватает однородности, ожидаемой в их геометрии связи. Общие нарушения, обнаруживаемые в кристаллографии, включают искажения и беспорядок. Искажение включает искривление многогранников из-за неоднородной длины связи, часто из-за разного электростатического притяжения между гетероатомами. Например, титановый центр, вероятно, будет равномерно связываться с шестью атомами кислорода в октаэдрах, но искажение произойдет, если один из атомов кислорода будет заменен более электроотрицательным фтором. Искажения не изменят внутреннюю геометрию многогранников - искаженный октаэдр по-прежнему классифицируется как октаэдр, но достаточно сильные искажения могут повлиять на центросимметрию соединения. Беспорядок предполагает разделение на два или более участков,в котором атом будет занимать одну кристаллографическую позицию в определенном проценте полиэдров, а другую - в остальных позициях. Беспорядок также может влиять на центросимметрию определенных многогранников, в зависимости от того, разделена ли занятость по уже существующему центру инверсии.

Центросимметрия применима и к кристаллической структуре в целом. Кристаллы подразделяются на тридцать две кристаллографические точечные группы, которые описывают, как различные многогранники располагаются в пространстве в объемной структуре. Из этих тридцати двух точечных групп одиннадцать центросимметричны. Наличие нецентросимметричных многогранников не гарантирует, что точечная группа будет одинаковой - две нецентросимметричные формы могут быть ориентированы в пространстве таким образом, чтобы между ними был центр инверсии. Два тетраэдра, обращенных друг к другу, могут иметь центр инверсии в середине, потому что ориентация позволяет каждому атому иметь отраженную пару. Верно и обратное, поскольку несколько центросимметричных многогранников могут быть расположены так, чтобы образовать нецентросимметричную точечную группу.

Нецентросимметричные соединения могут быть полезны для применения в нелинейной оптике. Отсутствие симметрии центров инверсии может позволить областям кристалла по-разному взаимодействовать с падающим светом. Длина волны, частота и интенсивность света могут изменяться, поскольку электромагнитное излучение взаимодействует с различными энергетическими состояниями по всей структуре. Титанилфосфат калия, KTiOPO ₄ (KTP) кристаллизуется в нецентросимметричной орторомбической пространственной группе Pna21 и является полезным нелинейным кристаллом. KTP используется для лазеров с удвоением частоты, легированных неодимом, с использованием нелинейно-оптического свойства, известного как генерация второй гармоники. Приложения для нелинейных материалов все еще исследуются, но эти свойства проистекают из наличия (или отсутствия такового) центра инверсии.

Инверсия относительно начала [ править ]

Инверсия относительно начала координат соответствует аддитивной инверсии вектора положения, а также скалярному умножению на -1. Операции коммутирует с любым другим линейным преобразованием , но не с переводом : он находится в самом центре в общей линейной группы . «Инверсия» без указания «в точке», «в линии» или «в плоскости» означает эту инверсию; В физике трехмерное отражение через начало координат также называется преобразованием четности .

В математике, отражение через начало координат относится к точке отражению евклидова пространства R ^п по происхождению в декартовой системе координат . Отражение через начало координат - это ортогональное преобразование, соответствующее скалярному умножению на , и его также можно записать как , где - единичная матрица . В трех измерениях это посылает и так далее.${\ displaystyle -1}$${\ displaystyle -I}$${\ displaystyle I}$${\displaystyle (x,y,z)\mapsto (-x,-y,-z)}$

Представления [ править ]

В скалярной матрице , она представлена в каждой основе матрицы с по диагонали, и, вместе с единицей, является центром в ортогональных группы .${\displaystyle -1}$ ${\displaystyle O(n)}$

Это продукт n ортогональных отражений (отражение через оси любого ортогонального базиса ); обратите внимание, что ортогональные отражения коммутируют.

В двух измерениях это фактически поворот на 180 градусов, а в измерении - это поворот на 180 градусов в n ортогональных плоскостях; ^{[примечание 1] еще} раз отметим, что повороты в ортогональных плоскостях коммутируют.${\displaystyle 2n}$

Свойства [ править ]

Имеет определитель (из представления матрицей или как произведение отражений). Таким образом, он сохраняет ориентацию в четном измерении, таким образом, является элементом специальной ортогональной группы SO (2 n ), и он меняет ориентацию в нечетном измерении, поэтому не является элементом SO (2 n  + 1) и вместо этого обеспечивает разделение карты , показывающее, что это внутренний прямой продукт .${\displaystyle (-1)^{n}}$${\displaystyle O(2n+1)\to \pm 1}$${\displaystyle O(2n+1)=SO(2n+1)\times \{\pm I\}}$

• Вместе с идентичностью, она образует центр в ортогональных группы .
• Он сохраняет каждую квадратичную форму, смысл и, таким образом, также является элементом любой неопределенной ортогональной группы .${\displaystyle Q(-v)=Q(v)}$
• Он равен единице тогда и только тогда, когда характеристика равна 2.
• Это самый длинный элемент из группы Кокстера из подписанных перестановок .

Аналогично, это самый длинный элемент ортогональной группы по отношению к образующему набору отражений: все элементы ортогональной группы имеют длину не более n по отношению к образующему набору отражений ^{[примечание 2]} и отражение через начало координат. имеет длину n, хотя и не уникален: другие максимальные комбинации поворотов (и, возможно, отражений) также имеют максимальную длину.

Геометрия [ править ]

В SO (2 r ) отражение через начало координат - это самая дальняя точка от единичного элемента относительно обычной метрики. В O (2 r + 1) отражение через начало координат не находится в SO (2 r +1) (оно находится в неединичном компоненте), и нет естественного смысла, в котором оно является «более далекой точкой», чем любая другая точка в неидентификационном компоненте, но она обеспечивает базовую точку в другом компоненте.

Алгебры Клиффорда и спиновые группы [ править ]

Его не следует путать с элементом в спиновой группе . Это особенно сбивает с толку для четных спиновых групп, как , и таким образом в есть оба и 2 вывода .${\displaystyle -1\in \mathrm {Spin} (n)}$${\displaystyle -I\in SO(2n)}$${\displaystyle \operatorname {Spin} (n)}$${\displaystyle -1}$${\displaystyle -I}$

Отражение через тождество распространяется на автоморфизм алгебры Клиффорда , называемый основной инволюцией или инволюцией ступеней.

Отражение через идентичность поднимается до псевдоскалярной .

См. Также [ править ]

• Аффинная инволюция
• Инверсия круга
• Алгебра Клиффорда
• Конгруэнтность (геометрия)
• Мера Эстермана
• Евклидова группа
• Мера Ковнера – Безиковича
• Ортогональная группа
• Четность (физика)
• Отражение (математика)
• Риманово симметрическое пространство
• Спиновая группа

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]