Гиперплоскость

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в основном непроверенным, поскольку в нем отсутствуют соответствующие встроенные ссылки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Две пересекающиеся плоскости в трехмерном пространстве . Плоскость - это гиперплоскость размерности 2, когда она вложена в пространство размерности 3.

В геометрии , A гиперплоскость является подпространством которого размерность на единицу меньше , чем у его окружающего пространства . Если пространство 3-мерное, то его гиперплоскости - это 2-мерные плоскости , а если пространство 2-мерное, его гиперплоскости - это 1-мерные линии . Это понятие можно использовать в любом общем пространстве, в котором определено понятие размерности подпространства .

В разных настройках гиперплоскости могут иметь разные свойства. Например, гиперплоскость n- мерного аффинного пространства - это плоское подмножество размерности n  - 1 ^[1], которое разделяет пространство на два полупространства . А гиперплоскость n- мерного проективного пространства этим свойством не обладает.

Разница в размерах между подпространством S и его окружающим пространством X называются коразмерностью из S по отношению к X . Таким образом, необходимым условием для S быть гиперплоскость в X для S иметь коразмерности один в X .

Техническое описание [ править ]

В геометрии , A гиперплоскость из п - мерного пространства V является подпространством размерности п  - 1, или , что эквивалентно, в коразмерности  1 в  V . Пространство V может быть евклидовым пространством или, в более общем смысле, аффинным пространством , или векторным пространством, или проективным пространством , и понятие гиперплоскости изменяется соответственно, поскольку определение подпространства отличается в этих параметрах; однако во всех случаях любая гиперплоскость может быть задана в координатах как решение единственного (из-за ограничения «коразмерность 1»)алгебраическое уравнение степени 1.

Если V - векторное пространство, различают «векторные гиперплоскости» (которые являются линейными подпространствами и, следовательно, должны проходить через начало координат) и «аффинные гиперплоскости» (которые не обязательно проходят через начало координат; они могут быть получены путем перевода вектора гиперплоскость). Гиперплоскость в евклидовом пространстве разделяет это пространство на два полупространства и определяет отражение, которое фиксирует гиперплоскость и меняет местами эти два полупространства.

Особые типы гиперплоскостей [ править ]

Определены несколько конкретных типов гиперплоскостей со свойствами, которые хорошо подходят для конкретных целей. Некоторые из этих специализаций описаны здесь.

Аффинные гиперплоскости [ править ]

Аффинная гиперплоскость является аффинным подпространством в коразмерности 1 в аффинном пространстве . В декартовых координатах такая гиперплоскость может быть описана одним линейным уравнением следующего вида (где хотя бы одно из ненулевых и является произвольной константой):${\ displaystyle a_ {i}}$${\ displaystyle b}$

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} = b. \}$

В случае вещественного аффинного пространства, другими словами , когда координаты являются действительными числами, это аффинное пространство разделяет пространство на два полупространства, которые являются компоненты связности этого дополнения гиперплоскости, и задаются неравенствами

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n} <b \}$

и

${\ displaystyle a_ {1} x_ {1} + a_ {2} x_ {2} + \ cdots + a_ {n} x_ {n}> b. \}$

Например, точка - это гиперплоскость в 1-мерном пространстве, линия - это гиперплоскость в 2-мерном пространстве, а плоскость - это гиперплоскость в 3-мерном пространстве. Линия в трехмерном пространстве не является гиперплоскостью и не разделяет пространство на две части (дополнение такой линии связано).

Любая гиперплоскость евклидова пространства имеет ровно два единичных вектора нормали.

Аффинные гиперплоскости используются для определения границ решений во многих алгоритмах машинного обучения , таких как линейно-комбинированные (наклонные) деревья решений и перцептроны .

Векторные гиперплоскости [ править ]

В векторном пространстве векторная гиперплоскость - это подпространство коразмерности 1, только возможно смещенное от начала координат вектором, и в этом случае оно называется плоским . Такая гиперплоскость является решением одного линейного уравнения .

Проективные гиперплоскости [ править ]

Проективные гиперплоскости используются в проективной геометрии . Проективное подпространство представляет собой набор точек с тем свойством , что для любых двух точек множества, все точки на линии , определяемой двумя точками, содержатся в наборе. ^[2] Проективную геометрию можно рассматривать как аффинную геометрию с добавленными точками схода (точки на бесконечности). Аффинная гиперплоскость вместе с ассоциированными точками на бесконечности образует проективную гиперплоскость. Одним из частных случаев проективной гиперплоскости является бесконечная или идеальная гиперплоскость , которая определяется множеством всех бесконечно удаленных точек.

В проективном пространстве гиперплоскость не делит пространство на две части; скорее, для разделения точек и разделения пространства требуются две гиперплоскости. Причина этого в том, что пространство по существу «закручивается», так что обе стороны одинокой гиперплоскости соединяются друг с другом.

Приложения [ править ]

В выпуклой геометрии два непересекающихся выпуклых множества в n-мерном евклидовом пространстве разделены гиперплоскостью, что называется теоремой об отделении гиперплоскостей .

В машинном обучении гиперплоскости являются ключевым инструментом для создания опорных векторных машин для таких задач, как компьютерное зрение и обработка естественного языка .

Двугранные углы [ править ]

Двугранный угол между двумя непараллельными гиперплоскостями в евклидове пространства есть угол между соответствующими векторами нормали . Произведением преобразований в двух гиперплоскостях является вращение , ось которого является подпространством коразмерности 2, полученным путем пересечения гиперплоскостей, и угол которого в два раза больше угла между гиперплоскостями.

Поддержка гиперплоскостей [ править ]

Гиперплоскость Н называется «поддержка» гиперплоскость многогранника Р , если Р содержится в одном из двух замкнутых полупространств , ограниченных Н и . ^[3] Пересечение P и H определяется как «грань» многогранника. Теория многогранников и размерности граней анализируются путем рассмотрения этих пересечений с участием гиперплоскостей.${\ displaystyle H \ cap P \ neq \ varnothing}$

См. Также [ править ]

• Гиперповерхность
• Граница решения
• Теорема о бутерброде с ветчиной
• Расположение гиперплоскостей
• Поддержка теоремы о гиперплоскости

Ссылки [ править ]

• Бинмор, Кен Г. (1980). Основы топологического анализа: прямое введение: книга 2 «Топологические идеи» . Издательство Кембриджского университета. п. 13. ISBN 0-521-29930-6.
• Чарльз В. Кертис (1968) Линейная алгебра , стр. 62, Allyn & Bacon , Бостон.
• Генрих Гуггенхаймер (1977) Применимая геометрия , страница 7, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 . 
• Виктор В. Прасолов и В. М. Тихомиров (1997, 2001) Геометрия , страница 22, том 200 в Переводах математических монографий , Американское математическое общество , Providence ISBN 0-8218-2038-9 . 

Внешние ссылки [ править ]

Найдите гиперплоскость в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вайсштейн, Эрик В. «Гиперплоскость» . MathWorld .
• Вайсштейн, Эрик В. «Плоский» . MathWorld .