Аффинное пространство

В верхней плоскости (синим цветом) нет векторного подпространства, так как и это аффинное подпространство . Его направление - нижняя (зеленая) плоскость, которая является векторным подпространством. Хотя и в их отличие есть вектор смещения , который не принадлежит, а принадлежит векторному пространству${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3},}$${\ displaystyle P_ {2}}$${\ displaystyle \ mathbf {0} \ notin P_ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbf {a} + \ mathbf {b} \ notin P_ {2};}$${\ displaystyle P_ {1},}$${\ Displaystyle \ mathbf {а}}$${\ displaystyle \ mathbf {b}}$${\ displaystyle P_ {2},}$${\ displaystyle P_ {2},}$${\ displaystyle P_ {1}.}$

В математике , аффинное пространство представляет собой геометрическую структуру , которая обобщает некоторые из свойств евклидовых пространств таким образом , что они не зависят от понятий расстояния и измерения углов, сохраняя только свойства , связанные с параллелизмом и отношением длины для параллельного отрезки линии .

В аффинном пространстве нет выделенной точки, служащей началом координат. Следовательно, ни один вектор не имеет фиксированного начала координат, и никакой вектор не может быть однозначно связан с точкой. В аффинном пространстве вместо этого есть векторы смещения , также называемые векторами трансляции или просто переводами , между двумя точками пространства. ^[1] Таким образом, имеет смысл вычесть две точки пространства, задав вектор сдвига, но не имеет смысла складывать две точки пространства. Точно так же имеет смысл добавить вектор смещения к точке аффинного пространства, в результате чего новая точка будет перемещена из начальной точки этим вектором.

Любое векторное пространство можно рассматривать как аффинное пространство; это равносильно забвению особой роли нулевого вектора . В этом случае элементы векторного пространства можно рассматривать либо как точки аффинного пространства, либо как векторы смещения или трансляции . Если рассматривать его как точку, нулевой вектор называется началом координат . Добавление фиксированного вектора к элементам линейного подпространства в виде векторного пространства производит аффинное подпространство . Обычно говорят, что это аффинное подпространство было получено путем сдвига (от начала координат) линейного подпространства на вектор переноса. В конечных размерах такаяаффинное подпространство - это множество решений неоднородной линейной системы. Векторы смещения для этого аффинного пространства являются решениями соответствующей однородной линейной системы, которая является линейным подпространством. Напротив, линейные подпространства всегда содержат начало векторного пространства.

Размерность аффинного пространства определяется как размерность векторного пространства ее переводов. Аффинное пространство размерности один - это аффинная линия . Аффинное пространство размерности 2 - это аффинная плоскость . Аффинное подпространство размерности n - 1 в аффинном пространстве или векторное пространство размерности n является аффинной гиперплоскостью .

Неофициальное описание [ править ]

Следующая характеристика может быть легче для понимания, чем обычное формальное определение: аффинное пространство - это то, что осталось от векторного пространства после того, как вы забыли, какая точка является началом координат (или, по словам французского математика Марселя Бергера , «An аффинное пространство - это не что иное, как векторное пространство, о происхождении которого мы пытаемся забыть, добавляя переводы к линейным картам » ^[2] ). Представьте, что Алиса знает, что определенная точка является фактическим началом, но Боб считает, что другая точка - назовем ее p - является началом. Добавляются два вектора a и b . Боб рисует стрелку от точки p к точкеa и еще одну стрелку из точки p в точку b , и завершает параллелограмм, чтобы найти то, что Боб считает a + b , но Алиса знает, что он действительно вычислил

р + ( а - р ) + ( б - р ) .

Точно так же, Алиса и Боб могут оценить любую линейную комбинацию из и б , или любого конечного множество векторов, и, как правило , получают разные ответы. Однако, если сумма коэффициентов в линейной комбинации равна 1, то Алиса и Боб придут к одному и тому же ответу.

Если Алиса поедет в

λ а + (1 - λ) б

то Боб может аналогичным образом отправиться в

p + λ ( a - p ) + (1 - λ) ( b - p ) = λ a + (1 - λ) b .

При этом условии, для всех коэффициентов λ + (1 - λ) = 1 , Алиса и Боб описывают одну и ту же точку одной и той же линейной комбинацией, несмотря на использование разных источников.

В то время как только Алиса знает «линейную структуру», и Алиса, и Боб знают «аффинную структуру», т.е. значения аффинных комбинаций , определяемых как линейные комбинации, в которых сумма коэффициентов равна 1. Набор с аффинной структурой является аффинное пространство.

Определение [ править ]

Аффинное пространство представляет собой набор вместе с векторным пространством , а также переходным и свободным действием на аддитивную группу из на множество A . ^[3] Элементы аффинного пространства A называются точками . Говорят, что векторное пространство связано с аффинным пространством, а его элементы называются векторами , переводами или иногда свободными векторами . ${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

В явном виде приведенное выше определение означает, что действие является отображением, обычно обозначаемым как добавление,

${\ displaystyle {\ begin {align} A \ times {\ overrightarrow {A}} & \ to A \\ (a, v) \; & \ mapsto a + v, \ end {выравнивается}}}$

который имеет следующие свойства. ^{[4] [5] [6]}

1. Правильная личность:

   ${\ Displaystyle \ forall а \ в А, \; а + 0 = а}$, где 0 - нулевой вектор в${\ displaystyle {\ overrightarrow {A}}}$

2. Ассоциативность:

   ${\displaystyle \forall v,w\in {\overrightarrow {A}},\forall a\in A,\;(a+v)+w=a+(v+w)}$(здесь последний + - добавление )${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

3. Свободное и переходное действие:

   Для каждого отображение является биекцией .${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}\to A\colon v\mapsto a+v}$

Первые два свойства просто определяют свойства действия (справа) группы. Третье свойство характеризует свободные и переходные действия, при этом характерный характер происходит из транзитивности, а инъективный характер следует из того, что действие является свободным. Есть четвертое свойство, которое следует из пунктов 1, 2 выше:

4. Наличие индивидуальных переводов

Для всех отображение - биекция.${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle A\to A\colon a\mapsto a+v}$

Свойство 3 часто используется в следующей эквивалентной форме.

5. Вычитание:

Для каждого a , b в A существует единственный , обозначаемый b - a , такой, что .${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle b=a+v}$

Другой способ выразить определение состоит в том, что аффинное пространство - это главное однородное пространство для действия аддитивной группы векторного пространства. Однородные пространства по определению наделены транзитивным действием группы, а для главного однородного пространства такое транзитивное действие по определению является свободным.

Вычитание и аксиомы Вейля [ править ]

Свойства действия группы позволяют определить вычитание для любой заданной упорядоченной пары ( b , a ) точек в A , создавая вектор из . Этот вектор, обозначенный или , определяется как единственный вектор в таком, что${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle b-a}$${\displaystyle {\overrightarrow {ab}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle a+(b-a)=b.}$

Существование следует из транзитивности действия, а единственность следует из того, что действие свободно.

Это вычитание обладает двумя следующими свойствами, называемыми аксиомами Вейля : ^[7]

1. ${\displaystyle \forall a\in A,\;\forall v\in {\overrightarrow {A}}}$, существует единственная точка такая, что${\displaystyle b\in A}$${\displaystyle b-a=v.}$
2. ${\displaystyle \forall a,b,c\in A,\;(c-b)+(b-a)=c-a.}$

В евклидовой геометрии вторую аксиому Вейля обычно называют правилом параллелограмма .

Аффинные пространства могут быть эквивалентно определены как точечное множество A вместе с векторным пространством и вычитание, удовлетворяющее аксиомам Вейля. В этом случае добавление вектора к точке определяется из первых аксиом Вейля.${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

Аффинные подпространства и параллелизм [ править ]

Аффинное подпространство (также называемые в некоторых контекстах, A линейного многообразия , А плоский , или, над действительными числами , А линейное многообразие ) В аффинном пространстве A является подмножеством таким образом , что для данной точки , множество векторов является линейным подпространством в . Это свойство, не зависящее от выбора a , означает, что B - аффинное пространство, с которым связано векторное пространство.${\displaystyle a\in B}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}=\{b-a\mid b\in B\}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

Аффинные подпространства в A - это подмножества A вида

${\displaystyle a+V=\{a+w:w\in V\},}$

где a - точка в A , а V - линейное подпространство в .${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

Линейное подпространство, связанное с аффинным подпространством, часто называется его направлением , а два подпространства, которые имеют одно направление, называются параллельными .

Отсюда вытекает следующее обобщение аксиомы Playfair в : Принимая во внимание направление V , для любой точки а из А существует один и только один аффинное подпространство в направлении V , который проходит через , а именно подпространство + V .

Каждый сдвиг отображает любое аффинное подпространство в параллельное подпространство.${\displaystyle A\to A:a\mapsto a+v}$

Термин « параллельность» также используется для двух аффинных подпространств, так что направление одного входит в направление другого.

Аффинная карта [ править ]

Для двух аффинных пространств A и B , которым соответствуют векторные пространства и , аффинное отображение или аффинный гомоморфизм из A в B является отображением${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {B}}}$

${\displaystyle f:A\to B}$

такой, что

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overrightarrow {f}}:{\overrightarrow {A}}&\to {\overrightarrow {B}}\\b-a&\mapsto f(b)-f(a)\end{aligned}}}$

является корректно определенным линейным отображением. Под правильным определением подразумевается, что b - a = d - c влечет f ( b ) - f ( a ) = f ( d ) - f ( c ) .${\displaystyle f}$

Это означает, что для точки и вектора выполняется${\displaystyle a\in A}$${\displaystyle v\in {\overrightarrow {A}}}$

${\displaystyle f(a+v)=f(a)+{\overrightarrow {f}}(v).}$

Следовательно, поскольку для любого заданного b в A , b = a + v для единственного v , f полностью определяется своим значением в одной точке и соответствующей линейной картой .${\displaystyle {\overrightarrow {f}}}$

Векторные пространства как аффинные [ править ]

Каждое векторное пространство V можно рассматривать как аффинное пространство над собой. Это означает, что каждый элемент V можно рассматривать либо как точку, либо как вектор. Это аффинное пространство иногда обозначает ( V , V ) для выделения двойной роли элементов V . Когда он рассматривается как точка, нулевой вектор обычно обозначается o (или O , когда для точек используются заглавные буквы) и называется началом координат .

Если A - другое аффинное пространство над тем же векторным пространством (то есть ), выбор любой точки a в A определяет уникальный аффинный изоморфизм, который является тождеством V и отображает a в o . Другими словами, выбор происхождения а в А позволяет определить А и ( V , V ) до более канонического изоморфизма . Аналог этого свойства состоит в том, что аффинное пространство A можно отождествить с векторным пространством V${\displaystyle V={\overrightarrow {A}}}$ в котором «забыто место происхождения».

Связь с евклидовыми пространствами [ править ]

Определение евклидовых пространств [ править ]

Евклидовы пространства (включая одномерную линию, двумерную плоскость и трехмерное пространство, обычно изучаемые в элементарной геометрии, а также многомерные аналоги) являются аффинными пространствами.

Действительно, в большинстве современных определений евклидово пространство определяется как аффинное пространство, такое, что связанное векторное пространство является реальным внутренним пространством продукта конечной размерности, то есть векторным пространством над вещественными числами с положительно определенной квадратичной формой q ( х ) . Внутреннее произведение двух векторов x и y - это значение симметричной билинейной формы

${\displaystyle x\cdot y={\frac {1}{2}}(q(x+y)-q(x)-q(y)).}$

Обычное евклидово расстояние между двумя точками A и B равно

${\displaystyle d(A,B)={\sqrt {q(B-A)}}.}$

В старшем определении евклидовых пространств через синтетическую геометрию , векторы определяются как классы эквивалентности из упорядоченных пар точек при равносильности (пары ( А , В ) и ( С , D ) являются равноправны , если точки , В , Д , С ( в таком порядке) образуют параллелограмм ). Несложно проверить, что векторы образуют векторное пространство, квадрат евклидова расстояния является квадратичной формой на пространстве векторов, и два определения евклидовых пространств эквивалентны.

Аффинные свойства [ править ]

В евклидовой геометрии общая фраза « аффинное свойство » относится к свойству, которое может быть доказано в аффинных пространствах, то есть может быть доказано без использования квадратичной формы и связанного с ней внутреннего продукта. Другими словами, аффинное свойство - это свойство, которое не включает длины и углы. Типичные примеры - параллелизм и определение касательной . Непример - это определение нормального .

Эквивалентно, аффинное свойство - это свойство, инвариантное относительно аффинных преобразований евклидова пространства.

Аффинные комбинации и барицентр [ править ]

Пусть ₁ , ..., _п будет набор п точек в аффинном пространстве, и быть п элементов основного поля . ${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

Предположим, что . Для любых двух точек o и o ' один имеет${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=0}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}=\lambda _{1}{\overrightarrow {o'a_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {o'a_{n}}}.}$

Таким образом, эта сумма не зависит от выбора начала координат, и результирующий вектор можно обозначить

${\displaystyle \lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

Когда , можно получить определение вычитания очков.${\displaystyle n=2,\lambda _{1}=1,\lambda _{2}=-1}$

Теперь предположим, что элементы поля удовлетворяют . Для некоторого выбора начала o обозначим единственной точкой, такой что${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1}$${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}{\overrightarrow {oa_{1}}}+\dots +\lambda _{n}{\overrightarrow {oa_{n}}}={\overrightarrow {og}}.}$

Можно показать, что это не зависит от выбора o . Следовательно, если${\displaystyle g}$

${\displaystyle \lambda _{1}+\dots +\lambda _{n}=1,}$

можно написать

${\displaystyle g=\lambda _{1}a_{1}+\dots +\lambda _{n}a_{n}.}$

Точка называется барицентром из за веса . Один говорит также , что является аффинным сочетание из с коэффициентами .${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle g}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

Примеры [ править ]

• Когда дети находят ответы на такие суммы, как 4 + 3 или 4-2 , считая вправо или влево на числовой строке , они рассматривают числовую линию как одномерное аффинное пространство.
• Любой смежный класс подпространства V векторного пространства является аффинным пространством над этим подпространством.
• Если T - матрица, а b лежит в ее пространстве столбцов , множество решений уравнения T x = b является аффинным пространством над подпространством решений T x = 0 .
• Решения неоднородного линейного дифференциального уравнения образуют аффинное пространство над решениями соответствующего однородного линейного уравнения.
• Обобщая все вышесказанное, если T  : V → W - линейное отображение и y лежит в его образе, то множество решений x ∈ V уравнения T x = y является смежным классом ядра T  и, следовательно, является аффинное пространство над Ker  T  .
• Пространство (линейных) дополнительных подпространств векторного подпространства V в векторном пространстве W является аффинным пространством над Hom ( W / V , V ) . То есть, если 0 → V → W → X → 0 - короткая точная последовательность векторных пространств, то пространство всех разбиений точной последовательности естественным образом несет структуру аффинного пространства над Hom ( X , V ) .

Аффинный диапазон и основания [ править ]

Для любого подмножества X аффинного пространства А , существует наименьшее аффинное подпространство, содержащее его, называется аффинная оболочка из X . Это пересечение всех аффинных подпространств , содержащих X , а его направление является пересечением направлений аффинных подпространств, содержащих X .

Аффинная оболочка X есть множество всех (конечные) аффинной комбинация точек X , а его направление является линейной оболочкой из й - у по й и у в X . Если выбрать конкретную точку х ₀ , направление аффинной оболочки X также является линейной оболочка х - х ₀ для й в X .

Один говорит также о том , что аффинная оболочка X будет генерироваться с помощью X и Х представляет собой порождающее множество его аффинного пролета.

Множество X точек аффинного пространства называется аффинно независимой или просто независимым , если аффинная оболочка любого строгого подмножества из X является строгим подмножеством аффинной оболочки X . Аффинное основание или барицентрические рамы (см координаты § барицентрической , ниже) аффинного пространства является порождающим множеством , что также не зависит (то есть минимальное порождающее множество).

Напомним, что размерность аффинного пространства - это размерность связанного с ним векторного пространства. Базы аффинного пространства конечной размерности n - это независимые подмножества из n + 1 элементов, или, что то же самое, порождающие подмножества из n + 1 элементов. Эквивалентно, { x ₀ , ..., x _n } является аффинным базисом аффинного пространства тогда и только тогда, когда { x ₁ - x ₀ , ..., x _n - x ₀ } является линейным базисом ассоциированного вектора Космос.

Координаты [ править ]

Есть два сильно связанных вида систем координат, которые могут быть определены на аффинных пространствах.

Барицентрические координаты [ править ]

Пусть аффинное пространство размерности п над полем к , и аффинная основой A . Из свойств аффинного базиса следует, что для каждого x в A существует единственный ( n + 1) - набор элементов k такой, что ${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$ ${\displaystyle (\lambda _{0},\dots ,\lambda _{n})}$

${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

и

${\displaystyle x=\lambda _{0}x_{0}+\dots +\lambda _{n}x_{n}.}$

Называются барицентрические координаты по х над аффинной основе . Если х _я рассматривается как органы , которые имеют веса (или массу) , точка х , таким образом , барицентр из й _я , и это объясняет происхождение термина барицентрических координат .${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \{x_{0},\dots ,x_{n}\}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$

Барицентрические координаты определяют аффинный изоморфизм между аффинным пространством A и аффинным подпространством k ^{n + 1,} определяемым уравнением .${\displaystyle \lambda _{0}+\dots +\lambda _{n}=1}$

Для аффинных пространств бесконечной размерности применяется то же определение, но с использованием только конечных сумм. Это означает, что для каждой точки только конечное число координат отличны от нуля.

Аффинные координаты [ править ]

Аффинные рамки аффинного пространства состоит из точки, называемого происхождением , а также линейной основы этого ассоциированного векторного пространства. Точнее, для аффинного пространства А с ассоциированным векторным пространством , начало о принадлежит А , а линейный базис является базисом ( v ₁ , ..., v _п ) из (для простоты обозначений мы будут рассматривать только случай конечной размерности, общий случай аналогичен).${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {A}}}$

Для каждой точки p из A существует уникальная последовательность элементов основного поля такая, что${\displaystyle \lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}}$

${\displaystyle p=o+\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n},}$

или эквивалентно

${\displaystyle {\overrightarrow {op}}=\lambda _{1}v_{1}+\dots +\lambda _{n}v_{n}.}$

Называются аффинные координаты из р над аффинной рамой ( O , об ₁ , ..., v _п ) .${\displaystyle \lambda _{i}}$

Пример: В евклидовой геометрии , Декартовы координаты являются аффинными координатами относительно к ортонормированному кадру , то есть аффинный кадр ( о , v ₁ , ..., v _п ) таким образом, что ( v ₁ , ..., v _п ) является ортонормированный базис .

Связь между барицентрическими и аффинными координатами [ править ]

Барицентрические координаты и аффинные координаты сильно связаны и могут рассматриваться как эквивалентные.

Фактически, учитывая барицентрическую систему отсчета

${\displaystyle (x_{0},\dots ,x_{n}),}$

немедленно выводится аффинный фрейм

${\displaystyle (x_{0},{\overrightarrow {x_{0}x_{1}}},\dots ,{\overrightarrow {x_{0}x_{n}}})=\left(x_{0},x_{1}-x_{0},\dots ,x_{n}-x_{0}\right),}$

и если

${\displaystyle \left(\lambda _{0},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

являются барицентрическими координатами точки над барицентрической системой отсчета, то аффинные координаты той же точки над аффинной системой отсчета равны

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

Наоборот, если

${\displaystyle \left(o,v_{1},\dots ,v_{n}\right)}$

является аффинным фреймом, то

${\displaystyle \left(o,o+v_{1},\dots ,o+v_{n}\right)}$

- барицентрический каркас. Если

${\displaystyle \left(\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right)}$

являются аффинными координатами точки над аффинной системой отсчета, то ее барицентрические координаты над барицентрической системой отсчета равны

${\displaystyle \left(1-\lambda _{1}-\dots -\lambda _{n},\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n}\right).}$

Следовательно, барицентрические и аффинные координаты почти эквивалентны. В большинстве приложений предпочтительны аффинные координаты, поскольку они содержат меньше независимых координат. Однако в ситуациях, когда важные моменты изучаемой проблемы не зависят от аффинности, барицентрические координаты могут привести к более простым вычислениям, как в следующем примере.

Пример треугольника [ править ]

Вершины неплоского треугольника образуют аффинный базис евклидовой плоскости . Барицентрические координаты позволяют легко охарактеризовать элементы треугольника, не связанные с углами или расстоянием:

Вершины - это точки барицентрических координат (1, 0, 0) , (0, 1, 0) и (0, 0, 1) . Линии, поддерживающие ребра, - это точки с нулевой координатой. Сами ребра - это точки, которые имеют нулевую координату и две неотрицательные координаты. Внутри треугольника находятся точки, все координаты которых положительны. В медианы являются точками , которые имеют две одинаковые координаты, и центроид является точкой координат (1/3, 1/3, 1/3) .

Изменение координат [ править ]

Случай аффинных координат [ править ]

Случай барицентрических координат [ править ]

Свойства аффинных гомоморфизмов [ править ]

Матричное представление [ править ]

Изображение и волокна [ править ]

Позволять

${\displaystyle f\colon E\to F}$

- аффинный гомоморфизм, причем

${\displaystyle {\overrightarrow {f}}\colon {\overrightarrow {E}}\to {\overrightarrow {F}}}$

как связанную линейную карту.

Изображения из F является аффинным подпространством F (Е) из F , который имеет в качестве ассоциированного векторного пространства. Поскольку аффинное пространство не имеет нулевого элемента , аффинный гомоморфизм не имеет ядра . Тем не менее, для любой точки х из F ( E ) , то прообраз F ^-1 ( х ) из й является аффинным подпространством Е , направления . Это аффинное подпространство называется волокно из х .${\displaystyle {\overrightarrow {f}}({\overrightarrow {E}})}$ ${\displaystyle {\overrightarrow {f}}^{-1}({\overrightarrow {F}})}$

Проекция [ править ]

Важным примером является проекция, параллельная некоторому направлению, на аффинное подпространство. Важность этого примера заключается в том, что евклидовы пространства являются аффинными пространствами, и что такого рода проекции являются фундаментальными в евклидовой геометрии .

Более точно, учитывая аффинное пространство Е с ассоциированным векторным пространством , пусть F аффинное подпространство в направлении , а D является дополнительным подпространство из в (это означает , что каждый вектор , может быть разложена единственным образом в виде суммы элемента из и элемент D ). Для каждой точки x из E ее проекция на F, параллельная D, является единственной точкой p ( x ) в F такая, что${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$${\displaystyle {\overrightarrow {F}}}$

${\displaystyle p(x)-x\in D.}$

Это аффинный гомоморфизм, ассоциированное линейное отображение которого определяется формулой${\displaystyle {\overrightarrow {p}}}$

${\displaystyle {\overrightarrow {p}}(x-y)=p(x)-p(y),}$

для й и у в Е .

Образом этой проекции является F , и его слои подпространства направления D .

Факторное пространство [ править ]

Хотя ядра для аффинных пространств не определены, факторпространства определены. Это следует из того факта, что «принадлежность к одному слою аффинного гомоморфизма» является отношением эквивалентности.

Пусть E - аффинное пространство, а D - линейное подпространство ассоциированного векторного пространства . Фактор Е / Д из Е на D является фактором из Е по отношению эквивалентности${\displaystyle {\overrightarrow {E}}}$

${\displaystyle x-y\in D.}$

Это фактор-пространство является аффинным пространством, с которым связано векторное пространство.${\displaystyle {\overrightarrow {E}}/D}$

Для любого аффинного гомоморфизма образ изоморфен факторизации E по ядру соответствующего линейного отображения. Это первая теорема об изоморфизме аффинных пространств.${\displaystyle E\to F}$

Аффинное преобразование [ править ]

Аксиомы [ править ]

Аффинное пространство обычно изучается как аналитическая геометрия с использованием координат или, что эквивалентно, векторных пространств. Его также можно изучать как синтетическую геометрию , записывая аксиомы, хотя этот подход встречается гораздо реже. Существует несколько различных систем аксиом для аффинного пространства.

Кокстер (1969 , стр. 192) аксиоматизирует аффинную геометрию (над реалами) как упорядоченную геометрию вместе с аффинной формой теоремы Дезарга и аксиомой, утверждающей, что на плоскости есть не более одной прямой, проходящей через данную точку, не пересекающую данную линию .

Аффинные плоскости удовлетворяют следующим аксиомам ( Cameron 1991 , глава 2): (в которых две прямые называются параллельными, если они равны или не пересекаются):

• Любые две различные точки лежат на единственной прямой.
• Для данной точки и линии существует уникальная линия, которая содержит точку и параллельна прямой.
• Существуют три неколлинеарные точки.

Помимо аффинных плоскостей над полями (или телом ), существует также множество недезарговских плоскостей, удовлетворяющих этим аксиомам. ( Cameron 1991 , глава 3) дает аксиомы для многомерных аффинных пространств.

Отношение к проективным пространствам [ править ]

Аффинные пространства - это подпространства проективных пространств : аффинная плоскость может быть получена из любой проективной плоскости , удалив линию и все точки на ней, и, наоборот, любую аффинную плоскость можно использовать для построения проективной плоскости в качестве замыкания , добавив прямую в точке бесконечность , точки которой соответствуют классам эквивалентности параллельных прямых .

Кроме того, преобразования проективного пространства, которые сохраняют аффинное пространство (эквивалентно, которые оставляют гиперплоскость на бесконечности инвариантной как набор ), приводят к преобразованиям аффинного пространства. С другой стороны , любое аффинное линейное преобразование однозначно продолжается до проективного линейного преобразования, так что аффинная группа является подгруппой из проективной группы . Например, преобразования Мёбиуса (преобразования комплексной проективной прямой или сферы Римана ) являются аффинными (преобразованиями комплексной плоскости) тогда и только тогда, когда они фиксируют точку на бесконечности .

Аффинная алгебраическая геометрия [ править ]

В алгебраической геометрии , в аффинном многообразии (или, более общо, аффинное алгебраическое множество ) определяются как подмножество аффинного пространства, множество общих нулей множества так называемыми полиномиальных функций над аффинным пространством . Для определения полиномиальной функции над аффинным пространством необходимо выбрать аффинную шкалу . Тогда полиномиальная функция - это функция, такая, что изображение любой точки является значением некоторой многомерной полиномиальной функции координат точки. Поскольку замену аффинных координат можно выразить линейными функциями (точнее, аффинные функции) координат, это определение не зависит от конкретного выбора координат.

Выбор системы аффинных координат для аффинного пространства размерности n над полем k индуцирует аффинный изоморфизм между и аффинным координатным пространством k ⁿ . Это объясняет, почему для упрощения многие учебники пишут и вводят аффинные алгебраические многообразия как общие нули полиномиальных функций над k ⁿ . ^[8]${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}=k^{n}}$

Поскольку все аффинное пространство является множеством общих нулей нулевого многочлена , аффинные пространства являются аффинными алгебраическими многообразиями.

Кольцо полиномиальных функций [ править ]

Согласно приведенному выше определению выбор аффинного каркаса аффинного пространства позволяет идентифицировать полиномиальные функции on с многочленами от n переменных, i- я переменная представляет функцию, которая отображает точку в ее i- ю координату. Отсюда следует, что множество полиномиальных функций над является k -алгеброй , обозначенной , которая изоморфна кольцу многочленов .${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle \mathbb {A} _{k}^{n}}$${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$ ${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$

Когда кто-то меняет координаты, изоморфизм между и изменяется соответственно, и это индуцирует автоморфизм , который отображает каждую неопределенность в полином первой степени. Отсюда следует , что общая степень определяет фильтрацию от , которая не зависит от выбора координат. Общая степень определяет также градуировку , но она зависит от выбора координат, поскольку изменение аффинных координат может отображать неопределенные значения на неоднородных многочленах .${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$${\displaystyle k[X_{1},\dots ,X_{n}]}$${\displaystyle k\left[X_{1},\dots ,X_{n}\right]}$${\displaystyle k\left[\mathbb {A} _{k}^{n}\right]}$

Топология Зарисского [ править ]

Аффинные пространства над топологическими полями , такими как действительные или комплексные числа, имеют естественную топологию . Топология Зарисского, определенная для аффинных пространств над любым полем, в любом случае позволяет использовать топологические методы. Топология Зарисского - это единственная топология на аффинном пространстве, замкнутые множества которого являются аффинными алгебраическими множествами (то есть множествами общих нулей функций многочленов над аффинным множеством). Поскольку над топологическим полем полиномиальные функции непрерывны, каждое замкнутое множество Зарисского замкнуто для обычной топологии, если таковая имеется. Другими словами, над топологическим полем топология Зарисского грубее естественной топологии.

Существует естественная инъективная функция из аффинного пространства в множество простых идеалов (то есть спектр ) его кольца полиномиальных функций. Когда выбраны аффинные координаты, эта функция отображает точку координат в максимальный идеал . Эта функция является гомеоморфизмом (для топологии Зарисского аффинного пространства и спектра кольца полиномиальных функций) аффинного пространства на образ функции.${\displaystyle \left(a_{1},\dots ,a_{n}\right)}$ ${\displaystyle \left\langle X_{1}-a_{1},\dots ,X_{n}-a_{n}\right\rangle }$

Случай алгебраически замкнутого основного поля особенно важен в алгебраической геометрии, потому что в этом случае указанный выше гомеоморфизм представляет собой отображение между аффинным пространством и множеством всех максимальных идеалов кольца функций (это Nullstellensatz Гильберта ).

Это исходная идея теории схем из Гротендик , которая состоит, для изучения алгебраических многообразий, рассмотрения в качестве «точек», а не только точек аффинного пространства, но и все простые идеалы спектра. Это позволяет склейки алгебраические многообразия подобным образом , как и для многообразий , диаграммы склеиваются для строительства коллектора.

Когомология [ править ]

Как и все аффинные многообразия, локальные данные на аффинном пространстве всегда можно объединить глобально: когомологии аффинного пространства тривиальны. Точнее, для всех когерентных пучков F и целых чисел . Этим свойством обладают и все другие аффинные разновидности . Но также все этальные группы когомологий на аффинном пространстве тривиальны. В частности, каждое линейное расслоение тривиально. В более общем смысле из теоремы Квиллена – Суслина следует, что любое алгебраическое векторное расслоение над аффинным пространством тривиально.${\displaystyle H^{i}\left(\mathbb {A} _{k}^{n},\mathbf {F} \right)=0}$${\displaystyle i>0}$

См. Также [ править ]

• Аффинная оболочка  - наименьшее аффинное подпространство, содержащее подмножество
• Комплексное аффинное пространство  - аффинное пространство над комплексными числами
• Экзотическое аффинное пространство  - Реальное аффинное пространство четной размерности, которое не изоморфно сложному аффинному пространству.
• Пространство (математика)  - математический набор с добавленной структурой

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бергер, Марсель (1984), "Аффинные пространства" , Проблемы геометрии , Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90971-4
• Бергер, Марсель (1987), Геометрия I , Берлин: Springer, ISBN 3-540-11658-3
• Кэмерон, Питер Дж. (1991), Проективные и полярные пространства , QMW Maths Notes, 13 , Лондон: Школа математических наук Queen Mary and Westfield College, MR  1153019
• Кокстер, Гарольд Скотт Макдональд (1969), Введение в геометрию (2-е изд.), Нью-Йорк: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-50458-0, Руководство по ремонту  0123930
• Долгачев, И.В. ; Широков, А.П. (2001) [1994], "Аффинное пространство" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Хартсхорн, Робин (1977). Алгебраическая геометрия . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90244-9. Zbl  0367.14001 .
• Nomizu, K .; Сасаки, С. (1994), Аффинная дифференциальная геометрия (новая редакция), Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-44177-3
• Снаппер, Эрнст; Тройер, Роберт Дж. (1989), Метрическая аффинная геометрия (издание Dover, впервые опубликовано в 1989 г.), Dover Publications, ISBN 0-486-66108-3
• Tarrida, Agusti R. (2011), «Аффинные пространства», аффинные карты, евклидовы движения и квадрики , Springer, ISBN 978-0-85729-709-9