Линейное подпространство

Одномерные подпространства в двумерном векторном пространстве над конечным полем F 5 . Начало координат (0, 0), отмеченное зелеными кружками, принадлежит любому из шести 1-подпространств, а каждая из 24 оставшихся точек принадлежит ровно одному; свойство, которое выполняется для 1-подпространств над любым полем и во всех измерениях . Все F 5 2 (т.е. квадрат 5 × 5) изображены четыре раза для лучшей визуализации.

В математике , а точнее в линейной алгебре , линейное подпространство , также известное как векторное подпространство ^{[1] [примечание 1],} является векторным пространством, которое является подмножеством некоторого большего векторного пространства. Линейное подпространство обычно просто называют подпространством, когда контекст служит для того, чтобы отличить его от других типов подпространств.

Определение [ править ]

Если V является векторным пространством над полем K и если W представляет собой подмножество V , то W является подпространством в V , если относительно операций V , W представляет собой векторное пространство над K . Эквивалентно, непустое подмножество W является подпространством V, если всякий раз, когда w ₁ , w ₂ являются элементами W, а α , β являются элементами K , следует, что αw ₁+ Βw ₂ в Вт . ^{[2] [3] [4] [5] [6]}

Как следствие, все векторные пространства снабжены как минимум двумя подпространствами: одноэлементным набором с нулевым вектором и самим векторным пространством. Они называются тривиальными подпространствами векторного пространства. ^[7]

Примеры [ править ]

Пример I [ править ]

Пусть поле K быть множество R из действительных чисел , и пусть векторное пространство V является реальным координатное пространство R ³ . Возьмем W как множество всех векторов в V , последний компонент 0. Тогда W есть подпространство V .

Доказательство:

1. Для заданных u и v в W они могут быть выражены как u = ( u ₁ ,  u ₂ , 0) и v = ( v ₁ ,  v ₂ , 0) . Тогда u + v = ( u ₁ + v ₁ ,  u ₂ + v ₂ , 0 + 0) = ( u ₁ + v ₁ ,  u ₂ + v ₂ , 0) . Таким образом,U  +  V является элементом  W , тоже.
2. Учитывая u в W и скаляр c в R , если снова u = ( u ₁ ,  u ₂ , 0) , то c u = ( cu ₁ ,  cu ₂ ,  c 0) = ( cu ₁ ,  cu ₂ , 0) . Таким образом, с U является элементом W тоже.

Пример II [ править ]

Пусть поле снова будет R , но теперь пусть векторное пространство V будет декартовой плоскостью R ² . Возьмем W как множество точек ( х ,  у ) из R ² такие , что х  =  у . Тогда W является подпространством R ² .

Доказательство:

1. Пусть p = ( p ₁ ,  p ₂ ) и q = ( q ₁ ,  q ₂ ) - элементы W , то есть точки на плоскости такие, что p ₁  =  p ₂ и q ₁  =  q ₂ . Тогда p + q = ( p ₁ + q ₁ ,  p ₂ + q ₂ ) ; поскольку p ₁  =  p₂ и д ₁  =  д ₂ , то р ₁  +  д ₁  = р ₂  +  д ₂ , так что р  +  д является элементом W .
2. Пусть р  = ( р ₁ ,  р ₂ ) элемент из W , то есть точка в плоскости таким образом, что р ₁  =  р ₂ , и пусть Ĉ быть скаляром в R . Тогда c p = ( cp ₁ ,  cp ₂ ) ; так как р ₁  =  р ₂ , то ф ₁  =  ф ₂ , так что с р является элементом W .

В общем, любое подмножество реального координатного пространства R ⁿ , которое определяется системой однородных линейных уравнений , даст подпространство. (Уравнение в примере I было z  = 0, а уравнение в примере II было x  =  y .) Геометрически эти подпространства представляют собой точки, линии, плоскости и пространства, которые проходят через точку 0 .

Пример III [ править ]

Снова выйти на поле , чтобы быть R , но теперь векторное пространство V множество R ^R всех функций из R в R . Пусть C ( R ) - подмножество, состоящее из непрерывных функций. Тогда C ( R ) является подпространством R ^R .

Доказательство:

1. Мы знаем из исчисления, 0 ∈ C ( R ) ⊂ R ^R .
2. Мы знаем из исчисления, что сумма непрерывных функций непрерывна.
3. Опять же, мы знаем из математического анализа, что произведение непрерывной функции и числа непрерывно.

Пример IV [ править ]

Сохраните те же поле и векторное пространство, что и раньше, но теперь рассмотрите множество Diff ( R ) всех дифференцируемых функций . Те же аргументы, что и раньше, показывают, что это тоже подпространство.

Примеры, расширяющие эти темы, распространены в функциональном анализе .

Свойства подпространств [ править ]

Из определения векторных пространств следует, что подпространства непусты и замкнуты относительно сумм и скалярных кратных. ^[8] Аналогичным образом подпространства можно охарактеризовать свойством замкнутости относительно линейных комбинаций. То есть непустое множество W является подпространством тогда и только тогда , когда каждая линейная комбинация конечного числа элементов W также принадлежит W . Эквивалентное определение утверждает, что это также эквивалентно одновременному рассмотрению линейных комбинаций двух элементов.

В топологическом векторном пространстве X подпространство W не обязательно должно быть топологически замкнутым , но конечномерное подпространство всегда замкнуто. ^[9] То же верно и для подпространств конечной коразмерности (т. Е. Подпространств, определяемых конечным числом непрерывных линейных функционалов ).

Описания [ править ]

Описания подпространств включают в себя множество решений для однородной системы линейных уравнений , подмножество евклидова пространства описывается системой однородных линейных параметрических уравнений , в пролете коллекции векторов, и нуль - пространства , пространстве столбцов и строк пространства из матрица . Геометрически (особенно над полем действительных чисел и его подполями) подпространство - это плоскость в n -пространстве, которое проходит через начало координат.

Естественным описанием 1-подпространства является скалярное умножение одного ненулевого вектора v на все возможные скалярные значения. 1-подпространства, заданные двумя векторами, равны тогда и только тогда, когда один вектор может быть получен из другого скалярным умножением:

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {v} '=c\mathbf {v} {\text{ (or }}\mathbf {v} ={\frac {1}{c}}\mathbf {v} '{\text{)}}}$

Эта идея обобщаются для более высоких размерностей с линейной оболочкой , но критерии равенства в к -пространствам определяются множествами K векторов не так просто.

Двойное описание снабжено линейные функционалы (обычно реализуются в виде линейных уравнений). Один ненулевой линейный функционал F задает свое ядерное подпространство F  = 0 коразмерности 1. Подпространства коразмерности 1, заданные двумя линейными функционалами, равны, если и только если один функционал может быть получен из другого скалярным умножением (в двойственном пространстве ) :

${\displaystyle \exists c\in K:\mathbf {F} '=c\mathbf {F} {\text{ (or }}\mathbf {F} ={\frac {1}{c}}\mathbf {F} '{\text{)}}}$

Он обобщается на более высокие коразмерности с помощью системы уравнений . Следующие два подраздела представят это последнее описание в деталях, а остальные четыре подраздела дополнительно описывают идею линейной оболочки.

Системы линейных уравнений [ править ]

Множество решений любой однородной системы линейных уравнений с n переменными является подпространством в координатном пространстве K ⁿ :

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{6}a_{11}x_{1}&&\;+\;&&a_{12}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1n}x_{n}&&\;=0&\\a_{21}x_{1}&&\;+\;&&a_{22}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2n}x_{n}&&\;=0&\\&&&&&&&&&&\vdots \quad &\\a_{m1}x_{1}&&\;+\;&&a_{m2}x_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{mn}x_{n}&&\;=0&\end{alignedat}}\right\}.}$

Например, множество всех векторов ( x ,  y ,  z ) (над действительными или рациональными числами ), удовлетворяющих уравнениям

${\displaystyle x+3y+2z=0\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;2x-4y+5z=0}$

- одномерное подпространство. В более общем плане , то есть сказать , что данный набор п независимых функций, размерность подпространства в K ^к будет размерность нулевого множества из А , композитной матрицы из п функций.

Нулевое пространство матрицы [ править ]

В конечномерном пространстве однородную систему линейных уравнений можно записать как одно матричное уравнение:

${\displaystyle A\mathbf {x} =\mathbf {0} .}$

Набор решений этого уравнения известен как нулевое пространство матрицы. Например, описанное выше подпространство является пустым пространством матрицы

${\displaystyle A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&-4&5\end{bmatrix}}.}$

Каждое подпространство в K ⁿ можно описать как нулевое пространство некоторой матрицы (подробнее см. § Алгоритмы ниже).

Линейные параметрические уравнения [ править ]

Подмножество K ^n, описываемое системой однородных линейных параметрических уравнений, является подпространством:

${\displaystyle \left\{\left[\!\!{\begin{array}{c}x_{1}\\x_{2}\\\vdots \\x_{n}\end{array}}\!\!\right]\in K^{n}:{\begin{alignedat}{7}x_{1}&&\;=\;&&a_{11}t_{1}&&\;+\;&&a_{12}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{1m}t_{m}&\\x_{2}&&\;=\;&&a_{21}t_{1}&&\;+\;&&a_{22}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{2m}t_{m}&\\&&\vdots \;\;&&&&&&&&&&&\\x_{n}&&\;=\;&&a_{n1}t_{1}&&\;+\;&&a_{n2}t_{2}&&\;+\cdots +\;&&a_{nm}t_{m}&\\\end{alignedat}}{\text{ for some }}t_{1},\ldots ,t_{m}\in K\right\}.}$

Например, набор всех векторов ( x ,  y ,  z ), параметризованных уравнениями

${\displaystyle x=2t_{1}+3t_{2},\;\;\;\;y=5t_{1}-4t_{2},\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;z=-t_{1}+2t_{2}}$

является двумерным подпространством K ³ , если K - числовое поле (например, действительные или рациональные числа). ^{[заметка 2]}

Диапазон векторов [ править ]

В линейной алгебре систему параметрических уравнений можно записать как одно векторное уравнение:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x\\y\\z\end{bmatrix}}\;=\;t_{1}\!{\begin{bmatrix}2\\5\\-1\end{bmatrix}}+t_{2}\!{\begin{bmatrix}3\\-4\\2\end{bmatrix}}.}$

Выражение справа называется линейной комбинацией векторов (2, 5, −1) и (3, −4, 2). Говорят, что эти два вектора покрывают полученное подпространство.

В общем случае линейная комбинация векторов v ₁ ,  v ₂ , ...,  v _k - это любой вектор вида

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}.}$

Множество всех возможных линейных комбинаций называется промежутком :

${\displaystyle {\text{Span}}\{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{k}\}=\left\{t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}:t_{1},\ldots ,t_{k}\in K\right\}.}$

Если векторы v ₁ , ...,  v _k имеют n компонент, то их промежуток является подпространством K ⁿ . Геометрически пролет - это плоскость, проходящая через начало координат в n- мерном пространстве, определяемое точками v ₁ , ...,  v _k .

Пример

XZ -плоскость в R ³ могут быть параметрироваться уравнениями

${\displaystyle x=t_{1},\;\;\;y=0,\;\;\;z=t_{2}.}$

Как подпространство, плоскость xz натянута на векторы (1, 0, 0) и (0, 0, 1). Каждый вектор в плоскости xz может быть записан как линейная комбинация этих двух:

${\displaystyle (t_{1},0,t_{2})=t_{1}(1,0,0)+t_{2}(0,0,1){\text{.}}}$

Геометрически это соответствует тому факту, что каждая точка на плоскости xz может быть достигнута из начала координат, сначала перемещаясь на некоторое расстояние в направлении (1, 0, 0), а затем перемещаясь на некоторое расстояние в направлении (0, 0 , 1).

Расстояние между столбцами и строками [ править ]

Система линейных параметрических уравнений в конечномерном пространстве также может быть записана как одно матричное уравнение:

${\displaystyle \mathbf {x} =A\mathbf {t} \;\;\;\;{\text{where}}\;\;\;\;A=\left[{\begin{alignedat}{2}2&&3&\\5&&\;\;-4&\\-1&&2&\end{alignedat}}\,\right]{\text{.}}}$

В этом случае подпространство состоит из всех возможных значений вектора x . В линейной алгебре, это подпространство известно как пространство колонны (или изображения ) матрицы A . Именно подпространство K ^п натянутое на векторы - столбцы A .

Строковое пространство матрицы - это подпространство, натянутое на ее векторы-строки. Строковое пространство интересно тем, что оно является ортогональным дополнением к нулевому пространству (см. Ниже).

Независимость, основа и измерение [ править ]

В общем, подпространство K ^n, определяемое k параметрами (или натянутое на k векторов), имеет размерность k . Однако из этого правила есть исключения. Например, подпространство K ^3, натянутое на три вектора (1, 0, 0), (0, 0, 1) и (2, 0, 3), является просто плоскостью xz , с каждой точкой на плоскости описывается бесконечно большим числом различных значений t ₁ , t ₂ , t ₃ .

В общем случае векторы v ₁ , ...,  v _k называются линейно независимыми, если

${\displaystyle t_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +t_{k}\mathbf {v} _{k}\;\neq \;u_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +u_{k}\mathbf {v} _{k}}$

для ( t ₁ ,  t ₂ , ...,  t _k ) ≠ ( u ₁ ,  u ₂ , ...,  u _k ). ^{[примечание 3]} Если v ₁ , ..., v _k линейно независимы, то координаты t ₁ , ..., t _k для вектора в диапазоне определяются однозначно.

Базис для подпространства S представляет собой набор линейно независимых векторов, пролет S . Количество элементов в базисе всегда равно геометрической размерности подпространства. Любой остовный набор для подпространства можно превратить в базис, удалив избыточные векторы (подробнее см. § Алгоритмы ниже).

Пример

Пусть S - подпространство в R ^4, определяемое уравнениями

${\displaystyle x_{1}=2x_{2}\;\;\;\;{\text{and}}\;\;\;\;x_{3}=5x_{4}.}$

Тогда векторы (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1) являются основой для S . В частности, каждый вектор, удовлетворяющий приведенным выше уравнениям, можно однозначно записать как линейную комбинацию двух базисных векторов:

${\displaystyle (2t_{1},t_{1},5t_{2},t_{2})=t_{1}(2,1,0,0)+t_{2}(0,0,5,1).}$

Подпространство S двумерно. Геометрически это плоскость в R ^4, проходящая через точки (0, 0, 0, 0), (2, 1, 0, 0) и (0, 0, 5, 1).

Операции и отношения над подпространствами [ править ]

Включение [ править ]

Теоретико-множественное включение бинарное отношение задает частичный порядок на множестве всех подпространств (любой размерности).

Подпространство не может лежать ни в каком подпространстве меньшей размерности. Если тусклый  U  =  K , конечное число, а U  ⊂  W , то тусклым  W  =  K тогда и только тогда , когда U  =  W .

Пересечение [ править ]

Указанные подпространства U и W векторного пространства V , то их пересечение U  ∩  W  : = { v  ∈  V  : V  является элементом как U и  W } также подпространство V . ^[10]

Доказательство:

1. Пусть V и W являются элементами U  ∩  W . Тогда V и W принадлежат как U и W . Поскольку U является подпространством, то v  +  ш принадлежит U . Аналогично, так как W есть подпространство, то V  +  ш принадлежит W . Таким образом, v  +  ш принадлежит U  ∩  W .
2. Пусть v принадлежит U  ∩  W , и пусть c - скаляр. Тогда v принадлежит как U и W . Так как U и W подпространства, с v принадлежит как U и  W .
3. Поскольку U и W - векторные пространства, то 0 принадлежит обоим множествам. Таким образом, 0 принадлежит U  ∩  W .

Для каждого векторного пространства V , то множество { 0 } и V сама суть подпространство V . ^{[11] [12]}

Сумма [ править ]

Если U и W подпространства, их сумма равна подпространству

${\displaystyle U+W=\left\{\mathbf {u} +\mathbf {w} \colon \mathbf {u} \in U,\mathbf {w} \in W\right\}.}$^{[13] [14]}

Например, сумма двух линий - это плоскость, которая содержит их обе. Размерность суммы удовлетворяет неравенству

${\displaystyle \max(\dim U,\dim W)\leq \dim(U+W)\leq \dim(U)+\dim(W).}$

Здесь минимум возникает только в том случае, если одно подпространство содержится в другом, а максимум - это самый общий случай. Размер перекрестка и сумма связаны следующим уравнением:

${\displaystyle \dim(U+W)=\dim(U)+\dim(W)-\dim(U\cap W).}$^[15]

Набор подпространств независим, если единственное пересечение между любой парой подпространств - тривиальное подпространство. Прямая сумма является суммой независимых подпространств, написанных , как . Эквивалентным переформулированием является то, что прямая сумма является суммой подпространств при условии, что каждое подпространство вносит вклад в диапазон суммы. ^{[16] [17] [18] [19]}${\displaystyle U\oplus W}$

Размерность прямой суммы такая же, как и у суммы подпространств, но может быть сокращена, поскольку размерность тривиального подпространства равна нулю. ^[20]${\displaystyle U\oplus W}$

$${\displaystyle \dim(U\oplus W)=\dim(U)+\dim(W)}$$

Решетка подпространств [ править ]

Пересечение операций и сумма делают набор всех подпространств ограниченной модульной решеткой , где подпространство {0} , наименьший элемент , является единичным элементом операции суммирования, а идентичное подпространство V , наибольший элемент, является единичным элементом. операции пересечения.

Ортогональные дополнения [ править ]

Если V представляет собой внутреннее пространство продукта и N представляет собой подмножество V , то ортогональное дополнение из N , обозначается , ^[14] снова подпространство. ^[21] Если V конечномерно и N является подпространством, то размерности N и удовлетворяют дополнительному соотношению dim ( N ) + dim ( N ^⊥ ) = dim ( V ) . ^[22] Кроме того, ни один вектор не является ортогональным к себе, так и V является${\displaystyle N^{\bot }}$${\displaystyle N^{\bot }}$${\displaystyle N\cap N^{\perp }=\{0\}}$прямая сумма из N и . ^[23] Применение ортогональных дополнений дважды возвращает исходное подпространственные: для каждого подпространства N . ^[24]${\displaystyle N^{\bot }}$${\displaystyle (N^{\bot })^{\bot }=N}$

Эта операция, понимаемая как отрицание (¬), делает решетку подпространств (возможно, бесконечной ) решеткой с ортодополнениями (хотя и не дистрибутивной решеткой). ^{[ необходима цитата ]}

В пространствах с другими билинейными формами некоторые, но не все эти результаты остаются в силе. В псевдоевклидовых пространств и симплектических векторных пространствах , например, существуют ортогональные дополнения. Однако эти пространства могут иметь нулевые векторы , которые ортогональны сами себе, и, следовательно, существуют подпространства N такие, что . В результате эта операция не превращает решетку подпространств в булеву алгебру (или алгебру Гейтинга ). ^{[ необходима цитата ]}${\displaystyle N\cap N^{\bot }\neq \{0\}}$

Алгоритмы [ править ]

Большинство алгоритмов работы с подпространствами включают сокращение строк . Это процесс применения элементарных операций со строками к матрице, пока она не достигнет либо формы эшелона строк, либо уменьшенной формы эшелона строк . Уменьшение строк имеет следующие важные свойства:

1. Уменьшенная матрица имеет то же пустое пространство, что и исходная.
2. Сокращение строк не изменяет диапазон векторов-строк, то есть сокращенная матрица имеет то же пространство строк, что и исходная.
3. Уменьшение строк не влияет на линейную зависимость векторов-столбцов.

Основа для пространства строки [ править ]

Входной м  ×  п матрица .

Выход Основа для строки пространства A .

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
2. Ненулевые строки вида эшелона являются основой для строки пространства A .

Смотрите статью на строки пространства для примера .

Если вместо этого мы приведем матрицу A к сокращенной форме эшелона строк, то итоговая основа для пространства строк будет определена однозначно. Это обеспечивает алгоритм проверки того, равны ли два пространства строк и, соответственно, равны ли два подпространства в K ⁿ .

Членство в подпространстве [ править ]

Введите A базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S пространства K ⁿ и вектор v с n компонентами.

Выходные данные Определяет, является ли v элементом S

1. Создайте матрицу A ( k  + 1) ×  n , строки которой являются векторами b ₁ , ...,  b _k и v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
3. Если форма эшелона имеет ряд нулей, то векторы { Ь ₁ , ..., б _к , v } линейно зависимы, и , следовательно , v ∈ S .

Основа для пространства столбцов [ править ]

Входной м  ×  п матрица

Выходные данные Основа для пространства столбцов A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в форму эшелона строк.
2. Определите, какие колонны эшелонированной формы имеют шарниры . Соответствующие столбцы исходной матрицы являются основой для пространства столбцов.

См. Статью о пространстве столбцов для примера .

Это создает основу для пространства столбцов, которая является подмножеством исходных векторов столбцов. Это работает, потому что столбцы со сводными точками являются основой для пространства столбцов формы эшелона, а сокращение строк не меняет отношения линейной зависимости между столбцами.

Координаты вектора [ править ]

Введите A базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S в K ⁿ и вектор v ∈ S

Выведите числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k такие, что v = t ₁ b ₁ + ··· + t _k b _k

1. Создайте расширенную матрицу A , столбцы которой равны b ₁ , ..., b _k , а последний столбец - v .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать A в сокращенную форму эшелона строк.
3. Выразите последний столбец приведенной формы эшелона как линейную комбинацию первых k столбцов. Используемые коэффициенты - это желаемые числа t ₁ , t ₂ , ..., t _k . (Это должны быть именно первые k записей в последнем столбце формы сокращенного эшелона.)

Если в последней колонке восстановленной формы строки эшелона содержит стержень, то входной вектор v не лежит в S .

Основа для пустого пространства [ править ]

Входной м  ×  п матрица .

Выходные данные Основание для нулевого пространства A

1. Используйте элементарные операции со строками, чтобы поместить A в сокращенную форму эшелона строк.
2. Используя сокращенную форму эшелона строк, определите, какие из переменных x ₁ , x ₂ , ..., x _n свободны. Напишите уравнения для зависимых переменных в терминах свободных переменных.
3. Для каждой свободной переменной x _i выберите вектор в нулевом пространстве, для которого x _i = 1, а остальные свободные переменные равны нулю. Результирующий набор векторов является базисом для нулевого пространства A .

См. Пример в статье о пустом пространстве .

Основа для суммы и пересечения двух подпространств [ править ]

Учитывая два подпространства U и W в V , базис суммы и пересечения может быть вычислен с использованием алгоритма Цассенхауза${\displaystyle U+W}$${\displaystyle U\cap W}$

Уравнения для подпространства [ править ]

Введите A базис { b ₁ , b ₂ , ..., b _k } для подпространства S в K ⁿ

Выход Ап ( п  -  к ) ×  п матрица, нуль - пространство S .

1. Создайте матрицу A со строками b ₁ , b ₂ , ..., b _k .
2. Используйте элементарные операции со строками, чтобы преобразовать A в сокращенную форму эшелона строк.
3. Пусть c ₁ , c ₂ , ..., c _n - столбцы приведенной формы эшелона строк. Для каждого столбца без поворота напишите уравнение, выражающее столбец как линейную комбинацию столбцов со сводными точками.
4. Это приводит к однородной системе n - k линейных уравнений с переменными c ₁ , ..., c _n . ( П - к ) × п матрица , соответствующая этой системе является искомой матрицей с нуль - пространства S .

Пример

Если приведенная форма эшелона строки A равна

${\displaystyle \left[{\begin{alignedat}{6}1&&0&&-3&&0&&2&&0\\0&&1&&5&&0&&-1&&4\\0&&0&&0&&1&&7&&-9\\0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0&&\;\;\;\;\;0\end{alignedat}}\,\right]}$

то векторы-столбцы c ₁ , ..., c ₆ удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}\mathbf {c} _{3}&=-3\mathbf {c} _{1}+5\mathbf {c} _{2}\\\mathbf {c} _{5}&=2\mathbf {c} _{1}-\mathbf {c} _{2}+7\mathbf {c} _{4}\\\mathbf {c} _{6}&=4\mathbf {c} _{2}-9\mathbf {c} _{4}\end{alignedat}}}$

Отсюда следует, что векторы-строки матрицы A удовлетворяют уравнениям

${\displaystyle {\begin{alignedat}{1}x_{3}&=-3x_{1}+5x_{2}\\x_{5}&=2x_{1}-x_{2}+7x_{4}\\x_{6}&=4x_{2}-9x_{4}.\end{alignedat}}}$

В частности, векторы-строки матрицы A являются базой для нулевого пространства соответствующей матрицы.

См. Также [ править ]

• Циклическое подпространство
• Инвариантное подпространство
• Мультилинейное подпространственное обучение
• Факторное пространство (линейная алгебра)
• Подпространство сигнала
• Топология подпространства

Примечания [ править ]

Цитаты [ править ]

Источники [ править ]

Учебник [ править ]

• Антон, Ховард (2005), Элементарная линейная алгебра (прикладная версия) (9-е изд.), Wiley International
• Акслер, Шелдон Джей (2015). Линейная алгебра, сделанная правильно (3-е изд.). Springer . ISBN 978-3-319-11079-0.
• Beauregard, Raymond A .; Фрали, Джон Б. (1973), Первый курс линейной алгебры: с дополнительным введением в группы, кольца и поля , Бостон: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
• Халмос, Пол Ричард (1974) [1958]. Конечномерные векторные пространства (2-е изд.). Springer . ISBN 0-387-90093-4.
• Хефферон, Джим (2020). Линейная алгебра (4-е изд.). Ортогональное издательство. ISBN 978-1-944325-11-4.
• Херштейн, И. Н. (1964), « Темы алгебры» , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
• Кацнельсон, Ицхак ; Кацнельсон, Йонатан Р. (2008). (Краткое) Введение в линейную алгебру . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4419-9.
• Крейсциг, Эрвин (1972), Advanced Engineering Mathematics (3-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , ISBN 0-471-50728-8
• Лэй, Дэвид К. (22 августа 2005 г.), Линейная алгебра и ее приложения (3-е изд.), Аддисон Уэсли, ISBN 978-0-321-28713-7
• Леон, Стивен Дж. (2006), Линейная алгебра с приложениями (7-е изд.), Пирсон Прентис Холл
• Мейер, Карл Д. (15 февраля 2001 г.), Матричный анализ и прикладная линейная алгебра , Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), ISBN 978-0-89871-454-8, Архивируются с оригинала на 1 марта 2001
• Неринг, Эвар Д. (1970), Линейная алгебра и теория матриц (2-е изд.), Нью-Йорк: Wiley , LCCN  76091646
• Пул, Дэвид (2006), Линейная алгебра: современное введение (2-е изд.), Брукс / Коул, ISBN 0-534-99845-3

Интернет [ править ]

• Вайсштейн, Эрик Вольфганг . «Подпространство» . MathWorld . Дата обращения 16 февраля 2021 .
• «Операторы, связанные с векторным пространством» . Математическое хранилище . Дата обращения 17 февраля 2021 .
• Дюшато, Поль (5 сентября 2002 г.). «Основные факты о гильбертовом пространстве» (PDF) . Государственный университет Колорадо . Дата обращения 17 февраля 2021 .

Внешние ссылки [ править ]

• Стрэнг, Гилберт (7 мая 2009 г.). «Четыре основных подпространства» . Проверено 17 февраля 2021 года - через YouTube .
• Стрэнг, Гилберт (5 мая 2020 г.). «Большая картина линейной алгебры» . Проверено 17 февраля 2021 года - через YouTube .