Перевод (геометрия)

Перевод перемещает каждую точку фигуры или пространства на одинаковую величину в заданном направлении.

Отражение красной формы по отношению к оси с последующим отражением полученной зеленой формы против второй оси , параллельной первой одным приводит к общему движению , которое является переводом красной формы в положение синей формы.

В евклидовой геометрии , А перевод является геометрическим преобразованием , который перемещает каждую точку фигуры или пространств на то же расстояние в заданном направлении. Смещение также можно интерпретировать как добавление постоянного вектора к каждой точке или как сдвиг начала системы координат . В евклидовом пространстве любой перенос - это изометрия .

Как функция [ править ]

Если это фиксированный вектор, известный как вектор перемещения , и это начальная позиция некоторого объекта, тогда функция перевода будет работать как .${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {p}}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {v}} (\ mathbf {p}) = \ mathbf {p} + \ mathbf {v}}$

Если это перевод, то изображение подмножества под функцией является перевод из по . Часто пишут перевод автора .${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle A}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {v}}}$${\ Displaystyle А + \ mathbf {v}}$

Горизонтальные и вертикальные переводы [ править ]

В геометрии , A вертикальное перемещение (также известный как вертикальный сдвиг ) представляет собой перевод геометрического объекта в направлении , параллельном вертикальной оси системы декартовых координат . ^{[1] [2] [3]}

Графики различных первообразных функции f ( x ) = 3 x ²  - 2. Все они являются вертикальными сдвигами друг друга.

Часто для графика функции рассматриваются вертикальные переводы . Если f - любая функция от  x , то график функции f ( x ) +  c (значения которой задаются добавлением константы c к значениям f ) может быть получен путем вертикального переноса графика f ( x ) на расстояние c . По этой причине функция F ( х ) +  с иногда называют вертикальной перевести из F ( х ). ^[4]Например, все первообразные функции отличаются друг от друга константой интегрирования и, следовательно, являются вертикальными преобразованиями друг друга. ^[5]

В функции построения графиков , A горизонтальный перевод является преобразованием , которое приводит к графику , что эквивалентно сдвигу базового графика влево или вправо в направлении х Оу. График переводится на k единиц по горизонтали, перемещая каждую точку на графике на k единиц по горизонтали.

Для базовой функции f ( x ) и константы k функцию, заданную формулой g ( x ) =  f ( x  -  k ), можно набросать на f ( x ) со сдвигом на k единиц по горизонтали.

Если говорить о преобразовании функций в терминах геометрических преобразований, может быть понятнее, почему функции перемещаются по горизонтали именно так. При обращении к переводам на декартовой плоскости естественно вводить переводы в таком виде записи:

${\ displaystyle (x, y) \ rightarrow (x + a, y + b)}$

или же

${\ Displaystyle Т (х, у) = (х + а, y + b)}$

где и - горизонтальные и вертикальные изменения соответственно.${\ displaystyle a}$${\ displaystyle b}$

Пример [ править ]

Взяв параболу y  =  x ² , горизонтальный сдвиг на 5 единиц вправо будет представлен как T (( x , y )) = ( x + 5, y ). Теперь мы должны связать это обозначение преобразования с алгебраическим обозначением. Рассмотрим точку ( a . B ) на исходной параболе, которая перемещается в точку ( c , d ) на перенесенной параболе. Согласно нашему переводу, c = a + 5 и d = b . Точка на исходной параболе была b =а ² . Нашу новую точку можно описать, связав d и c в одном уравнении. b = d и a = c  - 5. Итак, d = b = a ² = ( c - 5) ^2. Поскольку это верно для всех точек нашей новой параболы, новое уравнение y = ( x - 5) ² .

Применение в классической физике [ править ]

В классической физике поступательное движение - это движение, которое изменяет положение объекта, в отличие от вращения . Например, по словам Уиттекера: ^[6]

Если тело перемещается из одной позиции в другую, а если линии , соединяющие начальные и конечные точки каждой из точек тела представляют собой набор параллельных прямых линий длины л , таким образом , что ориентация тела в пространстве Без изменений смещение называется переносом, параллельным направлению линий, на расстояние ℓ .

-  ET Whittaker : Трактат по аналитической динамике частиц и твердых тел , стр. 1

Трансляция - это операция, изменяющая положение всех точек объекта по формуле${\ Displaystyle (х, у, г)}$

${\ displaystyle (x, y, z) \ к (x + \ Delta x, y + \ Delta y, z + \ Delta z)}$

где - один и тот же вектор для каждой точки объекта. Вектор переноса, общий для всех точек объекта, описывает определенный тип смещения объекта, обычно называемый линейным смещением, чтобы отличить его от смещений, связанных с вращением, называемых угловыми смещениями.${\ Displaystyle (\ Delta x, \ \ Delta y, \ \ Delta z)}$${\ Displaystyle (\ Delta x, \ \ Delta y, \ \ Delta z)}$

При рассмотрении пространства-времени изменение временной координаты считается переносом.

Как оператор [ править ]

Оператор сдвига превращает функцию в исходное положение, , в зависимости от конечного положения, . Другими словами, определяется так, что этот оператор является более абстрактным, чем функция, поскольку определяет отношения между двумя функциями, а не самими базовыми векторами. Оператор трансляции может воздействовать на многие виды функций, например, когда оператор трансляции действует на волновую функцию , которая изучается в области квантовой механики.${\ Displaystyle е (\ mathbf {v})}$${\ Displaystyle е (\ mathbf {v} + \ mathbf {\ delta})}$${\ Displaystyle Т _ {\ mathbf {\ delta}}}$${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }f(\mathbf {v} )=f(\mathbf {v} +\mathbf {\delta } ).}$${\displaystyle T_{\mathbf {\delta } }}$

Как группа [ править ]

Множество всех переводов формирует группу перевода , которая изоморфна само пространство, и нормальную подгруппу из группы Евклида . Фактор - группа из по изоморфна ортогональной группе :${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle E(n)}$${\displaystyle E(n)}$${\displaystyle \mathbb {T} }$ ${\displaystyle O(n)}$

${\displaystyle E(n)/\mathbb {T} \cong O(n)}$

Поскольку трансляция коммутативна, группа трансляций абелева . Существует бесконечное количество возможных переводов, поэтому группа переводов - это бесконечная группа .

В теории относительности , из-за того, что пространство и время рассматриваются как единое пространство-время , переводы могут также относиться к изменениям во временной координате . Например, Галилеянин группа и группа Пуанкаре включают переводы по времени.

Группы решеток [ править ]

Одним из видов подгрупп трехмерной группы трансляций являются группы решеток , которые являются бесконечными группами , но, в отличие от групп трансляций, конечно порождены . То есть конечный набор порождает всю группу.

Матричное представление [ править ]

Перевод является аффинным преобразованием с не фиксированными точками . Матричные умножения всегда имеют начало как фиксированную точку. Тем не менее, существует общий обходной путь, использующий однородные координаты для представления перевода векторного пространства с матричным умножением : запишите 3-мерный вектор, используя 4 однородные координаты, как . ^[7]${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z})}$${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{x},v_{y},v_{z},1)}$

Чтобы перевести объект вектором , каждый однородный вектор (записанный в однородных координатах) можно умножить на эту матрицу перевода :${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {p} }$

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}}$

Как показано ниже, умножение даст ожидаемый результат:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }\mathbf {p} ={\begin{bmatrix}1&0&0&v_{x}\\0&1&0&v_{y}\\0&0&1&v_{z}\\0&0&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}p_{x}\\p_{y}\\p_{z}\\1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}p_{x}+v_{x}\\p_{y}+v_{y}\\p_{z}+v_{z}\\1\end{bmatrix}}=\mathbf {p} +\mathbf {v} }$

Обратную матрицу перевода можно получить, изменив направление вектора на противоположное:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }^{-1}=T_{-\mathbf {v} }.\!}$

Точно так же продукт матриц перевода получается путем сложения векторов:

${\displaystyle T_{\mathbf {v} }T_{\mathbf {w} }=T_{\mathbf {v} +\mathbf {w} }.\!}$

Поскольку сложение векторов коммутативно , умножение матриц трансляции также коммутативно (в отличие от умножения произвольных матриц).

Перевод осей [ править ]

Хотя геометрическое перемещение часто рассматривается как активный процесс, который изменяет положение геометрического объекта, аналогичный результат может быть достигнут с помощью пассивного преобразования, которое перемещает саму систему координат, но оставляет объект неподвижным. Пассивный вариант активного геометрического переноса известен как перенос осей .

Трансляционная симметрия [ править ]

Считается, что объект, который выглядит одинаково до и после трансляции, обладает трансляционной симметрией . Типичный пример - периодические функции , которые являются собственными функциями оператора сдвига.

См. Также [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме перевода (геометрия) .

• Преобразование трансляции в разорванном узле
• Геометрический перевод (интерактивная анимация) в Math Is Fun
• Понимание 2D-перевода и Понимание 3D-перевода Роджера Гермундссона, The Wolfram Demonstrations Project .

Ссылки [ править ]

• Зазкис, Р., Лильедал, П., и Гадовски, К. Концепции трансляции функций: препятствия, интуиция и изменение маршрута. Journal of Mathematical Behavior, 22, 437-450. Получено 29 апреля 2014 г. с сайта www.elsevier.com/locate/jmathb.
• Преобразования графов: горизонтальные переводы . (2006, 1 января). Биоматематика: преобразование графиков. Проверено 29 апреля 2014 г.