В геометрии , A система координат представляет собой систему , которая использует один или несколько чисел , или координаты , чтобы однозначно определить положение из точек или других геометрических элементов на многообразии таких как евклидовом пространстве . [1] [2] Порядок координат имеет значение, и иногда они идентифицируются по их положению в упорядоченном кортеже, а иногда по букве, как в « координате x ». Координаты берется действительные числа в элементарной математике , но могут быть комплексными числамиили элементы более абстрактной системы, такой как коммутативное кольцо . Использование системы координат позволяет преобразовать геометрические задачи в задачи о числах и наоборот ; это основа аналитической геометрии . [3]
Общие системы координат [ править ]
Числовая строка [ править ]
Простейшим примером системы координат является идентификация точек на прямой с действительными числами с помощью числовой прямой . В этой системе на заданной прямой выбирается произвольная точка O (начало координат ). Координата точки P определяется как расстояние со знаком от O до P , где расстояние со знаком - это расстояние, принимаемое как положительное или отрицательное, в зависимости от того, с какой стороны лежит линия P. Каждой точке дается уникальная координата, и каждое действительное число является координатой уникальной точки. [4]
Декартова система координат [ править ]
Прототипным примером системы координат является декартова система координат . На плоскости выбираются две перпендикулярные линии, и координаты точки принимаются в качестве расстояний до линий со знаком.
В трех измерениях выбираются три взаимно ортогональные плоскости, и три координаты точки являются расстояниями со знаком до каждой из плоскостей. [5] Это можно обобщить, чтобы создать n координат для любой точки n- мерного евклидова пространства.
В зависимости от направления и порядка осей координат трехмерная система может быть правосторонней или левосторонней. Это одна из многих систем координат.
Система полярных координат [ править ]
Другой распространенной системой координат для плоскости является полярная система координат . [6] В качестве полюса выбирается точка, а луч из этой точки берется за полярную ось . Для заданного угла θ через полюс проходит одна линия, угол которой с полярной осью равен θ (измеряется против часовой стрелки от оси к прямой). Тогда на этой линии есть единственная точка, расстояние со знаком которой от начала координат равно r для данного числа r . Для данной пары координат ( r , θ) существует одна точка, но любая точка представлена множеством пар координат. Например, ( r , θ), ( r , θ + 2π) и (- r, θ + π) - полярные координаты одной и той же точки. Полюс обозначается (0, θ) для любого значения θ.
Цилиндрическая и сферическая системы координат [ править ]
Есть два распространенных метода расширения полярной системы координат до трех измерений. В системе цилиндрических координат , A г координата с тем же значением , как и в декартовой системе координат добавляется к г и & thetas ; в полярных координатах , давая тройную ( г , & thetas , г ). [7] Сферические координаты делают еще один шаг вперед, преобразовывая пару цилиндрических координат ( r , z ) в полярные координаты ( ρ , φ ), давая тройку ( ρ , θ , φ ). [8]
Однородная система координат [ править ]
Точка на плоскости может быть представлена в однородных координатах тройкой ( x , y , z ), где x / z и y / z - декартовы координаты точки. [9] Это вводит «дополнительную» координату, поскольку для определения точки на плоскости нужны только две, но эта система полезна тем, что представляет любую точку на проективной плоскости без использования бесконечности . В общем, однородная система координат - это система, в которой важны только отношения координат, а не фактические значения.
Другие часто используемые системы [ править ]
Вот некоторые другие общие системы координат:
- Криволинейные координаты - это обобщение систем координат в целом; система основана на пересечении кривых.
- Ортогональные координаты : координатные поверхности пересекаются под прямым углом
- Наклонные координаты : координатные поверхности не ортогональны
- Лог-полярная система координат представляет собой точку в плоскости по логарифму расстояния от начала координат и углом , измеренного от базисной линии , пересекающего начала координат.
- Координаты Плюккера - это способ представления линий в трехмерном евклидовом пространстве с использованием набора из шести чисел в качестве однородных координат .
- Обобщенные координаты используются в лагранжевой трактовке механики.
- Канонические координаты используются в гамильтоновой трактовке механики.
- Барицентрическая система координат, используемая для троичных графиков и в более общем плане при анализе треугольников .
- Трилинейные координаты используются в контексте треугольников.
Существуют способы описания кривых без координат с использованием внутренних уравнений , в которых используются инвариантные величины, такие как кривизна и длина дуги . К ним относятся:
- Уравнение Уэвелла связывает длину дуги и тангенциальный угол .
- Уравнение Чезаро связывает длину дуги и кривизну.
Координаты геометрических объектов [ править ]
Системы координат часто используются для определения положения точки, но они также могут использоваться для определения положения более сложных фигур, таких как линии, плоскости, круги или сферы. Например, координаты Плюккера используются для определения положения линии в пространстве. [10] При необходимости тип описываемого рисунка используется для различения типа системы координат, например, термин « координаты линии» используется для любой системы координат, которая определяет положение линии.
Может оказаться, что системы координат для двух разных наборов геометрических фигур эквивалентны с точки зрения их анализа. Примером этого являются системы однородных координат точек и прямых на проективной плоскости. Две системы в подобном случае называются дуалистическими . Дуалистические системы обладают тем свойством, что результаты одной системы могут быть перенесены в другую, поскольку эти результаты представляют собой лишь разные интерпретации одного и того же аналитического результата; это известно как принцип двойственности . [11]
Преобразования [ править ]
Поскольку для описания геометрических фигур часто существует множество различных возможных систем координат, важно понимать, как они связаны. Такие отношения описываются преобразованиями координат, которые дают формулы для координат в одной системе через координаты в другой системе. Например, на плоскости, если декартовы координаты ( x , y ) и полярные координаты ( r , θ ) имеют одно и то же начало, а полярная ось является положительной осью x , то преобразование координат из полярных в декартовы координаты задается следующим образом: x = r cos θ и y = r грех θ .
С каждой биекцией из пространства в себя могут быть связаны два преобразования координат:
- таким образом, чтобы новые координаты изображения каждой точки были такими же, как старые координаты исходной точки (формулы для сопоставления являются обратными формулам для преобразования координат)
- таким образом, что старые координаты изображения каждой точки совпадают с новыми координатами исходной точки (формулы для сопоставления такие же, как и для преобразования координат)
Например, в 1D , если отображение является сдвигом 3 вправо, первое перемещает начало координат от 0 до 3, так что координата каждой точки становится на 3 меньше, а второе перемещает начало координат от 0 до −3. , так что координата каждой точки станет на 3 больше.
Координатные линии / кривые и плоскости / поверхности [ править ]
В двух измерениях, если одна из координат в системе координат точки остается постоянной, а другая координата может изменяться, то результирующая кривая называется координатной кривой . В декартовой системе координат координатные кривые на самом деле являются прямыми линиями , то есть координатными линиями . В частности, это линии, параллельные одной из осей координат. Для других систем координат кривые координат могут быть кривыми общего вида. Например, координатные кривые в полярных координатах, полученные при постоянном r, представляют собой окружности с центром в начале координат. Система координат, для которой некоторые кривые координат не являются линиями, называется криволинейной системой координат . [12]Эта процедура не всегда имеет смысл, например, нет координатных кривых в однородной системе координат .
В трехмерном пространстве, если одна координата остается постоянной, а две другие могут изменяться, то результирующая поверхность называется координатной поверхностью . Например, координатные поверхности, полученные при постоянном значении ρ в сферической системе координат, представляют собой сферы с центром в начале координат. В трехмерном пространстве пересечение двух координатных поверхностей представляет собой координатную кривую. В декартовой системе координат мы можем говорить о координатных плоскостях .
Точно так же координатные гиперповерхности - это ( n - 1) -мерные пространства, полученные в результате фиксации единственной координаты n- мерной системы координат. [13]
Координатные карты [ править ]
Концепция координатной карты или координатной карты занимает центральное место в теории многообразий. Координатная карта - это, по сути, система координат для подмножества данного пространства, обладающая тем свойством, что каждая точка имеет ровно один набор координат. Точнее, координатное отображение - это гомеоморфизм открытого подмножества пространства X в открытое подмножество R n . [14] Часто невозможно обеспечить единую согласованную систему координат для всего пространства. В этом случае набор координатных карт составляется в атлас, покрывающий пространство. Пространство, снабженное таким атласом, называется многообразиеми дополнительная структура может быть определена на многообразии, если структура согласована, где карты координат перекрываются. Например, дифференцируемое многообразие - это многообразие, в котором изменение координат от одного координатного отображения к другому всегда является дифференцируемой функцией.
Координаты на основе ориентации [ править ]
В геометрии и кинематике системы координат используются для описания (линейного) положения точек и углового положения осей, плоскостей и твердых тел . [15] В последнем случае ориентация второй (обычно называемой «локальной») системы координат, привязанной к узлу, определяется на основе первой (обычно называемой «глобальной» или «мировой» системой координат. ). Например, ориентация твердого тела может быть представлена матрицей ориентации , которая включает в свои три столбца декартовы координаты трех точек. Эти точки используются для определения ориентации осей локальной системы;они подсказки трехединичные векторы, выровненные с этими осями.
См. Также [ править ]
- Абсолютный угловой момент
- Буквенно-цифровая сетка
- Соглашения об осях в машиностроении
- Система небесных координат
- Без координат
- Дробные координаты
- Точка зрения
- Преобразование Галилея
- Ссылка на сетку
- Номограмма , графические изображения различных систем координат
- Вращение осей
- Перевод осей
Релятивистские системы координат [ править ]
- Координаты Эддингтона – Финкельштейна
- Гауссовы полярные координаты
- Координаты Гуллстранда – Пенлеве
- Изотропные координаты
- Координаты Крускала – Секереса
- Координаты Шварцшильда
Ссылки [ править ]
Цитаты [ править ]
- ^ Вудс стр. 1
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Система координат» . MathWorld .
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Координаты» . MathWorld .
- ^ Стюарт, Джеймс Б .; Редлин, Лотар; Уотсон, Салим (2008). Колледж алгебры (5-е изд.). Брукс Коул . С. 13–19. ISBN 978-0-495-56521-5.
- Перейти ↑ Moon P, Spencer DE (1988). «Прямоугольные координаты (x, y, z)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е, 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 9–11 (Таблица 1.01). ISBN 978-0-387-18430-2.
- ^ Финни, Росс; Джордж Томас; Франклин Демана; Берт Уэйтс (июнь 1994 г.). Исчисление: графическое, числовое, алгебраическое (версия с одной переменной). ISBN издательства Addison-Wesley Publishing Co. 0-201-55478-X.
- ^ Маргенау, Генри ; Мерфи, Джордж М. (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. п. 178 . ISBN 978-0-88275-423-9. LCCN 55010911 . OCLC 3017486 .
- ^ Морзе PM , Фешбы H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN 52011515 .
- ^ Джонс, Альфред Клемент (1912). Введение в алгебраическую геометрию . Кларендон.
- ^ Ходж, WVD ; Д. Педо (1994) [1947]. Методы алгебраической геометрии, Том I (Книга II) . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46900-5.
- ^ Вудс стр. 2
- Перейти ↑ Tang, KT (2006). Математические методы для инженеров и ученых . 2 . Springer. п. 13. ISBN 3-540-30268-9.
- ^ Лисейкин, Владимир Дмитриевич (2007). Вычислительный подход дифференциальной геометрии к построению сетки . Springer. п. 38. ISBN 978-3-540-34235-9.
- ^ Манкрес, Джеймс Р. (2000) топологии . Прентис Холл. ISBN 0-13-181629-2 .
- ^ Ханспетер Шауб; Джон Л. Джанкинс (2003). «Кинематика жесткого тела» . Аналитическая механика космических систем . Американский институт аэронавтики и астронавтики. п. 71. ISBN 1-56347-563-4.
Источники [ править ]
- Войцеховский М.И.; Иванов, А.Б. (2001) [1994], «Координаты» , Математическая энциклопедия , EMS Press
- Вудс, Фредерик С. (1922). Высшая геометрия . Ginn and Co., стр. 1 и далее.
- Шигеюки Морита; Теруко Нагасе; Кацуми Номидзу (2001). Геометрия дифференциальных форм . Книжный магазин AMS. п. 12. ISBN 0-8218-1045-6.
Внешние ссылки [ править ]
 | Найдите систему координат или координаты в Викисловаре, бесплатном словаре. |
 | Викискладе есть медиафайлы, связанные с системами координат . |
- Гексагональные системы координат
