Сферическая система координат

Сферические координаты ( r , θ , φ ), обычно используемые в физике ( соглашение ISO 80000-2: 2019 ): радиальное расстояние r (расстояние до начала координат), полярный угол θ ( тета ) (угол относительно полярной оси) и азимутальный угол φ ( фи ) (угол поворота от плоскости начального меридиана). Вместо r часто используется символ ρ ( rho ) .

Сферические координаты ( r , θ , φ ), часто используемые в математике : радиальное расстояние r , азимутальный угол θ и полярный угол φ . Значения θ и φ поменялись местами по сравнению с обычаями физики. Как и в физике, вместо r часто используется ρ ( rho ) , чтобы избежать путаницы со значением r в цилиндрических и двумерных полярных координатах.

Глобус, показывающий радиальное расстояние, полярный угол и азимутальный угол точки P по отношению к единичной сфере , в математическом соглашении. На этом изображении r равно 4/6, θ равно 90 °, а φ равно 30 °.

В математике , А система сферических координат представляет собой систему координат для трехмерного пространства , где положение точки задается тремя числами: радиальное расстояние от этой точки от фиксированного происхождения, его полярный угол , отсчитываемый от фиксированного зенитного направлении, и азимутальный угол его ортогональной проекции на опорную плоскости , которая проходит через начало координат и перпендикулярен к зениту, измеренный от фиксированного опорного направления на этой плоскости. Его можно рассматривать как трехмерную версию полярной системы координат .

Радиальное расстояние также называется радиусом или радиальной координатой . Полярный угол можно назвать широтой , зенитным углом , нормальным углом или углом наклона .

Использование символов и порядок координат различаются в зависимости от источников и дисциплин. В этой статье будет использоваться стандарт ISO ^[1], часто встречающийся в физике: указываются радиальное расстояние, полярный угол и азимутальный угол. Во многих книгах по математике, или дает радиальное расстояние, азимутальный угол и полярный угол, меняя значения θ и φ . Также используются другие условные обозначения, такие как r для радиуса от оси z , поэтому необходимо очень внимательно проверять значение символов. ${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$${\ displaystyle (\ rho, \ theta, \ varphi)}$${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$

Согласно правилам географических систем координат , позиции измеряются по широте, долготе и высоте (высоте). Существует ряд систем небесных координат, основанных на разных фундаментальных плоскостях и с разными терминами для разных координат. Сферические системы координат, используемые в математике, обычно используют радианы, а не градусы, и измеряют азимутальный угол против часовой стрелки от оси x к оси y, а не по часовой стрелке с севера (0 °) на восток (+ 90 °), как в горизонтальной системе координат. . ^[2] Полярный угол часто заменяют наУгол возвышения, измеренный от базовой плоскости, так что нулевой угол возвышения находится на горизонте.

Сферическая система координат обобщает двумерную полярную систему координат. Ее также можно распространить на пространства более высокой размерности, и тогда ее называют гиперсферической системой координат .

Определение [ править ]

Чтобы определить сферическую систему координат, нужно выбрать два ортогональных направления: зенит и азимут , а также исходную точку в пространстве. Эти варианты определяют базовую плоскость, которая содержит начало координат и перпендикулярна зениту. Затем сферические координаты точки P определяются следующим образом:

• Радиус или радиальное расстояние является евклидово расстояние от начала координат O до P .
• Наклона (или полярный угол ) представляет собой угол между направлением зенита и отрезком OP .
• Азимута (или азимутальный угол ) является подписанным углом , отсчитываемым от опорного азимута направления к ортогональной проекции отрезки OP на опорной плоскости.

Знак азимута определяется выбором положительного смысла поворота вокруг зенита. Этот выбор является произвольным и является частью определения системы координат.

Высота угол составляет 90 градусов (π/2 радианы) минус угол наклона.

Если наклон равен нулю или 180 градусов ( π радиан), азимут может быть произвольным. Если радиус равен нулю, азимут и наклон являются произвольными.

В линейной алгебре , то вектор из начала координат О в точке Р часто называют вектор положения из P .

Соглашения [ править ]

Существует несколько различных соглашений для представления трех координат и порядка, в котором они должны быть записаны. Использование для обозначения радиального расстояния, наклона (или возвышения) и азимута, соответственно, является обычной практикой в ​​физике и определено стандартом ISO 80000-2: 2019 и ранее в ISO 31-11 (1992).${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$

Однако некоторые авторы (включая математиков) используют ρ для радиального расстояния, φ для наклона (или возвышения) и θ для азимута, а r для радиуса от оси z , что «обеспечивает логическое расширение обычного обозначения полярных координат». ^[3] Некоторые авторы могут также указать азимут перед наклоном (или возвышением). Некоторые комбинации этих вариантов дают левую систему координат. Стандартное соглашение противоречит обычным обозначениям для двумерных полярных координат и трехмерных цилиндрических координат , где θ${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$часто используется для азимута. ^[3]

Углы обычно измеряются в градусах (°) или радианах (рад), где 360 ° = 2 π рад. Степени чаще всего используются в географии, астрономии и инженерии, тогда как радианы обычно используются в математике и теоретической физике. Единица измерения радиального расстояния обычно определяется контекстом.

Когда система используются для физического трехмерного пространства, принято использовать положительный знак для азимутальных углов, которые измеряются в том смысле , против часовой стрелки от опорного направления на опорной плоскости, как видно из зенитной стороны плоскости. Это соглашение используется, в частности, для географических координат, где «зенитное» направление - север, а положительные углы азимута (долготы) измеряются на восток от некоторого нулевого меридиана .

Основные соглашения

координаты	соответствующие местные географические направления ( Z , X , Y )	правый / левый
( r , θ inc , φ az, вправо )	( U , S , E )	верно
( r , φ az, вправо , θ el )	( U , E , N )	верно
( r , θ el , φ az, вправо )	( U , N , E )	оставили

Примечание: восточное ( E ), северное ( N ), восходящее ( U ). Местный азимутальный угол будет измеряться, например, против часовой стрелки от S до E в случае ( U , S , E ) .

Уникальные координаты [ править ]

Любой сферический триплет координат задает единственную точку трехмерного пространства. С другой стороны, каждая точка имеет бесконечно много эквивалентных сферических координат. Можно добавить или вычесть любое количество полных оборотов к любой угловой мере без изменения самих углов и, следовательно, без изменения точки. Также во многих контекстах удобно разрешать отрицательные радиальные расстояния с условием, эквивалентным для любых r , θ и φ . Более того, эквивалентно .${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$${\ displaystyle (-r, \ theta, \ varphi)}$${\ Displaystyle (г, \ тета, \ varphi)}$${\ Displaystyle (г, - \ тета, \ varphi)}$${\ displaystyle (г, \ theta, \ varphi {+} 180 ^ {\ circ})}$

Если необходимо определить уникальный набор сферических координат для каждой точки, необходимо ограничить их диапазоны. Обычный выбор

г ≥ 0,

0 ° ≤ θ ≤ 180 ° (π рад),

0 ° ≤ φ <360 ° (2π рад).

Однако азимут φ часто ограничивается интервалом (−180 °, + 180 °] или (- π , + π ] в радианах вместо [0, 360 °) . Это стандартное соглашение для географической долготы.

Диапазон [0 °, 180 °] для наклона эквивалентен [-90 °, + 90 °] для высоты (широты).

Даже с этими ограничениями, если θ составляет 0 ° или 180 ° (угол места 90 ° или -90 °), тогда азимутальный угол является произвольным; а если r равно нулю, и азимут, и наклон / угол места являются произвольными. Чтобы сделать координаты уникальными, можно использовать соглашение, согласно которому в этих случаях произвольные координаты равны нулю.

Сюжет [ править ]

Чтобы построить точку от своих сферических координат ( г , θ , ф ) , где θ является наклон, перемещение г единиц от начала координат в направлении зенитного, вращение & thetas относительно начала координат в направлении азимутального опорного направления, и вращении ф о зенит в правильном направлении.

Приложения [ править ]

Географическая система координат использует азимут и высоту сферической системы , чтобы выразить места на Земле координаты, называя их соответственно долготой и широтой . Так же, как двумерная декартова система координат полезна на плоскости, двумерная сферическая система координат полезна на поверхности сферы. В этой системе сфера считается единичной сферой, поэтому радиус равен единице и, как правило, им можно пренебречь. Это упрощение также может быть очень полезным при работе с такими объектами, как матрицы вращения .

Сферические координаты полезны при анализе систем, обладающих некоторой степенью симметрии относительно точки, таких как объемные интегралы внутри сферы, поле потенциальной энергии, окружающее концентрированную массу или заряд, или глобальное моделирование погоды в атмосфере планеты. Сфера, которая имеет декартово уравнение x ² + y ² + z ² = c ^2, имеет простое уравнение r = c в сферических координатах.

Два важного уравнение в частных производных, которые возникают во многих физических задачах, уравнение Лапласа и уравнение Гельмгольца , позволяют разделение переменных в сферических координатах. Угловые части решений таких уравнений имеют форму сферических гармоник .

Другое применение - эргономичный дизайн, где r - длина руки стоящего человека, а углы описывают направление руки, когда она протягивается.

Трехмерное моделирование выходных паттернов громкоговорителей можно использовать для прогнозирования их характеристик. Требуется ряд полярных диаграмм, снятых с широким выбором частот, поскольку диаграмма сильно меняется с частотой. Полярные графики помогают показать, что многие громкоговорители имеют тенденцию к всенаправленности на более низких частотах.

Сферическая система координат также обычно используется при разработке 3D- игр для поворота камеры вокруг позиции игрока ^{[ необходима ссылка ]} .

По географии [ править ]

В первом приближении в географической системе координат вместо наклона используется угол места (широта) в градусах к северу от плоскости экватора в диапазоне -90 ° ≤ φ ≤ 90 ° . Широта - это либо геоцентрическая широта , измеренная в центре Земли и обозначаемая по-разному с помощью ψ , q , φ ′, φ _c , φ _g, либо геодезическая широта , измеренная местной вертикалью наблюдателя и обычно обозначаемая φ . Азимутальный угол (долгота), обычно обозначаемый λ, Измеряется в градусах к востоку или западу от некоторого обычного опорного меридиана (наиболее обычно является опорный меридиан ), поэтому его домен -180 ° & le ; А , & le ; 180 & deg ; . Для положений на Земле или другом твердом небесном теле плоскостью отсчета обычно считается плоскость, перпендикулярная оси вращения .

Полярный угол, который составляет 90 ° минус широта и колеблется от 0 до 180 °, в географии называется широтой .

Вместо радиального расстояния, географы обычно используют высоту выше или ниже некоторой опорной поверхности, которая может быть на уровне моря или «средний» уровень поверхности для планет без жидкого океана. Радиальное расстояние г может быть вычислен с высоты, добавив средний радиус опорной поверхности планеты, что составляет примерно 6360 ± 11 км (3952 ± 7 миль) для Земли.

Однако современные географические системы координат довольно сложны, и положения, подразумеваемые этими простыми формулами, могут быть ошибочными на несколько километров. Точные стандартные значения широты, долготы и высоты в настоящее время определены Всемирной геодезической системой (WGS) и принимают во внимание сглаживание Земли на полюсах (около 21 км или 13 миль) и многие другие детали.

В астрономии [ править ]

В астрономии существует серия сферических систем координат, которые измеряют угол места с разных фундаментальных плоскостей . Этими опорными плоскостями являются горизонт наблюдателя , небесный экватор (определяемый вращением Земли), плоскость эклиптики (определяемая орбитой Земли вокруг Солнца ), плоскость ограничителя земли (нормальная к мгновенному направлению на Солнце ), и галактический экватор (определяемый вращением Млечного Пути ).

Преобразование системы координат [ править ]

Поскольку сферическая система координат является лишь одной из многих трехмерных систем координат, существуют уравнения для преобразования координат между сферической системой координат и другими.

Декартовы координаты [ править ]

Сферические координаты точки в соответствии с соглашением ISO (т.е. для физики: радиус r , наклон θ , азимут φ ) могут быть получены из ее декартовых координат ( x , y , z ) по формулам

${\ displaystyle {\ begin {align} r & = {\ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}, \\\ theta & = \ arccos {\ frac {z} { \ sqrt {x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}}} = \ arccos {\ frac {z} {r}} = \ arctan {\ frac {\ sqrt {x ^ {2 } + y ^ {2}}} {z}}, \\\ varphi & = \ operatorname {arctan} (y / x). \ end {выравнивается}}}$

Обратной касательной обозначается в φ = агсу/Иксдолжен быть соответствующим образом определен с учетом правильного квадранта ( x , y ) . См. Статью на atan2 .

В качестве альтернативы преобразование можно рассматривать как два последовательных преобразования прямоугольника в полярные координаты: первое в декартовой плоскости xy из ( x , y ) в ( R , φ ) , где R - проекция r на плоскость xy , и второй в декартовой zR- плоскости от ( z , R ) до ( r , θ ) . Правильные квадранты для φ и θ подразумеваются правильностью преобразования плоского прямоугольного в полярное.

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одно и то же начало, что сферическая плоскость отсчета - это декартова плоскость xy , что θ - это наклон от направления z , и что азимутальные углы отсчитываются от декартовой оси x (так что ось y имеет φ = + 90 ° ). Если θ измеряет высоту от базовой плоскости, а не наклон от зенита, arccos выше становится arcsin, а cos θ и sin θ ниже переключаются.

И наоборот, декартовы координаты могут быть получены из сферических координат ( радиус r , наклон θ , азимут φ ), где r ∈ [0, ∞) , θ ∈ [0, π] , φ ∈ [0, 2π) , с помощью

${\ displaystyle {\ begin {align} x & = r \ sin \ theta \, \ cos \ varphi, \\ y & = r \ sin \ theta \, \ sin \ varphi, \\ z & = r \ cos \ theta. \ конец {выровнен}}}$

Цилиндрические координаты [ править ]

Цилиндрические координаты ( осевой радиус ρ , азимут φ , высота z ) могут быть преобразованы в сферические координаты ( центральный радиус r , наклон θ , азимут φ ) по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}r&={\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}},\\\theta &=\arctan {\frac {\rho }{z}}=\arccos {\frac {z}{\sqrt {\rho ^{2}+z^{2}}}},\\\varphi &=\varphi .\end{aligned}}}$

И наоборот, сферические координаты могут быть преобразованы в цилиндрические координаты по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}\rho &=r\sin \theta ,\\\varphi &=\varphi ,\\z&=r\cos \theta .\end{aligned}}}$

Эти формулы предполагают, что две системы имеют одну и ту же точку начала координат и одну и ту же плоскость отсчета, измеряют азимутальный угол φ в одних и тех же смыслах от одной и той же оси, и что сферический угол θ представляет собой наклон от цилиндрической оси z .

Измененные сферические координаты [ править ]

Также возможно работать с эллипсоидами в декартовых координатах, используя модифицированную версию сферических координат.

Пусть P - эллипсоид, заданный набором уровней

${\displaystyle ax^{2}+by^{2}+cz^{2}=d.}$

Модифицированные сферические координаты точки в P в соответствии с соглашением ISO (т.е. для физики: радиус r , наклон θ , азимут φ ) могут быть получены из ее декартовых координат ( x , y , z ) по формулам

${\displaystyle {\begin{aligned}x&={\frac {1}{\sqrt {a}}}r\sin \theta \,\cos \varphi ,\\y&={\frac {1}{\sqrt {b}}}r\sin \theta \,\sin \varphi ,\\z&={\frac {1}{\sqrt {c}}}r\cos \theta ,\\r^{2}&=ax^{2}+by^{2}+cz^{2}.\end{aligned}}}$

Бесконечно малый элемент объема задается формулой

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|\,dr\,d\theta \,d\varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ={\frac {1}{\sqrt {abc}}}r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega .}$

Коэффициент квадратного корня происходит из свойства определителя, которое позволяет извлекать константу из столбца:

${\displaystyle {\begin{vmatrix}ka&b&c\\kd&e&f\\kg&h&i\end{vmatrix}}=k{\begin{vmatrix}a&b&c\\d&e&f\\g&h&i\end{vmatrix}}.}$

Интегрирование и дифференцирование в сферических координатах [ править ]

Следующие уравнения (Iyanaga 1977) предполагают, что ширина θ - это наклон от оси z (полярной) (неоднозначно, поскольку x , y и z взаимно нормальны), как в обсуждаемом физическом соглашении.

Элемент линии для бесконечно малого смещения от ( r , θ , φ ) к ( r + d r , θ + d θ , φ + d φ ) равен

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\mathrm {d} r\,{\hat {\mathbf {r} }}+r\,\mathrm {d} \theta \,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\sin {\theta }\,\mathrm {d} \varphi \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}{\hat {\mathbf {r} }}&=\sin \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\sin \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}+\cos \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\theta }}}&=\cos \theta \cos \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \theta \sin \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}-\sin \theta \,{\hat {\mathbf {z} }},\\{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}&=-\sin \varphi \,{\hat {\mathbf {x} }}+\cos \varphi \,{\hat {\mathbf {y} }}\end{aligned}}}$

- локальные ортогональные единичные векторы в направлениях увеличения r , θ и φ соответственно, а x̂ , ŷ и ẑ - единичные векторы в декартовых координатах. Линейное преобразование в эту правую координатную тройку представляет собой матрицу вращения ,

${\displaystyle R={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &\sin \theta \sin \varphi &\cos \theta \\\cos \theta \cos \varphi &\cos \theta \sin \varphi &-\sin \theta \\-\sin \varphi &\cos \varphi &0\end{pmatrix}}.}$

Общий вид формулы для доказательства дифференциального линейного элемента: ^[4]

${\displaystyle \mathrm {d} \mathbf {r} =\sum _{i}{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|{\frac {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}{\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|}}\,\mathrm {d} x_{i}=\sum _{i}\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial x_{i}}}\right|\,\mathrm {d} x_{i}\,{\hat {\boldsymbol {x}}}_{i},}$

то есть изменение разбивается на отдельные изменения, соответствующие изменениям отдельных координат. ${\displaystyle \mathbf {r} }$

Чтобы применить это к настоящему случаю, необходимо вычислить, как изменяется каждая из координат. В используемых соглашениях ${\displaystyle \mathbf {r} }$

${\displaystyle \mathbf {r} ={\begin{bmatrix}r\sin \theta \,\cos \varphi \\r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\cos \theta \end{bmatrix}}.}$

Таким образом,

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}={\begin{bmatrix}\sin \theta \,\cos \varphi \\\sin \theta \,\sin \varphi \\\cos \theta \end{bmatrix}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}={\begin{bmatrix}r\cos \theta \,\cos \varphi \\r\cos \theta \,\sin \varphi \\-r\sin \theta \end{bmatrix}},\quad {\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}={\begin{bmatrix}-r\sin \theta \,\sin \varphi \\r\sin \theta \,\cos \varphi \\0\end{bmatrix}}.}$

Искомые коэффициенты - это величины этих векторов: ^[4]

${\displaystyle \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial r}}\right|=1,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \theta }}\right|=r,\quad \left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial \varphi }}\right|=r\sin \theta .}$

Элемент поверхности, охватывающий от θ до θ + d θ и от φ до φ + d φ на сферической поверхности с (постоянным) радиусом r , тогда равен

${\displaystyle \mathrm {d} S_{r}=\left\|{\frac {\partial r{\hat {\mathbf {r} }}}{\partial \theta }}\times {\frac {\partial r{\hat {\mathbf {r} }}}{\partial \varphi }}\right\|\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$

Таким образом, дифференциальный телесный угол равен

${\displaystyle \mathrm {d} \Omega ={\frac {\mathrm {d} S_{r}}{r^{2}}}=\sin \theta \,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi .}$

Элемент поверхности на поверхности с константой полярного угла θ (конус с вершиной в начале координат) равен

${\displaystyle \mathrm {d} S_{\theta }=r\sin \theta \,\mathrm {d} \varphi \,\mathrm {d} r.}$

Элемент поверхности на поверхности с постоянным азимутом φ (вертикальная полуплоскость) равен

${\displaystyle \mathrm {d} S_{\varphi }=r\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta .}$

Элемент объема охватывающий от г до г + D г , θ к θ + D θ и φ к φ + D φ задается определителем из матрицы Якоби в частных производных ,

${\displaystyle J={\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}={\begin{pmatrix}\sin \theta \cos \varphi &r\cos \theta \cos \varphi &-r\sin \theta \sin \varphi \\\sin \theta \sin \varphi &r\cos \theta \sin \varphi &r\sin \theta \cos \varphi \\\cos \theta &-r\sin \theta &0\end{pmatrix}},}$

а именно

${\displaystyle \mathrm {d} V=\left|{\frac {\partial (x,y,z)}{\partial (r,\theta ,\varphi )}}\right|=r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi =r^{2}\,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \Omega ~.}$

Так, например, функция F ( г , θ , φ ) можно интегрировать по каждой точке в ℝ ³ по тройному интегралу

${\displaystyle \int \limits _{0}^{2\pi }\int \limits _{0}^{\pi }\int \limits _{0}^{\infty }f(r,\theta ,\varphi )r^{2}\sin \theta \,\mathrm {d} r\,\mathrm {d} \theta \,\mathrm {d} \varphi ~.}$

Оператор del в этой системе приводит к следующим выражениям для градиента , дивергенции , ротора и лапласиана :

${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla f={}&{\partial f \over \partial r}{\hat {\mathbf {r} }}+{1 \over r}{\partial f \over \partial \theta }{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+{1 \over r\sin \theta }{\partial f \over \partial \varphi }{\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla \cdot \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r^{2}}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}A_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta A_{\theta }\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial A_{\varphi } \over \partial \varphi },\\[8pt]\nabla \times \mathbf {A} ={}&{\frac {1}{r\sin \theta }}\left({\partial \over \partial \theta }\left(A_{\varphi }\sin \theta \right)-{\partial A_{\theta } \over \partial \varphi }\right){\hat {\mathbf {r} }}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({1 \over \sin \theta }{\partial A_{r} \over \partial \varphi }-{\partial \over \partial r}\left(rA_{\varphi }\right)\right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\[8pt]&{}+{\frac {1}{r}}\left({\partial \over \partial r}\left(rA_{\theta }\right)-{\partial A_{r} \over \partial \theta }\right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}},\\[8pt]\nabla ^{2}f={}&{1 \over r^{2}}{\partial \over \partial r}\left(r^{2}{\partial f \over \partial r}\right)+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\partial f \over \partial \theta }\right)+{1 \over r^{2}\sin ^{2}\theta }{\partial ^{2}f \over \partial \varphi ^{2}}\\[8pt]={}&\left({\frac {\partial ^{2}}{\partial r^{2}}}+{\frac {2}{r}}{\frac {\partial }{\partial r}}\right)f+{1 \over r^{2}\sin \theta }{\partial \over \partial \theta }\left(\sin \theta {\frac {\partial }{\partial \theta }}\right)f+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial \varphi ^{2}}}f~.\end{aligned}}}$

Далее, обратный якобиан в декартовых координатах имеет вид

${\displaystyle J^{-1}={\begin{pmatrix}{\frac {x}{r}}&{\frac {y}{r}}&{\frac {z}{r}}\\\\{\frac {xz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {yz}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}&{\frac {-(x^{2}+y^{2})}{r^{2}{\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}}\\\\{\frac {-y}{x^{2}+y^{2}}}&{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}&0\end{pmatrix}}.}$

Метрический тензор в системе координат является сферической .${\displaystyle g=J^{T}J}$

Расстояние в сферических координатах [ править ]

В сферических координатах, если заданы две точки, где φ - азимутальная координата

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {r} }&=(r,\theta ,\varphi ),\\{\mathbf {r} '}&=(r',\theta ',\varphi ')\end{aligned}}}$

Расстояние между двумя точками можно выразить как

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathbf {D} }&={\sqrt {r^{2}+r'^{2}-2rr'(\sin {\theta }\sin {\theta '}\cos {(\varphi -\varphi ')}+\cos {\theta }\cos {\theta '})}}\end{aligned}}}$

Кинематика [ править ]

В сферических координатах положение точки записывается как

${\displaystyle \mathbf {r} =r\mathbf {\hat {r}} .}$

Его скорость тогда

${\displaystyle \mathbf {v} ={\dot {r}}\mathbf {\hat {r}} +r\,{\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\theta }}}+r\,{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\varphi }}} ,}$

и его ускорение

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {a} ={}&\left({\ddot {r}}-r\,{\dot {\theta }}^{2}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin ^{2}\theta \right)\mathbf {\hat {r}} \\&{}+\left(r\,{\ddot {\theta }}+2{\dot {r}}\,{\dot {\theta }}-r\,{\dot {\varphi }}^{2}\sin \theta \cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\theta }}}\\&{}+\left(r{\ddot {\varphi }}\,\sin \theta +2{\dot {r}}\,{\dot {\varphi }}\,\sin \theta +2r\,{\dot {\theta }}\,{\dot {\varphi }}\,\cos \theta \right){\hat {\boldsymbol {\varphi }}}.\end{aligned}}}$

Угловой момент является

${\displaystyle \mathbf {L} =m\mathbf {r} \times \mathbf {v} =mr^{2}({\dot {\theta }}\,{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}-{\dot {\varphi }}\sin \theta \,\mathbf {\hat {\boldsymbol {\theta }}} ).}$

В случае постоянной φ или θ =π/2, это сводится к векторному исчислению в полярных координатах .

Соответствующий оператор углового момента следует тогда из приведенной выше переформулировки фазового пространства:

${\displaystyle \mathbf {L} =-i\hbar ~\mathbf {r} \times \nabla =i\hbar \left({\frac {\hat {\boldsymbol {\theta }}}{\sin(\theta )}}{\frac {\partial }{\partial \phi }}-{\hat {\boldsymbol {\phi }}}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\right).}$

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Библиография [ править ]

• Иянага, Сёкичи; Кавада, Юкиёси (1977). Энциклопедический математический словарь . MIT Press. ISBN 978-0262090162.
• Морзе PM , Фешбах H (1953). Методы теоретической физики, часть I . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. п. 658. ISBN 0-07-043316-X. LCCN  52011515 .
• Маргенау H , Мерфи GM (1956). Математика физики и химии . Нью-Йорк: Д. ван Ностранд. С.  177–178 . LCCN  55010911 .
• Корн Г.А., Корн Т.М. (1961). Математический справочник для ученых и инженеров . Нью-Йорк: Макгроу-Хилл. С. 174–175. LCCN  59014456 . ASIN B0000CKZX7.
• Зауэр Р., Сабо I (1967). Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs . Нью-Йорк: Springer Verlag. С. 95–96. LCCN  67025285 .
• Мун П., Спенсер Д.Е. (1988). «Сферические координаты (r, θ, ψ)». Справочник по теории поля, включая системы координат, дифференциальные уравнения и их решения (исправленное 2-е изд., 3-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 24–27 (Таблица 1.05). ISBN 978-0-387-18430-2.
• Даффет-Смит П., Цварт Дж. (2011). Практическая астрономия с вашим калькулятором или таблицей, 4-е издание . Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. п. 34. ISBN 978-0521146548.

Внешние ссылки [ править ]

• "Сферические координаты" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• MathWorld описание сферических координат
• Конвертер координат - конвертирует полярные, декартовы и сферические координаты