Единичная сфера

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Единичная сфера»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( март 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Некоторые 1-сферы. - норма для евклидова пространства, обсуждаемая в первом разделе ниже.${\ displaystyle \ | {\ boldsymbol {x}} \ | _ {2}}$

В математике , А единичная сфера просто сфера из радиуса одного вокруг заданного центра . В более общем смысле, это набор точек на расстоянии 1 от фиксированной центральной точки, где различные нормы могут использоваться как общие понятия «расстояния». Единичный шар представляет собой замкнутое множество точек на расстоянии меньше или равно 1 из неподвижной центральной точки. Обычно центр находится в начале пространства, поэтому говорят о «единичном шаре» или «единичной сфере». Частные случаи - единичный круг и единичный диск .

Важность единичной сферы заключается в том, что любую сферу можно преобразовать в единичную с помощью комбинации перемещения и масштабирования . Таким образом, свойства сфер в целом можно свести к изучению единичной сферы.

Единичные сферы и шары в евклидовом пространстве [ править ]

В евклидове пространства из п размеры, ( п - 1) мерная единичная сфера является множеством всех точек , удовлетворяющих уравнению${\ displaystyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} = 1.}$

П - мерный единичный открытый шар множество всех точек , удовлетворяющее неравенству

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} <1,}$

а n- мерный замкнутый единичный шар - это множество всех точек, удовлетворяющих неравенству

${\ displaystyle x_ {1} ^ {2} + x_ {2} ^ {2} + \ cdots + x_ {n} ^ {2} \ leq 1.}$

Формулы общей площади и объема [ править ]

Классическое уравнение единичной сферы - это уравнение эллипсоида с радиусом 1 и без изменений осей x -, y - или z -:

${\ displaystyle f (x, y, z) = x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2} = 1}$

Объем единичного шара в n- мерном евклидовом пространстве и площадь поверхности единичной сферы фигурируют во многих важных формулах анализа . Объем единичного шара в n измерениях, который мы обозначаем V _n , можно выразить с помощью гамма-функции . это

${\ displaystyle V_ {n} = {\ frac {\ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)}} = {\ begin {case} {\ pi ^ {n / 2}} / {(n / 2)!} & \ mathrm {if ~} n \ geq 0 \ mathrm {~ ~ четное,} \\ ~ \\ {\ pi ^ {\ lfloor n / 2 \ rfloor} 2 ^ { \ lceil n / 2 \ rceil}} / {n !!} & \ mathrm {если ~} n \ geq 0 \ mathrm {~ ~ нечетное,} \ end {case}}}$

где н !! - двойной факториал .

Гиперобъем ( n - 1) -мерной единичной сферы ( т. Е. «Площадь» границы n- мерного единичного шара), который мы обозначим A _n , можно выразить как

${\ displaystyle A_ {n} = nV_ {n} = {\ frac {n \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (1 + n / 2)}} = {\ frac {2 \ pi ^ {n / 2}} {\ Gamma (n / 2)}} \ ,,}$

где последнее равенство выполняется только при n > 0 .

Площадь поверхности и объемы для некоторых значений следующие:${\ displaystyle n}$

${\ displaystyle n}$	${\displaystyle A_{n}}$ (площадь поверхности)		${\displaystyle V_{n}}$ (объем)
0	${\displaystyle 0(1/0!)\pi ^{0}}$	0	${\displaystyle (1/0!)\pi ^{0}}$	1
1	${\displaystyle 1(2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2	${\displaystyle (2^{1}/1!!)\pi ^{0}}$	2
2	${\displaystyle 2(1/1!)\pi ^{1}=2\pi }$	6,283	${\displaystyle (1/1!)\pi ^{1}=\pi }$	3,141
3	${\displaystyle 3(2^{2}/3!!)\pi ^{1}=4\pi }$	12,57	${\displaystyle (2^{2}/3!!)\pi ^{1}=(4/3)\pi }$	4,189
4	${\displaystyle 4(1/2!)\pi ^{2}=2\pi ^{2}}$	19,74	${\displaystyle (1/2!)\pi ^{2}=(1/2)\pi ^{2}}$	4,935
5	${\displaystyle 5(2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/3)\pi ^{2}}$	26,32	${\displaystyle (2^{3}/5!!)\pi ^{2}=(8/15)\pi ^{2}}$	5,264
6	${\displaystyle 6(1/3!)\pi ^{3}=\pi ^{3}}$	31.01	${\displaystyle (1/3!)\pi ^{3}=(1/6)\pi ^{3}}$	5,168
7	${\displaystyle 7(2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/15)\pi ^{3}}$	33,07	${\displaystyle (2^{4}/7!!)\pi ^{3}=(16/105)\pi ^{3}}$	4,725
8	${\displaystyle 8(1/4!)\pi ^{4}=(1/3)\pi ^{4}}$	32,47	${\displaystyle (1/4!)\pi ^{4}=(1/24)\pi ^{4}}$	4,059
9	${\displaystyle 9(2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/105)\pi ^{4}}$	29,69	${\displaystyle (2^{5}/9!!)\pi ^{4}=(32/945)\pi ^{4}}$	3,299
10	${\displaystyle 10(1/5!)\pi ^{5}=(1/12)\pi ^{5}}$	25,50	${\displaystyle (1/5!)\pi ^{5}=(1/120)\pi ^{5}}$	2,550

где десятичные развернутые значения для n  ≥ 2 округлены до отображаемой точности.

Рекурсия [ править ]

Значения A _n удовлетворяют рекурсии:

${\displaystyle A_{0}=0}$

${\displaystyle A_{1}=2}$

${\displaystyle A_{2}=2\pi }$

${\displaystyle A_{n}={\frac {2\pi }{n-2}}A_{n-2}}$для .${\displaystyle n>2}$

Значения V _n удовлетворяют рекурсии:

${\displaystyle V_{0}=1}$

${\displaystyle V_{1}=2}$

${\displaystyle V_{n}={\frac {2\pi }{n}}V_{n-2}}$для .${\displaystyle n>1}$

Дробные размеры [ править ]

Формулы для A _n и V _n могут быть вычислены для любого действительного числа n  ≥ 0, и есть обстоятельства, при которых целесообразно искать площадь сферы или объем шара, когда n не является неотрицательным целым числом.

Другие радиусы [ править ]

Площадь поверхности ( n –1) -мерной сферы радиуса r равна A _n  r ^{n −1,} а объем n- мерного шара радиуса r равен V _n  r ⁿ . Например, для поверхности трехмерного шара радиуса r площадь равна A = 4 π  r ² . Объем V = 4 π г ³ /3 для трехмерного шара радиуса  г . 

Единичные шары в нормированных векторных пространствах [ править ]

Точнее, открытый единичный шар в нормированном векторном пространстве с нормой есть${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \|\cdot \|}$

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|<1\}}$

Это внутренняя часть замкнутого единичного шара в ( V , || · ||):

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|\leq 1\}}$

Последнее представляет собой несвязное объединение первых и их общей границы, единичной сферы ( V , || · ||):

${\displaystyle \{x\in V:\|x\|=1\}}$

«Форма» единичного шара полностью зависит от выбранной нормы; он вполне может иметь «углы» и, например, может выглядеть как [-1,1] ⁿ в случае максимальной нормы в R ⁿ . В качестве единичного шара, относящегося к обычной норме гильбертова пространства , получается естественно круглый шар , основанный в конечномерном случае на евклидовом расстоянии ; его граница - это то, что обычно понимается под единичной сферой .

Пусть Определить обычную -норму для р ≥ 1 , как:${\displaystyle x=(x_{1},...x_{n})\in \mathbb {R} ^{n}.}$${\displaystyle \ell _{p}}$

${\displaystyle \|x\|_{p}=(\sum _{k=1}^{n}|x_{k}|^{p})^{1/p}}$

Тогда - обычная норма гильбертова пространства . называется нормой Хэмминга, или -нормой. Условие p ≥ 1 необходимо в определении нормы, поскольку единичный шар в любом нормированном пространстве должен быть выпуклым как следствие неравенства треугольника . Пусть обозначает максимальную норму или -норму x.${\displaystyle \|x\|_{2}}$${\displaystyle \|x\|_{1}}$${\displaystyle \ell _{1}}$${\displaystyle \ell _{p}}$${\displaystyle \|x\|_{\infty }}$${\displaystyle \ell _{\infty }}$

Обратите внимание, что для окружностей двумерных единичных шаров (n = 2) мы имеем:${\displaystyle C_{p}}$

${\displaystyle C_{1}=4{\sqrt {2}}}$ - минимальное значение.

${\displaystyle C_{2}=2\pi \,.}$

${\displaystyle C_{\infty }=8}$ - максимальное значение.

Обобщения [ править ]

Метрические пространства [ править ]

Все три из приведенных выше определений можно прямо обобщить на метрическое пространство относительно выбранного начала координат. Однако топологические соображения (внутренность, замыкание, граница) не обязательно должны применяться одинаково (например, в ультраметрических пространствах все три одновременно являются открытыми и замкнутыми множествами), а единичная сфера может даже быть пустой в некоторых метрических пространствах.

Квадратичные формы [ править ]

Если V есть линейное пространство с реальной квадратичной формой Р : V → R, то {р ∈ V  : Р (р) = 1} может быть названа единичной сферой ^{[1] [2]} или блок квази-сферой из V . Например, квадратичная форма , когда она установлена ​​равной единице, дает единичную гиперболу, которая играет роль «единичного круга» на плоскости разделенных комплексных чисел . Точно так же квадратичная форма x ² дает пару линий для единичной сферы в плоскости двойственных чисел .${\displaystyle x^{2}-y^{2}}$

См. Также [ править ]

• мяч
• гиперсфера
• сфера
• суперэллипс
• единичный круг
• единичный диск
• пучок единичных сфер
• единичный квадрат

Примечания и ссылки [ править ]

• Махлон М. Дэй (1958) Нормированные линейные пространства , стр. 24, Springer-Verlag .
• Deza, E .; Деза, М. (2006), Словарь расстояний , Elsevier, ISBN 0-444-52087-2. См. В Информационном бюллетене Европейского математического общества 64 (июнь 2007 г.) , стр. 57. Эта книга организована в виде списка расстояний многих типов, каждое с кратким описанием.

Внешние ссылки [ править ]

Найдите единичную сферу в Викисловаре, бесплатном словаре.

• Вайсштейн, Эрик В. «Единичная сфера» . MathWorld .