Гамма-функция

Гамма-функция вдоль части действительной оси

В математике , то гамма - функция ( в лице , заглавной буквой гамма от греческого алфавита ) является одной из наиболее распространенных расширение функции факториала для комплексных чисел . Гамма-функция определена для всех комплексных чисел, кроме целых неположительных. Для любого натурального числа п ,${\displaystyle \Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (n)=(n-1)!\ .}$

Полученная Даниэлем Бернулли , для комплексных чисел с положительной действительной частью гамма-функция определяется через сходящийся несобственный интеграл :

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx,\ \qquad \Re (z)>0\ .}$

Затем гамма-функция определяется как аналитическое продолжение этой интегральной функции до мероморфной функции, которая голоморфна во всей комплексной плоскости, кроме нуля и отрицательных целых чисел, где функция имеет простые полюсы .

Гамма-функция не имеет нулей, поэтому обратная гамма-функция представляет собой целую функцию . Фактически, гамма-функция соответствует преобразованию Меллина отрицательной экспоненциальной функции :${\displaystyle 1/\Gamma }$

${\displaystyle \Gamma (z)=\{{\mathcal {M}}e^{-x}\}(z).}$

Существуют и другие расширения факториальной функции, но гамма-функция является наиболее популярной и полезной. Он является компонентом различных функций распределения вероятностей и, как таковой, применим в областях вероятности и статистики , а также в комбинаторике .

Мотивация [ править ]

Гамма-функцию можно рассматривать как решение следующей проблемы интерполяции :

«Найдите гладкую кривую, которая соединяет точки  ( x , y ), заданные y = ( x - 1)! При положительных целочисленных значениях  x ».

График первых нескольких факториалов ясно показывает, что такую ​​кривую можно нарисовать, но было бы предпочтительнее иметь формулу, которая точно описывает кривую, в которой количество операций не зависит от размера  x . Простая формула факториала x ! = 1 × 2 × ⋯ × x , не может использоваться непосредственно для дробных значений x, поскольку он действителен только тогда, когда x является натуральным числом (или положительным целым числом). Таких простых решений для факториалов, условно говоря, не существует; никакая конечная комбинация сумм, произведений, степеней, экспоненциальных функций или логарифмов не будет достаточной для выражения  x !; но можно найти общую формулу для факториалов, используя такие инструменты, как интегралы и пределы из исчисления . Хорошим решением этой проблемы является гамма-функция. ^[1]

Существует бесконечно много непрерывных расширений факториала на нецелые числа: бесконечно много кривых можно провести через любой набор изолированных точек. Гамма-функция - это наиболее полезное решение на практике, поскольку она является аналитической (за исключением неположительных целых чисел), и ее можно определить несколькими эквивалентными способами. Однако это не единственная аналитическая функция, которая расширяет факториал, поскольку добавление к нему любой аналитической функции, которая равна нулю для положительных целых чисел, например k sin m π x для целого числа m , даст другую функцию с этим свойством. ^[1]

Более ограничивающим свойством, чем удовлетворение указанной выше интерполяции, является удовлетворение рекуррентного соотношения, определяющего переведенную версию факториальной функции, ^{[2] [3]}

${\displaystyle f(1)=1,}$

${\displaystyle f(x+1)=xf(x),}$

для любого положительного действительного числа x . Но это позволило бы производить умножение на любую периодическую аналитическую функцию, которая принимает значение 1 для положительных целых чисел, например, e ^{k sin m π x} . Один из нескольких способов окончательно разрешить неоднозначность исходит из теоремы Бора – Моллерупа . В нем говорится, что когда добавляется условие, что функция f должна быть логарифмически выпуклой (или «супервыпуклой» ^[4], что означает выпуклость ), она однозначно определяет f${\displaystyle \log \circ f}$для положительных, реальных входов. Оттуда, гамма - функция может быть распространена на все действительные и комплексные значения ( за исключением отрицательных чисел и нуля), используя уникальное аналитическое продолжение на е . ^[5]

Определение [ править ]

Основное определение [ править ]

Обозначения принадлежат Лежандру . ^[1] Если действительная часть комплексного числа  z строго положительна ( ), то интеграл${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle \Re (z)>0}$

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx}$

абсолютно сходится и известен как интеграл Эйлера второго рода . (Интеграл Эйлера первого рода - это бета-функция . ^[1] ) Используя интегрирование по частям , можно увидеть, что:

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=\int _{0}^{\infty }x^{z}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-x^{z}e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }+\int _{0}^{\infty }zx^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=\lim _{x\to \infty }(-x^{z}e^{-x})-(-0^{z}e^{-0})+z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx.\end{aligned}}}$

Признавая, что как${\displaystyle -x^{z}e^{-x}\to 0}$${\displaystyle x\to \infty ,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (z+1)&=z\int _{0}^{\infty }x^{z-1}e^{-x}\,dx\\&=z\Gamma (z).\end{aligned}}}$

Мы можем рассчитать ${\displaystyle \Gamma (1){\text{:}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (1)&=\int _{0}^{\infty }x^{1-1}e^{-x}\,dx\\&={\Big [}-e^{-x}{\Big ]}_{0}^{\infty }\\&=\lim _{x\to \infty }(-e^{-x})-(-e^{-0})\\&=0-(-1)\\&=1.\end{aligned}}}$

Учитывая это и${\displaystyle \Gamma (1)=1}$${\displaystyle \Gamma (n+1)=n\Gamma (n),}$

${\displaystyle \Gamma (n)=1\cdot 2\cdot 3\cdots (n-1)=(n-1)!}$

для всех натуральных чисел n . Это можно рассматривать как пример доказательства по индукции .

Идентичность может быть использована (или, что дает тот же результат, аналитическое продолжение может быть использовано) , чтобы однозначно расширить интегральную формулировку до мероморфной функции , определенной для всех комплексных чисел г , за исключением чисел меньше или равно нуль. ^[1] Именно эта расширенная версия обычно называется гамма-функцией. ^[1]${\textstyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+1)}{z}}}$${\displaystyle \Gamma (z)}$

Альтернативные определения [ править ]

Определение Эйлера как бесконечного произведения [ править ]

При поиске аппроксимации для комплексного числа эффективно сначала вычислить для некоторого большого целого числа . Используйте это, чтобы приблизить значение для , а затем использовать отношение рекурсии в обратном порядке , чтобы развернуть его до приближения для . ^{[ требуется пояснение ]} Кроме того, это приближение является точным в пределе, уходящем в бесконечность.${\displaystyle z!}$${\displaystyle z}$${\displaystyle n!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle (n+z)!}$${\displaystyle m!=m(m-1)!}$${\displaystyle n}$${\displaystyle z!}$${\displaystyle n}$

В частности, для фиксированного целого числа это тот случай, когда${\displaystyle m}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{m}}{(n+m)!}}=1\,.}$

Если не является целым числом, то невозможно сказать, верно ли это уравнение, потому что мы еще не определили (в этом разделе) факториальную функцию для нецелых чисел. Однако мы действительно получаем уникальное расширение факториальной функции на нецелые числа, настаивая на том, что это уравнение продолжает выполняться, когда произвольное целое число заменяется произвольным комплексным числом .${\displaystyle m}$${\displaystyle m}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {n!\;(n+1)^{z}}{(n+z)!}}=1\,.}$

Умножение обеих сторон на дает${\displaystyle z!}$

${\displaystyle {\begin{aligned}z!&=\lim _{n\to \infty }n!{\frac {z!}{(n+z)!}}(n+1)^{z}\\[8pt]&=\lim _{n\to \infty }(1\cdots n){\frac {1}{(1+z)\cdots (n+z)}}\left(\left({\frac {2}{1}}\right)\left({\frac {3}{2}}\right)\cdots \left({\frac {n+1}{n}}\right)\right)^{z}\\[8pt]&=\prod _{n=1}^{\infty }\left[{\frac {1}{1+{\frac {z}{n}}}}\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}\right].\end{aligned}}}$

Этот бесконечный продукт сходится для всех комплексных чисел,  кроме отрицательных целых чисел, которые терпят неудачу, потому что попытка использовать отношение рекурсии назад через значение включает деление на ноль.${\displaystyle z}$${\displaystyle m!=m(m-1)!}$${\displaystyle m=0}$

Аналогично для гамма-функции определение как бесконечное произведение из-за Эйлера действительно для всех комплексных чисел, кроме неположительных целых чисел:${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{z}}{1+{\frac {z}{n}}}}\,.}$

Благодаря такой конструкции, гамма - функцией является единственной функцией , которая одновременно удовлетворяет , для всех комплексных чисел , за исключением не-положительных целых чисел, и для всех комплексных чисел . ^[1]${\displaystyle \Gamma (1)=1}$${\displaystyle \Gamma (z+1)=z\Gamma (z)}$${\displaystyle z}$${\textstyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+z)}{\Gamma (n)\;n^{z}}}=1}$${\displaystyle z}$

Определение Вейерштрасса [ править ]

Определение гамма-функции, данное Вейерштрассом , также верно для всех комплексных чисел  z, кроме неположительных целых чисел:

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {e^{-\gamma z}}{z}}\prod _{n=1}^{\infty }\left(1+{\frac {z}{n}}\right)^{-1}e^{z/n},}$

где - постоянная Эйлера – Маскерони . ^[1] Это Адамара продукт из в переписан форме. В самом деле, поскольку это целое рода 1 с простым нулем в точке , мы имеем представление произведения${\displaystyle \gamma \approx 0.577216}$${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$${\displaystyle z=0}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}=ze^{Az+B}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {z}{\rho }}\right)e^{z/\rho },}$

где произведение по нулям с . Так как у неположительных целых чисел простые полюсы, у неположительных целых чисел простые нули, и поэтому приведенное выше уравнение становится формулой Вейерштрасса с вместо . Вывод констант и является в некоторой степени техническим, но может быть выполнен с использованием некоторых тождеств, включающих дзета-функцию Римана (см. , Например, это тождество ). См. Также теорему факторизации Вейерштрасса .${\displaystyle \rho \neq 0}$${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle 1/\Gamma (z)}$${\displaystyle -Az-B}$${\displaystyle -\gamma z}$${\displaystyle A=\gamma }$${\displaystyle B=0}$

В терминах обобщенных многочленов Лагерра [ править ]

Представление неполной гамма-функции в терминах обобщенных многочленов Лагерра имеет вид

${\displaystyle \Gamma (z,x)=x^{z}e^{-x}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {L_{n}^{(z)}(x)}{n+1}},}$

который сходится при и . ^[6]${\displaystyle \Re (z)>-1}$${\displaystyle x>0}$

Свойства [ править ]

Общие [ править ]

Другими важными функциональными уравнениями для гамма-функции являются формула Эйлера отражения

${\displaystyle \Gamma (1-z)\Gamma (z)={\pi \over \sin \pi z},\qquad z\not \in \mathbb {Z} }$

что подразумевает

${\displaystyle \Gamma (\varepsilon -n)=(-1)^{n-1}\;{\frac {\Gamma (-\varepsilon )\Gamma (1+\varepsilon )}{\Gamma (n+1-\varepsilon )}},}$

и формула дублирования Лежандра

${\displaystyle \Gamma (z)\Gamma \left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)=2^{1-2z}\;{\sqrt {\pi }}\;\Gamma (2z).}$

Формула дублирования является частным случаем теоремы умножения (см. ^[6] уравнение 5.5.6).

${\displaystyle \prod _{k=0}^{m-1}\Gamma \left(z+{\frac {k}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}\;m^{{\frac {1}{2}}-mz}\;\Gamma (mz).}$

Простое, но полезное свойство, которое можно увидеть из определения предела, это:

${\displaystyle {\overline {\Gamma (z)}}=\Gamma ({\overline {z}})\;\Rightarrow \;\Gamma (z)\Gamma ({\overline {z}})\in \mathbb {R} .}$

В частности, при z = a + bi это произведение равно

${\displaystyle |\Gamma (a+bi)|^{2}=|\Gamma (a)|^{2}\prod _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{1+{\frac {b^{2}}{(a+k)^{2}}}}}}$

Если действительная часть является целым или полуцелым числом, это можно конечным образом выразить в замкнутой форме :

${\displaystyle {\begin{aligned}|\Gamma (bi)|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\\[6pt]\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\\\left|\Gamma \left(1+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\\\left|\Gamma \left(1+n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi b}{\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right),\quad n\in \mathbb {N} \\\left|\Gamma \left(-n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{b\sinh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(k^{2}+b^{2}\right)^{-1},\quad n\in \mathbb {N} \\\left|\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\pm n+bi\right)\right|^{2}&={\frac {\pi }{\cosh \pi b}}\prod _{k=1}^{n}\left(\left(k-{\tfrac {1}{2}}\right)^{2}+b^{2}\right)^{\pm 1},\quad n\in \mathbb {N} \end{aligned}}}$

Возможно, наиболее известным значением гамма-функции при нецелочисленном аргументе является

${\displaystyle \Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }},}$

который можно найти, задав в формулах отражения или дублирования, используя приведенную ниже связь с бета-функцией , или просто сделав подстановку в интегральном определении гамма-функции, что приведет к гауссовскому интегралу . В общем, для неотрицательных целочисленных значений мы имеем:${\textstyle z={\frac {1}{2}}}$${\textstyle x=y={\frac {1}{2}}}$${\displaystyle u={\sqrt {x}}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}+n\right)&={(2n)! \over 4^{n}n!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(2n-1)!!}{2^{n}}}{\sqrt {\pi }}={\binom {n-{\frac {1}{2}}}{n}}n!{\sqrt {\pi }}\\[8pt]\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}-n\right)&={(-4)^{n}n! \over (2n)!}{\sqrt {\pi }}={\frac {(-2)^{n}}{(2n-1)!!}}{\sqrt {\pi }}={\frac {\sqrt {\pi }}{{\binom {-1/2}{n}}n!}}\end{aligned}}}$

где обозначает двойной факториал от п и, когда это , . Расчетные значения см. В разделе « Частные значения гамма-функции» .${\displaystyle n!!}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle n!!=1}$

Может возникнуть соблазн обобщить результат, который заключается в поиске формулы для других индивидуальных значений, где это рационально, особенно потому, что согласно теореме Гаусса о дигамме , это можно сделать для тесно связанной функции дигамма при каждом рациональном значении. Однако, как известно , эти числа не выражаются сами по себе через элементарные функции. Было доказано, что это трансцендентное число и алгебраически не зависит от любого целого числа и каждой дроби . ^[7] В общем, при вычислении значений гамма-функции мы должны довольствоваться численными приближениями.${\textstyle \Gamma \left({\frac {1}{2}}\right)={\sqrt {\pi }}}$${\displaystyle \Gamma (r)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle \Gamma (r)}$${\displaystyle \Gamma (n+r)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\textstyle r={\frac {1}{6}},{\frac {1}{4}},{\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}},{\frac {3}{4}},{\frac {5}{6}}}$

Производные гамма-функции описываются с помощью полигамма-функции . Например:

${\displaystyle \Gamma '(z)=\Gamma (z)\psi _{0}(z).}$

Для положительного целого числа  m производная гамма-функции может быть вычислена следующим образом (здесь  - постоянная Эйлера – Маскерони ):${\displaystyle \gamma }$

${\displaystyle \Gamma '(m+1)=m!\left(-\gamma +\sum _{k=1}^{m}{\frac {1}{k}}\right)\,.}$

Для получения в й производной гамма - функции является:${\displaystyle \Re (x)>0}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\Gamma (x)=\int _{0}^{\infty }t^{x-1}e^{-t}(\ln t)^{n}\,dt.}$

(Это может быть получено путем дифференцирования интегральной формы гамма-функции по и с использованием техники дифференцирования под знаком интеграла .)${\displaystyle x}$

Использование идентичности

${\displaystyle \Gamma ^{(n)}(1)=(-1)^{n}n!\sum \limits _{\pi \,\vdash \,n}\,\prod _{i=1}^{r}{\frac {\zeta ^{*}(a_{i})}{k_{i}!\cdot a_{i}}}\qquad \zeta ^{*}(x):={\begin{cases}\zeta (x)&x\neq 1\\\gamma &x=1\end{cases}}}$

где есть дзета - функция Римана , и представляет собой раздел из дается${\displaystyle \zeta (z)}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$

${\displaystyle \pi =\underbrace {a_{1}+\cdots +a_{1}} _{k_{1}{\text{ terms}}}+\cdots +\underbrace {a_{r}+\cdots +a_{r}} _{k_{r}{\text{ terms}}},}$

у нас в частности

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {1}{z}}-\gamma +{\tfrac {1}{2}}\left(\gamma ^{2}+{\frac {\pi ^{2}}{6}}\right)z-{\tfrac {1}{6}}\left(\gamma ^{3}+{\frac {\gamma \pi ^{2}}{2}}+2\zeta (3)\right)z^{2}+O(z^{3}).}$

Неравенства [ править ]

При ограничении положительными действительными числами гамма-функция является строго логарифмически выпуклой функцией . Это свойство может быть указано любым из следующих трех эквивалентных способов:

• Для любых двух положительных действительных чисел и , и для любого ,${\displaystyle x_{1}}$${\displaystyle x_{2}}$${\displaystyle t\in [0,1]}$

${\displaystyle \Gamma (tx_{1}+(1-t)x_{2})\leq \Gamma (x_{1})^{t}\Gamma (x_{2})^{1-t}.}$

• Для любых двух положительных действительных чисел x и y с y > x ,

${\displaystyle \left({\frac {\Gamma (y)}{\Gamma (x)}}\right)^{\frac {1}{y-x}}>\exp \left({\frac {\Gamma '(x)}{\Gamma (x)}}\right).}$

• Для любого положительного вещественного числа ,${\displaystyle x}$

${\displaystyle \Gamma ''(x)\Gamma (x)>\Gamma '(x)^{2}.}$

Последнее из этих утверждений, по существу, по определению совпадает с утверждением, что , где - полигамма-функция порядка 1. Чтобы доказать логарифмическую выпуклость гамма-функции, достаточно заметить, что у этого есть представление ряда, которое для положительный вещественный x , состоит только из положительных членов.${\displaystyle \psi ^{(1)}(x)>0}$${\displaystyle \psi ^{(1)}}$${\displaystyle \psi ^{(1)}}$

Логарифмическая выпуклость и неравенство Йенсена вместе означают, при любых положительных вещественных чисел и ,${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {a_{1}x_{1}+\cdots +a_{n}x_{n}}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}\right)\leq {\bigl (}\Gamma (x_{1})^{a_{1}}\cdots \Gamma (x_{n})^{a_{n}}{\bigr )}^{\frac {1}{a_{1}+\cdots +a_{n}}}.}$

Также существуют ограничения на отношения гамма-функций. Наиболее известным является неравенство Гаучи , которое гласит, что для любого положительного действительного числа x и любого s ∈ (0, 1) ,

${\displaystyle x^{1-s}<{\frac {\Gamma (x+1)}{\Gamma (x+s)}}<(x+1)^{1-s}.}$

Формула Стирлинга [ править ]

Представление гамма-функции в комплексной плоскости. Каждая точка окрашена в соответствии с аргументом . Также отображается контурный график модуля .${\displaystyle z}$${\displaystyle \Gamma (z)}$${\displaystyle |\Gamma (z)|}$

Поведение для увеличивающейся положительной переменной просто. Он растет быстро, быстрее, чем на самом деле экспоненциальная функция. Асимптотически величина гамма-функции определяется формулой Стирлинга${\displaystyle \Gamma (z)}$${\textstyle z\to \infty \ ,}$

${\displaystyle \Gamma (z+1)\sim {\sqrt {2\pi z}}\left({\frac {z}{e}}\right)^{z},}$

где символ означает асимптотическую сходимость. Другими словами, отношение двух сторон сходится к 1 при . ^[1]${\displaystyle \sim }$${\textstyle z\to +\infty }$

Еще один полезный предел для асимптотических приближений:

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {\Gamma (n+\alpha )}{\Gamma (n)n^{\alpha }}}=1,\qquad \alpha \in \mathbb {C} .}$

Остатки [ править ]

Поведение для неположительных более сложное. Интеграл Эйлера не сходится , но функция, которую он определяет в положительной комплексной полуплоскости, имеет единственное аналитическое продолжение на отрицательную полуплоскость. Один из способов найти это аналитическое продолжение - использовать интеграл Эйлера для положительных аргументов и расширить область до отрицательных чисел путем повторного применения рекуррентной формулы ^[1]${\displaystyle z}$${\displaystyle z\leq 0}$

${\displaystyle \Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n)}},}$

выбор такой что положительный. Произведение в знаменателе равно нулю, когда равно любому из целых чисел . Таким образом, гамма-функция должна быть неопределенной в этих точках, чтобы избежать деления на ноль ; это мероморфная функция с простыми полюсами при неположительных целых числах. ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle z+n}$${\displaystyle z}$${\displaystyle 0,-1,-2,\dots }$

Для функции комплексного переменного , при простом полюсе , то остаток от определяются по формуле:${\displaystyle f}$${\displaystyle z}$ ${\displaystyle c}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \operatorname {Res} (f,c)=\lim _{z\to c}(z-c)f(z).}$

Для простого полюса перепишем формулу рекуррентности как:${\displaystyle z=-n,}$

${\displaystyle (z+n)\Gamma (z)={\frac {\Gamma (z+n+1)}{z(z+1)\cdots (z+n-1)}}.}$

Числитель при равен${\displaystyle z=-n,}$

${\displaystyle \Gamma (z+n+1)=\Gamma (1)=1}$

и знаменатель

${\displaystyle z(z+1)\cdots (z+n-1)=-n(1-n)\cdots (n-1-n)=(-1)^{n}n!.}$

Таким образом, остатки гамма-функции в этих точках равны:

${\displaystyle \operatorname {Res} (\Gamma ,-n)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}.}$^[8]

Гамма-функция не равна нулю всюду вдоль вещественной прямой, хотя она сколь угодно близка к нулю при z → −∞ . Фактически не существует комплексного числа, для которого и, следовательно, обратная гамма-функция является целой функцией с нулями в . ^[1]${\displaystyle z}$${\displaystyle \Gamma (z)=0}$ ${\textstyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}}$${\displaystyle z=0,-1,-2,\dots }$

Минимумы [ править ]

Гамма-функция имеет локальный минимум при z _min ≈ +1,46163 21449 68362 34126 ( усечено ), где достигает значения Γ ( z _min ) ≈ +0,88560 31944 10888 70027 ( усечено ). Гамма-функция должна менять знак между полюсами, потому что произведение в прямом повторении содержит нечетное количество отрицательных факторов, если количество полюсов между и является нечетным, и четное число, если количество полюсов четное. ^[8]${\displaystyle z}$${\displaystyle z+n}$

Интегральные представления [ править ]

Помимо интеграла Эйлера второго рода, существует множество формул, выражающих гамма-функцию как интеграл. Например, когда действительная часть z положительна, ^[9]

${\displaystyle \Gamma (z)=\int _{0}^{1}\left(\log {\frac {1}{t}}\right)^{z-1}\,dt.}$

Первая интегральная формула Бине для гамма-функции гласит, что если действительная часть z положительна, то: ^[10]

${\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+\int _{0}^{\infty }\left({\frac {1}{2}}-{\frac {1}{t}}+{\frac {1}{e^{t}-1}}\right){\frac {e^{-tz}}{t}}\,dt.}$

Интеграл в правой части можно интерпретировать как преобразование Лапласа . То есть,

${\displaystyle \log \left(\Gamma (z)\left({\frac {e}{z}}\right)^{z}{\sqrt {2\pi z}}\right)={\mathcal {L}}\left({\frac {1}{2t}}-{\frac {1}{t^{2}}}+{\frac {1}{t(e^{t}-1)}}\right)(z).}$

Вторая интегральная формула Бине утверждает, что снова, когда действительная часть z положительна, то: ^[11]

${\displaystyle \log \Gamma (z)=\left(z-{\frac {1}{2}}\right)\log z-z+{\frac {1}{2}}\log(2\pi )+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\arctan(t/z)}{e^{2\pi t}-1}}\,dt.}$

Пусть C - контур Ганкеля , означающий, что путь, который начинается и заканчивается в точке ∞ на сфере Римана , единичный касательный вектор которого сходится к −1 в начале пути и к 1 в конце, который имеет номер витка 1 вокруг 0 , и который не пересекает [0, ∞) . Зафиксируем ветвь , взяв ветвь, разрезанную вдоль [0, ∞), и приняв ее за действительную, когда t находится на отрицательной действительной оси. Предположим, что z не является целым числом. Тогда формула Ганкеля для гамма-функции: ^[12]${\displaystyle \log(-t)}$${\displaystyle \log(-t)}$

${\displaystyle \Gamma (z)=-{\frac {1}{2i\sin \pi z}}\int _{C}(-t)^{z-1}e^{-t}\,dt,}$

где интерпретируется как . Формула отражения приводит к тесно связанному выражению ${\displaystyle (-t)^{z-1}}$${\displaystyle \exp((z-1)\log(-t))}$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\int _{C}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$

снова действительно, когда z не является целым числом.

Разложение в ряд Фурье [ править ]

Логарифм гамма - функции имеет следующий ряд Фурье разложение${\displaystyle 0<z<1:}$

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\left({\frac {1}{2}}-z\right)(\gamma +\ln 2)+(1-z)\ln \pi -{\frac {1}{2}}\ln \sin(\pi z)+{\frac {1}{\pi }}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\ln n}{n}}\sin(2\pi nz),}$

который долгое время приписывался Эрнсту Куммеру , который вывел его в 1847 году. ^{[13] [14]} Однако Ярослав Благушин обнаружил, что Карл Йохан Мальмстен впервые вывел эту серию в 1842 году. ^{[15] [16]}

Формула Раабе [ править ]

В 1840 году Йозеф Людвиг Раабе доказал, что

${\displaystyle \int _{a}^{a+1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi +a\ln a-a,\quad a>0.}$

В частности, если тогда${\displaystyle a=0}$

${\displaystyle \int _{0}^{1}\ln \Gamma (z)\,dz={\tfrac {1}{2}}\ln 2\pi .}$

Последнее может быть получено логарифмом в приведенной выше формуле умножения, которая дает выражение для суммы Римана подынтегральной функции. Принятие предела дает формулу.${\displaystyle a\rightarrow \infty }$

Функция Пи [ править ]

Альтернативное обозначение, которое первоначально было введено Гауссом и которое иногда использовалось, - это -функция, которая в терминах гамма-функции имеет вид${\displaystyle \Pi }$

${\displaystyle \Pi (z)=\Gamma (z+1)=z\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }e^{-t}t^{z}\,dt,}$

так что для каждого неотрицательного целого числа .${\displaystyle \Pi (n)=n!}$${\displaystyle n}$

Используя функцию пи, формула отражения принимает вид

${\displaystyle \Pi (z)\Pi (-z)={\frac {\pi z}{\sin(\pi z)}}={\frac {1}{\operatorname {sinc} (z)}}}$

где sinc - нормализованная функция sinc , а теорема умножения принимает вид

${\displaystyle \Pi \left({\frac {z}{m}}\right)\,\Pi \left({\frac {z-1}{m}}\right)\cdots \Pi \left({\frac {z-m+1}{m}}\right)=(2\pi )^{\frac {m-1}{2}}m^{-z-{\frac {1}{2}}}\Pi (z)\ .}$

Мы также иногда находим

${\displaystyle \pi (z)={\frac {1}{\Pi (z)}}\ ,}$

которая представляет собой целую функцию , определенную для каждого комплексного числа, как и обратная гамма-функция . То есть в нем нет полюсов, поэтому вроде бы нет нулей .${\displaystyle \pi (z)}$${\displaystyle \Pi \left(z\right)}$${\displaystyle \Gamma \left(z\right)}$

Объем в п -ellipsoid с радиусами г ₁ , ..., г _п может быть выражена как

${\displaystyle V_{n}(r_{1},\dotsc ,r_{n})={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}}{\Pi \left({\frac {n}{2}}\right)}}\prod _{k=1}^{n}r_{k}.}$

Отношение к другим функциям [ править ]

• В первом интеграле выше, который определяет гамма-функцию, пределы интегрирования фиксированы. Верхняя и нижняя неполные гамма-функции - это функции, полученные путем изменения нижнего или верхнего (соответственно) предела интегрирования.
• Гамма-функция связана с бета-функцией формулой

${\displaystyle \mathrm {B} (x,y)=\int _{0}^{1}t^{x-1}(1-t)^{y-1}\,dt={\frac {\Gamma (x)\,\Gamma (y)}{\Gamma (x+y)}}.}$

• Логарифмическая производная гамма - функции, называется функцией дигамма ; высшие производные - это полигамма-функции .
• Аналогом гамма-функции над конечным полем или конечным кольцом являются гауссовы суммы , разновидность экспоненциальной суммы .
• Обратная гамма - функция является целой функцией и исследовалась в определенной теме.
• Гамма - функция также показывает в качестве важного соотношения с дзета - функции Римана , .${\displaystyle \zeta (z)}$

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {z}{2}}\right)\zeta (z)=\pi ^{-{\frac {1-z}{2}}}\;\Gamma \left({\frac {1-z}{2}}\right)\;\zeta (1-z).}$

Он также появляется в следующей формуле:

${\displaystyle \zeta (z)\Gamma (z)=\int _{0}^{\infty }{\frac {u^{z}}{e^{u}-1}}\,{\frac {du}{u}},}$

который действительно только для .${\displaystyle \Re (z)>1}$

Логарифм гамма-функции удовлетворяет следующей формуле Лерха:

${\displaystyle \log \Gamma (x)=\zeta _{H}'(0,x)-\zeta '(0),}$

где - дзета-функция Гурвица , - дзета-функция Римана, а штрих ( ' ) обозначает дифференцирование по первой переменной.${\displaystyle \zeta _{H}}$${\displaystyle \zeta }$

• Гамма-функция связана с растянутой экспоненциальной функцией . Например, моменты этой функции равны

${\displaystyle \langle \tau ^{n}\rangle \equiv \int _{0}^{\infty }dt\,t^{n-1}\,e^{-\left({\frac {t}{\tau }}\right)^{\beta }}={\frac {\tau ^{n}}{\beta }}\Gamma \left({n \over \beta }\right).}$

Конкретные ценности [ править ]

Включая до первых 20 цифр после десятичной точки, некоторые конкретные значения гамма-функции:

${\displaystyle {\begin{array}{rcccl}\Gamma \left(-{\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {4{\sqrt {\pi }}}{3}}&\approx &+2.36327\,18012\,07354\,70306\\\Gamma \left(-{\tfrac {1}{2}}\right)&=&-2{\sqrt {\pi }}&\approx &-3.54490\,77018\,11032\,05459\\\Gamma \left({\tfrac {1}{2}}\right)&=&{\sqrt {\pi }}&\approx &+1.77245\,38509\,05516\,02729\\\Gamma (1)&=&0!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {3}{2}}\right)&=&{\tfrac {\sqrt {\pi }}{2}}&\approx &+0.88622\,69254\,52758\,01364\\\Gamma (2)&=&1!&=&+1\\\Gamma \left({\tfrac {5}{2}}\right)&=&{\tfrac {3{\sqrt {\pi }}}{4}}&\approx &+1.32934\,03881\,79137\,02047\\\Gamma (3)&=&2!&=&+2\\\Gamma \left({\tfrac {7}{2}}\right)&=&{\tfrac {15{\sqrt {\pi }}}{8}}&\approx &+3.32335\,09704\,47842\,55118\\\Gamma (4)&=&3!&=&+6\end{array}}}$

Комплекснозначная гамма-функция не определена для неположительных целых чисел, но в этих случаях значение может быть определено в сфере Римана как ∞ . Обратная гамма - функция является хорошо определена и аналитическим при этих значениях (и в всей комплексной плоскости ):

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (-3)}}={\frac {1}{\Gamma (-2)}}={\frac {1}{\Gamma (-1)}}={\frac {1}{\Gamma (0)}}=0.}$

Функция log-gamma [ править ]

Поскольку гамма- и факториальные функции растут очень быстро для умеренно больших аргументов, многие вычислительные среды включают функцию, которая возвращает натуральный логарифм гамма-функции (часто дается имя lgammaили lngammaв средах программирования или gammalnв электронных таблицах); это растет намного медленнее, и для комбинаторных вычислений позволяет складывать и вычитать журналы вместо умножения и деления очень больших значений. Его часто определяют как ^[17]

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=-\gamma z-\ln z+\sum _{k=1}^{\infty }\left[{\frac {z}{k}}-\ln \left(1+{\frac {z}{k}}\right)\right].}$

Функция дигаммы , которая является производной от этой функции, также часто наблюдается. В контексте технических и физических приложений, например, при распространении волн, функциональное уравнение

${\displaystyle \ln \Gamma (z)=\ln \Gamma (z+1)-\ln z}$

часто используется, так как позволяет определять значения функции в одной полосе шириной 1 по z из соседней полосы. В частности, начиная с хорошего приближения для  z с большой действительной частью, можно шаг за шагом перейти к желаемому  z . Следуя указаниям Карла Фридриха Гаусса , Rocktaeschel (1922) предложил приближение для больших Re ( z ) :${\displaystyle \ln(\Gamma (z))}$

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\approx (z-{\tfrac {1}{2}})\ln z-z+{\tfrac {1}{2}}\ln(2\pi ).}$

Это можно использовать для точного приближения ln (Γ ( z )) для z с меньшим Re ( z ) с помощью (PEBöhmer, 1939)

${\displaystyle \ln \Gamma (z-m)=\ln \Gamma (z)-\sum _{k=1}^{m}\ln(z-k).}$

Более точное приближение можно получить, используя большее количество членов из асимптотических разложений ln (Γ ( z )) и Γ ( z ) , которые основаны на приближении Стирлинга.

${\displaystyle \Gamma (z)\sim z^{z-{\frac {1}{2}}}e^{-z}{\sqrt {2\pi }}\left(1+{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{288z^{2}}}-{\frac {139}{51\,840z^{3}}}-{\frac {571}{2\,488\,320z^{4}}}\right)}$

как | z | → ∞ при постоянном | arg ( z ) | <π .

В более «естественном» изложении:

${\displaystyle \ln \Gamma (z)\sim z\ln(z)-z-{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)+{\frac {1}{12z}}-{\frac {1}{360z^{3}}}+{\frac {1}{1260z^{5}}}}$

как | z | → ∞ при постоянном | arg ( z ) | <π .

Коэффициенты членов с k > 1 при z ^{- k + 1} в последнем разложении просто равны

${\displaystyle {\frac {B_{k}}{k(k-1)}}}$

где B _k - числа Бернулли .

Свойства [ править ]

Теорема Бора – Моллерупа утверждает, что среди всех функций, расширяющих факториальные функции до положительных действительных чисел, только гамма-функция является логарифмической , то есть ее натуральный логарифм является выпуклым на положительной вещественной оси. Другая характеристика дается теоремой Виландта .

В определенном смысле функция ln (Γ) является более естественной формой; он проясняет некоторые внутренние атрибуты функции. Ярким примером является ряд Тейлора из Ln (Г) около 1:

${\displaystyle \ln \Gamma (z+1)=-\gamma z+\sum _{k=2}^{\infty }{\frac {\zeta (k)}{k}}\,(-z)^{k}\qquad \forall \;|z|<1}$