Взаимная гамма-функция

График 1 / Γ (x) вдоль вещественной оси

Взаимная гамма-функция 1 / Γ ( z ) на комплексной плоскости . Цвет точки z кодирует значение 1 / Γ ( z ) . Яркие цвета обозначают значения, близкие к нулю, а оттенок кодирует аргумент значения .

В математике , то обратная гамма - функция является функцией

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {1} {\ Gamma (z)}},}$

где Γ ( z ) обозначает гамма-функцию . Поскольку гамма-функция мероморфна и отлична от нуля всюду в комплексной плоскости , обратная ей функция является целой функцией . Как целая функция, она имеет порядок 1 (это означает, что log log | 1 / Γ ( z ) | растет не быстрее, чем log | z | ), но бесконечного типа (что означает, что log | 1 / Γ ( z ) | растет быстрее, чем любое кратное | z | , так как его рост примерно пропорционален | z| журнал | z | в левой плоскости).

Обратная величина иногда используется в качестве отправной точки для численного вычисления гамма-функции, и несколько программных библиотек предоставляют ее отдельно от обычной гамма-функции.

Карл Вейерштрасс назвал обратную гамма-функцию «факторией» и использовал ее при разработке теоремы факторизации Вейерштрасса .

Бесконечное расширение продукта [ править ]

Следуя определениям бесконечного произведения для гамма-функции , сделанным Эйлером и Вейерштрассом соответственно, мы получаем следующее разложение бесконечного произведения для обратной гамма-функции:

${\ Displaystyle {\ begin {align} {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} & = z \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1 + {\ frac {z) } {n}}} {\ left (1 + {\ frac {1} {n}} \ right) ^ {z}}} \\ {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} & = ze ^ {\ gamma z} \ prod _ {n = 1} ^ {\ infty} \ left (1 + {\ frac {z} {n}} \ right) e ^ {- {\ frac {z} {n} }} \ end {выровнены}}}$

где & gamma ≈ 0.577216 ... это постоянная Эйлера-Mascheroni . Эти разложения действительны для всех комплексных чисел  z .

Серия Тейлор [ править ]

Разложение в ряд Тейлора около 0 дает

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ Gamma (z)}} = z + \ gamma z ^ {2} + \ left ({\ frac {\ gamma ^ {2}} {2}} - {\ frac { \ pi ^ {2}} {12}} \ right) z ^ {3} + \ cdots}$

где γ - постоянная Эйлера – Маскерони . Для n > 2 коэффициент a _n для члена z ⁿ может быть вычислен рекурсивно как ^[1]

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {a_ {2} a_ {n-1} - \ sum _ {j = 2} ^ {n-1} (- 1) ^ {j} \, \ zeta ( j) \, a_ {nj}} {n-1}}}$

где ζ ( s ) - дзета-функция Римана . Интегральное представление для этих коэффициентов было недавно найдено Fekih-Ahmed (2014): ^[2]

${\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {(-1) ^ {n}} {\ pi n!}} \ int _ {0} ^ {\ infty} e ^ {- t} \ Im [(\ log (t) -i \ pi) ^ {n}] \, dt \ ,.}$

Для малых значений они дают следующие значения:

Fekih-Ahmed (2014) ^[2] также дает приближение для :${\ displaystyle a_ {n}}$

${\displaystyle a_{n}\approx {\frac {(-1)^{n}}{(n-1)!}}\,{\sqrt {{\frac {2}{\,\pi n\,}}\,}}\;\Im \!\!\left({\frac {\,z_{0}^{\left(1/2-n\right)}\,e^{-nz_{0}}\,}{\sqrt {1+z_{0}\,}}}\right)\,,}$

где и есть минус первая ветвь функции Ламберта W .${\displaystyle z_{0}=-{\frac {1}{n}}\exp \!{\Bigl (}W_{-1}(-n){\Bigr )}\,,}$${\displaystyle W_{-1}}$

Асимптотическое разложение [ править ]

Как | z | стремится к бесконечности при постоянном arg ( z ), мы имеем:

${\displaystyle \ln(1/\Gamma (z))\sim -z\ln(z)+z+{\tfrac {1}{2}}\ln \left({\frac {z}{2\pi }}\right)-{\frac {1}{12z}}+{\frac {1}{360z^{3}}}-{\frac {1}{1260z^{5}}}\qquad \qquad {\text{for}}\quad |\arg(z)|<\pi }$

Интегральное представление контура [ править ]

Интегральное представление Германа Ганкеля :

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {i}{2\pi }}\oint _{H}(-t)^{-z}e^{-t}\,dt,}$

где H - контур Ганкеля , то есть путь, охватывающий 0 в положительном направлении, начинающийся и возвращающийся в положительную бесконечность относительно ветви, разрезанной вдоль положительной вещественной оси. Согласно Schmelzer & Trefethen ^[3] численное вычисление интеграла Ганкеля является основой некоторых из лучших методов вычисления гамма-функции.

Интегральные представления в положительных целых числах [ править ]

Для положительных целых чисел существует интеграл для обратной факториальной функции, заданный формулой ^[4]${\displaystyle n\geq 1}$

${\displaystyle {\frac {1}{n!}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\pi }^{\pi }e^{-nit}e^{e^{it}}\ dt.}$

Точно так же для любого реального и у нас есть следующий интеграл для обратной гамма-функции вдоль вещественной оси в виде ^{[5] [ ненадежный источник? ]} : ${\displaystyle c>0}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} }$

${\displaystyle {\frac {1}{\Gamma (z)}}={\frac {1}{2\pi }}\int _{-\infty }^{\infty }(c+it)^{-z}e^{c+it}dt,}$

где частный случай, когда обеспечивает соответствующее соотношение для обратной двойной факториальной функции,${\displaystyle z=n+1/2}$${\displaystyle {\frac {1}{(2n-1)!!}}={\frac {\sqrt {\pi }}{2^{n}\cdot \Gamma \left(n+{\frac {1}{2}}\right)}}.}$

Интеграл по действительной оси [ править ]

Интегрирование обратной гамма-функции вдоль положительной действительной оси дает значение

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\Gamma (x)}}\,dx\approx 2.80777024,}$

которая известна как постоянная Франсена – Робинсона .

См. Также [ править ]

• Функция Бесселя – Клиффорда
• Обратное гамма-распределение

Ссылки [ править ]

• Метте Лунд, Интеграл для обратной гамма-функции
• Милтон Абрамовиц и Ирен А. Стегун, Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами
• Эрик В. Вайсштейн , Гамма-функция , MathWorld