Контур Ганкеля

Контурная тропа Ганкеля, пройденная в положительном смысле.

Это вариант контура Ганкеля, который состоит только из линейного зеркального изображения, пересекающего действительную ось.

В математике , А контур Ганкель представляет собой путь в комплексной плоскости , которая проходит от (+ ∞, б), вокруг начала координат против часовой стрелки и обратно к (+ ∞, -δ), где δ сколь угодно малое положительное число. Таким образом, контур остается произвольно близким к действительной оси, но не пересекает действительную ось, за исключением отрицательных значений x. Контур Ганкеля также может быть представлен путем, имеющим зеркальные изображения чуть выше и ниже действительной оси, соединенным с окружностью радиуса ε с центром в начале координат, где ε - произвольно малое число. Говорят, что два линейных участка контура находятся на расстоянии δ от действительной оси. Таким образом, общее расстояние между линейными участками контура равно 2δ. ^[1] Контур проходит в положительно ориентированном смысле, что означает, что круг вокруг начала координат перемещается против часовой стрелки.

Использование контуров Ганкеля - один из методов интегрирования контуров . Этот тип пути для контурных интегралов был впервые использован Германом Ганкелем в его исследованиях гамма-функции .

Контур Ганкеля используется для вычисления интегралов, таких как гамма-функция, функция Римана-Дзета и другие функции Ганкеля (которые являются функциями Бесселя третьего рода). ^{[1] [2]}

Приложения контура Ханкеля [ править ]

Контур Ганкеля и гамма-функция [ править ]

Контур Ганкеля помогает выразить и решить гамма-функцию на сложной t- плоскости. Гамма-функцию можно определить для любого комплексного значения на плоскости, если мы вычислим интеграл по контуру Ганкеля. Контур Ганкеля особенно полезен для выражения гамма-функции для любого комплексного значения, потому что конечные точки контура исчезают, и, таким образом, позволяет удовлетворить фундаментальное свойство гамма-функции, которое гласит . ^[2]${\ Displaystyle \ Гамма (г + 1) = г \ Гамма (г)}$

Вывод контурного интегрального выражения гамма-функции ^[2] [ править ]

Обратите внимание, что формальное представление гамма-функции есть .${\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ {C} f (t) t ^ {z-1} dt}$

Чтобы удовлетворить фундаментальному свойству гамма-функции, следует, что

${\ Displaystyle \ int _ {C} е (t) t ^ {z} dt = [t ^ {z} f (t)] - \ int _ {C} t ^ {z} f '(t) dt}$

после умножения обеих частей на z.

Таким образом, учитывая, что концы контура Ганкеля обращаются в нуль, левая и правая части сводятся к

${\ Displaystyle f (t) + f '(t) = 0}$.

Используя дифференциальные уравнения ,

${\ displaystyle f (t) = Ae ^ {- t}}$

становится общим решением. Хотя A постоянна по отношению к t , считается , что A может колебаться в зависимости от комплексного числа z . Поскольку A (z) произвольно, комплексная экспонента от z может быть включена в определение A (z). Подставляя f (t) в исходный интеграл, получаем .${\ displaystyle \ Gamma (z) = A (z) \ int _ {C} e ^ {- t} (- t) ^ {z-1} dt}$

Интегрируя по контуру Ганкеля, контурное интегральное выражение гамма-функции становится . ^[2]${\ displaystyle \ Gamma (z) = {\ frac {i} {2 \ sin {\ pi z}}} \ int _ {C} e ^ {- t} (- t) ^ {z-1} dt}$

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Шмельцер, Томас; Трефетен, Ллойд Н. (2007-01). «Вычисление гамма-функции с использованием контурных интегралов и рациональных приближений». Журнал СИАМ по численному анализу. 45 (2): 558–571. DOI : 10.1137 / 050646342 . ISSN 0036-1429 . 
• Хью Л. Монтгомери ; Роберт К. Воан (2007). Мультипликативная теория чисел I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . п. 515. ISBN 0-521-84903-9 . 

Внешние ссылки [ править ]

• http://mathworld.wolfram.com/HankelContour.html
• Цифровая библиотека математических функций NIST: гамма-функция: интегральное представление