Дзета-функция Римана

Дзета - функция Римана или дзета - функция Эйлера-Риман , ζ ( ы ) , является функцией множества А комплексной переменной s , что аналитически продолжается сумма ряда Дирихля

${\ displaystyle \ zeta (s) = \ sum _ {n = 1} ^ {\ infty} {\ frac {1} {n ^ {s}}},}$

который сходится , когда действительная часть из S больше 1. Более общие представления о z , ( S ) для всех х приведены ниже. Дзета-функция Римана играет ключевую роль в аналитической теории чисел и имеет приложения в физике , теории вероятностей и прикладной статистике .

Как функцию действительной переменной Леонард Эйлер впервые ввел и изучил ее в первой половине восемнадцатого века, не прибегая к комплексному анализу , который в то время был недоступен. В статье Бернхарда Римана 1859 года « О числе простых чисел, меньших заданной величины » определение Эйлера было расширено до комплексной переменной, доказано его мероморфное продолжение и функциональное уравнение , а также установлена ​​связь между его нулями и распределением простых чисел . ^[2]

Значения дзета-функции Римана при четных положительных целых числах были вычислены Эйлером. Первый из них, ζ (2) , дает решение проблемы Базеля . В 1979 году Роджер Апери доказал иррациональность ζ (3) . Значения в отрицательных целых точках, также найденные Эйлером, являются рациональными числами и играют важную роль в теории модулярных форм . Многие обобщения дзета - функции Римана, такие , как ряд Дирихле , Дирихле L -функции и L -функции , известны.

Определение [ править ]

Дзета-функция Римана ζ ( s ) является функцией комплексной переменной s = σ + it . (Обозначения s , σ и t традиционно используются при изучении дзета-функции, вслед за Риманом.)

Для особого случая, когда дзета-функция может быть выражена следующим интегралом:${\ Displaystyle \ OperatorName {Re} (s) \ Equiv \ sigma> 1,}$

${\ displaystyle \ zeta (s) = {\ frac {1} {\ Gamma (s)}} \ int _ {0} ^ {\ infty} {\ frac {x ^ {s-1}} {e ^ { x} -1}} \, \ mathrm {d} x \ quad {\ text {for}} \ quad \ operatorname {Re} (s) \ Equiv \ sigma> 1,}$

куда

${\ displaystyle \ Gamma (s) = \ int _ {0} ^ {\ infty} x ^ {s-1} \, e ^ {- x} \, \ mathrm {d} x}$

это гамма-функция .

В случае σ > 1 интеграл для ζ ( s ) всегда сходится и может быть упрощен до следующего бесконечного ряда :

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }n^{-s}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+\cdots \quad {\text{for}}\quad \sigma \equiv \operatorname {Re} (s)>1.}$

Дзета-функция Римана определяется как аналитическое продолжение функции, определенной для σ > 1 суммой предыдущего ряда.

Леонард Эйлер рассмотрел вышеупомянутый ряд в 1740 году для положительных целых значений s , а позже Чебышев расширил определение до ^[3]${\displaystyle \operatorname {Re} (s)>1.}$

Приведенный выше ряд является прототипом ряда Дирихле, который абсолютно сходится к аналитической функции для s, такой что σ > 1, и расходится для всех других значений s . Риман показал, что функция, определяемая рядом на полуплоскости сходимости, аналитически продолжается до всех комплексных значений s 1 . При s = 1 ряд представляет собой гармонический ряд, расходящийся до + ∞ , и

${\displaystyle \lim _{s\to 1}(s-1)\zeta (s)=1.}$

Таким образом, дзета-функция Римана является мероморфной функцией на всей комплексной s- плоскости, которая голоморфна всюду, кроме простого полюса в s = 1 с вычетом 1 .

Конкретные значения [ править ]

Для любого положительного четного целого 2 n :

${\displaystyle \zeta (2n)={\frac {(-1)^{n+1}B_{2n}(2\pi )^{2n}}{2(2n)!}}}$

где B _{2 n} - 2 n -е число Бернулли .

Для нечетных положительных целых чисел такое простое выражение не известно, хотя считается, что эти значения связаны с алгебраической K- теорией целых чисел; см. Особые значения L -функций .

Для неположительных целых чисел

${\displaystyle \zeta (-n)=(-1)^{n}{\frac {B_{n+1}}{n+1}}}$

для n ≥ 0 (используя соглашение, что B ₁ = -1/2).

В частности, ζ обращается в нуль при отрицательных четных целых числах, потому что B _m = 0 для всех нечетных m, кроме 1. Это так называемые «тривиальные нули» дзета-функции.

С помощью аналитического продолжения можно показать, что:

• ${\displaystyle \zeta (-1)=-{\tfrac {1}{12}}}$

Это дает предлог для присвоения конечного значения расходящемуся ряду 1 + 2 + 3 + 4 + ⋯ , который использовался в определенных контекстах ( суммирование Рамануджана ), таких как теория струн . ^[4]

• ${\displaystyle \zeta (0)=-{\tfrac {1}{2}};}$

Аналогично предыдущему, это приписывает конечный результат ряду 1 + 1 + 1 + 1 + ⋯ .

• ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {1}{2}}{\bigr )}\approx -1.46035450880958681289}$   ( OEIS :  A059750 )

Это используется при расчете кинетических задач пограничного слоя линейных кинетических уравнений. ^[5]

• ${\displaystyle \zeta (1)=1+{\tfrac {1}{2}}+{\tfrac {1}{3}}+\cdots =\infty ;}$

Если мы приближаемся от чисел больше 1, это гармонический ряд . Но его главное значение Коши

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}{\frac {\zeta (1+\varepsilon )+\zeta (1-\varepsilon )}{2}}}$

существует и является постоянной Эйлера – Маскерони γ = 0,5772… .

• ${\displaystyle \zeta {\bigl (}{\tfrac {3}{2}}{\bigr )}\approx 2.61237534868548834335;}$   ( OEIS :  A078434 )

Это используется при вычислении критической температуры для конденсата Бозе – Эйнштейна в ящике с периодическими граничными условиями, а также для физики спиновых волн в магнитных системах.

• ${\displaystyle \zeta (2)=1+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}\approx 1.64493406684822643647;\!}$   ( OEIS :  A013661 )

Демонстрация этого равенства известна как проблема Базеля . Обратная величина этой суммы отвечает на вопрос: какова вероятность того, что два случайно выбранных числа будут относительно простыми ? ^[6]

• ${\displaystyle \zeta (3)=1+{\frac {1}{2^{3}}}+{\frac {1}{3^{3}}}+\cdots \approx 1.20205690315959428540;}$   ( OEIS :  A002117 )

Это число называется постоянной Апери .

• ${\displaystyle \zeta (4)=1+{\frac {1}{2^{4}}}+{\frac {1}{3^{4}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{4}}{90}}\approx 1.08232323371113819152;}$   ( OEIS :  A013662 )

Это появляется при интеграции закона Планка для вывода закона Стефана-Больцмана в физике.

Взяв предел , получается .${\displaystyle n\rightarrow \infty }$${\displaystyle \zeta (\infty )=1}$

Формула произведения Эйлера [ править ]

В 1737 году связь между дзета-функцией и простыми числами была обнаружена Эйлером, который доказал тождество

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},}$

где по определению левая часть - это ζ ( s ), а бесконечное произведение в правой части распространяется на все простые числа p (такие выражения называются произведениями Эйлера ):

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}={\frac {1}{1-2^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-3^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-5^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-7^{-s}}}\cdot {\frac {1}{1-11^{-s}}}\cdots {\frac {1}{1-p^{-s}}}\cdots }$

Обе части формулы произведения Эйлера сходятся при Re ( s )> 1 . Доказательство тождества Эйлера использует только формулу для геометрической прогрессии , и основной теоремы арифметики . Поскольку гармонический ряд , полученный при s = 1 , расходится, формула Эйлера (которая принимает вид ∏ _p п/п - 1) означает, что простых чисел бесконечно много . ^[7]

Формулу произведения Эйлера можно использовать для вычисления асимптотической вероятности того, что s случайно выбранных целых чисел будут взаимно простыми с точки зрения набора . Интуитивно вероятность того, что любое отдельное число делится на простое (или любое целое) p, равна1/п. Следовательно, вероятность того, что все s чисел делятся на это простое число, равна1/p ^s, а вероятность того, что хотя бы один из них не такой, равна 1 -1/p ^s. Теперь для различных простых чисел эти события делимости взаимно независимы, поскольку кандидаты в делители взаимно просты (число делится на взаимно простые делители n и m тогда и только тогда, когда оно делится на  nm , событие, которое происходит с вероятностью 1/нм). Таким образом, асимптотическая вероятность того, что s чисел взаимно просты, определяется произведением всех простых чисел:

${\displaystyle \prod _{p{\text{ prime}}}\left(1-{\frac {1}{p^{s}}}\right)=\left(\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}}\right)^{-1}={\frac {1}{\zeta (s)}}.}$

Функциональное уравнение Римана [ править ]

Дзета-функция удовлетворяет функциональному уравнению

${\displaystyle \zeta (s)=2^{s}\pi ^{s-1}\ \sin \left({\frac {\pi s}{2}}\right)\ \Gamma (1-s)\ \zeta (1-s),}$

где Γ ( s ) - гамма-функция . Это равенство мероморфных функций, справедливое на всей комплексной плоскости . Уравнение связывает значения дзета-функции Римана в точках s и 1 - s , в частности, связывая четные положительные целые числа с нечетными отрицательными целыми числами. Благодаря нулям функции синуса, функциональное уравнение означает , что г ( S ) имеет простой нуль на каждое даже отрицательное целое число сек = -2 п , известные как тривиальные нули от z , ( ами ) . Когдаs - четное положительное целое число, произведение sin (π s/2) Γ (1 - s ) справа не равно нулю, поскольку Γ (1 - s ) имеет простой полюс , который сокращает простой нуль синусоидального множителя.

Функциональное уравнение было установлено Риманом в его статье 1859 года « О числе простых чисел меньше заданной величины » и использовалось, в первую очередь, для построения аналитического продолжения. Эквивалентное соотношение было предположено Эйлером более ста лет назад, в 1749 году, для эта-функции Дирихле (альтернативная дзета-функция):

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}}=\left(1-{2^{1-s}}\right)\zeta (s).}$

Между прочим, это соотношение дает уравнение для вычисления ζ ( s ) в области 0 < Re ( s ) <1, т.е.

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-{2^{1-s}}}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n+1}}{n^{s}}},}$

где η -ряд сходится (хотя и не абсолютно ) в большей полуплоскости s > 0 (более подробный обзор истории функционального уравнения см., например, в Благушине ^{[8] [9]} ).

Риман также нашел симметричный вариант функционального уравнения, применимого к xi-функции:

${\displaystyle \xi (s)={\frac {1}{2}}\pi ^{-{\frac {s}{2}}}s(s-1)\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s),\!}$

который удовлетворяет:

${\displaystyle \xi (s)=\xi (1-s).\!}$

( Исходная ξ ( t ) Римана немного отличалась.)

Нули, критическая линия и гипотеза Римана [ править ]

Функциональное уравнение показывает, что дзета-функция Римана имеет нули в точках −2, −4,… . Они называются тривиальными нулями . Они тривиальны в том смысле, что их существование относительно легко доказать, например, от грехаπ s/20 в функциональном уравнении. Нетривиальные нули привлекли гораздо больше внимания, потому что их распределение не только гораздо менее изучено, но, что более важно, их исследование дает впечатляющие результаты, касающиеся простых чисел и связанных с ними объектов в теории чисел. Известно, что любой нетривиальный нуль лежит в открытой полосе { s ∈ ℂ  : 0 <Re ( s ) <1} , которая называется критической полосой . Гипотеза Римана , считающаяся одной из величайших нерешенных проблем математики, утверждает, что любой нетривиальный нуль s имеет Re ( s ) =1/2. В теории дзета-функции Римана множество { s ∈ ℂ  : Re ( s ) =1/2}  называется критической линией . Для дзета-функции Римана на критической прямой см. Z -функцию .

Гипотезы Харди – Литтлвуда [ править ]

В 1914 году Годфри Гарольд Харди доказал, что ζ (1/2+ it ) имеет бесконечно много действительных нулей.

Харди и Джон Эденсор Литтлвуд сформулировали две гипотезы о плотности и расстоянии между нулями ζ (1/2+ it ) на интервалах больших положительных действительных чисел. В дальнейшем N ( T ) - общее количество действительных нулей, а N ₀ ( T ) - общее количество нулей нечетного порядка функции ζ (1/2+ it ), лежащий в интервале (0, T ] .

Эти две гипотезы открыли новые направления в исследовании дзета-функции Римана.

Нулевой регион [ править ]

Расположение нулей дзета-функции Римана имеет большое значение в теории чисел. Теорема о простых числах эквивалентна тому, что на прямой Re ( s ) = 1 нет нулей дзета-функции . ^[10] Лучший результат ^[11], который следует из эффективной формы теоремы Виноградова о среднем, состоит в том, что ζ ( σ + it ) ≠ 0 всякий раз, когда | т | ≥ 3 и

${\displaystyle \sigma \geq 1-{\frac {1}{57.54(\log {|t|})^{\frac {2}{3}}(\log {\log {|t|}})^{\frac {1}{3}}}}.}$

Самый сильный результат такого рода, на который можно надеяться, - это истинность гипотезы Римана, которая имела бы много глубоких следствий в теории чисел.

Другие результаты [ править ]

Известно, что на критической прямой бесконечно много нулей. Литтлвуд показал, что если последовательность ( γ _n ) содержит мнимые части всех нулей в верхней полуплоскости в порядке возрастания, то

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }\left(\gamma _{n+1}-\gamma _{n}\right)=0.}$

Теорема о критической прямой утверждает, что положительная доля нетривиальных нулей лежит на критической прямой. (Гипотеза Римана подразумевает, что эта пропорция равна 1.)

В критической полосе нуль с наименьшей неотрицательной мнимой частью равен 1/2+ 14.13472514… i ( OEIS :  A058303 ). Дело в том, что

${\displaystyle \zeta (s)={\overline {\zeta ({\overline {s}})}}}$

для всех комплексных s ≠ 1 означает, что нули дзета-функции Римана симметричны относительно действительной оси. Более того, комбинируя эту симметрию с функциональным уравнением, можно увидеть, что нетривиальные нули симметричны относительно критической линии Re ( s ) =1/2.

Различные свойства [ править ]

Для сумм, включающих дзета-функцию в целых и полуцелых значениях, см. Рациональные дзета-ряды .

Взаимный [ править ]

Обратная величина дзета-функции может быть выражена в виде ряда Дирихле по функции Мёбиуса μ ( n ) :

${\displaystyle {\frac {1}{\zeta (s)}}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\mu (n)}{n^{s}}}}$

для любого комплексного числа s с действительной частью больше 1. Существует ряд аналогичных соотношений, включающих различные хорошо известные мультипликативные функции ; они приведены в статье о серии Дирихле .

Гипотеза Римана эквивалентна утверждению, что это выражение верно, когда действительная часть s больше, чем1/2.

Универсальность [ править ]

Критическая полоса дзета-функции Римана обладает замечательным свойством универсальности . Эта универсальность дзета-функции утверждает, что существует некоторое место на критической полосе, которое сколь угодно хорошо аппроксимирует любую голоморфную функцию . Поскольку голоморфные функции очень общие, это свойство весьма примечательно. Первое доказательство универсальности было предоставлено Сергеем Михайловичем Ворониным в 1975 году. ^[12] Более поздняя работа включала эффективные версии теоремы Воронина ^[13] и ее распространение на L-функции Дирихле . ^{[14] [15]}

Оценки максимума модуля дзета-функции [ править ]

Пусть функции F ( T ; H ) и G ( s ₀ ; Δ) определены равенствами

${\displaystyle F(T;H)=\max _{|t-T|\leq H}\left|\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)\right|,\qquad G(s_{0};\Delta )=\max _{|s-s_{0}|\leq \Delta }|\zeta (s)|.}$

Здесь T - достаточно большое положительное число, 0 < H ≪ ln ln T , s ₀ = σ ₀ + iT ,1/2≤ σ ₀ ≤ 1 , 0 <Δ <1/3. Оценка значений F и G снизу показывает, насколько большие (по модулю) значения ζ ( s ) могут принимать на коротких отрезках критической прямой или в малых окрестностях точек, лежащих в критической полосе 0 ≤ Re ( s ) ≤ 1 .

Случай H ≫ ln ln T изучал Канаканахалли Рамачандра ; случай ∆> c , где c - достаточно большая постоянная, тривиален.

Анатолий Карацуба доказал, в частности ^{[16] [17]} , что если значения H и Δ превосходят некоторые достаточно малые константы, то оценки

${\displaystyle F(T;H)\geq T^{-c_{1}},\qquad G(s_{0};\Delta )\geq T^{-c_{2}},}$

где c ₁ и c ₂ - некоторые абсолютные постоянные.

Аргумент дзета-функции Римана [ править ]

Функция

${\displaystyle S(t)={\frac {1}{\pi }}\arg {\zeta \left({\tfrac {1}{2}}+it\right)}}$

называется аргументом дзета-функции Римана. Здесь arg ζ (1/2+ it ) - приращение произвольной непрерывной ветви arg ζ ( s ) вдоль ломаной, соединяющей точки 2 , 2 + it и1/2+ это .

Есть несколько теорем о свойствах функции S ( t ) . Среди этих результатов ^{[18] [19]} - теоремы о среднем для S ( t ) и ее первого интеграла

${\displaystyle S_{1}(t)=\int _{0}^{t}S(u)\,\mathrm {d} u}$

на отрезках вещественной прямой, а также теорему о том, что каждый отрезок ( T , T + H ] для

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {27}{82}}+\varepsilon }}$

содержит как минимум

${\displaystyle H{\sqrt[{3}]{\ln T}}e^{-c{\sqrt {\ln \ln T}}}}$

точки, в которых функция S ( t ) меняет знак. Ранее аналогичные результаты были получены Атле Сельбергом для случая

${\displaystyle H\geq T^{{\frac {1}{2}}+\varepsilon }.}$

Представления [ править ]

Серия Дирихле [ править ]

Расширение области сходимости можно получить, переставив исходный ряд. ^[20] Сериал

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }\left({\frac {n}{(n+1)^{s}}}-{\frac {n-s}{n^{s}}}\right)}$

сходится при Re ( s )> 0 , а

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n(n+1)}{2}}\left({\frac {2n+3+s}{(n+1)^{s+2}}}-{\frac {2n-1-s}{n^{s+2}}}\right)}$

сходится даже при Re ( s )> −1 . Таким образом, область сходимости может быть расширена до Re ( s )> - k для любого отрицательного целого числа - k .

Интегралы типа Меллина [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Декабрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Преобразование Меллина функции f ( x ) определяется как

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }f(x)x^{s}\,{\frac {\mathrm {d} x}{x}}}$

в области определения интеграла. Существуют различные выражения для дзета-функции в виде интегралов, подобных преобразованию Меллина. Если действительная часть s больше единицы, мы имеем

${\displaystyle \Gamma (s)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x,}$

где Γ обозначает гамма-функцию . Модифицируя контур, Риман показал, что

${\displaystyle 2\sin(\pi s)\Gamma (s)\zeta (s)=i\oint _{H}{\frac {(-x)^{s-1}}{e^{x}-1}}\,\mathrm {d} x}$

для всех s (где H обозначает контур Ганкеля ).

Исходя из интегральной формулы, можно показать ^[21] подстановкой и повторным дифференцированием для натуральных${\displaystyle \zeta (n){\Gamma (n)}=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n-1}}{e^{x}-1}}\mathrm {d} x,}$${\displaystyle k\geq 2}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}e^{x}}{(e^{x}-1)^{k}}}\mathrm {d} x={\frac {n!}{(k-1)!}}\zeta ^{n}\prod _{j=0}^{k-2}\left(1-{\frac {j}{\zeta }}\right)}$

используя нотацию теневого исчисления, где каждая степень должна быть заменена на , так, например, для нас есть while для этого становится ${\displaystyle \zeta ^{r}}$${\displaystyle \zeta (r)}$${\displaystyle k=2}$${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}e^{x}}{(e^{x}-1)^{2}}}\mathrm {d} x={n!}\zeta (n),}$${\displaystyle k=4}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }{\frac {x^{n}e^{x}}{(e^{x}-1)^{4}}}\mathrm {d} x={\frac {n!}{6}}{\bigl (}\zeta ^{n-2}-3\zeta ^{n-1}+2\zeta ^{n}{\bigr )}=n!{\frac {\zeta (n-2)-3\zeta (n-1)+2\zeta (n)}{6}}.}$

Мы также можем найти выражения, относящиеся к простым числам и теореме о простых числах . Если π ( x ) - функция счета простых чисел , то

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }{\frac {\pi (x)}{x(x^{s}-1)}}\,\mathrm {d} x,}$

для значений с Re ( s )> 1 .

Аналогичное преобразование Меллина включает функцию Римана J ( x ) , которая подсчитывает простые степени p ⁿ с весом1/п, так что

${\displaystyle J(x)=\sum {\frac {\pi \left(x^{\frac {1}{n}}\right)}{n}}.}$

Теперь у нас есть

${\displaystyle \ln \zeta (s)=s\int _{0}^{\infty }J(x)x^{-s-1}\,\mathrm {d} x.}$

Эти выражения можно использовать для доказательства теоремы о простых числах с помощью обратного преобразования Меллина. С функцией подсчета простых чисел Римана легче работать, и π ( x ) можно восстановить из нее с помощью обращения Мёбиуса .

Тета-функции [ править ]

Дзета-функция Римана может быть задана преобразованием Меллина ^[22]

${\displaystyle 2\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)=\int _{0}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t,}$

в терминах тета-функции Якоби

${\displaystyle \theta (\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi in^{2}\tau }.}$

Однако этот интеграл сходится, только если действительная часть s больше 1, но его можно регуляризовать. Это дает следующее выражение для дзета-функции, которое хорошо определено для всех s, кроме 0 и 1:

${\displaystyle \pi ^{-{\frac {s}{2}}}\Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\zeta (s)={\frac {1}{s-1}}-{\frac {1}{s}}+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{1}\left(\theta (it)-t^{-{\frac {1}{2}}}\right)t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t+{\frac {1}{2}}\int _{1}^{\infty }{\bigl (}\theta (it)-1{\bigr )}t^{{\frac {s}{2}}-1}\,\mathrm {d} t.}$

Серия Лорана [ править ]

В этом разделе не процитировать любые источники . Пожалуйста, помогите улучшить этот раздел , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален . ( Декабрь 2014 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Дзета-функция Римана мероморфна с единственным полюсом первого порядка при s = 1 . Следовательно, его можно разложить в ряд Лорана о s = 1 ; развитие серии тогда

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\gamma _{n}}{n!}}(1-s)^{n}.}$

Константы γ _n здесь называются константами Стилтьеса и могут быть определены пределом

${\displaystyle \gamma _{n}=\lim _{m\rightarrow \infty }{\left(\left(\sum _{k=1}^{m}{\frac {(\ln k)^{n}}{k}}\right)-{\frac {(\ln m)^{n+1}}{n+1}}\right)}.}$

Постоянный член γ ₀ - это постоянная Эйлера – Маскерони .

Интегральный [ править ]

Для всех s ∈ C , s 1 , интегральное соотношение (ср. Формулу Абеля – Планы )

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}+{\frac {1}{2}}+2\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan t)}{\left(1+t^{2}\right)^{s/2}\left(e^{2\pi t}-1\right)}}\,\mathrm {d} t}$

верно, что может быть использовано для численной оценки дзета-функции.

Растущий факториал [ править ]

Другое развитие серии, использующее возрастающий факториал, действительное для всей комплексной плоскости, - ^{[ цитата ]}

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {s}{s-1}}-\sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (s+n)-1{\bigr )}{\frac {s(s+1)\cdots (s+n-1)}{(n+1)!}}.}$

Это можно использовать рекурсивно, чтобы расширить определение ряда Дирихле на все комплексные числа.

Дзета-функция Римана также появляется в форме, аналогичной преобразованию Меллина, в интеграле по оператору Гаусса – Кузьмина – Вирсинга, действующему на x ^{s - 1} ; этот контекст приводит к расширению ряда с точки зрения падающего факториала . ^[23]

Произведение Адамара [ править ]

На основании теоремы Вейерштрасса о факторизации , Адамара дал бесконечный продукт расширения

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {e^{\left(\log(2\pi )-1-{\frac {\gamma }{2}}\right)s}}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)e^{\frac {s}{\rho }},}$

где произведение ведется по нетривиальным нулям ρ функции ζ, а буква γ снова обозначает постоянную Эйлера – Маскерони . Более простое расширение бесконечного произведения

${\displaystyle \zeta (s)=\pi ^{\frac {s}{2}}{\frac {\prod _{\rho }\left(1-{\frac {s}{\rho }}\right)}{2(s-1)\Gamma \left(1+{\frac {s}{2}}\right)}}.}$

Эта форма ясно отображает простой полюс при s = 1 , тривиальные нули при −2, −4, ... из-за члена гамма-функции в знаменателе и нетривиальные нули при s = ρ . (Чтобы гарантировать сходимость в последней формуле, произведение должно быть взято на «совпадающие пары» нулей, т.е. множители для пары нулей вида ρ и 1 - ρ должны быть объединены.)

Глобально сходящиеся ряды [ править ]

Глобально сходящийся ряд для дзета-функции, действительный для всех комплексных чисел s, кроме s = 1 +2π я/пер. 2n для некоторого целого n , было предположено Конрадом Кноппом ^[24] и доказано Гельмутом Хассе в 1930 году ^[25] (ср. суммирование Эйлера ):

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{1-2^{1-s}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{2^{n+1}}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s}}}.}$

Эта серия появилась в приложении к статье Хассе и была опубликована во второй раз Джонатаном Сондоу в 1994 году ^[26].

Хассе также доказал глобально сходящийся ряд

${\displaystyle \zeta (s)={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n+1}}\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{(k+1)^{s-1}}}}$

в той же публикации. ^[25] Исследование Ярослава Благушина ^{[27] [24]} показало, что похожая эквивалентная серия была опубликована Джозефом Сером в 1926 году. ^[28] Другие похожие глобально сходящиеся серии включают

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)&={\frac {1}{s-1}}\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{1-s}\\[6pt]\zeta (s)&={\frac {1}{s-1}}\left\{-1+\sum _{n=0}^{\infty }H_{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}\right\}\\[6pt]\zeta (s)&={\frac {k!}{(s-k)_{k}}}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+k)!}}\left[{n+k \atop n}\right]\sum _{\ell =0}^{n+k-1}\!(-1)^{\ell }{\binom {n+k-1}{\ell }}(\ell +1)^{k-s},\quad k=1,2,3,\ldots \\[6pt]\zeta (s)&={\frac {1}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }|G_{n+1}|\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}\\[6pt]\zeta (s)&={\frac {1}{s-1}}+1-\sum _{n=0}^{\infty }C_{n+1}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s}\\[6pt]\zeta (s)&={\frac {2(s-2)}{s-1}}\zeta (s-1)+2\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+2}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}\\[6pt]\zeta (s)&=-\sum _{l=1}^{k-1}{\frac {(k-l+1)_{l}}{(s-l)_{l}}}\zeta (s-l)+{\frac {k}{s-k}}+k\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}G_{n+1}^{(k)}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}\\[6pt]\zeta (s)&={\frac {(a+1)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s},\quad \Re (a)>-1\\[6pt]\zeta (s)&=1+{\frac {(a+2)^{1-s}}{s-1}}+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+1}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+2)^{-s},\quad \Re (a)>-1\\[6pt]\zeta (s)&={\frac {1}{a+{\tfrac {1}{2}}}}\left\{-{\frac {\zeta (s-1,1+a)}{s-1}}+\zeta (s-1)+\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}\psi _{n+2}(a)\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(k+1)^{-s}\right\},\quad \Re (a)>-1\end{aligned}}}$

где H _n - номера гармоник , - числа Стирлинга первого рода , - символ Поххаммера , G _n - коэффициенты Грегори , G${\displaystyle \left[{\cdot \atop \cdot }\right]}$${\displaystyle (s-k)_{k}}$^{( k )}
_п- коэффициенты Грегори высшего порядка, C _n - числа Коши второго рода ( C ₁ = 1/2 , C ₂ = 5/12 , C ₃ = 3/8 , ...) и ψ _n ( a ) - многочлены Бернулли второго рода . См. Статью Благушина. ^[24]

Питер Борвейн разработал алгоритм, который применяет полиномы Чебышева к функции Дирихле, чтобы получить очень быстро сходящийся ряд, подходящий для высокоточных численных расчетов . ^[29]

Представление ряда в положительных целых числах через примитив [ править ]

${\displaystyle \zeta (k)={\frac {2^{k}}{2^{k}-1}}+\sum _{r=2}^{\infty }{\frac {(p_{r-1}\#)^{k}}{J_{k}(p_{r}\#)}}\qquad k=2,3,\ldots .}$

Здесь p _n # - первичная последовательность, а J _k - общая функция Джордана . ^[30]

Представление ряда неполными числами поли-Бернулли [ править ]

Функция ζ может быть представлена ​​при Re ( s )> 1 бесконечным рядом

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=0}^{\infty }B_{n,\geq 2}^{(s)}{\frac {(W_{k}(-1))^{n}}{n!}},}$

где K ∈ {-1, 0} , W _к является к - й ветви Ламберта W -функции , и Б^{( μ )}
_{n , ≥2}является неполным полибернулли. ^[31]

Преобразование Меллина карты Энгеля [ править ]

Функция: повторяется, чтобы найти коэффициенты, входящие в разложения Энгеля . ^[32]${\displaystyle g(x)=x\left(1+\left\lfloor x^{-1}\right\rfloor \right)-1}$

Преобразование Меллина отображения связано с дзета-функцией Римана формулой${\displaystyle g(x)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int _{0}^{1}g(x)x^{s-1}\,dx&=\sum _{n=1}^{\infty }\int _{\frac {1}{n+1}}^{\frac {1}{n}}(x(n+1)-1)x^{s-1}\,dx\\[6pt]&=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {n^{-s}(s-1)+(n+1)^{-s-1}(n^{2}+2n+1)+n^{-s-1}s-n^{1-s}}{(s+1)s(n+1)}}\\[6pt]&={\frac {\zeta (s+1)}{s+1}}-{\frac {1}{s(s+1)}}\end{aligned}}}$

Представление ряда в виде суммы геометрического ряда [ править ]

По аналогии с произведением Эйлера, которое может быть доказано с помощью геометрических рядов, дзета-функция для Re может быть представлена ​​как сумма геометрических рядов: ${\displaystyle (s)>1}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\zeta (s)=1+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{a_{n}^{s}-1}},\end{aligned}}}$

где n: ая не идеальная мощность . ^[33]${\displaystyle a_{n}}$

Численные алгоритмы [ править ]

Действительно , дзета-функция Римана имеет для фиксированного и для всех следующих представлений в терминах трех абсолютно и равномерно сходящихся рядов ^[34]${\displaystyle v=1,2,3,\dots }$${\displaystyle \sigma _{0}<v}$${\displaystyle \sigma \leq \sigma _{0}}$

где для положительного целого числа нужно брать предельное значение . Производные от могут быть вычислены путем почленного дифференцирования указанного ряда. Из этого следует алгоритм, который позволяет вычислять с произвольной точностью и его производные с использованием не более чем слагаемых для любых с явными границами ошибок. Ибо это следующие:${\displaystyle s=k}$${\displaystyle \lim _{s\to k}E_{\mu }\left(s\right)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle C\left(\epsilon \right)\left|\tau \right|^{{\frac {1}{2}}+\epsilon }}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle \zeta (s)}$

Для данного аргумента с и можно аппроксимировать с любой точностью , суммируя первый ряд к , к и пренебрегая , если выбирается следующее большее целое число единственного решения неизвестного и от этого . Ибо можно вообще пренебречь . При мягком условии требуется не более чем слагаемых. Следовательно, этот алгоритм по сути так же быстр, как формула Римана-Зигеля . Аналогичные алгоритмы возможны для L-функций Дирихле . ^[34]${\displaystyle s}$${\displaystyle 0\leq \sigma \leq 2}$${\displaystyle 0<t}$${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \delta \leq 0.05}$${\displaystyle n=\left\lceil 3.151\cdot vN\right\rceil }$${\displaystyle E_{1}\left(s\right)}$${\displaystyle m=\left\lceil N\right\rceil }$${\displaystyle E_{-1}\left(s\right)}$${\displaystyle v}$${\displaystyle x-\max \left({\frac {1-\sigma }{2}},0\right)\ln \left({\frac {1}{2}}+x+\tau \right)=\ln {\frac {8}{\delta }}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle N=1.11\left(1+{\frac {{\frac {1}{2}}+\tau }{v}}\right)^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle E_{1}\left(s\right)}$${\displaystyle \tau >{\frac {5}{3}}\left({\frac {3}{2}}+\ln {\frac {8}{\delta }}\right)}$${\displaystyle 2+8{\sqrt {1+\ln {\frac {8}{\delta }}+\max \left({\frac {1-\sigma }{2}},0\right)\ln \left(2\tau \right)}}~{\sqrt {\tau }}}$

В феврале 2020 года Сандип Tyagi показал , что квантовый компьютер может оценить в критической полосе с вычислительной сложностью , которая полилогарифмический в . Следуя работе Гейт Айеш Хиари , требуемые экспоненциальные суммы могут быть масштабированы как для целого числа .^[35]${\displaystyle \zeta \left(s\right)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle t^{\frac {1}{D}}}$${\displaystyle D\geq 2}$

Приложения [ править ]

Дзета - функция возникает в прикладной статистике (см закон Ципфа и закон Ципфа-Мандельброта ).

Zeta функция регуляризация используется как одно из возможных средств регуляризации из рядов расходящихся и расходящихся интегралов в квантовой теории поля . В одном примечательном примере дзета-функция Римана явно проявляется в одном методе вычисления эффекта Казимира . Дзета-функция также полезна для анализа динамических систем . ^[36]

Бесконечная серия [ править ]

Дзета-функция, вычисленная с помощью равноудаленных положительных целых чисел, появляется в бесконечных сериях представлений ряда констант. ^[37]

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\bigl (}\zeta (n)-1{\bigr )}=1}$

Фактически, четный и нечетный члены дают две суммы

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n)-1{\bigr )}={\frac {3}{4}}}$

и

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (2n+1)-1{\bigr )}={\frac {1}{4}}}$

Параметризованные версии приведенных выше сумм представлены выражениями

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(1-\pi t\cot(t\pi )\right)}$

и

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }(\zeta (2n+1)-1)\,t^{2n}={\frac {t^{2}}{t^{2}-1}}+{\frac {1}{2}}\left(\psi ^{0}(t)+\psi ^{0}(-t)\right)-\gamma }$

с и где и являются функцией полигамма и постоянная Эйлера , а также${\displaystyle |t|<2}$${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \gamma }$

• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n}}\,t^{2n}=\log \left({\dfrac {1-t^{2}}{\operatorname {sinc} (\pi \,t)}}\right)}$

все они непрерывны на . Другие суммы включают${\displaystyle t=1}$

• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}=1-\gamma }$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\left(\left({\tfrac {3}{2}}\right)^{n-1}-1\right)={\frac {1}{3}}\ln \pi }$
• ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\bigl (}\zeta (4n)-1{\bigr )}={\frac {7}{8}}-{\frac {\pi }{4}}\left({\frac {e^{2\pi }+1}{e^{2\pi }-1}}\right).}$
• ${\displaystyle \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {\zeta (n)-1}{n}}\operatorname {Im} {\bigl (}(1+i)^{n}-(1+i^{n}){\bigr )}={\frac {\pi }{4}}}$

где Im обозначает мнимую часть комплексного числа.

Еще больше формул можно найти в статье Число гармоник.

Обобщения [ править ]

Существует ряд связанных дзета-функций, которые можно рассматривать как обобщения дзета-функции Римана. К ним относятся дзета-функция Гурвица

${\displaystyle \zeta (s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{(k+q)^{s}}}}$

(представление сходящейся серии было дано Гельмутом Хассе в 1930 г. ^[25] см. дзета-функцию Гурвица ), что совпадает с дзета-функцией Римана при q = 1 (нижний предел суммирования в дзета-функции Гурвица равен 0, а не 1 ), L -функции Дирихле и дзета-функции Дедекинда . Для других соответствующих функций можно найти в статьях дзета - функции и L -функции .

Полилогарифм дается

${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{s}}}}$

что совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 .

Лерх трансцендентного дается

${\displaystyle \Phi (z,s,q)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{k}}{(k+q)^{s}}}}$

что совпадает с дзета-функцией Римана при z = 1 и q = 1 (нижний предел суммирования в трансценденте Лерха равен 0, а не 1).

Функция Клаузена Cl _s ( θ ), которая может быть выбрана как действительная или мнимая часть Li _s ( e ^iθ ) .

Эти множественные дзета - функции определяются

${\displaystyle \zeta (s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n})=\sum _{k_{1}>k_{2}>\cdots >k_{n}>0}{k_{1}}^{-s_{1}}{k_{2}}^{-s_{2}}\cdots {k_{n}}^{-s_{n}}.}$

Эти функции можно аналитически продолжить на n- мерное комплексное пространство. Специальные значения, принимаемые этими функциями при положительных целочисленных аргументах, теоретиками чисел называются множественными дзета-значениями и связаны со многими различными разделами математики и физики.

См. Также [ править ]

• 1 + 2 + 3 + 4 + ···
• Арифметическая дзета-функция
• Обобщенная гипотеза Римана
• Пара Лемера
• Простая дзета-функция
• Функция Римана Кси
• Перенормировка
• Тета-функция Римана – Зигеля
• ZetaGrid

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Апостол, TM (2010), «Дзеты и связанные с ними функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Борвейн, Джонатан ; Брэдли, Дэвид М .; Крэндалл, Ричард (2000). «Вычислительные стратегии для дзета-функции Римана» (PDF) . J. Comp. Приложение. Математика . 121 (1–2): 247–296. Bibcode : 2000JCoAM.121..247B . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00336-8 .
• Цвийович, Джурдье; Клиновский, Яцек (2002). «Интегральные представления дзета-функции Римана для нечетно-целочисленных аргументов» . J. Comp. Приложение. Математика . 142 (2): 435–439. Bibcode : 2002JCoAM.142..435C . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (02) 00358-8 . Руководство по ремонту  1906742 .
• Цвийович, Джурдье; Клиновский, Яцек (1997). «Разложения в непрерывную дробь для дзета-функции Римана и полилогарифмы» . Proc. Амер. Математика. Soc . 125 (9): 2543–2550. DOI : 10.1090 / S0002-9939-97-04102-6 .
• Эдвардс, HM (1974). Дзета-функция Римана . Академическая пресса. ISBN 0-486-41740-9. Имеет английский перевод статьи Римана.
• Адамар, Жак (1896). "Sur la distribution des zéros de la fonction ζ ( s ) et ses conséquences arithmétiques" . Бюллетень Математического общества Франции . 14 : 199–220. DOI : 10,24033 / bsmf.545 .
• Харди, Г. Х. (1949). Расходящиеся серии . Кларендон Пресс, Оксфорд.
• Хассе, Гельмут (1930). "Ein Summierungsverfahren für die Riemannsche ζ -Reihe". Математика. Z . 32 : 458–464. DOI : 10.1007 / BF01194645 . Руководство по ремонту  1545177 . S2CID  120392534 . (Выражение глобально сходящегося ряда.)
• Ивич, А. (1985). Дзета-функция Римана . Джон Вили и сыновья. ISBN 0-471-80634-X.
• Мотохаши, Ю. (1997). Спектральная теория дзета-функции Римана . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0521445205.
• Карацуба А.А .; Воронин, С.М. (1992). Дзета-функция Римана . Берлин: В. де Грюйтер.
• Мезу, Иштван; Дил, Айхан (2010). «Гипергармонический ряд с дзета-функцией Гурвица». Журнал теории чисел . 130 (2): 360–369. DOI : 10.1016 / j.jnt.2009.08.005 . hdl : 2437/90539 . Руководство по ремонту  2564902 .
• Монтгомери, Хью Л .; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские трактаты по высшей математике. 97 . Издательство Кембриджского университета. Гл. 10. ISBN 978-0-521-84903-6.
• Ньюман, Дональд Дж. (1998). Аналитическая теория чисел . Тексты для выпускников по математике . 177 . Springer-Verlag. Гл. 6. ISBN 0-387-98308-2.
• Раох, Го (1996). «Распределение логарифмической производной дзета-функции Римана». Труды Лондонского математического общества . s3–72: 1–27. arXiv : 1308.3597 . DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s3-72.1.1 .
• Риман, Бернхард (1859). "Über die Anzahl der Primzahlen unter einer gegebenen Grösse" . Monatsberichte der Berliner Akademie .. В Gesammelte Werke , Teubner, Leipzig (1892), перепечатано Dover, New York (1953).
• Сондоу, Джонатан (1994). «Аналитическое продолжение дзета-функции Римана и значений в отрицательных целых числах через преобразование Эйлера ряда» (PDF) . Proc. Амер. Математика. Soc . 120 (2): 421–424. DOI : 10.1090 / S0002-9939-1994-1172954-7 .
• Титчмарш, EC (1986). Хит-Браун (ред.). Теория дзета-функции Римана (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета.
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Издательство Кембриджского университета. Гл. 13.
• Чжао, Цзяньцян (1999). «Аналитическое продолжение множественных дзета-функций» . Proc. Амер. Математика. Soc . 128 (5): 1275–1283. DOI : 10.1090 / S0002-9939-99-05398-8 . Руководство по ремонту  1670846 .

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с дзета-функцией Римана, на Викискладе?
• "Дзета-функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Дзета-функция Римана в Wolfram Mathworld - объяснение с более математическим подходом
• Таблицы выбранных нулей
• Привязка простых чисел Общее, нетехническое описание значения дзета-функции по отношению к простым числам.
• Рентгеновский снимок дзета-функции Визуально ориентированное исследование того, где дзета является реальной или чисто воображаемой.
• Формулы и тождества для дзета-функции Римана functions.wolfram.com
• Дзета-функция Римана и другие суммы взаимных полномочий , раздел 23.2 Абрамовица и Стегуна
• Френкель, Эдвард . «Математическая задача на миллион долларов» (видео) . Брэди Харан . Проверено 11 марта 2014 .
• Преобразование Меллина и функциональное уравнение дзета-функции Римана - вычислительные примеры методов преобразования Меллина, включающих дзета-функцию Римана