Функциональное уравнение

В математике , А функциональное уравнение ^{[1] [2] [3] [4]} является любое уравнение , в котором неизвестная представляет собой функцию . Часто уравнение связывает значение функции (или функций) в одной точке с ее значениями в других точках. Например, свойства функций можно определить, рассматривая типы функциональных уравнений, которым они удовлетворяют. Термин функциональное уравнение обычно относится к уравнениям, которые нельзя просто свести к алгебраическим уравнениям или дифференциальным уравнениям .

Примеры [ править ]

• Функциональное уравнение

${\ Displaystyle f (s) = 2 ^ {s} \ pi ^ {s-1} \ sin \ left ({\ frac {\ pi s} {2}} \ right) \ Gamma (1-s) f ( 1-с)}$

удовлетворяется дзета-функцией Римана . Капитал Γ обозначает гамма - функцию .

• Гамма-функция является единственным решением следующей системы трех уравнений:

${\ Displaystyle е (х) = {е (х + 1) \ над х} \, \!}$

${\ displaystyle f (y) f \ left (y + {\ frac {1} {2}} \ right) = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {2 ^ {2y-1}}} f (2y )}$

${\ Displaystyle е (Z) е (1-Z) = {\ пи \ над \ грех (\ пи z)} \, \! \, \, \,}$       ( Формула отражения Эйлера )

• Функциональное уравнение

${\ displaystyle f \ left ({az + b \ over cz + d} \ right) = (cz + d) ^ {k} f (z) \, \!}$

где a , b , c , d - целые числа, для которых ad - bc = 1, т.е. = 1, определяет f как модульную форму порядка k .${\displaystyle {\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}}}$

• Разные примеры, не обязательно связанные со стандартными или именованными функциями:

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\,\!}$( Функциональное уравнение Коши )

${\displaystyle f(x+y)=f(x)f(y),\,\!}$удовлетворяются все экспоненциальные функции

${\displaystyle f(xy)=f(x)+f(y)\,\!}$, которому удовлетворяют все логарифмические функции

${\displaystyle f(xy)=f(x)f(y)\,\!}$, удовлетворяющие всем степенным функциям

${\displaystyle f(x+y)+f(x-y)=2[f(x)+f(y)]\,\!}$(квадратное уравнение или закон параллелограмма )

${\displaystyle f((x+y)/2)=(f(x)+f(y))/2\,\!}$ (Дженсен)

${\displaystyle g(x+y)+g(x-y)=2[g(x)g(y)]\,\!}$ (Даламбер)

${\displaystyle f(h(x))=h(x+1)\,\!}$ ( Уравнение Абеля )

${\displaystyle f(h(x))=cf(x)\,\!}$ ( Уравнение Шредера ).

${\displaystyle f(h(x))=(f(x))^{c}\,\!}$ ( Уравнение Бёттхера ).

${\displaystyle f(h(x))=h'(x)f(x)\,\!}$( Уравнение Джулии ).

${\displaystyle \omega (\omega (x,u),v)=\omega (x,u+v)}$ (Уравнение перевода)

${\displaystyle f(x+y)=f(x)g(y)+f(y)g(x)\,\!}$( формула сложения синуса ).

${\displaystyle g(x+y)=g(x)g(y)-f(y)f(x)\,\!}$( формула сложения косинуса ).

${\displaystyle f(xy)=\sum g_{l}(x)h_{l}(y)\,\!}$ (Леви-Чивита).

• Простая форма функционального уравнения - это рекуррентное соотношение . Формально это касается неуказанных функций для целых чисел, а также операторов сдвига . Одним из таких примеров рекуррентного отношения является

${\displaystyle a(n)=3a(n-1)+4a(n-2)\,\!}$

• Коммутативные и ассоциативные законы являются функциональными уравнениями. Когда ассоциативный закон выражен в его знакомой форме, можно позволить некоторому символу между двумя переменными представлять бинарную операцию,

${\displaystyle (a\circ b)\circ c=a\circ (b\circ c)~.}$

Но если бы мы написали ƒ ( a ,  b ) вместо a  ○  b, то ассоциативный закон больше походил бы на то, что принято считать функциональным уравнением,

${\displaystyle f(f(a,b),c)=f(a,f(b,c)).\,\!}$

Общей чертой всех приведенных выше примеров является то, что в каждом случае две или более известные функции (иногда умножение на константу, иногда сложение двух переменных, иногда функция идентичности) находятся внутри аргумента неизвестных функций. для решения.

Когда дело доходит до запроса всех решений, может оказаться необходимым применить условия математического анализа ; например, в случае упомянутого выше уравнения Коши решения, которые являются непрерывными функциями, являются `` разумными '', в то время как другие решения, которые вряд ли найдут практическое применение, могут быть построены (с использованием базиса Хамеля для действительных чисел как векторное пространство над рациональными числами ). Теорема Бора – Моллерупа - еще один хорошо известный пример.

Решение [ править ]

Решение функциональных уравнений может быть очень сложным, но есть несколько распространенных методов их решения. Например, в динамическом программировании для решения функционального уравнения Беллмана используются различные методы последовательного приближения ^{[5] [6]} , включая методы, основанные на итерациях с фиксированной точкой . Некоторые классы функциональных уравнений могут быть решены с помощью компьютерных технологий. ^[7]

Основным методом решения элементарных функциональных уравнений является подстановка. Часто бывает полезно доказать сюръективность или инъективность и, если возможно, доказать нечетность или четность. Также полезно угадывать возможные решения. Индукция - полезный метод, который можно использовать, когда функция определена только для рациональных или целочисленных значений.

Актуально обсуждение инволютивных функций. Например, рассмотрим функцию

${\displaystyle f(x)=1-x\,.}$

Составление f с самим собой дает функциональное уравнение Бэббиджа (1820), ^[8]

${\displaystyle f(f(x))=1-(1-x)=x\,.}$

Некоторые другие функции также удовлетворяют функциональному уравнению

${\displaystyle f(f(x))=x}$

включая

${\displaystyle f(x)=-x\,,}$

${\displaystyle f(x)={\frac {a}{x}}\,,}$ и

${\displaystyle f(x)={\frac {b-x}{1+cx}}~,}$

который включает предыдущие три как особые случаи или ограничения.

Пример 1 . Найдите все функции f , удовлетворяющие

${\displaystyle f(x+y)^{2}=f(x)^{2}+f(y)^{2}\,}$

для всех x, y ∈ ℝ в предположении, что ƒ - вещественная функция .

Пусть x  =  y  = 0,

${\displaystyle f(0)^{2}=f(0)^{2}+f(0)^{2}.\,}$

Итак, ƒ (0) ²  = 0 и ƒ (0) = 0.

Пусть теперь y  = - x ,

${\displaystyle f(x-x)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\displaystyle f(0)^{2}=f(x)^{2}+f(-x)^{2}\,}$

${\displaystyle 0=f(x)^{2}+f(-x)^{2}~.}$

Квадрат действительного числа неотрицателен, а сумма неотрицательных чисел равна нулю, если оба числа равны 0.

Итак, ƒ (x) ²  = 0 для всех x и ƒ ( x ) = 0 - единственное решение.

См. Также [ править ]

• Функциональное уравнение (L-функция)
• Уравнение беллмана
• Динамическое программирование
• Неявная функция
• Функционально-дифференциальное уравнение

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Янош Акзел , Лекции по функциональным уравнениям и их приложениям , Academic Press , 1966, перепечатано Dover Publications, ISBN 0486445232 . 
• Янош Акзель и Дж. Домбрес, Функциональные уравнения с несколькими переменными , Cambridge University Press , 1989.
• К. Эфтимиу, Введение в функциональные уравнения , AMS, 2011, ISBN 978-0-8218-5314-6  ; онлайн . 
• Pl. Каннаппан, Функциональные уравнения и неравенства с приложениями , Springer, 2009.
• Марек Кучма , Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств , второе издание, Биркхойзер, 2009.
• Хенрик Штеткер, Функциональные уравнения на группах , первое издание, World Scientific Publishing, 2013.
• Кристофер Г. Смолл (3 апреля 2007 г.). Функциональные уравнения и способы их решения . Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-48901-8.

Внешние ссылки [ править ]

• Функциональные уравнения: точные решения в EqWorld: мир математических уравнений.
• Функциональные уравнения: указатель на EqWorld: мир математических уравнений.
• Текст сборника IMO (в архиве) по функциональным уравнениям в решении задач.