Функциональное уравнение Коши

Функциональное уравнение Коши является функциональным уравнением для линейной независимости :

${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у). \}$

Решения этого называются аддитивными функциями . Над рациональными числами с помощью элементарной алгебры можно показать, что существует единственное семейство решений, а именно для любой рациональной константы . Над действительными числами , теперь с произвольной действительной константой, также есть семейство решений; однако могут существовать и другие чрезвычайно сложные решения. Однако любое из ряда условий регулярности, некоторые из которых довольно слабые, исключает существование этих патологических решений. Например, аддитивная функция линейна, если:${\ displaystyle f: x \ mapsto cx}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f: x \ mapsto cx}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

• ${\ displaystyle f}$является непрерывной (доказано Коши в 1821 году). Это условие было ослаблено в 1875 г. Дарбу, который показал, что функция должна быть непрерывной только в одной точке.
• ${\ displaystyle f}$является монотонной на любом интервале.
• ${\ displaystyle f}$будет ограничен на любом интервале.
• ${\ displaystyle f}$является измеримым по Лебегу .

С другой стороны, если никакие дополнительные условия не налагаются , тогда (при условии аксиомы выбора ) существует бесконечно много других функций, которые удовлетворяют уравнению. Это было доказано в 1905 году Георгом Хамелем с использованием оснований Хамеля . Такие функции иногда называют функциями Гамеля . ^[1]${\ displaystyle f}$

Пятая проблема в списке Гильберта является обобщением этого уравнения. Функции, в которых существует действительное число , которые известны как функции Коши-Гамеля и используются в инвариантах Дена-Хадвигера, которые используются в расширении третьей проблемы Гильберта с трехмерных измерений на более высокие измерения. ^[2]${\ displaystyle c}$${\ Displaystyle f (cx) \ neq cf (x) \}$

Решения над рациональными числами [ править ]

Простой аргумент, включающий только элементарные алгебраические манипуляции, демонстрирует, что набор аддитивных отображений идентичен набору линейных отображений.${\ displaystyle f: \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Q}}$

Теорема: Позвольте быть аддитивной функцией. Тогда линейно.${\ displaystyle f: \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle f}$

Доказательство. Мы хотим доказать, что любое решениефункционального уравнения Кошипринимает вид. Рассматривать кейсы удобно.${\ displaystyle f: \ mathbb {Q} \ to \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle е (х + у) = е (х) + е (у)}$${\ Displaystyle е (д) = cq, \ с \ in \ mathbb {Q}}$${\ Displaystyle д = 0, \ q> 0, \ q <0}$

Случай I: ()${\ displaystyle q = 0}$

Установив , приходим к выводу, что${\ displaystyle y = 0}$

${\ Displaystyle е (х) = е (х) + е (0), \ четырехъядерный х \ в \ mathbb {Q}}$

${\ Displaystyle \ Rightarrow f (0) = 0}$.

Случай II: ()${\ displaystyle q> 0}$

Путем повторного применения уравнения Коши к получаем${\ Displaystyle е \ влево (х + х + \ cdots + х \ вправо) = е \ влево (\ альфа х \ вправо)}$

${\ Displaystyle \ альфа е \ влево (х \ вправо) = е \ влево (\ альфа х \ вправо), \ квад \ альфа \ в \ mathbb {N}, \ х \ в \ mathbb {Q}. \ квад \ quad (*)}$

Замена на в (*) и умножение результата на , где дает${\displaystyle x}$${\displaystyle {\frac {x}{\alpha }}}$${\displaystyle {\frac {\beta }{\alpha }}}$${\displaystyle \beta \in \mathbb {N} }$

${\displaystyle \beta f\left({\frac {x}{\alpha }}\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} .\quad \quad (**)}$

Применение (*) к левой части (**) тогда дает

${\displaystyle f\left({\frac {\beta }{\alpha }}x\right)={\frac {\beta }{\alpha }}f\left(x\right),\quad \alpha ,\beta \in \mathbb {N} ,\ x\in \mathbb {Q} }$

${\displaystyle \Rightarrow f\left(qx\right)=qf\left(x\right),\quad q,x\in \mathbb {Q} ,\ q>0}$

${\displaystyle \Rightarrow f\left(q\right)=qf\left(1\right)=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{+}}$,

где - произвольная рациональная постоянная.${\displaystyle c=f(1)\in \mathbb {Q} }$

Случай III: ()${\displaystyle q<0}$

Задавая функциональное уравнение и вспоминая о нем , получаем${\displaystyle y=-x}$${\displaystyle f(0)=0}$

${\displaystyle f(-x)=-f(x),\quad x\in \mathbb {Q} }$.

В сочетании с выводом, сделанным для положительных рациональных чисел ( случай II ), получаем

${\displaystyle f(q)=-f\left(-q\right)=-{\big (}c(-q){\big )}=cq,\quad q\in \mathbb {Q} ^{-}}$.

Рассмотренные вместе три случая выше позволяют нам заключить, что полные решения функционального уравнения Коши над рациональными числами имеют вид:

${\displaystyle f:\mathbb {Q} \to \mathbb {Q} ,\quad q\mapsto cq,\ c=f(1)\in \mathbb {Q} .\quad \quad \blacksquare }$

Свойства линейных решений над действительными числами [ править ]

Ниже мы докажем, что любые другие решения должны иметь крайне патологические функции. В частности, мы покажем , что любое другое решение должно обладать свойством , что его граф является плотным в , то есть , что любой диск в плоскости (сколь угодно малой) содержит точку из графика. Отсюда легко доказать различные условия, приведенные во вводном абзаце.${\displaystyle y=f(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$

Допустим без ограничения общности, что и для некоторых .${\displaystyle f(q)=q\ \forall q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f(\alpha )\neq \alpha }$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} }$

Тогда ставь .${\displaystyle f(\alpha )=\alpha +\delta ,\delta \neq 0}$

Теперь покажем, как найти точку в произвольной окружности, центр , радиус где .${\displaystyle (x,y)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle x,y,r\in \mathbb {Q} ,r>0,x\neq y}$

Ставим и выбираем рациональное число, близкое к с:${\displaystyle \beta ={\frac {y-x}{\delta }}}$${\displaystyle b\neq 0}$${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}$

Затем выберите рациональное число, близкое к :${\displaystyle a}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}$

Теперь положите:

${\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }$

${\displaystyle Y=f(X)\ }$

Тогда, используя функциональное уравнение, получаем:

${\displaystyle Y=f(x+b(\alpha -a))\ }$

${\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }$

${\displaystyle =y-\delta \beta +bf(\alpha )-bf(a)\ }$

${\displaystyle =y-\delta \beta +b(\alpha +\delta )-ba\ }$

${\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }$

Из-за нашего выбора выше точка находится внутри круга.${\displaystyle (X,Y)}$

Существование нелинейных решений над действительными числами [ править ]

Приведенное выше доказательство линейности также применимо к , где - увеличенная копия рациональных чисел. Это показывает, что разрешены только линейные решения, когда область ограничена такими наборами. Таким образом, в общем, у нас есть для всех . Однако, как мы продемонстрируем ниже, весьма патологические решения могут быть найдены для функций, основанных на этих линейных решениях, если рассматривать действительные числа как векторное пространство над полем рациональных чисел. Обратите внимание, однако, что этот метод является неконструктивным, поскольку он полагается на существование базиса (Гамеля) для любого векторного пространства, утверждение, доказанное с помощью леммы Цорна . (Фактически, существование базиса для каждого векторного пространства логически эквивалентно${\displaystyle f:\alpha \mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \alpha \mathbb {Q} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(\alpha q)=f(\alpha )q}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {R} ,\ q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$аксиома выбора .)

Чтобы показать, что существуют решения, отличные от тех, которые определены с помощью , мы сначала отметим, что, поскольку каждое векторное пространство имеет базис, существует базис для над полем , то есть набор со свойством, которое может быть однозначно выражено как , где - конечное подмножество (т.е. ), и каждый . Отметим, что, поскольку явное основание для over не может быть записано, патологические решения, определенные ниже, также не могут быть выражены явно.${\displaystyle f(x)=f(1)x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle {\mathcal {B}}\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\textstyle x=\sum _{i\in I}{\lambda _{i}x_{i}}}$${\displaystyle \{x_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle {\mathcal {B}}}$${\displaystyle |I|<\aleph _{0}}$${\displaystyle \lambda _{i}\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {Q} }$

Как указывалось выше, ограничение to должно быть линейной картой для каждого . Более того, поскольку для , очевидно, что это постоянная пропорциональности. Другими словами, это карта . Поскольку любой может быть выражен как уникальная (конечная) линейная комбинация и является аддитивным, он хорошо определен для всех и задается следующим образом:${\displaystyle f}$${\displaystyle x_{i}\mathbb {Q} }$${\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}}$${\displaystyle x_{i}q\mapsto f(x_{i})q}$${\displaystyle q\in \mathbb {Q} }$${\displaystyle f(x_{i}) \over x_{i}}$${\displaystyle f:x_{i}\mathbb {Q} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle \xi \mapsto [f(x_{i})/x_{i}]\xi }$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle f(x)=f{\Big (}\sum _{i\in I}\lambda _{i}x_{i}{\Big )}=\sum _{i\in I}f(x_{i}\lambda _{i})=\sum _{i\in I}{f(x_{i})\lambda _{i}}}$.

Легко проверить , что это решение функционального уравнения Коши дано определение на основе элементов, . Более того, ясно, что каждое решение имеет такой вид. В частности, решения функционального уравнения линейны тогда и только тогда, когда они постоянны во всем . Таким образом, в некотором смысле, несмотря на невозможность показать нелинейное решение, «большинство» (в смысле мощности ^[3] ) решений функционального уравнения Коши на самом деле являются нелинейными и патологическими.${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f:{\mathcal {B}}\rightarrow \mathbb {R} }$${\displaystyle f(x_{i}) \over x_{i}}$${\displaystyle x_{i}\in {\mathcal {B}}}$

Ссылки [ править ]

• Кучма, Марек (2009). Введение в теорию функциональных уравнений и неравенств. Уравнение Коши и неравенство Дженсена . Базель: Биркхойзер. ISBN 9783764387495. CS1 maint: discouraged parameter (link)

Внешние ссылки [ править ]

• Решение уравнения Коши Университет Рутгерса
• Охота на Адди (с) тивного монстра
• Мартин Слезяк; и другие. (2013). «Обзор основных фактов о функциональном уравнении Коши» . StackExchange . Проверено 20 декабря 2015 года . CS1 maint: discouraged parameter (link)