Пятая проблема Гильберта - пятая математическая проблема из списка проблем, опубликованного в 1900 году математиком Дэвидом Гильбертом , и касается характеризации групп Ли .
Теория групп Ли описывает непрерывную симметрию в математике; его значение там и в теоретической физике (например, теории кварков ) в двадцатом веке неуклонно росло. Грубо говоря, теория групп Ли - это общая основа теории групп и теории топологических многообразий . Вопрос, который задал Гильберт, был острым, чтобы уточнить это: есть ли разница, если наложено ограничение на гладкие многообразия ?
Ожидаемый ответ был отрицательным ( классические группы , наиболее важные примеры в теории групп Ли, являются гладкими многообразиями). В конечном итоге это было подтверждено в начале 1950-х годов. Поскольку точное понятие «многообразие» не было доступно Гильберту, есть место для некоторых споров о формулировке проблемы на современном математическом языке.
Классическая формулировка
Долгое время принималась формулировка, заключающаяся в том, чтобы охарактеризовать группы Ли как топологические группы , которые также являются топологическими многообразиями . В терминах, более близких к тем, которые использовал бы Гильберт, рядом с единичным элементом e рассматриваемой группы G существует открытое множество U в евклидовом пространстве, содержащее e , а на некотором открытом подмножестве V группы U существует непрерывное отображение
- F : V × V → U
который удовлетворяет групповым аксиомам, в которых они определены. Это фрагмент типичной локально евклидовой топологической группы . Тогда задача состоит в том, чтобы показать, что F - гладкая функция около e (поскольку топологические группы являются однородными пространствами , они выглядят везде одинаково, как и около e ).
Другой способ поместить это в том , что можно дифференцируемости класс из F не имеет значения: групповые аксиомы разрушатся весь C К гамме.
Решение
Первый крупный результат был получен Джоном фон Нейманом в 1933 г. [1] для компактных групп . Локально компактный абелева группа случай был решен в 1934 годом Понтрягиным . Окончательное решение, по крайней мере в этой интерпретации того, что имел в виду Гильберт, пришло с работами Эндрю Глисона , Дина Монтгомери и Лео Зиппина в 1950-х.
В 1953 году Хидехико Ямабе получил окончательный ответ на пятую проблему Гильберта: [2]
- Если связная локально компактная группа G является проективным пределом последовательности групп Ли и если G «не имеет малых подгрупп» (условие, определенное ниже), то G - группа Ли.
Однако этот вопрос все еще обсуждается, поскольку в литературе были и другие подобные утверждения, в значительной степени основанные на различных интерпретациях формулировки проблемы Гильбертом, данной различными исследователями. [3]
Вообще говоря, каждая локально компактная почти связная группа является проективным пределом группы Ли. Если мы рассмотрим общую локально компактную группу G и связную компоненту тождества G 0 , мы получим расширение группы
- G 0 → G → G / G 0 .
Как вполне несвязной группа, G / G 0 имеет открытую компактную подгруппу, и прообраз G ' такой открытой компактной подгруппы является открытой, почти связной подгруппой G . Таким образом, мы имеем гладкую структуру на G , поскольку она гомеоморфна ( G ′ × G ′ ) / G 0 , где G ′ / G 0 - дискретное множество.
Альтернативная формулировка
Другая точка зрения состоит в том, что G следует рассматривать как группу преобразований , а не абстрактно. Это приводит к формулировке гипотезы Гильберта – Смита , которая была доказана для в 2013.
Нет маленьких подгрупп
Важным условием теории является отсутствие малых подгрупп . Топологическая группа G , или частичный фрагмент такой группы , как F выше, как говорят , чтобы не иметь ни одного малых подгрупп , если существует окрестность Н о е , не содержащая подгруппу большего размера, чем { е }. Например, круговая группа удовлетворяет условию, в то время как p -адические целые числа Z p как аддитивная группа - нет, потому что N будет содержать подгруппы: p k Z p для всех больших целых чисел k . Это дает представление о сложности проблемы. В случае гипотезы Гильберта – Смита это вопрос известной редукции к тому, может ли Z p точно действовать на замкнутом многообразии . Глисон, Монтгомери и Зиппин охарактеризовали группы Ли среди локально компактных групп как группы , не имеющие малых подгрупп.
Бесконечные измерения
Исследователи также рассмотрели пятую проблему Гильберта, не предполагая конечномерности . В последней главе Беньямини и Линденштрауса обсуждается тезис Пера Энфло о пятой проблеме Гильберта без компактности .
Смотрите также
Заметки
- ^ Джон, фон Нейман (1933). «Параметр Die Einführung analytischer в топологической группе». Анналы математики . 34 (1): 170–190. DOI : 10.2307 / 1968347 . JSTOR 1968 347 .
- ↑ Согласно Морикуни (1961 , стр. I)
- ^ Для обзора таких утверждений (однако полностью игнорируя вклад Ямабе) и для нового, см. Rosinger (1998 , стр. Xiii – xiv и стр. 169–170).
Рекомендации
- Морикуни, Гото (1961). «Хидехико Ямабе (1923–1960)» . Осакский математический журнал . 13 (1): i – ii. Руководство по ремонту 0126362 . Zbl 0095.00505 .
- Розингер, Элемер Э. (1998). Параметрические действия группы Ли над глобальными обобщенными решениями нелинейных уравнений в частных производных. Включая решение пятой проблемы Гильберта . Математика и ее приложения. 452 . Doerdrecht – Boston – London: Kluwer Academic Publishers . С. xvii + 234. ISBN 0-7923-5232-7. Руководство по ремонту 1658516 . Zbl 0934,35003 .
- Д. Монтгомери, Л. Циппин, Топологические группы преобразований.
- Ямабе, Хидехико, О линейно связной подгруппе группы Ли , Osaka Mathematical Journal v.2, no. 1 марта (1950), 13–14.
- Ирвинг Каплански , Алгебры Ли и локально компактные группы , Чикагские лекции по математике, 1971.
- Беньямини, Йоав и Линденштраус, Джорам , публикации коллоквиума по геометрическому нелинейному функциональному анализу , 48. Американское математическое общество.
- Энфло, пер . (1970) Исследования по пятой проблеме Гильберта для нелокально компактных групп . (Кандидатская диссертация пяти статей Энфло с 1969 по 1970 год)
- Энфло, Пер; 1969a: Топологические группы, в которых умножение с одной стороны дифференцируемо или линейно. Математика. Сканд., 24, 195–197.
- Пер Энфло (1969). «Об отсутствии равномерных гомеоморфизмов между пространствами L p » . Ковчег. Мат . 8 (2): 103–105. DOI : 10.1007 / BF02589549 .
- Энфло, Пер; 1969b: По проблеме Смирнова. Ark. Math . 8 , 107–109.
- Энфло, П. (1970). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах». Израильский математический журнал . 8 (3): 230–252. DOI : 10.1007 / BF02771560 . S2CID 189773170 .
- Энфло, П. (1970). «Равномерные структуры и квадратные корни в топологических группах». Израильский математический журнал . 8 (3): 253–272. DOI : 10.1007 / BF02771561 . S2CID 121193430 .