Локально компактная группа

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , А локально компактная группа является топологической группой G , для которых основной топологии локально компактно и хаусдорфовы . Локально компактные группы важны, потому что многие примеры групп, которые возникают в математике, являются локально компактными, и такие группы имеют естественную меру, называемую мерой Хаара . Это позволяет определять интегралы функций, измеримых по Борелю, на G, так что стандартные понятия анализа, такие как преобразование Фурье и пространства, могут быть обобщены.${\ Displaystyle L ^ {p}}$

Многие результаты теории представлений конечных групп доказываются усреднением по группе. Для компактных групп модификации этих доказательств дают аналогичные результаты путем усреднения по нормализованному интегралу Хаара . В общем, локально компактном окружении такие методы не нужны. Полученная в результате теория является центральной частью гармонического анализа . Теория представлений локально компактных абелевых групп описывается двойственностью Понтрягина .

Примеры и контрпримеры [ править ]

• Любая компактная группа локально компактна.
  • В частности, круговая группа T комплексных чисел единичного модуля относительно умножения компактна и, как таковая, локально компактна. Группа круга исторически служила первой топологически нетривиальной группой, которая также обладала свойством локальной компактности, и как таковая мотивировала поиск более общей теории, представленной здесь.
• Любая дискретная группа локально компактна. Таким образом, теория локально компактных групп охватывает теорию обычных групп, поскольку любой группе может быть задана дискретная топология .
• Группы Ли , которые являются локально евклидовыми, являются локально компактными группами.
• Топологическое векторное пространство Хаусдорфа локально компактно тогда и только тогда, когда оно конечномерно .
• Аддитивная группа рациональных чисел Q не является локально компактной, если задана относительная топология как подмножество действительных чисел . Он локально компактен, если задан дискретной топологией.
• Аддитивная группа p -адических чисел Q _p локально компактна для любого простого числа p .

Свойства [ править ]

По однородности, локальная компактность основного пространства топологической группы нужно проверять только на единице. То есть группа G является локально компактным пространством тогда и только тогда, когда единичный элемент имеет компактную окрестность . Отсюда следует, что в каждой точке имеется локальная база компактных окрестностей.

Топологическая группа хаусдорфова тогда и только тогда, когда тривиальная одноэлементная подгруппа замкнута.

Каждая замкнутая подгруппа локально компактной группы локально компактна. (Условие замыкания необходимо, как показывает группа рациональных чисел.) Наоборот, каждая локально компактная подгруппа хаусдорфовой группы замкнута. Каждый фактор локально компактной группы локально компактен. Продукт семейства локально компактных групп локально компактно тогда и только тогда , когда все , кроме конечного числа факторов , на самом деле являются компактными.

Топологические группы всегда вполне регулярны как топологические пространства. Локально компактные группы обладают более сильным свойством быть нормальными .

Всякая локально компактная группа, имеющая счетчик до второго , метризуема как топологическая группа (т. Е. Может иметь левоинвариантную метрику, совместимую с топологией) и полна .

В польской группе G σ-алгебра нулевых множеств Хаара удовлетворяет условию счетной цепи тогда и только тогда, когда G локально компактна. ^[1]

Локально компактные абелевы группы [ править ]

Для любой локально компактной абелевой (LCA) группы A группа непрерывных гомоморфизмов

Hom ( A , S ¹ )

из A в круг группа снова локально компактна. Двойственность Понтрягина утверждает, что этот функтор индуцирует эквивалентность категорий

LCA ^op → LCA.

Этот функтор меняет некоторые свойства топологических групп. Например, конечные группы соответствуют конечным группам, компактные группы соответствуют дискретным группам, а метризуемые группы соответствуют счетным объединениям компактных групп (и наоборот во всех утверждениях).

Группы LCA образуют точную категорию , где допустимые мономорфизмы являются замкнутыми подгруппами, а допустимые эпиморфизмы - топологическими фактор-отображениями. Следовательно, можно рассматривать спектр K-теории этой категории. Клаузен (2017) показал , что он измеряет разницу между алгебраической K-теории из Z и R , целых чисел и чисел, соответственно, в том смысле , что существует последовательность Гомотопический волокна

К ( Z ) → К ( R ) → К (LCA).

См. Также [ править ]

• Локально компактное пространство
• Локально компактное поле
• Локально компактная квантовая группа

Ссылки [ править ]

• Фолланд, Джеральд Б. (1995), Курс абстрактного гармонического анализа , CRC Press, ISBN 978-0-8493-8490-5.
• Клаузен, Дастин (2017), K-теоретический подход к картам Артина , arXiv : 1703.07842 , Bibcode : 2017arXiv170307842C