L p пространство

В математике , то L ^р пространства являются функциональными пространствами , определенные с использованием естественного обобщения р -норма для конечномерных векторных пространств . Их иногда называют пространствами Лебега в честь Анри Лебега ( Dunford & Schwartz 1958 , III.3), хотя, согласно группе Бурбаки ( Bourbaki 1987 ), они были впервые введены Фриджесом Риссом ( Riesz 1910 ). Пространства L ^p образуют важный класс банаховых пространств вфункциональный анализ и топологических векторных пространств . Поскольку они играют ключевую роль в математическом анализе пространств меры и вероятностей, пространства Лебега используются также при теоретическом обсуждении проблем физики, статистики, финансов, инженерии и других дисциплин.

Приложения [ править ]

Статистика [ править ]

В статистике меры центральной тенденции и статистической дисперсии , такие как среднее значение , медиана и стандартное отклонение , определяются в терминах показателей L ^p , а меры центральной тенденции могут быть охарактеризованы как решения вариационных задач .

В регрессии со штрафами «штраф L1» и «штраф L2» относятся к штрафу либо нормы L 1 вектора значений параметров решения (то есть суммы его абсолютных значений), либо его нормы L ² (его евклидовой длины ). Методы, использующие штраф L1, такие как LASSO , поощряют решения, в которых многие параметры равны нулю. Методы, использующие штраф L2, такие как регрессия гребня , поощряют решения, в которых большинство значений параметров малы. Упругая сетевая регуляризация использует штрафной член, который представляет собой комбинацию нормы L ^{1 и} нормы L ² вектора параметров.

Неравенство Хаусдорфа – Юнга [ править ]

Преобразование Фурье для вещественной прямой (или, для периодических функций , см. Ряд Фурье ), отображает L ^p ( R ) в L ^q ( R ) (или L ^p ( T ) в ℓ ^q ) соответственно, где 1 ≤ p ≤ 2 и 1 / p + 1 / q = 1 . Это следствие интерполяционной теоремы Рисса – Торина и уточняется с помощью неравенства Хаусдорфа – Юнга .

Напротив, если p > 2 , преобразование Фурье не отображается в L ^q .

Гильбертовы пространства [ править ]

Гильбертовы пространства занимают центральное место во многих приложениях, от квантовой механики до стохастического исчисления . Пространства L ² и л ² оба являются гильбертовыми. В самом деле, выбирая гильбертово базис (т.е. максимального ортонормированного подмножества L ² или любого гильбертова пространства), один видит , что все гильбертовые изометричен л ² ( Х ) , где Е представляет собой набор с соответствующей мощностью.

Р -норм в конечных размерах [ править ]

Длина вектора x = ( x ₁ , x ₂ , ..., x _n ) в n -мерном вещественном векторном пространстве R ⁿ обычно задается евклидовой нормой :

${\ displaystyle \ left \ | x \ right \ | _ {2} = \ left ({x_ {1}} ^ {2} + {x_ {2}} ^ {2} + \ dotsb + {x_ {n}) } ^ {2} \ right) ^ {1/2}.}$

Евклидово расстояние между двумя точками x и y - это длина || х - у || ₂ прямой линии между двумя точками. Во многих ситуациях евклидова расстояния недостаточно для фиксации фактических расстояний в данном пространстве. Аналогию с этим предлагают водители такси в сеточном плане улиц, которым следует измерять расстояние не с точки зрения длины прямой линии до места назначения, а с точки зрения прямолинейного расстояния , которое учитывает, что улицы либо ортогональны, либо параллельно друг другу. Класс p -норм обобщает эти два примера и имеет множество приложений во многих частяхматематика , физика и информатика .

Определение [ править ]

Для вещественного числа р ≥ 1 , то р -норм или L ^р -нормы из й определяются

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}.}$

Полосы абсолютных значений не нужны, если p - рациональное число и в сокращенном виде имеет четный числитель.

Евклидова норма сверху попадает в этот класс и является 2 -нормой, а 1 -норма - нормой, соответствующей прямолинейному расстоянию .

L ^∞ -норм или максимальная норма (или равномерная норма) является пределом л ^р -норма для р → ∞ . Оказывается, этот предел эквивалентен следующему определению:

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=\max \left\{|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|\right\}}$

См. L -infinity .

Для всех р ≥ 1 , то р -норм и максимальная норма , как определено выше , действительно удовлетворяют свойства «функции длины» (или норма ), которые заключаются в следующем :

• только нулевой вектор имеет нулевую длину,
• длина вектора положительно однородна относительно умножения на скаляр ( положительная однородность ), и
• длина суммы двух векторов не больше суммы длин векторов ( неравенство треугольника ).

Абстрактно это означает, что R ⁿ вместе с p -нормой является банаховым пространством . Это банахово пространство является L ^p -пространством над R ⁿ .

Отношения между p -нормами [ править ]

Расстояние по сетке или прямолинейное расстояние (иногда называемое « манхэттенским расстоянием ») между двумя точками никогда не бывает короче, чем длина отрезка прямой между ними (евклидово расстояние или расстояние по прямой). Формально это означает, что евклидова норма любого вектора ограничена его 1-нормой:

${\displaystyle \left\|x\right\|_{2}\leq \left\|x\right\|_{1}.}$

Этот факт обобщается на p -нормы в том смысле, что p -норма || х || _p любого заданного вектора x не растет вместе с p :

|| х || _{p + a} ≤ || х || _p для любого вектора x и действительных чисел p ≥ 1 и a ≥ 0 . (Фактически, это остается верным для 0 < p <1 и a ≥ 0. )

Для противоположного направления известно следующее соотношение между 1- нормой и 2- нормой:

${\displaystyle \left\|x\right\|_{1}\leq {\sqrt {n}}\left\|x\right\|_{2}.}$

Это неравенство зависит от размерности n лежащего в основе векторного пространства и непосредственно следует из неравенства Коши – Шварца .

В общем, для векторов из C ^n, где 0 < r < p :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}\leq \left\|x\right\|_{r}\leq n^{(1/r-1/p)}\left\|x\right\|_{p}.}$

Это следствие неравенства Гёльдера .

Когда 0 < p <1 [ править ]

В R ⁿ при n > 1 формула

${\displaystyle \|x\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}\right)^{1/p}}$

определяет абсолютно однородную функцию при 0 < p <1 ; однако результирующая функция не определяет норму, потому что она не является субаддитивной . С другой стороны, формула

${\displaystyle |x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\dotsb +|x_{n}|^{p}}$

определяет субаддитивную функцию за счет потери абсолютной однородности. Однако он определяет F-норму , которая однородна степени p .

Следовательно, функция

${\displaystyle d_{p}(x,y)=\sum _{i=1}^{n}|x_{i}-y_{i}|^{p}}$

определяет метрику . Метрическое пространство ( R ⁿ , d _p ) обозначается ℓ _n ^p .

Хотя p -единичный шар B _n ^p вокруг начала координат в этой метрике является "вогнутым", топология, определяемая на R ⁿ метрикой d _p, является обычной топологией векторного пространства R ⁿ , поэтому ℓ _n ^p является локально выпуклой топологической векторное пространство. Помимо этого качественного утверждения, количественный способ измерить отсутствие выпуклости ℓ _n ^p состоит в том, чтобы обозначить через C _p ( n ) наименьшую константу C, такую ​​что кратное C B_п ^р ор-Unit шара содержит выпуклую оболочку B _п ^р , равный В _п ¹ . Тот факт, что при фиксированном p <1имеем

${\displaystyle C_{p}(n)=n^{1/p-1}\to \infty ,\qquad {\text{as }}n\to \infty }$

показывает, что бесконечномерное пространство последовательностей ℓ ^p, определенное ниже, больше не является локально выпуклым. ^{[ необходима цитата ]}

Когда p = 0 [ редактировать ]

Существует одна ℓ ₀ нормы , а другая функция называется ℓ ₀ «норма» (в кавычках).

Математическое определение ℓ ₀ нормы было установлено банаховом «s теории линейных операций . Пространство последовательностей имеет полную метрическую топологию , представленную F-норма

${\displaystyle (x_{n})\mapsto \sum _{n}2^{-n}{\frac {|x_{n}|}{1+|x_{n}|}},}$

который обсуждается Стефаном Ролевичем в метрических линейных пространствах . ^[1] ℓ ₀ -нормированной пространство изучается в функциональном анализе, теории вероятностей и гармонического анализа.

Другая функция была названа ℓ ₀ «нормой» Дэвидом Донохо ( чьи кавычки предупреждают, что эта функция не является правильной нормой) - это количество ненулевых элементов вектора x . Многие авторы злоупотребляют терминологией , опуская кавычки. Определяя 0 0 = 0 , нулевая «норма» x равна

${\displaystyle |x_{1}|^{0}+|x_{2}|^{0}+\cdots +|x_{n}|^{0}.}$

Это не норма, потому что он неоднороден . Например, масштабирование вектора x положительной константой не изменяет «норму». Несмотря на эти дефекты в качестве математической нормы, ненулевые «нормы» счета используются в научных вычислениях , теории информации и статистике, особенно в сжатых измерениях при обработке сигналов и вычислительном гармоническом анализе . Соответствующая дефектная «метрика» известна как расстояние Хэмминга .

Р -норм в бесконечных размерах и ℓ ^р пространствах [ править ]

Пространство последовательности ℓ ^p [ править ]

Р -норм может быть расширен до векторов , которые имеют бесконечное число компонентов ( последовательность ), что дает пространство л ^р . В качестве особых случаев сюда входят:

• ℓ ¹ , пространство последовательностей, серия абсолютно сходится ,
• ℓ ² , пространство квадратично суммируемых последовательностей, который представляет собой гильбертово пространство , и
• ℓ ^∞ , пространство ограниченных последовательностей .

Пространство последовательностей имеет естественную структуру векторного пространства за счет применения сложения и скалярного умножения координаты на координату. Явно векторная сумма и скалярное действие для бесконечных последовательностей действительных (или комплексных ) чисел задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}&(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots )+(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},y_{n+1},\ldots )\\={}&(x_{1}+y_{1},x_{2}+y_{2},\ldots ,x_{n}+y_{n},x_{n+1}+y_{n+1},\ldots ),\\[6pt]&\lambda \cdot \left(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n},x_{n+1},\ldots \right)\\={}&(\lambda x_{1},\lambda x_{2},\ldots ,\lambda x_{n},\lambda x_{n+1},\ldots ).\end{aligned}}}$

Определите p -норму:

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(|x_{1}|^{p}+|x_{2}|^{p}+\cdots +|x_{n}|^{p}+|x_{n+1}|^{p}+\cdots \right)^{1/p}}$

Здесь возникает сложность, а именно то, что ряд справа не всегда сходится, поэтому, например, последовательность, состоящая только из единиц, (1, 1, 1, ...) , будет иметь бесконечную p -норму для 1 ≤ p <∞ . Тогда пространство ℓ ^p определяется как множество всех бесконечных последовательностей действительных (или комплексных) чисел, для которых p -норма конечна.

Можно проверить, что с увеличением p множество ℓ ^p увеличивается. Например, последовательность

${\displaystyle \left(1,{\frac {1}{2}},\ldots ,{\frac {1}{n}},{\frac {1}{n+1}},\ldots \right)}$

не в л ¹ , но в л ^р для р > 1 , как серия

${\displaystyle 1^{p}+{\frac {1}{2^{p}}}+\cdots +{\frac {1}{n^{p}}}+{\frac {1}{(n+1)^{p}}}+\cdots ,}$

расходится при p = 1 ( гармонический ряд ), но сходится при p > 1 .

Также можно определить ∞ -норму с помощью супремума :

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=\sup(|x_{1}|,|x_{2}|,\dotsc ,|x_{n}|,|x_{n+1}|,\ldots )}$

и соответствующее пространство ℓ ^∞ всех ограниченных последовательностей. Оказывается, ^[2]

${\displaystyle \left\|x\right\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\left\|x\right\|_{p}}$

если правая часть конечна или левая бесконечна. Таким образом, мы будем рассматривать ℓ ^p пространств для 1 ≤ p ≤ ∞ .

Р -норме , таким образом , определенный на л ^р действительно является нормой, а ℓ ^р вместе с этой нормой является банахово пространство . Полностью общее пространство L ^p получается, как показано ниже, путем рассмотрения векторов не только с конечным или счетно-бесконечным числом компонентов, но и с « произвольным числом компонентов »; другими словами, функции . Для определения p -нормы используется интеграл вместо суммы .

Общие ℓ ^p -пространство [ править ]

В полной аналогии с предыдущим определением можно определить пространство над общим набором индексов (и ) как${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle 1\leq p<\infty }$

${\displaystyle \ell ^{p}(I)=\left\{(x_{i})_{i\in I}\in \mathbb {K} ^{I};\,\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}<\infty \right\}\,}$,

где сходимость справа означает, что только счетное число слагаемых ненулевое (см. также Безусловная сходимость ). С нормой

${\displaystyle \left\|x\right\|_{p}=\left(\sum _{i\in I}|x_{i}|^{p}\right)^{1/p}}$

пространство становится банаховым. В случае, когда конечно с элементами, эта конструкция дает R ⁿ с -нормой, определенной выше. Если счетно бесконечно, это в точности пространство последовательностей, определенное выше. Для несчетных множеств это не- отделимо банахово пространство , которое можно рассматривать как локально выпуклый прямой предел из -sequence пространств. ^[3]${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle I}$${\displaystyle n}$${\displaystyle p}$${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell ^{p}}$${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \ell ^{p}}$

Набор индексов можно превратить в пространство меры , придав ему дискретную σ-алгебру и считающую меру . Тогда это просто частные случаи более общего -пространства (см. Ниже).${\displaystyle I}$${\displaystyle \ell ^{p}(I)}$${\displaystyle L^{p}}$

L ^p пробелов [ править ]

Л ^р пространство может быть определено как пространство измеримых функций , для которых -м мощность абсолютного значения является Лебегу , где определены функции , которые согласны почти везде. В более общем смысле, пусть 1 ≤ p <∞ и ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой . Рассмотрим множество всех измеримых функций от S до C или R , абсолютное значение которых в p-й степени имеет конечный интеграл или, что то же самое, что${\displaystyle p}$

${\displaystyle \|f\|_{p}\equiv \left(\int _{S}|f|^{p}\;\mathrm {d} \mu \right)^{1/p}<\infty }$

Набор таких функций образует векторное пространство со следующими естественными операциями:

${\displaystyle {\begin{aligned}(f+g)(x)&=f(x)+g(x),\\(\lambda f)(x)&=\lambda f(x)\end{aligned}}}$

для любого скаляра λ .

То , что сумма два р -й мощности интегрируемых функций снова р -м мощность интегрируемые следует из неравенства

${\displaystyle \|f+g\|_{p}^{p}\leq 2^{p-1}\left(\|f\|_{p}^{p}+\|g\|_{p}^{p}\right).}$

(Это происходит из-за выпуклости for .)${\displaystyle t\mapsto t^{p}}$${\displaystyle p\geq 1}$

На самом деле, правда больше. Неравенство Минковского утверждает, что неравенство треугольника выполняется для || · || _стр . Таким образом, набор функций p -й степени, интегрируемых вместе с функцией || · || _p , является полунормированным векторным пространством, которое обозначается через .${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$

При p = ∞ пространство - это пространство измеримых функций, ограниченных почти всюду, с существенной верхней гранью его модуля как нормы:${\displaystyle {\mathcal {L}}^{\infty }(S,\mu )}$

${\displaystyle \|f\|_{\infty }\equiv \inf\{C\geq 0:|f(x)|\leq C{\text{ for almost every }}x\}.}$

Как и в дискретном случае, если существует q <∞ такое, что f   ∈ L ^∞ ( S , μ ) ∩ L ^q ( S , μ ) , то 

${\displaystyle \|f\|_{\infty }=\lim _{p\to \infty }\|f\|_{p}.}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}^{p}(S,\,\mu )}$может быть преобразовано в нормированное векторное пространство стандартным способом; один просто занимает фактор - пространство относительно ядра из || · || _стр . Поскольку для любой измеримой функции f имеем || f  || _p = 0 тогда и только тогда, когда f   = 0 почти всюду , ядро || · || _p не зависит от p ,   

${\displaystyle {\mathcal {N}}\equiv \{f:f=0\ \mu {\text{-almost everywhere}}\}=\ker(\|\cdot \|_{p})\qquad \forall \ 1\leq p<\infty }$

В фактор-пространстве две функции f и g отождествляются, если f   = g почти всюду. Результирующее нормированное векторное пространство по определению   

${\displaystyle L^{p}(S,\mu )\equiv {\mathcal {L}}^{p}(S,\mu )/{\mathcal {N}}}$

В общем, этот процесс нельзя обратить вспять: не существует последовательного способа восстановить смежный класс from . Для Однако существует теория лифтов , позволяющих такое восстановление. ${\displaystyle {\mathcal {N}}}$${\displaystyle L^{p}}$${\displaystyle L^{\infty }}$

Когда понимается основное пространство с мерой S , L ^p ( S , μ ) часто сокращается до L ^p ( μ ) или просто L ^p .

Для 1 ≤ p ≤ ∞ L ^p ( S , μ ) - банахово пространство . Тот факт, что L ^p полон, часто называют теоремой Рисса-Фишера , и его можно доказать с помощью теорем сходимости для интегралов Лебега .

Приведенные выше определения обобщаются на пространства Бохнера .

Особые случаи [ править ]

Подобно ℓ ^р пространств, L ² является единственным гильбертово пространство между L ^р пространств. В комплексном случае, скалярное произведение на L ² определяется

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{S}f(x){\overline {g(x)}}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

Дополнительная структура внутреннего продукта позволяет расширить теорию с приложениями, например, к рядам Фурье и квантовой механике . Функции L ² иногда называют квадратично интегрируемых функций , интегрируемых с квадратом функций или квадратично суммируемых функций , но иногда эти термины зарезервированы для функций, интегрируемых с квадратом в каком - то другом смысле, например, в смысле интеграла Римана ( Titchmarsh 1976 ).

Если использовать комплекснозначные функции, пространство L ^∞ является коммутативной C * -алгеброй с поточечным умножением и сопряжением. Для многих пространств с мерой, включая все сигма-конечные, это фактически коммутативная алгебра фон Неймана . Элемент из L ^∞ определяет ограниченный оператор в любом пространстве L ^p умножением .

Для 1 ≤ р ≤ ∞ в л ^р пространства являются частным случаем L ^р пространств, когда S = N , а μ является подсчет мера на N . В более общем смысле, если рассматривать любое множество S со счетной мерой, результирующее пространство L ^p обозначается ℓ ^p ( S ) . Например, пространство ℓ ^p ( Z ) - это пространство всех последовательностей, индексированных целыми числами, и при определении p-норма на таком пространстве, суммируется по всем целым числам. Пространство ℓ ^p ( n ) , где n - множество из n элементов, есть R ⁿ с его p -нормой, как определено выше. В любом гильбертовом пространстве, каждое пространство L ^- линейно изометричен подходящим л ² ( I ) , где мощность множества I является мощностью произвольного гильбертова основы для этого конкретного L ² .

Свойства L ^р пространств [ править ]

Двойные пробелы [ править ]

Сопряженное пространство (банахово пространство всех непрерывных линейных функционалов) из L ^р ( ц ) для 1 < р <∞ имеет естественный изоморфизм с L ^д ( ц ) , где Q является таким , что 1/п + 1/q= 1 (т.е. q =п/п - 1). Этот изоморфизм связывает g ∈ L ^q ( μ ) с функционалом κ _p ( g ) ∈ L ^p ( μ ) ^∗, определенным равенством

${\displaystyle f\mapsto \kappa _{p}(g)(f)=\int fg\,\mathrm {d} \mu \ \ }$ для каждого ${\displaystyle f\in L^{p}(\mu )}$

Тот факт, что κ _p ( g ) корректно определен и непрерывен, следует из неравенства Гёльдера . κ _p  : L ^q ( μ ) → L ^p ( μ ) ^∗ - линейное отображение, которое является изометрией в экстремальном случае неравенства Гёльдера. Также можно показать (например, с помощью теоремы Радона – Никодима , см. ^[4] ), что любой G ∈ L ^p ( μ ) ^∗можно выразить так: т. е. что κ _p находится на . Поскольку κ _р является на и изометрической, это изоморфизм из банаховых пространств . Имея в виду этот (изометрический) изоморфизм, обычно просто говорят, что L ^q - двойственное банахово пространство к L ^p .

Для 1 < р <∞ , пространство L ^р ( μ ) является рефлексивный . Пусть κ _p такое же, как указано выше, и пусть κ _q  : L ^p ( μ ) → L ^q ( μ ) ^∗ - соответствующая линейная изометрия. Рассмотрим отображение из L ^p ( μ ) в L ^p ( μ ) ^∗∗ , полученное составлением κ _q с транспонированным(или присоединенный) к обратному к κ _p :

${\displaystyle j_{p}:L^{p}(\mu ){\overset {\kappa _{q}}{\longrightarrow }}L^{q}(\mu )^{*}{\overset {\left(\kappa _{p}^{-1}\right)^{*}}{\longrightarrow }}L^{p}(\mu )^{**}}$

Это отображение совпадает с каноническим вложением J множества L ^p ( μ ) в его бидуал. Более того, отображение j _p находится на, как композиция двух на изометрии, и это доказывает рефлексивность.

Если мера μ на S является сигма-конечна , то сопряженное L ¹ ( μ ) изометрически изоморфно L ^∞ ( μ ) (более точно, отображение κ ₁ , соответствующий р = 1 является изометрией из L ^∞ ( μ ) на L ¹ ( μ ) ^∗ ).

Двойник L ^∞ более тонкий. Элементы L ^∞ ( μ ) ^∗ можно отождествить с ограниченными знаковыми конечно- аддитивными мерами на S , абсолютно непрерывными относительно μ . Смотрите ba space для более подробной информации. Если мы примем аксиому выбора, это пространство будет намного больше, чем L ¹ ( μ ), за исключением некоторых тривиальных случаев. Однако Сахарон Шелах доказал, что существуют относительно непротиворечивые расширения теории множеств Цермело – Френкеля (ZF + DC+ «Каждое подмножество действительных чисел имеет свойство Бэра ») , в котором сопряженное л ^∞ является ℓ ¹ . ^[5]

Вложения [ править ]

Говоря простым языком, если 1 ≤ p < q ≤ ∞ , то L ^p ( S , μ ) содержит функции, которые более локально сингулярны, а элементы L ^q ( S , μ ) могут быть более разбросанными. Рассмотрим меру Лебега на полупрямой (0, ∞) . Непрерывная функция в L ¹ может взорваться около 0, но должна достаточно быстро затухать к бесконечности. С другой стороны, непрерывные функции в L ^∞не обязательно разлагаться, но не допускается раздутие. Точный технический результат заключается в следующем. ^[6] Предположим, что 0 < p < q ≤ ∞ . Потом:

1. L ^q ( S , μ ) ⊂ L ^p ( S , μ ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств конечной, но сколь угодно большой меры, и
2. L ^p ( S , μ ) ⊂ L ^q ( S , μ ) тогда и только тогда, когда S не содержит множеств ненулевой, но сколь угодно малой меры.

Для вещественной прямой с мерой Лебега оба условия не выполняются. В обоих случаях вложение является непрерывным в том смысле, что тождественный оператор является ограниченным линейным отображением из L ^q в L ^p в первом случае и из L ^p в L ^q во втором. (Это следствие теоремы о замкнутом графике и свойств пространств L ^p .) Действительно, если область S имеет конечную меру, можно выполнить следующее явное вычисление, используя неравенство Гельдера

${\displaystyle \ \|\mathbf {1} f^{p}\|_{1}\leq \|\mathbf {1} \|_{q/(q-p)}\|f^{p}\|_{q/p}}$

ведущий к

${\displaystyle \ \|f\|_{p}\leq \mu (S)^{1/p-1/q}\|f\|_{q}}$.

Константа, фигурирующая в приведенном выше неравенстве, является оптимальной в том смысле, что операторная норма тождества I  : L ^q ( S , μ ) → L ^p ( S , μ ) в точности равна

${\displaystyle \|I\|_{q,p}=\mu (S)^{1/p-1/q}}$

случай равенства достигается именно тогда, когда f   = 1 μ -ae 

Плотные подпространства [ править ]

В этом разделе мы предполагаем, что: 1 ≤ p <∞ .

Пусть ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой. Интегрируемая простая функция F на S является одной из форм  

${\displaystyle f=\sum _{j=1}^{n}a_{j}\mathbf {1} _{A_{j}}}$

где a _j скаляр, A _j ∈ Σ имеет конечную меру и является индикаторной функцией множества для j = 1, ..., n . По построению интеграла векторное пространство интегрируемых простых функций плотно в L ^p ( S , Σ, μ ) .${\displaystyle {\mathbf {1} }_{A_{j}}}$${\displaystyle A_{j}}$

Можно сказать больше, когда S - нормальное топологическое пространство, а Σ - его борелевская σ –алгебра , т. Е. Наименьшая σ –алгебра подмножеств S, содержащая открытые множества .

Предположим, что V ⊂ S - открытое множество с μ ( V ) <∞ . Можно доказать, что для любого борелевского множества A ∈ Σ, содержащегося в V , и для любого ε > 0 существуют замкнутое множество F и открытое множество U такие, что

${\displaystyle F\subset A\subset U\subset V\quad {\text{and}}\quad \mu (U)-\mu (F)=\mu (U\setminus F)<\varepsilon }$

Отсюда следует, что существует непрерывная функция Урысона 0 ≤ φ ≤ 1 на S , равная 1 на F и 0 на S ∖ U , причем

${\displaystyle \int _{S}|\mathbf {1} _{A}-\varphi |\,\mathrm {d} \mu <\varepsilon \ .}$

Если S покрывается возрастающей последовательностью ( V _n ) открытых множеств с конечной мерой, то пространство p -интегрируемых непрерывных функций плотно в L ^p ( S , Σ, µ ) . Точнее, можно использовать ограниченные непрерывные функции, обращающиеся в нуль вне одного из открытых множеств V _n .

В частности, это применимо, когда S = R ^d и когда μ - мера Лебега. Пространство непрерывных функций с компактным носителем плотно в L ^p ( R ^d ) . Аналогично, пространство интегрируемых ступенчатых функций плотно в L ^p ( R ^d ) ; это пространство является линейной оболочкой индикаторных функций ограниченных интервалов, когда d = 1 , ограниченных прямоугольников, когда d = 2, и, в более общем случае, произведений ограниченных интервалов.

Некоторые свойства общих функций в L ^p ( R ^d ) сначала доказываются для непрерывных функций с компактным носителем (иногда для ступенчатых функций), а затем распространяются по плотности на все функции. Например, этим способом доказывается, что трансляции непрерывны на L ^p ( R ^d ) в следующем смысле:

${\displaystyle \forall f\in L^{p}(\mathbf {R} ^{d}):\qquad \left\|\tau _{t}f-f\right\|_{p}\to 0,\quad {\text{ as }}\mathbf {R} ^{d}\ni t\to 0,}$

куда

${\displaystyle (\tau _{t}f)(x)=f(x-t).}$

L ^p (0 < p <1) [ править ]

Пусть ( S , Σ, μ ) - пространство с мерой. Если 0 < p <1 , то L ^p ( μ ) можно определить, как указано выше: это векторное пространство тех измеримых функций f таких, что  

${\displaystyle N_{p}(f)=\int _{S}|f|^{p}\,d\mu <\infty .}$

Как и раньше, мы можем ввести p -норму || f  || _p = N _p (  f  ) ^{1 / p} , но || · || _p не удовлетворяет неравенству треугольника в этом случае и определяет только квазинорму . Из неравенства ( a + b ) ^p ≤ a ^p + b ^p , справедливого для a , b ≥ 0, следует, что ( Рудин 1991 , §1.47)

${\displaystyle N_{p}(f+g)\leq N_{p}(f)+N_{p}(g)}$

и поэтому функция

${\displaystyle d_{p}(f,g)=N_{p}(f-g)=\|f-g\|_{p}^{p}}$

является метрикой на L ^p ( μ ) . Полученное метрическое пространство полно ; проверка аналогична известному случаю, когда p ≥ 1 .

В этом случае L ^p удовлетворяет обратному неравенству Минковского , то есть для u , v в L ^p

${\displaystyle \||u|+|v|\|_{p}\geq \|u\|_{p}+\|v\|_{p}}$

Этот результат может быть использован для доказательства неравенств Кларксона , которые, в свою очередь, используются для установления равномерной выпуклости пространств L ^p для 1 < p <∞ ( Adams & Fournier 2003 ).

Пространство L ^p для 0 < p <1 является F-пространством : оно допускает полную трансляционно-инвариантную метрику, относительно которой операции векторного пространства непрерывны. Он также локально ограничен , как и в случае p ≥ 1 . Это прототипический пример F-пространство , что для большинства разумных пространств с мерой, не является локально выпуклым : в л ^р или L ^р ([0, 1]) , каждое открытое множество выпукло , содержащий 0 функции не ограниченно для р -квазинорма; следовательно, 0вектор не имеет фундаментальной системы выпуклых окрестностей. В частности, это верно, если пространство с мерой S содержит бесконечное семейство непересекающихся измеримых множеств конечной положительной меры.

Единственным непустым выпуклым открытым множеством в L ^p ([0, 1]) является все пространство ( Рудин, 1991 , §1.47). Как частное следствие, на L ^p ([0, 1]) нет ненулевых линейных функционалов : двойственное пространство - это нулевое пространство. В случае подсчета меры на множество натуральных чисел (производящего пространство последовательностей L ^р ( х ) = л ^р ), ограниченные линейные функционалы на л ^р в точности те , которые ограничены на л ¹ , а именно тех , кто задается последовательностями в л ^∞ . Хотя ℓ ^p действительно содержит нетривиальные выпуклые открытые множества, их недостаточно, чтобы дать основу для топологии.

Ситуация отсутствия линейных функционалов крайне нежелательна для целей анализа. В случае меры Лебега на R ⁿ вместо того, чтобы работать с L ^p для 0 < p <1 , обычно по возможности работают с пространством Харди H ^p , так как оно имеет довольно много линейных функционалов: достаточно, чтобы различать точки друг от друга. Однако теорема Хана – Банаха все еще неверна в H ^p для p <1 ( Duren 1970 , §7.5).

L ⁰ , пространство измеримых функций [ править ]

Векторное пространство (классов эквивалентности) измеримых функций на ( S , Σ, μ ) обозначается L ⁰ ( S , Σ, μ ) ( Kalton, Peck & Roberts 1984 ). По определению он содержит все L ^p и снабжен топологией сходимости по мере . Когда μ является вероятностной мерой (т. Е. Μ ( S ) = 1 ), этот способ сходимости называется сходимостью по вероятности .

Описание проще, когда μ конечно. Если μ - конечная мера на ( S , Σ) , функция 0 допускает сходимость по мере следующей фундаментальной системы окрестностей

${\displaystyle V_{\varepsilon }={\Bigl \{}f:\mu {\bigl (}\{x:|f(x)|>\varepsilon \}{\bigr )}<\varepsilon {\Bigr \}},\qquad \varepsilon >0}$

Топологию можно определить любой метрикой d вида

${\displaystyle d(f,g)=\int _{S}\varphi {\bigl (}|f(x)-g(x)|{\bigr )}\,\mathrm {d} \mu (x)}$

где φ - ограниченная непрерывная вогнутая и неубывающая на [0, ∞) , причем φ (0) = 0 и φ ( t )> 0 при t > 0 (например, φ ( t ) = min ( t , 1) ) . Такая метрика называется метрикой Леви для L ⁰ . Под этой метрикой пространство L ⁰ полно (это снова F-пространство). Пространство L ^0, вообще говоря, не является локально ограниченным и не локально выпуклым.

Для бесконечной меры Лебега λ на R ⁿ определение фундаментальной системы окрестностей может быть изменено следующим образом

${\displaystyle W_{\varepsilon }=\left\{f:\lambda \left(\left\{x:|f(x)|>\varepsilon {\text{ and }}|x|<{\frac {1}{\varepsilon }}\right\}\right)<\varepsilon \right\}}$

Полученное пространство L ⁰ ( R ⁿ , λ ) совпадает как топологическое векторное пространство с L ⁰ ( R ⁿ , g ( x ) d λ (x)) для любой положительной λ –интегрируемой плотности g .

Обобщения и расширения [ править ]

Слабый L ^p [ править ]

Пусть ( S , Е , М ) пространство с мерой, и е в измеримой функции с действительными или комплексными значениями на S . Функция распределения из F определена при т > 0 с помощью

${\displaystyle \lambda _{f}(t)=\mu \left\{x\in S:|f(x)|>t\right\}}$

Если F в L ^р ( S , μ ) для некоторого р с 1 ≤ р <∞ , то в силу неравенства Маркова ,

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {\|f\|_{p}^{p}}{t^{p}}}}$

Функция F называется в пространстве слабым L ^р ( S , μ ) , или L ^{р , ш} ( S , ц ) , если существует постоянная С > 0 такое , что при всех т > 0 ,

${\displaystyle \lambda _{f}(t)\leq {\frac {C^{p}}{t^{p}}}}$

Наилучшая константа C для этого неравенства является L ^{p , w} -нормой функции f и обозначается через

${\displaystyle \|f\|_{p,w}=\sup _{t>0}~t\lambda _{f}^{1/p}(t).}$

Слабые L ^p совпадают с пространствами Лоренца L ^{p , ∞} , поэтому эти обозначения также используются для их обозначения.

L ^{р , ш} -нормой не является истинной нормой, так как неравенство треугольника не выполняется. Тем не менее, для F в L ^р ( S , μ ) ,

${\displaystyle \|f\|_{p,w}\leq \|f\|_{p}}$

и, в частности, L ^p ( S , μ ) ⊂ L ^{p , w} ( S , μ ) .

Фактически, есть

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}^{p}=\int |f(x)|^{p}d\mu (x)\geq \int _{\{|f(x)|>t\}}t^{p}+\int _{\{|f(x)|\leq t\}}|f|^{p}\geq t^{p}\mu (\{|f|>t\})}$,

возведя в степень 1 / p и взяв верхнюю грань по t, получим

${\displaystyle \|f\|_{L^{p}}\geq \sup _{t>0}t\;\mu (\{|f|>t\})^{1/p}=\|f\|_{L^{p,w}}.}$

Согласно соглашению, что две функции равны, если они равны μ почти всюду, пространства L ^{p , w} полны ( Grafakos 2004 ).

Для любого 0 < r < p выражение

${\displaystyle |||f|||_{L^{p,\infty }}=\sup _{0<\mu (E)<\infty }\mu (E)^{-1/r+1/p}\left(\int _{E}|f|^{r}\,d\mu \right)^{1/r}}$

сравнимо с L ^{p , w} -нормой. Далее, в случае p > 1 это выражение определяет норму, если r = 1 . Следовательно, при p > 1 слабые L ^p- пространства являются банаховыми пространствами ( Grafakos 2004 ).

Основным результатом, который использует L ^{p , w} -пространства, является интерполяционная теорема Марцинкевича , которая имеет широкие приложения к гармоническому анализу и изучению сингулярных интегралов .

Взвешенные пространства L ^p [ править ]

Как и раньше, рассмотрим пространство с мерой ( S , Σ, μ ) . Пусть w  : S → [0, ∞) - измеримая функция. Ш - взвешенное L ^р пространство определяется как L ^р ( S , ш  г ц ) , где W  d М означает меру ν , определяемой

${\displaystyle \nu (A)\equiv \int _{A}w(x)\,\mathrm {d} \mu (x),\qquad A\in \Sigma ,}$

или, в терминах производной Радона – Никодима , w =d ν/d μ норма для L ^р ( S , ш  г ц ) явно

${\displaystyle \|u\|_{L^{p}(S,w\,\mathrm {d} \mu )}\equiv \left(\int _{S}w(x)|u(x)|^{p}\,\mathrm {d} \mu (x)\right)^{1/p}}$

Как L ^p -пространства, весовые пространства не имеют ничего особенного, так как L ^p ( S , w  d µ ) равно L ^p ( S , d ν ) . Но они являются естественной основой для некоторых результатов гармонического анализа ( Grafakos 2004 ); они появляются, например, в теореме Макенхаупта : для 1 < p <∞ классическое преобразование Гильберта определено на L ^p ( T , λ ), где Tобозначает единичную окружность, а λ - меру Лебега; (нелинейный) максимальный оператор Харди – Литтлвуда ограничен на L ^p ( R ⁿ , λ ) . Теорема Макенхаупта описывает веса w такие, что преобразование Гильберта остается ограниченным на L ^p ( T , w  d λ ) и максимальный оператор на L ^p ( R ⁿ , w  d λ ) .

L ^p пространства на многообразиях [ править ]

Можно также определить пространства L ^p ( M ) на многообразии, называемые внутренними пространствами L ^p многообразия, используя плотности .

Векторные пространства L ^p [ править ]

Учитывая пространство с мерой ( X , Σ, μ ) и локально-выпуклое пространство E , можно также различными способами определить пространства p -интегрируемых E-значных функций. Наиболее распространенным из них является пространства интегрируемых по Бохнеру и Петтису интегрируемых функций. Используя тензорное произведение локально выпуклых пространств, они могут быть соответственно определены как и ; где и обозначают соответственно проективное и инъективное тензорные произведения локально выпуклых пространств. Когда E - ядерное пространство , Гротендик${\displaystyle L_{\mu }^{p}\left(X,\Sigma ,\mu \right)\otimes _{\pi }E}$${\displaystyle L_{\mu }^{p}\left(X,\Sigma ,\mu \right)\otimes _{\epsilon }E}$${\displaystyle \otimes _{\pi }}$${\displaystyle \otimes _{\epsilon }}$ показал, что эти две конструкции неразличимы.

См. Также [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Адамс, Роберт А .; Фурнье, Джон Ф. (2003), Пространства Соболева (второе изд.), Academic Press, ISBN 978-0-12-044143-3.
• Бурбаки, Николас (1987), Топологические векторные пространства , Элементы математики, Берлин: Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-13627-9.
• ДиБенедетто, Эммануэле (2002), Реальный анализ , Биркхойзер, ISBN 3-7643-4231-5.
• Данфорд, Нельсон; Шварц, Якоб Т. (1958), Линейные операторы, том I , Wiley-Interscience.
• Дурен, П. (1970), Теория H ^p -пространств , Нью-Йорк: Academic Press
• Графакос, Лукас (2004), Классический и современный анализ Фурье , Pearson Education, Inc., стр. 253–257, ISBN 0-13-035399-X.
• Хьюитт, Эдвин; Стромберг, Карл (1965), Реальный и абстрактный анализ , Springer-Verlag.
• Калтон, Найджел Дж .; Пек, Н. Тенни; Робертс, Джеймс В. (1984), пробоотборник F-пространства , Серия лекций Лондонского математического общества, 89 , Кембридж: Cambridge University Press, DOI : 10.1017 / CBO9780511662447 , ISBN 0-521-27585-7, MR  0808777
• Рисса, Фридьеш (1910), "Untersuchungen über Systeme integrierbarer Funktionen" , Mathematische Annalen , 69 (4): 449-497, DOI : 10.1007 / BF01457637 , S2CID  120242933
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Рудин, Уолтер (1987), Реальный и комплексный анализ (3-е изд.), Нью-Йорк: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-054234-1, Руководство по ремонту  0924157
• Титчмарш, EC (1976), Теория функций , Oxford University Press, ISBN 978-0-19-853349-8

Внешние ссылки [ править ]

• "Пространство Лебега" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Доказательство полноты пространства L p