Функциональный анализ

Один из возможных режимов вибрации идеализированной круглой головки барабана . Эти режимы являются собственными функциями линейного оператора в функциональном пространстве, общей конструкции в функциональном анализе.

Функциональный анализ - это раздел математического анализа , ядро ​​которого составляет изучение векторных пространств, наделенных некоторой структурой, связанной с ограничениями (например, внутренний продукт , норма , топология и т. Д.), И линейных функций, определенных в этих пространствах. и уважая эти структуры в подходящем смысле. Исторические корни функционального анализа лежат в изучении пространств функций и формулировании свойств преобразований функций, таких как преобразование Фурье, как преобразований, определяющих непрерывные , унитарныеи т.д. операторы между функциональными пространствами. Эта точка зрения оказалась особенно полезной при изучении дифференциальных и интегральных уравнений .

Использование слова « функционал» в качестве существительного восходит к вариационному исчислению , подразумевая функцию, аргументом которой является функция . Этот термин впервые был использован в книге Адамара 1910 года по этому вопросу. Однако общее понятие функционала было введено ранее в 1887 году итальянским математиком и физиком Вито Вольтерра . ^{[1] [2]} Теория нелинейных функционалов была продолжена учениками Адамара, в частности Фреше и Леви . Адамар также основал современную школу линейного функционального анализа, развитую в дальнейшем Риссом и группой исследователей.Польские математики вокруг Стефана Банаха .

В современных вводных текстах по функциональному анализу предмет рассматривается как исследование векторных пространств, наделенных топологией, в частности бесконечномерных пространств . Напротив, линейная алгебра имеет дело в основном с конечномерными пространствами и не использует топологию. Важной частью функционального анализа является распространение теории меры , интегрирования и вероятности на бесконечномерные пространства, также известное как бесконечномерный анализ .

Нормированные векторные пространства [ править ]

Основным и исторически первым классом пространств, изучаемых в функциональном анализе, являются полные нормированные векторные пространства над действительными или комплексными числами . Такие пространства называются банаховыми . Важным примером является гильбертово пространство , где норма возникает из внутреннего продукта. Эти пространства имеют фундаментальное значение во многих областях, включая математическую формулировку квантовой механики , машинное обучение , уравнения в частных производных и анализ Фурье .

В более общем плане функциональный анализ включает изучение пространств Фреше и других топологических векторных пространств, не наделенных нормой.

Важным объектом изучения функционального анализа являются линейные непрерывные операторы, определенные в банаховом и гильбертовом пространствах. Это естественным образом приводит к определению C * -алгебр и других операторных алгебр .

Гильбертовы пространства [ править ]

Гильбертовые может быть полностью классифицировано: существует единственное гильбертово пространство до изоморфизма для каждой мощности на ортонормированном . ^[3] Конечномерные гильбертовы пространства полностью понимаются в линейной алгебре , а бесконечномерные сепарабельные гильбертовые пространства изоморфны . Разделимость важна для приложений, поэтому функциональный анализ гильбертовых пространств в основном имеет дело с этим пространством. Одна из открытых проблем функционального анализа - доказать, что каждый ограниченный линейный оператор в гильбертовом пространстве имеет собственное инвариантное подпространство . Многие частные случаи этого ℓ 2 ( ℵ 0 ) {\ Displaystyle \ ell ^ {\, 2} (\ алеф _ {0}) \,} проблема инвариантного подпространства уже доказана.

Банаховы пространства [ править ]

Общие банаховы пространства сложнее гильбертовых пространств, и их нельзя классифицировать так просто, как те. В частности, во многих банаховых пространствах отсутствует понятие, аналогичное ортонормированному базису .

Примерами банаховых пространств являются -пространства для любого действительного числа . Принимая во внимание также является мерой по совокупности , то , иногда также обозначается или , имеет в качестве векторов классов эквивалентности из измеримых функций которых абсолютное значение «s -й мощности имеет конечный интеграл, то есть функции , для которых один имеет L п {\ Displaystyle L ^ {\, p}} ${\ displaystyle p \ geq 1}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle X}$${\displaystyle L^{\,p}(X)}$${\displaystyle L^{\,p}(X,\mu )}$${\displaystyle L^{\,p}(\mu )}$${\displaystyle [\,f\,]}$${\displaystyle p}$${\displaystyle f\,}$

${\displaystyle \int _{X}\left|f(x)\right|^{p}\,d\mu (x)<+\infty }$.

Если - счетная мера , то интеграл можно заменить суммой. То есть нам требуется${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle \sum _{x\in X}\left|f(x)\right|^{p}<+\infty }$.

Тогда нет необходимости иметь дело с классами эквивалентности, и пространство обозначается , проще записывается в случае, когда - множество неотрицательных целых чисел .${\displaystyle \ell ^{\ p}(X)}$${\displaystyle \,\ell ^{\,p\ }}$${\displaystyle X}$

В банаховых пространствах большая часть исследования включает двойственное пространство : пространство всех непрерывных линейных отображений из пространства в лежащее в его основе поле, так называемые функционалы. Банахово пространство можно канонически отождествить с подпространством его двузначного числа, которое является двойственным к его двойственному пространству. Соответствующее отображение является изометрией, но, как правило, не на. Общее банахово пространство и его бидуальное пространство не обязательно должны быть каким-либо образом изометрически изоморфны, в отличие от конечномерной ситуации. Это объясняется в статье о двойном пространстве.

Кроме того, понятие производной может быть распространено на произвольные функции между банаховыми пространствами. См., Например, статью о производных Фреше .

Линейный функциональный анализ [ править ]

Основные и основополагающие результаты [ править ]

Важные результаты функционального анализа включают:

Принцип равномерной ограниченности [ править ]

Принцип равномерной ограниченности или теорема Банаха – Штейнхауза - один из фундаментальных результатов функционального анализа. Вместе с теоремой Хана – Банаха и теоремой об открытом отображении она считается одним из краеугольных камней этой области. В своей основной форме он утверждает, что для семейства непрерывных линейных операторов (и, следовательно, ограниченных операторов), область определения которых является банаховым пространством , точечная ограниченность эквивалентна равномерной ограниченности по операторной норме.

Теорема была впервые опубликована в 1927 году Стефаном Банахом и Хьюго Штайнхаусом, но также была независимо доказана Гансом Ханом .

Теорема (принцип равномерной ограниченности). Пусть X - банахово пространство, а Y - нормированное векторное пространство . Предположим , что F представляет собой совокупность непрерывных линейных операторов из X в Y . Если для всех x в X имеется

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T(x)\|_{Y}<\infty ,}$

тогда

${\displaystyle \sup \nolimits _{T\in F}\|T\|_{B(X,Y)}<\infty .}$

Спектральная теорема [ править ]

Есть много теорем, известных как спектральная теорема , но одна, в частности, имеет множество приложений в функциональном анализе.

Теорема: ^[4] Пусть ограниченный оператор самосопряжен в гильбертовом пространстве H . Тогда существуют пространство с мерой ( X , Σ, μ) и вещественнозначная существенно ограниченная измеримая функция f на X и унитарный оператор U : H → L ² _μ ( X ) такие, что

${\displaystyle U^{*}TU=A\;}$

где T - оператор умножения :

${\displaystyle [T\varphi ](x)=f(x)\varphi (x).\;}$

и ${\displaystyle \|T\|=\|f\|_{\infty }}$

Это начало обширной области исследований функционального анализа, называемой теорией операторов ; см. также спектральную меру .

Аналогичная спектральная теорема существует и для ограниченных нормальных операторов в гильбертовых пространствах. Единственная разница в выводе состоит в том, что now может быть комплексным.${\displaystyle f}$

Теорема Хана – Банаха [ править ]

Теорема Хана – Банаха - центральный инструмент функционального анализа. Он позволяет расширить ограниченные линейные функционалы, определенные на подпространстве некоторого векторного пространства, на все пространство, а также показывает, что существует «достаточно» непрерывных линейных функционалов, определенных на каждом нормированном векторном пространстве, чтобы сделать изучение двойственного пространства интересным. ".

Теорема Хана-Банаха: ^[5] Если р : V → R является функцией сублинеен и φ : U → R представляет собой линейный функционал на линейном подпространстве U ⊆ V , который преобладает по р на U , т.е.

${\displaystyle \varphi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in U}$

то существует линейное расширение ф : V → R из ф на все пространство V , т.е. существует линейный функционал ф такой , что

${\displaystyle \psi (x)=\varphi (x)\qquad \forall x\in U,}$

${\displaystyle \psi (x)\leq p(x)\qquad \forall x\in V.}$

Теорема об открытом отображении [ править ]

Теорема открытое отображение , также известный как теорема Банаха-Шаудера (имени Стефана Банаха и Юлиуш Шаудером ), является фундаментальным результатом , который гласит , что если непрерывный линейный оператор между банаховых пространств является сюръективны то это открытое отображение . Точнее: ^[5]

Теорема об открытом отображении. Если X и Y - банаховы пространства и A : X → Y - сюръективный непрерывный линейный оператор, то A - открытое отображение (т.е. если U - открытое множество в X , то A ( U ) открыто в Y ).

Доказательство использует теорему Бэра о категории , и полнота как X, так и Y важна для теоремы. Утверждение теоремы больше не верно, если любое пространство просто предполагается, что является нормированным пространством , но верно, если X и Y взяты как пространства Фреше .

Теорема о замкнутом графе [ править ]

Замкнутый график теорема утверждает следующее: Если X является топологическим пространством , а Y представляет собой компактное хаусдорфово пространство , то график линейного отображения Т из X к Y замкнуто тогда и только тогда , когда Т является непрерывным . ^[6]

Другие темы [ править ]

Соображения по основам математики [ править ]

Большинство пространств, рассматриваемых в функциональном анализе, имеют бесконечную размерность. Чтобы показать существование базиса векторного пространства для таких пространств, может потребоваться лемма Цорна . Однако в функциональном анализе обычно более уместна несколько иная концепция, базис Шаудера . Многие очень важные теоремы требуют теоремы Хана – Банаха , обычно доказываемой с использованием выбранной аксиомы , хотя достаточно строго более слабой теоремы о булевом простом идеале . Теорема Бэра о категории , необходимая для доказательства многих важных теорем, также требует определенной аксиомы.

Точки зрения [ править ]

Функциональный анализ в его современном виде ^[update]включает следующие тенденции:

• Абстрактный анализ . Подход к анализу на основе топологических групп , топологических колец и топологических векторных пространств .
• Геометрия банаховых пространств содержит множество тем. Один из них - комбинаторный подход, связанный с Жаном Бургейном ; другой - характеризация банаховых пространств, в которых выполняются различные формы закона больших чисел .
• Некоммутативная геометрия . Разработан Аленом Конном , частично опираясь на более ранние идеи, такие какподход Джорджа Макки к эргодической теории .
• Связь с квантовой механикой . Либо в узком смысле, как в математической физике , либо в широком смысле, например, Израилем Гельфандом , как включающий большинство типов теории представлений .

См. Также [ править ]

• Список тем функционального анализа
• Спектральная теория

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Алипрантис, CD, Граница, KC: Анализ бесконечных измерений: Путеводитель автостопом , 3-е изд., Springer 2007, ISBN 978-3-540-32696-0 . Online doi : 10.1007 / 3-540-29587-9 (по подписке) 
• Бахман, Г., Наричи, Л .: Функциональный анализ , Academic Press, 1966. (перепечатка Dover Publications)
• Банах С. Теория линейных операций . Том 38, Математическая библиотека Северной Голландии, 1987, ISBN 0-444-70184-2 
• Брезис, Х .: Анализируйте Fonctionnelle , Dunod ISBN 978-2-10-004314-9 или ISBN 978-2-10-049336-4  
• Конвей, Дж. Б .: Курс функционального анализа , 2-е издание, Springer-Verlag, 1994, ISBN 0-387-97245-5 
• Данфорд, Н. и Шварц, JT : линейные операторы, общая теория, John Wiley & Sons и другие 3 тома, включая диаграммы визуализации
• Эдвардс, RE: Функциональный анализ, теория и приложения , Холд, Райнхарт и Уинстон, 1965.
• Эйдельман, Юлий, Виталий Мильман и Антонис Цоломитис: Функциональный анализ: Введение , Американское математическое общество, 2004.
• Фридман, А .: Основы современного анализа , Dover Publications, издание в мягкой обложке, 21 июля 2010 г.
• Джайлз, младший: Введение в анализ нормированных линейных пространств , Cambridge University Press, 2000
• Хирш Ф., Лакомб Г. - «Элементы функционального анализа», Springer, 1999.
• Хатсон, В., Пим, Дж. С., Облако М.Дж.: Приложения функционального анализа и теории операторов , 2-е издание, Elsevier Science, 2005, ISBN 0-444-51790-1 
• Канторовиц, С., Введение в современный анализ , Oxford University Press, 2003, 2-е изд., 2006.
• А. Н. Колмогоров, А. Н. и Фомин, С. В. : Элементы теории функций и функционального анализа , Dover Publications, 1999
• Крейсциг, Э .: Введение в функциональный анализ с приложениями , Wiley, 1989.
• Лакс, П .: Функциональный анализ , Wiley-Interscience, 2002, ISBN 0-471-55604-1 
• Лебедев Л.П., Ворович II: Функциональный анализ в механике , Springer-Verlag, 2002.
• Мишель, Энтони Н. и Чарльз Дж. Херже: прикладная алгебра и функциональный анализ , Довер, 1993.
• Питч, Альбрехт: История банаховых пространств и линейных операторов , Birkhäuser Boston Inc., 2007, ISBN 978-0-8176-4367-6 
• Рид, М. , Саймон, Б .: "Функциональный анализ", Academic Press, 1980.
• Рис, Ф. и С.-Надь, Б .: Функциональный анализ , Dover Publications, 1990.
• Рудин, В .: Функциональный анализ , McGraw-Hill Science, 1991.
• Сакс, Карен: Начало функционального анализа , Springer, 2001
• Шехтер, М .: Принципы функционального анализа , AMS, 2-е издание, 2001 г.
• Шилов, Георгий Э .: Элементарный функциональный анализ , Довер, 1996.
• Соболев, С.Л .: Приложения функционального анализа в математической физике , АМН, 1963 г.
• Фогт, Д., Мейсе, Р .: Введение в функциональный анализ , Oxford University Press, 1997.
• Йосида, К .: Функциональный анализ , Springer-Verlag, 6-е издание, 1980 г.

Внешние ссылки [ править ]

• "Функциональный анализ" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• «Темы реального и функционального анализа » Джеральда Тешля , Венский университет.
• Конспект лекций по функциональному анализу Евгения Виленского, Нью-Йоркский университет.
• Лекция видео на функциональном анализе по Greg Morrow из Университета Колорадо Колорадо - Спрингс