Функциональный (математика)

Эта статья может потребовать очистки, чтобы соответствовать стандартам качества Википедии . Конкретная проблема: в тексте нет ссылок. Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, если можете. ( Сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Функционал длины дуги имеет в качестве своей области векторное пространство спрямляемых кривых (подпространство ) и выводит вещественный скаляр. Это пример нелинейного функционала.${\ Displaystyle С ([0,1], \ mathbb {R} ^ {3})}$

Интеграл Римана представляет собой линейный функционал на векторном пространстве Римана-интегрируемых функций от а до Ь, где а, Ь ∈ .${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

В математике термин « функционал» (как существительное) имеет как минимум три значения.

• В современной линейной алгебре это относится к линейному отображению векторного пространства в его поле скаляров , т. Е. Относится к элементу двойственного пространства .${\ displaystyle V}$ ${\ Displaystyle V ^ {*}}$
• В математическом анализе , в более общем смысле и исторически, это относится к отображению пространства в действительные числа , а иногда и в комплексные числа , с целью установления структуры, подобной исчислению . В зависимости от автора такие сопоставления могут считаться или не считаться линейными или определяемыми для всего пространства .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$
• В информатике это синоним функций высшего порядка , то есть функций, которые принимают функции в качестве аргументов или возвращают их.

В данной статье основное внимание уделяется второй концепции, возникшей в начале 18 века как часть вариационного исчисления . Первая концепция, более современная и абстрактная, подробно обсуждается в отдельной статье под названием linear form . Третья концепция подробно описана в статье о функциях высшего порядка .

Обычно пространство - это пространство функций. В этом случае функционал - это «функция функции», и некоторые более старые авторы фактически определяют термин «функционал» как «функция функции». Однако тот факт, что это пространство функций, не является математически существенным, поэтому это старое определение больше не является распространенным. ^{[ необходима цитата ]}${\ displaystyle X}$${\ displaystyle X}$

Термин происходит от вариационного исчисления , когда ищут функцию, которая минимизирует (или максимизирует) данный функционал. Особенно важным приложением в физике является поиск состояния системы, которое минимизирует (или максимизирует) действие , или, другими словами, интеграл по времени от лагранжиана .

Подробности [ править ]

Двойственность [ править ]

Отображение

${\ displaystyle x_ {0} \ mapsto f (x_ {0})}$

- функция, где x ₀ - аргумент функции f . В то же время отображение функции на значение функции в точке

${\ displaystyle f \ mapsto f (x_ {0})}$

это функционал ; здесь x ₀ - параметр .

При условии, что f является линейной функцией от векторного пространства до лежащего в основе скалярного поля, приведенные выше линейные карты двойственны друг другу, и в функциональном анализе оба называются линейными функционалами .

Определенный интеграл [ править ]

Такие интегралы , как

${\ displaystyle f \ mapsto I [f] = \ int _ {\ Omega} H (f (x), f '(x), \ ldots) \; \ mu ({\ mbox {d}} x)}$

образуют особый класс функционалов. Они отображают функцию в действительное число при условии, что оно имеет действительное значение. Примеры включают${\ displaystyle f}$${\ displaystyle H}$

• область под графиком положительной функции ${\ displaystyle f}$

${\ Displaystyle е \ mapsto \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} f (x) \; \ mathrm {d} x}$

• L p норма функции на множестве${\ displaystyle E}$

${\ Displaystyle е \ mapsto \ left (\ int _ {E} | f | ^ {p} \; \ mathrm {d} x \ right) ^ {1 / p}}$

• длина дуги кривой в 2-мерном евклидовом пространстве

${\ displaystyle f \ mapsto \ int _ {x_ {0}} ^ {x_ {1}} {\ sqrt {1+ | f '(x) | ^ {2}}} \; \ mathrm {d} x}$

Внутренние пространства продукта [ править ]

Для заданного внутреннего пространства продукта и фиксированного вектора карта, определяемая с помощью, является линейным функционалом на . Множество векторов , таких , что равна нулю является векторным подпространством , называется нуль - пространство или ядро функционала, или ортогональное дополнение в , обозначаемое .${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ vec {x}} \ in X}$${\ Displaystyle {\ vec {y}} \ mapsto {\ vec {x}} \ cdot {\ vec {y}}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle {\ vec {y}}}$${\displaystyle {\vec {x}}\cdot {\vec {y}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\vec {x}}}$${\displaystyle \{{\vec {x}}\}^{\perp }}$

Например, взятие скалярного произведения с фиксированной функцией определяет (линейный) функционал на гильбертовом пространстве квадратично интегрируемых функций на :${\displaystyle g\in L^{2}([-\pi ,\pi ])}$ ${\displaystyle L^{2}([-\pi ,\pi ])}$${\displaystyle [-\pi ,\pi ]}$

${\displaystyle f\mapsto \langle f,g\rangle =\int _{[-\pi ,\pi ]}{\bar {f}}g}$

Местоположение [ править ]

Если значение функционала можно вычислить для небольших сегментов входной кривой, а затем просуммировать, чтобы найти общее значение, функционал называется локальным. В противном случае это называется нелокальным. Например:

${\displaystyle F(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}$

местный, в то время как

${\displaystyle F(y)={\frac {\int _{x_{0}}^{x_{1}}y(x)\;\mathrm {d} x}{\int _{x_{0}}^{x_{1}}(1+[y(x)]^{2})\;\mathrm {d} x}}}$

не является локальным. Это обычно происходит, когда интегралы встречаются отдельно в числителе и знаменателе уравнения, например, при вычислении центра масс.

Решение уравнения [ править ]

Традиционное использование также применяется, когда говорят о функциональном уравнении, имея в виду уравнение между функционалами: уравнение F = G между функционалами можно читать как «уравнение для решения», где решения сами являются функциями. В таких уравнениях может быть несколько наборов неизвестных переменных, например, когда говорят, что аддитивная функция f - это функция, удовлетворяющая функциональному уравнению

${\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y).}$

Производная и интеграция [ править ]

Функциональные производные используются в лагранжевой механике . Они являются производными от функционалов: то есть они несут информацию о том, как изменяется функционал, когда входная функция изменяется на небольшую величину.

Ричард Фейнман использовал функциональные интегралы в качестве центральной идеи в своей формулировке истории квантовой механики . Это использование подразумевает интеграл, взятый по некоторому функциональному пространству .

См. Также [ править ]

• Линейная форма
• Оптимизация (математика)
• Тензор

Ссылки [ править ]

• "Функциональный" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Роуленд, Тодд. «Функциональный» . MathWorld .
• Ланг, Серж (2002), "III. Модули, §6. Двойственное пространство и дуальный модуль", Алгебра , Graduate Texts in Mathematics , 211 (исправленное третье изд.), Нью-Йорк: Springer-Verlag, стр. 142–146 , ISBN 978-0-387-95385-4, MR  1878556 , Zbl  0984.00001