Лагранжева механика

Часть серии по
Классическая механика
${\displaystyle {\textbf {F}}={\frac {d}{dt}}(m{\textbf {v}})}$ Второй закон движения
История График Учебники
ветви Применяемый Небесный Continuum Динамика Кинематика Кинетика Статика Статистический
Основы Ускорение Угловой момент Пара Принцип Даламбера Энергия кинетический потенциал Сила Точка зрения Инерциальная система отсчета Импульс Инерция  / момент инерции Масса Механическая мощность Механическая работа Момент Импульс Космос Скорость Время Крутящий момент Скорость Виртуальная работа
Составы Законы движения Ньютона Аналитическая механика Лагранжева механика Гамильтонова механика Рутианская механика Уравнение Гамильтона – Якоби Уравнение движения Аппеля Механика Купмана – фон Неймана
Основные темы Коэффициент демпфирования Смещение Уравнения движения Законы движения Эйлера Фиктивная сила Трение Гармонический осциллятор Инерциальная  / неинерциальная система отсчета Механика движения плоских частиц Движение  ( линейное ) Закон всемирного тяготения Ньютона Законы движения Ньютона Относительная скорость Жесткое тело динамика Уравнения Эйлера Простые гармонические колебания Вибрация
Вращение Круговое движение Вращающаяся опорная рамка Центростремительная сила Центробежная сила реактивный Сила Кориолиса Маятник Тангенциальная скорость Скорость вращения Угловое ускорение  / перемещение  / частота  / скорость
Ученые Кеплер Галилео Гюйгенс Ньютон Хоррокс Галлей Даниэль Бернулли Иоганн Бернулли Эйлер д'Аламбер Clairaut Лагранж Лаплас Гамильтон Пуассон Коши Раут Liouville Appell Гиббс Купман фон Нейман
Категории ► Классическая механика
v т е

Лагранжева механика - это переформулировка классической механики , представленная итальянско-французским математиком и астрономом Жозефом-Луи Лагранжем в 1788 году.

В механике Лагранжа, траектория системы частиц происходят путем решения уравнений Лагранжа в одной из двух форм: либо уравнения Лагранжа первого рода , ^[1] , которые лечат ограничения в явном виде дополнительные уравнений, часто с использованием множителей Лагранжа ; ^{[2] [3]} или уравнения Лагранжа второго рода , которые включают ограничения непосредственно путем разумного выбора обобщенных координат . ^{[1] [4]} В каждом случае математическая функция, называемая лагранжианомявляется функцией обобщенных координат, их производных по времени и времени и содержит информацию о динамике системы.

Никакая новая физика не обязательно вводится при применении механики Лагранжа по сравнению с механикой Ньютона . Однако он более сложен с математической точки зрения и более систематичен. Законы Ньютона могут включать в себя неконсервативные силы, такие как трение ; однако они должны явно включать ограничивающие силы и лучше всего подходят для декартовых координат . Лагранжева механика идеальна для систем с консервативными силами и для обхода сил связи в любой системе координат . Диссипативные и ведомые силы могут быть учтены путем разделения внешних сил на сумму потенциальных и непотенциальных сил, что приводит к набору модифицированных уравнений Эйлера – Лагранжа (EL) . ^[5]Обобщенные координаты могут быть выбраны для удобства, чтобы использовать симметрии в системе или геометрию ограничений, что может упростить решение для движения системы. Лагранжева механика также выявляет сохраняющиеся величины и их симметрии напрямую, как частный случай теоремы Нётер .

Лагранжева механика важна не только из-за ее широких приложений, но и из-за ее роли в продвижении глубокого понимания физики . Хотя Лагранж стремился описать классическую механику только в своем трактате Mécanique analytique , ^{[6] [7]} Уильям Роуэн Гамильтон позже разработал принцип Гамильтона, который можно использовать для вывода уравнения Лагранжа и который позже был признан применимым к большей части фундаментальной теоретической физики как ну особенно квантовая механика и теория относительности . Его также можно применить к другим системам по аналогии , например, к связаннымэлектрические цепи с индуктивностями и емкостями . ^[8]

Лагранжева механика широко используется для решения механических задач в физике, когда формулировка классической механики Ньютоном неудобна. Лагранжева механика применяется к динамике частиц, а поля описываются с помощью плотности лагранжиана . Уравнения Лагранжа также используются в задачах оптимизации динамических систем. В механике уравнения Лагранжа второго рода используются гораздо чаще, чем уравнения первого рода.

Введение [ править ]

Предположим, что существует шарик, скользящий по проволоке, или качающийся простой маятник и т. Д. Если отслеживать каждый из массивных объектов (шарик, маятник и т. Д.) Как частицу, расчет движения частицы с использованием ньютоновской механики потребует решения для изменяющейся во времени силы ограничения, необходимой для удержания частицы в ограниченном движении (сила реакции, оказываемая проволокой на бусину, или натяжение стержня маятника). Для той же задачи с использованием лагранжевой механики можно посмотреть, какой путь может пройти частица, и выбрать удобный набор независимых обобщенных координат.которые полностью характеризуют возможное движение частицы. Такой выбор избавляет от необходимости вводить силу ограничения в результирующую систему уравнений. Уравнений меньше, так как нельзя напрямую вычислять влияние ограничения на частицу в данный момент.

Для самых разнообразных физических систем, если размер и форма массивного объекта незначительны, будет полезным упрощением рассматривать его как точечную частицу . Для системы N точечных частиц с массами т ₁ , т ₂ , ..., м _N , каждая частица имеет вектор позиции , обозначаемую г ₁ , г ₂ , ..., г _N . Часто бывает достаточно декартовых координат , поэтому r ₁ = ( x ₁ , y ₁ , z ₁), r ₂ = ( x ₂ , y ₂ , z ₂ ) и так далее. В трехмерном пространстве каждый вектор положения требует трех координат для однозначного определения местоположения точки, поэтому существует 3 N координат для однозначного определения конфигурации системы. Все это определенные точки в космосе, в которых можно найти частицы; общая точка в пространстве записывается r = ( x , y , z ). Скорость каждой частицы, как быстро частица движется вдоль его пути движения, и является производной по времени своего положения, таким образом

В механике Ньютона уравнения движения задаются законами Ньютона . Второй закон «чистая сила равна массе, умноженной на ускорение »,применяется к каждой частице. Для системы из N частиц в 3 измерениях существует 3 N обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка в положениях частиц, которые необходимо решить.

Вместо сил лагранжева механика использует энергии в системе. Центральным параметром лагранжевой механики является лагранжиан , функция, которая суммирует динамику всей системы. В целом, в лагранжиане есть единицы энергии, но нет единого выражения для всех физических систем. Любая функция, которая генерирует правильные уравнения движения в соответствии с физическими законами, может быть принята в качестве лагранжиана. Тем не менее можно построить общие выражения для больших классов приложений. Нерелятивистский Лагранж для системы частиц может быть определен с помощью ^[9]

${\displaystyle L=T-V}$

куда

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}\sum _{k=1}^{N}m_{k}v_{k}^{2}}$

- полная кинетическая энергия системы, равная сумме Σ кинетических энергий частиц ^[10], а V - потенциальная энергия системы.

Кинетическая энергия - это энергия движения системы, а v _k ² = v _k · v _k - квадрат величины скорости, эквивалентный скалярному произведению скорости на себя. Кинетическая энергия является функцией только скоростей v _k , а не положений r _k и времени t , поэтому T = T ( v ₁ , v ₂ , ...).

Потенциальная энергия системы отражает энергию взаимодействия между частицами, т.е. сколько энергии любой частицы будет иметь из - за всех других людей и других внешних воздействий. Для консервативных сил (например, ньютоновской гравитации ) это функция только векторов положения частиц, поэтому V = V ( r ₁ , r ₂ , ...). Для тех неконсервативных сил, которые могут быть получены из соответствующего потенциала (например, электромагнитного потенциала ), скорости также появятся, V = V ( r ₁ , r ₂, ..., v ₁ , v ₂ , ...). Если есть какое-то внешнее поле или внешняя движущая сила, изменяющаяся со временем, потенциал будет меняться со временем, поэтому в большинстве случаев V = V ( r ₁ , r ₂ , ..., v ₁ , v ₂ , ..., t ) .

Приведенная выше форма L не выполняется в релятивистской лагранжевой механике и должна быть заменена функцией, совместимой со специальной или общей теорией относительности. Кроме того , для диссипативных сил другая функция должна быть введена вместе с L .

Одна или несколько частиц могут быть подвержены одной или нескольким голономным ограничениям ; такое ограничение описывается уравнением вида f ( r , t ) = 0. Если количество ограничений в системе равно C , то каждое ограничение имеет уравнение, f ₁ ( r , t ) = 0, f ₂ ( r , t ) = 0, ... f _C ( r , t ) = 0, каждая из которых может применяться к любой из частиц. Если частица k подчиняется ограничению i , тоf _i ( r _k , t ) = 0. В любой момент времени координаты связанной частицы связаны друг с другом и не являются независимыми. Уравнения ограничений определяют допустимые пути, по которым частицы могут двигаться, но не то, где они находятся или как быстро они движутся в каждый момент времени. Неголономные связи зависят от скоростей частиц, ускорений или более высоких производных положения. Лагранжева механика может применяться только к системам, чьи связи, если они есть, все голономны . Три примера неголономных связей: ^[11]когда уравнения связей неинтегрируемы, когда ограничения имеют неравенства, или со сложными неконсервативными силами, такими как трение. Неголономные связи требуют специального рассмотрения, и, возможно, придется вернуться к механике Ньютона или использовать другие методы.

Если Т или V или оба явно зависит от времени из - за изменяющимися во время ограничений или внешних воздействий, лагранжевый L ( R ₁ , R ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ... т ) является явным образом зависит от времени . Если ни потенциал, ни кинетическая энергия не зависят от времени, то лагранжиан L ( r ₁ , r ₂ , ... v ₁ , v ₂ , ...) явно не зависит от времени. В любом случае лагранжиан всегда будет иметь неявную зависимость от времени через обобщенные координаты.

С этими определениями уравнения Лагранжа первого рода имеют вид ^[12]

где k = 1, 2, ..., N обозначает частицы, существует множитель Лагранжа λ _i для каждого уравнения связи f _i , и

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial \mathbf {r} _{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial x_{k}}},{\frac {\partial }{\partial y_{k}}},{\frac {\partial }{\partial z_{k}}}\right)\,,\quad {\frac {\partial }{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\equiv \left({\frac {\partial }{\partial {\dot {x}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {y}}_{k}}},{\frac {\partial }{\partial {\dot {z}}_{k}}}\right)}$

каждая является сокращением для вектора частных производных ∂ / ∂ по указанным переменным (а не производной по всему вектору). ^{[nb 1]} Каждая точка - это сокращение для производной по времени . Эта процедура увеличивает количество уравнений для решения по сравнению с законами Ньютона с 3 N до 3 N + C , потому что существует 3 N связанных дифференциальных уравнений второго порядка в координатах положения и множителях, плюс Cуравнения связей. Однако при решении вместе с координатами положения частиц множители могут дать информацию о силах связи. Координаты не нужно исключать путем решения уравнений связи.

В лагранжиане координаты положения и компоненты скорости - все независимые переменные , и производные лагранжиана берутся по ним отдельно в соответствии с обычными правилами дифференцирования (например, производная L по компоненту скорости z частицы 2 , v _{z 2} = d z ₂ / d t , именно так; не нужно использовать неудобные цепные правила или полные производные, чтобы связать компонент скорости с соответствующей координатой z ₂ ).

В каждом уравнении ограничения одна координата является избыточной, потому что она определяется из других координат. Количество независимых поэтому координат п = 3 Н - С . Мы можем преобразовать каждый вектор положения в общий набор из n обобщенных координат , которые удобно записать как n -набор q = ( q ₁ , q ₂ , ... q _n ), выражая каждый вектор положения и, следовательно, координаты положения, как функции обобщенных координат и времени,

${\displaystyle \mathbf {r} _{k}=\mathbf {r} _{k}(\mathbf {q} ,t)=(x_{k}(\mathbf {q} ,t),y_{k}(\mathbf {q} ,t),z_{k}(\mathbf {q} ,t),t)\,.}$

Вектор q - это точка в конфигурационном пространстве системы. Производные по времени от обобщенных координат называются обобщенными скоростями, и для каждой частицы преобразование ее вектора скорости, полная производная ее положения по времени, равно

${\displaystyle {\dot {q}}_{j}={\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\,,\quad \mathbf {v} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}{\dot {q}}_{j}+{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial t}}\,.}$

Учитывая это v _k , кинетическая энергия в обобщенных координатах зависит от обобщенных скоростей, обобщенных координат и времени, если векторы положения явно зависят от времени из-за изменяющихся во времени ограничений, поэтому T = T ( q , d q / d t , т ).

С этими определениями уравнения Эйлера – Лагранжа или уравнения Лагранжа второго рода ^{[13] [14]}

математические результаты вариационного исчисления , которые также могут быть использованы в механике. Подстановка в лагранжиан L ( q , d q / d t , t ) дает уравнения движения системы. Количество уравнений уменьшилось по сравнению с механикой Ньютона, с 3 N до n = 3 N - C связанных дифференциальных уравнений второго порядка в обобщенных координатах. Эти уравнения вообще не включают в себя силы связи, необходимо учитывать только силы, не являющиеся связями.

Хотя уравнения движения включают частные производные , результаты частных производных по-прежнему являются обыкновенными дифференциальными уравнениями в координатах положения частиц. Полная производная по времени , обозначаемый д / д т часто включает в себя неявное дифференцирование . Оба уравнения линейны по лагранжиану, но, как правило, будут нелинейными связанными уравнениями по координатам.

От ньютоновской механики к лагранжевой [ править ]

Законы Ньютона [ править ]

Для простоты законы Ньютона можно проиллюстрировать для одной частицы без особой потери общности (для системы из N частиц все эти уравнения применимы к каждой частице в системе). Уравнение движения для частицы массы т является вторым законом Ньютона из 1687, в современной векторной записи

${\displaystyle \mathbf {F} =m\mathbf {a} \,,}$

где a - его ускорение, а F - действующая на него равнодействующая сила . В трех пространственных измерениях это система трех связанных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка, которые необходимо решить, поскольку в этом векторном уравнении есть три компонента. Растворы положение векторов г частиц в момент времени Т , с учетом начальных условий в г и V при т = 0.

Законы Ньютона легко использовать в декартовых координатах, но декартовы координаты не всегда удобны, а для других систем координат уравнения движения могут стать сложными. В наборе криволинейных координат ξ = ( ξ ¹ , ξ ² , ξ ³ ) закон в обозначениях тензорного индекса является «лагранжевой формой» ^{[15] [16]}

${\displaystyle F^{a}=m\left({\frac {\mathrm {d} ^{2}\xi ^{a}}{\mathrm {d} t^{2}}}+\Gamma ^{a}{}_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\right)=g^{ak}\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\xi }}^{k}}}-{\frac {\partial T}{\partial \xi ^{k}}}\right)\,,\quad {\dot {\xi }}^{a}\equiv {\frac {\mathrm {d} \xi ^{a}}{\mathrm {d} t}}\,,}$

где F ^a - a- я контравариантная составляющая результирующей силы, действующей на частицу, Γ ^a _bc - символы Кристоффеля второго рода,

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}mg_{bc}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{b}}{\mathrm {d} t}}{\frac {\mathrm {d} \xi ^{c}}{\mathrm {d} t}}\,,}$

кинетическая энергия частицы, а г _{до н.э.} в ковариантном компоненте этого метрического тензора в криволинейной системе координат. Все индексы a , b , c принимают значения 1, 2, 3. Криволинейные координаты не то же самое, что обобщенные координаты.

Приведение закона Ньютона в такую ​​форму может показаться чрезмерным усложнением, но есть преимущества. Компоненты ускорения в терминах символов Кристоффеля можно избежать, вычислив вместо этого производные кинетической энергии. Если на частицу не действует равнодействующая сила, F = 0 , она не ускоряется, а движется с постоянной скоростью по прямой. Математически решения дифференциального уравнения являются геодезическими, кривые экстремальной длины между двумя точками в пространстве (они могут оказаться минимальными, так что это кратчайшие пути, но это не обязательно). В плоском трехмерном реальном пространстве геодезические - это просто прямые линии. Итак, для свободной частицы второй закон Ньютона совпадает с уравнением геодезических, и состояния свободных частиц следуют геодезическим, экстремальным траекториям, по которым они могут двигаться. Если на частицу действуют силы, F ≠ 0 , частица ускоряется за счет сил, действующих на нее, и отклоняется от геодезических, если бы она была свободна. При наличии соответствующих расширений величин , приведенных здесь в плоском 3D пространства на 4d искривленного пространства - время , такая форма закона Ньютона также переносится на Эйнштейн «с общей теорией относительности, и в этом случае свободные частицы следуют геодезическим в искривленном пространстве-времени, которые больше не являются «прямыми линиями» в обычном смысле. ^[17]

Однако нам по-прежнему необходимо знать полную результирующую силу F, действующую на частицу, которая, в свою очередь, требует результирующей силы N без ограничений плюс результирующая сила ограничения C ,

${\displaystyle \mathbf {F} =\mathbf {C} +\mathbf {N} \,.}$

Сдерживающие силы могут быть сложными, поскольку они обычно зависят от времени. Кроме того, при наличии ограничений криволинейные координаты не являются независимыми, а связаны одним или несколькими уравнениями ограничений.

Силы связи можно либо исключить из уравнений движения, чтобы остались только силы, не являющиеся связями, либо включить их путем включения уравнений связи в уравнения движения.

Принцип Даламбера [ править ]

Фундаментальным результатом аналитической механики является принцип Даламбера , введенный в 1708 году Жаком Бернулли для понимания статического равновесия и разработанный Даламбером в 1743 году для решения динамических задач. ^[18] Принцип утверждает, что для N частиц виртуальная работа, то есть работа вдоль виртуального смещения, δ r _k , равна нулю ^[10]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}+\mathbf {C} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.}$

Эти виртуальные перемещения , δ т _к , являются изменениями определения бесконечно малых в конфигурации системы в соответствии с ограничением силы , действующей на системе в момент времени , ^[19] т.е. таким образом , что ограничение силу поддерживать ограниченное движение . Это не то же самое, что фактические смещения в системе, которые вызваны результирующими ограничивающими и не ограничивающими силами, действующими на частицу для ее ускорения и перемещения. ^{[nb 2]} Виртуальная работа - это работа, выполняемая вдоль виртуального смещения для любой силы (ограничения или отсутствия ограничений).

Поскольку силы ограничения действуют перпендикулярно движению каждой частицы в системе для поддержания ограничений, общая виртуальная работа сил ограничения, действующих на систему, равна нулю; ^{[20] [№ 3]}

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {C} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,,}$

так что

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}(\mathbf {N} _{k}-m_{k}\mathbf {a} _{k})\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=0\,.}$

Таким образом, принцип Даламбера позволяет нам сосредоточиться только на приложенных силах, не являющихся связями, и исключить эти силы в уравнениях движения. ^{[21] [22]} Показанная форма также не зависит от выбора координат. Однако его нельзя легко использовать для составления уравнений движения в произвольной системе координат, поскольку смещения δ r _k могут быть связаны уравнением связи, которое не позволяет нам установить N отдельных слагаемых равными 0. Поэтому мы будем искать система взаимно независимых координат, для которой общая сумма будет равна 0 тогда и только тогда, когда отдельные слагаемые равны 0. Установка каждого из слагаемых на 0 в конечном итоге даст нам наши отдельные уравнения движения.

Уравнения движения по принципу Даламбера [ править ]

Если есть ограничения на частицу k , то, поскольку координаты положения r _k = ( x _k , y _k , z _k ) связаны вместе уравнением связи , то же самое происходит и с координатами виртуальных перемещений δ r _k = ( δx _k , δy _k , δz _k ). Поскольку обобщенные координаты независимы, мы можем избежать сложностей с δ r _k , преобразовав в виртуальные перемещения в обобщенных координатах. Они связаны в той же форме, что иполный дифференциал , ^[10]

${\displaystyle \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}\,.}$

Не существует частной производной по времени по времени, умноженной на приращение времени, поскольку это виртуальное смещение, одно по ограничениям в момент времени.

Первый член в приведенном выше принципе Даламбера - это виртуальная работа, совершаемая силами N _k, не являющимися связями, вдоль виртуальных перемещений δ r _k , и может без ограничения общности быть преобразована в обобщенные аналоги с помощью определения обобщенных сил

${\displaystyle Q_{j}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\,,}$

так что

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \delta \mathbf {r} _{k}=\sum _{k=1}^{N}\mathbf {N} _{k}\cdot \sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}=\sum _{j=1}^{n}Q_{j}\delta q_{j}\,.}$

Это половина преобразования в обобщенные координаты. Осталось преобразовать член ускорения в обобщенные координаты, что не сразу очевидно. Вспоминая форму Лагранжа второго закона Ньютона, можно найти частные производные кинетической энергии по обобщенным координатам и скоростям, чтобы получить желаемый результат; ^[10]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{N}m_{k}\mathbf {a} _{k}\cdot {\frac {\partial \mathbf {r} _{k}}{\partial q_{j}}}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\,.}$

Теперь принцип Даламбера находится в необходимых обобщенных координатах:

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}\left[Q_{j}-\left({\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}\right)\right]\delta q_{j}=0\,,}$

и поскольку эти виртуальные перемещения δq _j независимы и не равны нулю, коэффициенты могут быть приравнены к нулю, что приводит к уравнениям Лагранжа ^{[23] [24]} или обобщенным уравнениям движения , ^[25]

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial T}{\partial q_{j}}}}$

Эти уравнения эквивалентны законам Ньютона для сил, не являющихся связующими . Обобщенные силы в этом уравнении выводятся только из сил, не связанных с ограничениями - силы связи исключены из принципа Даламбера, и их нет необходимости находить. Обобщенные силы могут быть неконсервативными при условии, что они удовлетворяют принципу Даламбера. ^[26]

Уравнения Эйлера – Лагранжа и принцип Гамильтона [ править ]

Для неконсервативной силы, которая зависит от скорости, может быть возможно найти функцию потенциальной энергии V, которая зависит от положения и скорости. Если обобщенные силы Q _i могут быть получены из потенциала V, такого что ^{[28] [29]}

${\displaystyle Q_{j}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial V}{\partial {\dot {q}}_{j}}}-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}\,,}$

приравнивая к уравнениям Лагранжа и определяя лагранжиан как L = T - V, получаем уравнения Лагранжа второго рода или уравнения движения Эйлера – Лагранжа

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.}$

Однако уравнения Эйлера – Лагранжа могут учитывать неконсервативные силы, только если потенциал может быть найден, как показано. Это не всегда возможно для неконсервативных сил, и уравнения Лагранжа не включают никаких потенциальных сил, а только обобщенные силы; поэтому они более общие, чем уравнения Эйлера – Лагранжа.

Уравнения Эйлера – Лагранжа также следуют из вариационного исчисления . Вариации лагранжиана является

${\displaystyle \delta L=\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta {\dot {q}}_{j}\right)\,,\quad \delta {\dot {q}}_{j}\equiv \delta {\frac {\mathrm {d} q_{j}}{\mathrm {d} t}}\equiv {\frac {\mathrm {d} (\delta q_{j})}{\mathrm {d} t}}\,,}$

который имеет форму , подобную полный дифференциал из L , но виртуальные перемещения и их производные по времени замене дифференциалов, и нет приращения времени в соответствии с определением виртуальных перемещений. Интегрирование по частям по времени может передавать производную по времени & delta ; q _J к ∂ L / ∂ (д д _J / д т ), в процессе обмена г ( & delta ; q _J ) / д т в & delta ; q _J , что позволяет независимо виртуальные смещения, которые нужно факторизовать из производных лагранжиана,

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}\delta q_{j}+{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right)\,\mathrm {d} t\,=\sum _{j=1}^{n}\left[{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\delta q_{j}\right]_{t_{1}}^{t_{2}}+\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{j=1}^{n}\left({\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)\delta q_{j}\,\mathrm {d} t\,.}$

Теперь, если условие δq _j ( t ₁ ) = δq _j ( t ₂ ) = 0 выполняется для всех j , неинтегрированные члены равны нулю. Если вдобавок весь интеграл по времени от δL равен нулю, то, поскольку δq _j независимы, и единственный способ получить нулевой определенный интеграл - это если подынтегральная функция равна нулю, каждый из коэффициентов δq _j также должен быть равен нулю. Тогда получаем уравнения движения. Это можно резюмировать с помощью принципа Гамильтона ;

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L\,\mathrm {d} t=0\,.}$

Интеграл по времени лагранжиана - это еще одна величина, называемая действием , определенная как ^[30]

${\displaystyle S=\int _{t_{1}}^{t_{2}}L\,\mathrm {d} t\,,}$

который является функционалом ; он принимает функцию Лагранжа все время между t ₁ и t ₂ и возвращает скалярное значение. Его размеры такие же, как [ угловой момент ], [энергия] · [время] или [длина] · [импульс]. С этим определением принцип Гамильтона таков:

${\displaystyle \delta S=0\,.}$

Таким образом, вместо того, чтобы думать о частицах, ускоряющихся в ответ на приложенные силы, можно было бы подумать о том, что они выбирают путь с помощью стационарного действия, при этом конечные точки пути в конфигурационном пространстве фиксируются в начальном и конечном моментах времени. Принцип Гамильтона иногда называют принципом наименьшего действия , однако функционал действия должен быть только стационарным , а не обязательно максимальным или минимальным значением. Любая вариация функционала дает увеличение функционального интеграла действия.

Исторически сложилось так, что идея найти кратчайший путь, по которому частица может следовать под действием силы, послужила причиной первых применений вариационного исчисления к механическим задачам, таким как проблема Брахистохрона, решенная Жаном Бернулли в 1696 году, а также Лейбницем , Даниэлем Бернулли , L'Hôpital примерно в то же время, а Newton - в следующем году. ^[31] Сам Ньютон мыслил в духе вариационного исчисления, но не опубликовал. ^[31] Эти идеи, в свою очередь, приводят к вариационным принципам механики Ферма , Мопертюи., Эйлер , Гамильтон и другие.

Принцип Гамильтона может быть применен к неголономным связям, если уравнения связей могут быть представлены в определенной форме - линейной комбинации дифференциалов первого порядка по координатам. Полученное уравнение связи можно преобразовать в дифференциальное уравнение первого порядка. ^[32] Здесь не приводится.

Множители и ограничения Лагранжа [ править ]

Лагранжиан L можно варьировать в декартовых координатах r _k для N частиц,

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0\,.}$

Принцип Гамильтона остается в силе, даже если координаты L , выраженные в, не являются независимыми, здесь r _k , но ограничения по-прежнему считаются голономными. ^[33] Как всегда, конечные точки фиксированы δ r _k ( t ₁ ) = δ r _k ( t ₂ ) = 0 для всех k . Что нельзя сделать, так это просто приравнять коэффициенты при δ r _k к нулю, потому что δ r _k не являются независимыми. Вместо этого метод множителей Лагранжаможно использовать для включения ограничений. Умножение каждого уравнения ограничений f _i ( r _k , t ) = 0 на множитель Лагранжа λ _i для i = 1, 2, ..., C и добавление результатов к исходному лагранжиану дает новый лагранжиан

${\displaystyle L'=L(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,{\dot {\mathbf {r} }}_{1},{\dot {\mathbf {r} }}_{2},\ldots ,t)+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}(t)f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)\,.}$

Множители Лагранжа являются произвольными функциями времени t , но не функциями координат r _k , так что множители находятся в равном положении с координатами положения. Варьируя этот новый лагранжиан и интегрируя по времени, получаем

${\displaystyle \int _{t_{1}}^{t_{2}}\delta L'\mathrm {d} t=\int _{t_{1}}^{t_{2}}\sum _{k=1}^{N}\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\right)\cdot \delta \mathbf {r} _{k}\,\mathrm {d} t=0\,.}$

Введенные множители могут быть найдены так, что коэффициенты при δ r _k равны нулю, даже если r _k не являются независимыми. Уравнения движения следуют. Из предыдущего анализа получение решения этого интеграла эквивалентно утверждению

${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}=0\quad \Rightarrow \quad {\frac {\partial L}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\,,}$

которые являются уравнениями Лагранжа первого рода . Кроме того, уравнения Эйлера-Лагранжа λ _i для нового лагранжиана возвращают уравнения связи

${\displaystyle {\frac {\partial L'}{\partial \lambda _{i}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {\lambda }}_{i}}}=0\quad \Rightarrow \quad f_{i}(\mathbf {r} _{k},t)=0\,.}$

В случае консервативной силы, задаваемой градиентом некоторой потенциальной энергии V , функция только координат r _k , замена лагранжиана L = T - V дает

${\displaystyle \underbrace {{\frac {\partial T}{\partial \mathbf {r} _{k}}}-{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}_{k}}}} _{-\mathbf {F} _{k}}+\underbrace {-{\frac {\partial V}{\partial \mathbf {r} _{k}}}} _{\mathbf {N} _{k}}+\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}=0\,,}$

и идентифицируя производные кинетической энергии как (отрицательные для) результирующей силы, а производные потенциала, равные силе без ограничения, следует, что силы ограничения равны

${\displaystyle \mathbf {C} _{k}=\sum _{i=1}^{C}\lambda _{i}{\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {r} _{k}}}\,,}$

таким образом давая силы связи явно в терминах уравнений связи и множителей Лагранжа.

Свойства лагранжиана [ править ]

Неуникальность [ править ]

Лагранжиан данной системы не единственен. Лагранжево л можно умножить на постоянной от нуля а , произвольная постоянная Ь могут быть добавлены, и новый лагранжиан аЬ + Ь будет описывать точно такое же движение как L . Если, кроме того, мы ограничимся, как мы делали выше, траекториями, ограниченными заданным интервалом времени и имеющими свои конечные точки и фиксированными, то два лагранжиана, описывающие одну и ту же систему, могут отличаться "полной производной по времени" функции , ^[34] т.е.${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle [t_{\text{st}},t_{\text{fin}}]}$${\displaystyle P_{\text{st}}=\mathbf {q} (t_{\text{st}})}$${\displaystyle P_{\text{fin}}=\mathbf {q} (t_{\text{fin}})}$${\displaystyle f(\mathbf {q} ,t)}$

${\displaystyle L'(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)+{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}},}$

где сокращение для${\displaystyle \textstyle {\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} ,t)}{\mathrm {d} t}}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial t}}+\sum _{i}{\frac {\partial f(\mathbf {q} ,t)}{\partial q_{i}}}{\dot {q}}_{i}.}$

Оба лагранжиана и производят одни и те же уравнения движения ^{[35] [36],} поскольку соответствующие действия и связаны через${\displaystyle L}$${\displaystyle L'}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S'}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S'[\mathbf {q} ]=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L'(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt=\int \limits _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}L(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)\,dt+\int _{t_{\text{st}}}^{t_{\text{fin}}}{\frac {\mathrm {d} f(\mathbf {q} (t),t)}{\mathrm {d} t}}\,dt\\=S[\mathbf {q} ]+f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})-f(P_{\text{st}},t_{\text{st}}),\end{aligned}}}$

с двумя последними компонентами и не зависит от${\displaystyle f(P_{\text{fin}},t_{\text{fin}})}$${\displaystyle f(P_{\text{st}},t_{\text{st}})}$${\displaystyle \mathbf {q} .}$

Инвариантность относительно точечных преобразований [ править ]

Учитывая набор обобщенных координат q , если мы изменим эти переменные на новый набор обобщенных координат s в соответствии с точечным преобразованием q = q ( s , t ), новый лагранжиан L ′ будет функцией новых координат

${\displaystyle L(\mathbf {q} (\mathbf {s} ,t),{\dot {\mathbf {q} }}(\mathbf {s} ,{\dot {\mathbf {s} }},t),t)=L'(\mathbf {s} ,{\dot {\mathbf {s} }},t)\,,}$

и по цепному правилу частичного дифференцирования уравнения Лагранжа инвариантны относительно этого преобразования; ^[37]

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L'}{\partial {\dot {s}}_{i}}}={\frac {\partial L'}{\partial s_{i}}}\,.}$

Это может упростить уравнения движения.

Циклические координаты и сохраняющиеся импульсы [ править ]

Важным свойством лагранжиана является то, что по нему легко считываются сохраняющиеся величины . Обобщенный импульс «канонически сопряженные с» координатной д _я определяется

${\displaystyle p_{i}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}.}$

Если лагранжиан L никак не зависит от некоторой координаты Q _I , непосредственно следует из уравнений Эйлера-Лагранжа , что

${\displaystyle {\dot {p}}_{i}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}={\frac {\partial L}{\partial q_{i}}}=0\,}$

а интегрирование показывает, что соответствующий обобщенный импульс равен постоянной, сохраняющейся величине. Это частный случай теоремы Нётер . Такие координаты называются «циклическими» или «игнорируемыми».

Например, в системе может быть лагранжиан

${\displaystyle L(r,\theta ,{\dot {s}},{\dot {z}},{\dot {r}},{\dot {\theta }},{\dot {\phi }},t)\,,}$

где r и z - длины вдоль прямых, s - длина дуги вдоль некоторой кривой, а θ и φ - углы. Обратите внимание, что z , s и φ отсутствуют в лагранжиане, хотя их скорости отсутствуют. Тогда импульсы

${\displaystyle p_{z}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {z}}}}\,,\quad p_{s}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {s}}}}\,,\quad p_{\phi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\phi }}}}\,,}$

все являются сохраняющимися величинами. Единицы и характер каждого обобщенного импульса будут зависеть от соответствующей координаты; в этом случае p _z - это поступательный момент в направлении z , p _s - это также поступательный момент, измеряемый вдоль кривой s , а p _φ - момент количества движения в плоскости, в которой измеряется угол φ . Каким бы сложным ни было движение система, все координаты и скорости будут изменяться таким образом, что эти импульсы сохраняются.

Энергия [ править ]

Определение [ править ]

Учитывая лагранжиан энергии соответствующей механической системы, по определению,${\displaystyle L,}$

${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L.}$

Инвариантность относительно преобразований координат [ править ]

В каждый момент времени энергия инвариантна относительно изменения координат конфигурационного пространства , т.е.${\displaystyle t,}$${\displaystyle \mathbf {q} \to \mathbf {Q} }$

${\displaystyle E(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)=E(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t).}$

Помимо этого результата, приведенное ниже доказательство показывает, что при такой замене координат производные изменяются как коэффициенты линейной формы.${\displaystyle \partial L/\partial {\dot {q}}_{i}}$

Доказательство

Для преобразования координат имеем${\displaystyle \mathbf {Q} =F(\mathbf {q} ),}$ ${\displaystyle d\mathbf {Q} =F_{*}(\mathbf {q} )d\mathbf {q} ,}$ где - касательная карта векторного пространства${\displaystyle F_{*}(\mathbf {q} )}$ ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}\cdot \left(\partial /\partial q_{i}{\Bigl |}_{\mathbf {q} }\right)\ {\biggl |}\ {\dot {q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\}}$ в векторное пространство ${\displaystyle \left\{\sum _{i=1}^{n}{\dot {Q}}_{i}\cdot \left(\partial /\partial Q_{i}{\Bigl |}_{F(\mathbf {q} )}\right)\ {\biggl |}\ {\dot {Q}}_{i}\in \mathbb {R} \right\},}$ и ${\displaystyle \textstyle F_{*}(\mathbf {q} )={\bigl (}\partial F_{i}/\partial q_{j}{\bigl |}_{\mathbf {q} }{\bigr )}_{i,j=1}^{n}}$ - якобиан. В координатах и предыдущая формула для имеет вид После дифференцирования с использованием правила произведения${\displaystyle {\dot {q}}_{i}}$${\displaystyle {\dot {Q}}_{i},}$${\displaystyle d\mathbf {Q} }$${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}=F_{*}(\mathbf {q} ){\dot {\mathbf {q} }}.}$ ${\displaystyle d{\dot {\mathbf {Q} }}=G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} +F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }},}$ куда ${\displaystyle {\begin{aligned}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})d\mathbf {q} &\,{\stackrel {\text{def}}{=}}\,d(F_{*}(\mathbf {q} )){\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i,j=1}^{n}{\dot {\mathbf {q} }}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\dot {q}}_{j}\sum _{k=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }dq_{k}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}\\&=\left(\sum _{k=1}^{n}dq_{k}\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i=1,\ldots ,n}^{T}=\left(\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial ^{2}F_{i}}{\partial q_{j}\partial q_{k}}}{\biggl |}_{\mathbf {q} }{\dot {q}}_{j}\right)_{i,k=1}^{n}d\mathbf {q} .\end{aligned}}}$ В векторных обозначениях ${\displaystyle {\begin{aligned}dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)&={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}d\mathbf {Q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}d{\dot {\mathbf {Q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt\\&=\left({\frac {\partial L}{\partial \mathbf {Q} }}F_{*}(\mathbf {q} )+{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}G(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }})\right)d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}.\end{aligned}}}$ С другой стороны, ${\displaystyle dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t)={\frac {\partial L}{\partial \mathbf {q} }}d\mathbf {q} +{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}d{\dot {\mathbf {q} }}+{\frac {\partial L}{\partial t}}dt.}$ Ранее упоминалось, что лагранжианы не зависят от выбора координат конфигурационного пространства, т.е. одним из следствий этого является то, что и${\displaystyle L(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=L(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t).}$${\displaystyle dL(\mathbf {Q} ,{\dot {\mathbf {Q} }},t)=dL(\mathbf {q} ,{\dot {\mathbf {q} }},t),}$ ${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}F_{*}(\mathbf {q} )={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.}$ Это демонстрирует, что для каждого и является четко определенной линейной формой, коэффициенты которой являются контравариантными 1-тензорами. Применяя обе части уравнения и используя приведенную выше формулу для доходности${\displaystyle \mathbf {q} ,}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }},}$${\displaystyle t,}$ ${\displaystyle \textstyle \sum \limits _{i=1}^{n}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}d{\dot {q}}_{i}}$${\displaystyle \textstyle {\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {q} }}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}}$ ${\displaystyle {\dot {\mathbf {Q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {Q} }}}}={\dot {\mathbf {q} }}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {q} }}}}.}$ Из этого следует инвариантность энергии .${\displaystyle E}$

Сохранение [ править ]

В лагранжевой механике система замкнута тогда и только тогда, когда ее лагранжиан не зависит явно от времени. Закон сохранения энергии гласит, что энергия замкнутой системы является интегралом движения .${\displaystyle L}$${\displaystyle E}$

Точнее, пусть - экстремаль . (Другими словами, удовлетворяет уравнениям Эйлера-Лагранжа). Взяв полную производную по времени вдоль этой экстремали и используя уравнения EL, мы получим${\displaystyle \mathbf {q} =\mathbf {q} (t)}$${\displaystyle \mathbf {q} }$${\displaystyle L}$

${\displaystyle -{\frac {\partial L}{\partial t}}{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}={\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[E{\biggl |}_{\mathbf {q} (t)}\right].}$

Если лагранжиан явно не зависит от времени, то так , в самом деле, является интегралом движения, а это означает , что${\displaystyle L}$${\displaystyle \partial L/\partial t=0,}$${\displaystyle E}$

${\displaystyle E(\mathbf {q} (t),{\dot {\mathbf {q} }}(t),t)={\text{const}}.}$

Следовательно, энергия сохраняется.

Кинетическая и потенциальная энергии [ править ]

Отсюда также следует, что кинетическая энергия является однородной функцией степени 2 от обобщенных скоростей. Если вдобавок потенциал V является только функцией координат и не зависит от скоростей, то прямым вычислением или использованием теоремы Эйлера для однородных функций следует , что

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial T}{\partial {\dot {q}}_{i}}}=2T\,.}$

При всех этих обстоятельствах ^[38] постоянная

${\displaystyle E=T+V}$

- полная энергия системы. Кинетическая и потенциальная энергии все еще изменяются по мере развития системы, но движение системы будет таким, что их сумма, полная энергия, будет постоянной. Это ценное упрощение, поскольку энергия E - это постоянная интегрирования, которая считается произвольной константой для задачи, и может быть возможно интегрировать скорости из этого отношения энергии, чтобы решить для координат. В случае, если скорость или кинетическая энергия или и то, и другое зависит от времени, энергия не сохраняется.

Механическое подобие [ править ]

Если потенциальная энергия является однородной функцией координат и не зависит от времени, ^[39] и все векторы положения масштабируются одной и той же ненулевой константой α , r _k ′ = α r _k , так что

${\displaystyle V(\alpha \mathbf {r} _{1},\alpha \mathbf {r} _{2},\ldots ,\alpha \mathbf {r} _{N})=\alpha ^{N}V(\mathbf {r} _{1},\mathbf {r} _{2},\ldots ,\mathbf {r} _{N})}$

и время масштабируется с коэффициентом β , t '= βt , затем скорости v _k масштабируются с коэффициентом α / β, а кинетическая энергия T - с коэффициентом ( α / β ) ² . Весь лагранжиан был масштабирован с тем же коэффициентом, если

${\displaystyle {\frac {\alpha ^{2}}{\beta ^{2}}}=\alpha ^{N}\quad \Rightarrow \quad \beta =\alpha ^{1-{\frac {N}{2}}}\,.}$

Поскольку длины и времена были масштабированы, траектории частиц в системе следуют геометрически подобным путям, различающимся по размеру. Длина l, пройденная за время t на исходной траектории, соответствует новой длине l ′, пройденной за время t ′ на новой траектории, заданной соотношениями

${\displaystyle {\frac {t'}{t}}=\left({\frac {l'}{l}}\right)^{1-{\frac {N}{2}}}\,.}$

Взаимодействующие частицы [ править ]

Для данной системы, если две подсистемы A и B не взаимодействуют, лагранжиан L всей системы является суммой лагранжианов L _A и L _B для подсистем: ^[34]

${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}\,.}$

Если они действительно взаимодействуют, это невозможно. В некоторых ситуациях можно разделить лагранжиан системы L на сумму невзаимодействующих лагранжианов плюс еще один лагранжиан L _AB, содержащий информацию о взаимодействии,

${\displaystyle L=L_{A}+L_{B}+L_{AB}\,.}$

Это может быть физически мотивировано принятием невзаимодействующих лагранжианов только за кинетические энергии, в то время как лагранжиан взаимодействия представляет собой полную потенциальную энергию системы. Кроме того, в предельном случае пренебрежимо малого взаимодействия L _AB стремится к нулю, что сводится к описанному выше случаю невзаимодействия.

Расширение на более чем две невзаимодействующие подсистемы несложно - общий лагранжиан представляет собой сумму отдельных лагранжианов для каждой подсистемы. Если есть взаимодействия, то можно добавить лагранжианы взаимодействия.

Примеры [ править ]

Следующие ниже примеры применяют уравнения Лагранжа второго рода к механическим задачам.

Консервативная сила [ править ]

Частица массы m движется под действием консервативной силы, производной от градиента ∇ скалярного потенциала ,

${\displaystyle \mathbf {F} =-\nabla V(\mathbf {r} )\,.}$

Если частиц больше, в соответствии с приведенными выше результатами, полная кинетическая энергия является суммой всех кинетических энергий частиц, а потенциал является функцией всех координат.

Декартовы координаты [ править ]

Лагранжиан частицы можно записать

${\displaystyle L(x,y,z,{\dot {x}},{\dot {y}},{\dot {z}})={\frac {1}{2}}m({\dot {x}}^{2}+{\dot {y}}^{2}+{\dot {z}}^{2})-V(x,y,z)\,.}$

Уравнения движения частицы находятся с помощью уравнения Эйлера – Лагранжа для координаты x

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)={\frac {\partial L}{\partial x}}\,,}$

с производными

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,\quad {\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=m{\dot {x}}\,,\quad {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}\right)=m{\ddot {x}}\,,}$

следовательно

${\displaystyle m{\ddot {x}}=-{\frac {\partial V}{\partial x}}\,,}$

и аналогично для координат y и z . Собирая уравнения в векторной форме, находим

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=-\nabla V}$

что является вторым законом движения Ньютона для частицы, подверженной действию консервативной силы.

Полярные координаты в 2D и 3D [ править ]

Лагранжиан для вышеупомянутой задачи в сферических координатах (2d полярные координаты можно восстановить, задав ) с центральным потенциалом:${\displaystyle \theta =\pi /2}$

${\displaystyle L={\frac {m}{2}}({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})-V(r)\,,}$

поэтому уравнения Эйлера – Лагранжа имеют вид

${\displaystyle m{\ddot {r}}-mr({\dot {\theta }}^{2}+\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }}^{2})+{\frac {\partial V}{\partial r}}=0\,,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}{\dot {\theta }})-mr^{2}\sin \theta \cos \theta \,{\dot {\varphi }}^{2}=0\,,}$

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}(mr^{2}\sin ^{2}\theta \,{\dot {\varphi }})=0\,.}$

Ф координат циклично , так как он не появляется в лагранжиан, так сохраняющийся импульс в системе угловой момент

${\displaystyle p_{\varphi }={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\varphi }}}}=mr^{2}\sin ^{2}\theta {\dot {\varphi }}\,,}$

в котором r , θ и dφ / dt могут изменяться со временем, но только таким образом, чтобы p _{φ было} постоянным.

Маятник на подвижной опоре [ править ]

Рассмотрим маятник массы m и длины ℓ , который прикреплен к опоре с массой M , которая может двигаться по линии в направлении оси x . Пусть x - координата вдоль линии опоры, и обозначим положение маятника углом θ от вертикали. Координаты и компоненты скорости качения маятника равны

${\displaystyle {\begin{array}{rll}&x_{\mathrm {pend} }=x+\ell \sin \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {x}}_{\mathrm {pend} }={\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \\&y_{\mathrm {pend} }=-\ell \cos \theta &\quad \Rightarrow \quad {\dot {y}}_{\mathrm {pend} }=\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \,.\end{array}}}$

В качестве обобщенных координат можно взять x и θ . Тогда кинетическая энергия системы равна

${\displaystyle T={\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left({\dot {x}}_{\mathrm {pend} }^{2}+{\dot {y}}_{\mathrm {pend} }^{2}\right)}$

а потенциальная энергия равна

${\displaystyle V=mgy_{\mathrm {pend} }}$

давая лагранжиан

${\displaystyle {\begin{array}{rcl}L&=&T-V\\&=&{\frac {1}{2}}M{\dot {x}}^{2}+{\frac {1}{2}}m\left[\left({\dot {x}}+\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \right)^{2}+\left(\ell {\dot {\theta }}\sin \theta \right)^{2}\right]+mg\ell \cos \theta \\&=&{\frac {1}{2}}\left(M+m\right){\dot {x}}^{2}+m{\dot {x}}\ell {\dot {\theta }}\cos \theta +{\frac {1}{2}}m\ell ^{2}{\dot {\theta }}^{2}+mg\ell \cos \theta \,.\end{array}}}$

Поскольку x отсутствует в лагранжиане, это циклическая координата. Сохраняющийся импульс равен

${\displaystyle p_{x}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {x}}}}=(M+m){\dot {x}}+m\ell {\dot {\theta }}\cos \theta \,}$

и уравнение Лагранжа для поддержки координат х есть

${\displaystyle (M+m){\ddot {x}}+m\ell {\ddot {\theta }}\cos \theta -m\ell {\dot {\theta }}^{2}\sin \theta =0\,.}$

Уравнение Лагранжа для угла θ имеет вид

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left[m({\dot {x}}\ell \cos \theta +\ell ^{2}{\dot {\theta }})\right]+m\ell ({\dot {x}}{\dot {\theta }}+g)\sin \theta =0;}$

и упрощение

${\displaystyle {\ddot {\theta }}+{\frac {\ddot {x}}{\ell }}\cos \theta +{\frac {g}{\ell }}\sin \theta =0.}$

Эти уравнения могут выглядеть довольно сложными, но нахождение их с помощью законов Ньютона потребовало бы тщательного определения всех сил, что было бы гораздо более трудоемким и подверженным ошибкам. Рассматривая предельные случаи, можно проверить правильность этой системы: например, необходимо дать уравнения движения для простого маятника, который находится в покое в некоторой инерциальной системе отсчета , в то время как следует дать уравнения для маятника в постоянно ускоряющейся системе, Кроме того, легко получить результаты численно, при подходящих начальных условиях и выбранном временном шаге, последовательно просматривая результаты .${\displaystyle {\ddot {x}}\to 0}$${\displaystyle {\ddot {\theta }}\to 0}$

Проблема двух тел центральной силы [ править ]

Два тела массами т ₁ и т ₂ с векторами положения г ₁ и г ₂ находятся в орбите вокруг друг друга из - за привлекательного центрального потенциала V . Мы можем записать лагранжиан в терминах координат положения, как они есть, но это установленная процедура преобразования задачи двух тел в задачу одного тела следующим образом. Введем координаты Якоби ; расстояние между телами r = r ₂ - r ₁ и расположение центра масс R = ( m ₁ r₁ + м ₂ р ₂ ) / ( м ₁ + м ₂ ). Тогда лагранжиан равен ^{[40] [41] [nb 4]}

${\displaystyle L=\underbrace {{\frac {1}{2}}M{\dot {\mathbf {R} }}^{2}} _{L_{\text{cm}}}+\underbrace {{\frac {1}{2}}\mu {\dot {\mathbf {r} }}^{2}-V(|\mathbf {r} |)} _{L_{\text{rel}}}}$

где M = m ₁ + m ₂ - общая масса, μ = m ₁ m ₂ / ( m ₁ + m ₂ ) - приведенная масса , а V - потенциал радиальной силы, который зависит только от величины разделения. | г | = | г ₂ - г ₁ |. Лагранжевы распадается в системе центра масс Термин L _см и относительное движение Термин л _отн.

Уравнение Эйлера – Лагранжа для R просто

${\displaystyle M{\ddot {\mathbf {R} }}=0\,,}$

в котором говорится, что центр масс движется по прямой с постоянной скоростью.

Поскольку относительное движение зависит только от величины разделения, идеально использовать полярные координаты ( r , θ ) и взять r = | г |,

${\displaystyle L_{\text{rel}}={\frac {1}{2}}\mu ({\dot {r}}^{2}+r^{2}{\dot {\theta }}^{2})-V(r)\,,}$

так что θ - циклическая координата с соответствующим сохраняющимся (угловым) моментом

${\displaystyle p_{\theta }={\frac {\partial L_{\text{rel}}}{\partial {\dot {\theta }}}}=\mu r^{2}{\dot {\theta }}=\ell \,.}$

Радиальная координата r и угловая скорость d θ / d t могут изменяться со временем, но только так, чтобы ℓ было постоянным. Уравнение Лагранжа для r имеет вид

${\displaystyle \mu r{\dot {\theta }}^{2}-{\frac {dV}{dr}}=\mu {\ddot {r}}\,.}$

Это уравнение идентично радиальному уравнению, полученному с использованием законов Ньютона в совместно вращающейся системе отсчета, то есть в системе координат, вращающейся с уменьшенной массой, поэтому она кажется неподвижной. Исключая угловую скорость d θ / d t из этого радиального уравнения, ^[42]

${\displaystyle \mu {\ddot {r}}=-{\frac {\mathrm {d} V}{\mathrm {d} r}}+{\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.}$

которое является уравнением движения для одномерной задачи, в которой частица массы μ подвергается действию центральной внутренней силы - d V / d r и второй внешней силы, называемой в этом контексте центробежной силой

${\displaystyle F_{\mathrm {cf} }=\mu r{\dot {\theta }}^{2}={\frac {\ell ^{2}}{\mu r^{3}}}\,.}$

Конечно, если он остается полностью в пределах одномерной постановки, ℓ входит лишь в качестве некоторого введенного параметра внешней внешней силы, и его интерпретация в качестве углового момента зависит от более общей двумерный задачи , из которой одномерная задача возникла .

Если прийти к этому уравнению, используя ньютоновскую механику в совместно вращающейся системе отсчета, интерпретация очевидна как центробежная сила в этой системе отсчета из-за вращения самой системы. Если прийти к этому уравнению напрямую, используя обобщенные координаты ( r , θ ) и просто следуя формулировке Лагранжа, вообще не думая о системе отсчета, интерпретация такова, что центробежная сила является результатом использования полярных координат . Как говорит Хильдебранд: ^[43]

«Поскольку такие величины не являются истинными физическими силами, их часто называют силами инерции . Их присутствие или отсутствие зависит не от конкретной проблемы, а от выбранной системы координат ». В частности, если выбраны декартовы координаты, центробежная сила исчезает, и формулировка включает только центральную силу, которая обеспечивает центростремительную силу для криволинейного движения.

Эта точка зрения, что фиктивные силы возникают в выборе координат, часто выражается пользователями лагранжевого метода. Эта точка зрения естественным образом возникает в лагранжевом подходе, потому что система отсчета (возможно, неосознанно) выбирается путем выбора координат. Например, см. ^[44] для сравнения лагранжианов в инерциальной и неинерциальной системе отсчета. См. Также обсуждение «полной» и «обновленной» лагранжевых формулировок в ^[45]. К сожалению, такое использование «инерционной силы» противоречит ньютоновской идее инерционной силы. С точки зрения Ньютона, сила инерции возникает в ускорении системы наблюдения (тот факт, что она не является инерциальной системой отсчета).), а не в выборе системы координат. Для ясности, безопаснее всего называть лагранжевые силы инерции обобщенными силами инерции, чтобы отличать их от векторных сил инерции Ньютона. То есть, следует избегать следования Хильдебранду, когда он говорит (стр. 155) «мы всегда имеем дело с обобщенными силами, скоростями, ускорениями и импульсами. Для краткости прилагательное« обобщенный »будет часто опускаться».

Известно, что лагранжиан системы не единственен. В рамках лагранжевого формализма ньютоновские фиктивные силы могут быть идентифицированы по существованию альтернативных лагранжианов, в которых фиктивные силы исчезают, иногда обнаруживаемых путем использования симметрии системы. ^[46]

Электромагнетизм [ править ]

Пробная частица - это частица, масса и заряд которой считаются настолько малыми, что ее влияние на внешнюю систему незначительно. Часто это гипотетическая упрощенная точечная частица, не имеющая других свойств, кроме массы и заряда. Реальные частицы, такие как электроны и ап-кварки , более сложны и имеют дополнительные члены в своих лагранжианах.

Лагранжиан для заряженной частицы с электрическим зарядом q , взаимодействующей с электромагнитным полем , является прототипом потенциала, зависящего от скорости. Электрический скалярный потенциал ϕ = ϕ ( r , t ) и магнитный векторный потенциал A = A ( r , t ) определяются из электрического поля E = E ( r , t ) и магнитного поля B = B ( r, t ) следующим образом;

${\displaystyle \mathbf {E} =-\nabla \phi -{\frac {\partial \mathbf {A} }{\partial t}}\,,\quad \mathbf {B} =\nabla \times \mathbf {A} \,.}$

Лагранжиан массивной заряженной пробной частицы в электромагнитном поле

${\displaystyle L={\tfrac {1}{2}}m{\dot {\mathbf {r} }}^{2}+q\,{\dot {\mathbf {r} }}\cdot \mathbf {A} -q\phi \,,}$

называется минимальной связью . В сочетании с уравнением Эйлера – Лагранжа это дает закон силы Лоренца

${\displaystyle m{\ddot {\mathbf {r} }}=q\mathbf {E} +q{\dot {\mathbf {r} }}\times \mathbf {B} }$

Под калибровочным преобразованием :

${\displaystyle \mathbf {A} \rightarrow \mathbf {A} +\nabla f\,,\quad \phi \rightarrow \phi -{\dot {f}}\,,}$

где f ( r , t) - любая скалярная функция пространства и времени, вышеупомянутый лагранжиан преобразуется как:

${\displaystyle L\rightarrow L+q({\dot {\mathbf {r} }}\cdot \nabla +{\frac {\partial }{\partial t}})f=L+q{\frac {df}{dt}}\,,}$

который по-прежнему дает тот же закон силы Лоренца.

Обратите внимание, что канонический импульс (сопряженный с положением r ) - это кинетический импульс плюс вклад от поля A (известный как потенциальный импульс):

${\displaystyle \mathbf {p} ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {\mathbf {r} }}}}=m{\dot {\mathbf {r} }}+q\mathbf {A} \,.}$

Это соотношение также используется в предписании минимальной связи в квантовой механике и квантовой теории поля . Из этого выражения мы можем видеть, что канонический импульс p не является калибровочно-инвариантным и, следовательно, не является измеримой физической величиной; Однако, если r является циклическим (т.е. лагранжиан не зависит от положения r) , что происходит, если поля ϕ и A однородны, то этот канонический импульс p, данный здесь, является сохраняющимся импульсом, в то время как измеримый физический кинетический импульс m v - нет.

Расширения для включения неконсервативных сил [ править ]

Диссипацию (т.е. неконсервативные системы) также можно рассматривать с помощью эффективного лагранжиана, сформулированного посредством определенного удвоения степеней свободы. ^{[47] [48] [49] [50]}

В более общей формулировке силы могут быть как консервативными, так и вязкими . Если соответствующее преобразование можно найти из F _я , Рэлей предлагает использовать функцию рассеивания , D , имеет следующий вид: ^[51]

${\displaystyle D={\frac {1}{2}}\sum _{j=1}^{m}\sum _{k=1}^{m}C_{jk}{\dot {q}}_{j}{\dot {q}}_{k}\,}$

где C _jk - константы, которые связаны с коэффициентами демпфирования в физической системе, но не обязательно равны им. Если D определен таким образом, то ^[51]

${\displaystyle Q_{j}=-{\frac {\partial V}{\partial q_{j}}}-{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}}$

и

${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}\left({\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{j}}}\right)-{\frac {\partial L}{\partial q_{j}}}+{\frac {\partial D}{\partial {\dot {q}}_{j}}}=0\,.}$

Другие контексты и формулировки [ править ]

Идеи лагранжевой механики находят множество приложений в других областях физики и могут принимать обобщенные результаты вариационного исчисления.

Альтернативные формулировки классической механики [ править ]

Близко родственная формулировка классической механики - гамильтонова механика . Гамильтониан определяется как

${\displaystyle H=\sum _{i=1}^{n}{\dot {q}}_{i}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}_{i}}}-L\,}$

и может быть получен путем выполнения преобразования Лежандра в лагранжиане, которое вводит новые переменные, канонически сопряженные с исходными переменными. Например, для данного набора обобщенных координат переменные, канонически сопряженные, являются обобщенными импульсами. Это удваивает количество переменных, но делает дифференциальные уравнения первого порядка. Гамильтониан - это особенно повсеместная величина в квантовой механике (см. Гамильтониан (квантовая механика) ).

Механика Рууса - это гибридная формулировка лагранжевой и гамильтоновой механики, которая не часто используется на практике, но является эффективной формулировкой для циклических координат.

Формулировка пространства Momentum [ править ]

Уравнения Эйлера – Лагранжа также могут быть сформулированы в терминах обобщенных импульсов, а не обобщенных координат. Выполнение преобразования Лежандра на обобщенном координатном лагранжиане L ( q , d q / d t , t ) дает обобщенный импульсный лагранжиан L ′ ( p , d p / d t , t) в терминах исходного лагранжиана, а также уравнения ЭЛ в терминах обобщенных импульсов. Оба лагранжиана содержат одинаковую информацию, и любой из них может использоваться для определения движения системы. На практике обобщенные координаты удобнее использовать и интерпретировать, чем обобщенные импульсы.

Высшие производные обобщенных координат [ править ]

Нет причин ограничивать производные обобщенных координат только первым порядком. Можно получить модифицированные уравнения EL для лагранжиана, содержащего производные более высокого порядка, подробности см. В уравнении Эйлера – Лагранжа .

Оптика [ править ]

Лагранжева механика может быть применена к геометрической оптике , применяя вариационные принципы к лучам света в среде, а решение уравнений электролюминесценции дает уравнения путей, по которым следуют световые лучи.

Релятивистская формулировка [ править ]

Лагранжева механика может быть сформулирована в специальной теории относительности и общей теории относительности . Некоторые особенности лагранжевой механики сохраняются в релятивистских теориях, но в других отношениях быстро возникают трудности. В частности, уравнения EL принимают ту же форму, и связь между циклическими координатами и сохраняющимися импульсами все еще применима, однако лагранжиан должен быть изменен, и это не просто кинетическая минус потенциальная энергия частицы. Кроме того, непросто работать с многочастичными системами явно ковариантным образом, это может быть возможно, если выделить конкретную систему отсчета.

Квантовая механика [ править ]

В квантовой механике , действия и квантово-механического фазы связаны с помощью постоянной Планка , а принцип стационарного действия могут быть поняты с точки зрения конструктивной интерференции от волновых функций .

В 1948 году Фейнман открыл формулировку интеграла по путям, распространив принцип наименьшего действия на квантовую механику для электронов и фотонов . В этой формулировке частицы проходят все возможные пути между начальным и конечным состояниями; вероятность конкретного конечного состояния получается суммированием всех возможных траекторий, ведущих к нему. В классическом режиме формулировка интеграла по путям четко воспроизводит принцип Гамильтона и принцип Ферма в оптике .

Классическая теория поля [ править ]

В лагранжевой механике обобщенные координаты образуют дискретный набор переменных, которые определяют конфигурацию системы. В классической теории поля физическая система - это не набор дискретных частиц, а скорее непрерывное поле ϕ ( r , t ), определенное над областью трехмерного пространства. С полем связана плотность лагранжиана

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\phi ,\nabla \phi ,\partial \phi /\partial t,\mathbf {r} ,t)}$

определяется в терминах поля и его производных по пространству и времени в точке r и времени t . Как и в случае с частицами, для нерелятивистских приложений плотность лагранжиана также является плотностью кинетической энергии поля за вычетом его плотности потенциальной энергии (в общем случае это неверно, и плотность лагранжиана должна быть «реконструирована»). Тогда лагранжиан является объемным интегралом плотности лагранжиана в трехмерном пространстве.

${\displaystyle L(t)=\int {\mathcal {L}}\,\mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} }$

где d ³ r - трехмерный элемент дифференциального объема . Лагранжиан является функцией времени, поскольку плотность лагранжиана имеет неявную пространственную зависимость через поля и может иметь явную пространственную зависимость, но они удаляются в интеграле, оставляя только время в качестве переменной для лагранжиана.

Теорема Нётер [ править ]

Принцип действия и формализм Лагранжа тесно связаны с теоремой Нётер , которая связывает физические сохраняющиеся величины с непрерывными симметриями физической системы.

Если лагранжиан инвариантен относительно симметрии, то результирующие уравнения движения также инвариантны относительно этой симметрии. Эта характеристика очень полезна для демонстрации того, что теории согласуются либо со специальной теорией относительности, либо с общей теорией относительности .

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

• Гупта, Киран Чандра, Классическая механика частиц и твердых тел (Wiley, 1988).
• Кассель, Кевин (2013). Вариационные методы с приложениями в науке и технике . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1-107-02258-4.CS1 maint: ref=harv (link)
• Гольдштейн , Герберт и др. Классическая механика . 3-е изд., Пирсон, 2002.

Внешние ссылки [ править ]

• Дэвид Тонг. «Кембриджские конспекты лекций по классической динамике» . ДАМТП . Проверено 8 июня 2017 .
• Принцип наименьшего действия интерактивного Отличное интерактивное объяснение / веб-страница
• Жозеф Луи де Лагранж - uvres Complètes (Gallica-Math)
• Ограниченное движение и обобщенные координаты , стр. 4