Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску

Статистическая механика
Возрастающий беспорядок.svg
Статистика частиц
Термодинамические ансамбли
Модели
Потенциал
Ученые

Статистическая механика - один из фундаментальных инструментов современной физики . Это математическая основа, которая применяет статистические методы и теорию вероятностей к большим скоплениям микроскопических объектов. Он не предполагает и не постулирует никаких естественных законов, но объясняет макроскопическое поведение природы на основе поведения таких ансамблей.

Статистическая механика возникла в результате развития классической термодинамики , области, в которой она успешно объяснила макроскопические физические свойства, такие как температура , давление , теплоемкость , с помощью микроскопических параметров, которые колеблются около средних значений, характеризуемых распределениями вероятностей . Это положило начало статистической термодинамике и статистической физике .

Основание области статистической механики обычно приписывают австрийскому физику Людвигу Больцманну , который разработал фундаментальную интерпретацию энтропии в терминах набора микросостояний, шотландскому физику Джеймсу Клерку Максвеллу , который разработал модели распределения вероятностей таких состояний, и американцу Джозайе Уилларду Гиббсу , придумавшему название месторождения в 1884 году.

В то время как классическая термодинамика в первую очередь занимается термодинамическим равновесием , статистическая механика применялась в неравновесной статистической механике к вопросам микроскопического моделирования скорости необратимых процессов , вызванных дисбалансом. Примеры таких процессов включают химические реакции или потоки частиц и тепла. Теорема о флуктуации-диссипации - это базовые знания, полученные в результате применения неравновесной статистической механики для изучения простейшей неравновесной ситуации стационарного течения тока в системе многих частиц.

Принципы: механика и ансамбли [ править ]

Основные статьи: Механика и статистический ансамбль

В физике обычно рассматриваются два типа механики: классическая механика и квантовая механика . Для обоих типов механики стандартный математический подход заключается в рассмотрении двух концепций:

  • Полное состояние механической системы в данный момент времени, математически закодированное как фазовая точка (классическая механика) или чистый вектор квантового состояния (квантовая механика).
  • Уравнение движения, переносящее состояние вперед во времени: уравнения Гамильтона (классическая механика) или уравнение Шредингера (квантовая механика)

Используя эти две концепции, в принципе можно рассчитать состояние в любое другое время, прошлое или будущее. Однако существует разрыв между этими законами и повседневным жизненным опытом, поскольку мы не считаем необходимым (или даже теоретически возможным) точно знать на микроскопическом уровне одновременные положения и скорости каждой молекулы при выполнении процессов в человеческом масштабе ( например, при проведении химической реакции). Статистическая механика заполняет это несоответствие между законами механики и практическим опытом неполного знания, добавляя некоторую неопределенность в отношении того, в каком состоянии находится система.

В то время как обычная механика рассматривает только поведение одного состояния, статистическая механика вводит статистический ансамбль , который представляет собой большой набор виртуальных независимых копий системы в различных состояниях. Статистический ансамбль - это распределение вероятностей по всем возможным состояниям системы. В классической статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по фазовым точкам (в отличие от одной фазовой точки в обычной механике), обычно представленное как распределение в фазовом пространстве с каноническими координатами . В квантовой статистической механике ансамбль представляет собой распределение вероятностей по чистым состояниям [примечание 1], и его можно кратко описать какматрица плотности .

Как обычно для вероятностей, ансамбль можно интерпретировать по-разному: [1]

  • ансамбль может быть взят для представления различных возможных состояний, в которых может находиться одна система ( эпистемическая вероятность , форма знания), или
  • Члены ансамбля можно понимать как состояния систем в экспериментах, повторяемых на независимых системах, которые были подготовлены аналогичным, но несовершенно контролируемым образом ( эмпирическая вероятность ) в пределе бесконечного числа испытаний.

Эти два значения эквивалентны для многих целей и будут взаимозаменяемы в этой статье.

Как бы ни интерпретировалась вероятность, каждое состояние в ансамбле эволюционирует со временем в соответствии с уравнением движения. Таким образом, сам ансамбль (распределение вероятностей по состояниям) также развивается, поскольку виртуальные системы в ансамбле постоянно покидают одно состояние и переходят в другое. Эволюция ансамбля задается уравнением Лиувилля (классическая механика) или уравнением фон Неймана (квантовая механика). Эти уравнения просто выводятся путем применения механического уравнения движения отдельно к каждой виртуальной системе, содержащейся в ансамбле, с вероятностью сохранения виртуальной системы с течением времени по мере ее развития от состояния к состоянию.

Один особый класс ансамблей - это ансамбли, которые не развиваются с течением времени. Эти ансамбли известны как равновесные ансамбли, а их состояние известно как статистическое равновесие . Статистическое равновесие возникает, если для каждого состояния в ансамбле ансамбль также содержит все его будущие и прошлые состояния с вероятностями, равными вероятности нахождения в этом состоянии. [примечание 2] Изучение равновесных ансамблей изолированных систем находится в центре внимания статистической термодинамики. Неравновесная статистическая механика обращается к более общему случаю ансамблей, которые изменяются во времени, и / или ансамблей неизолированных систем.

Статистическая термодинамика [ править ]

Основная цель статистической термодинамики (также известной как равновесная статистическая механика) состоит в том, чтобы вывести классическую термодинамику материалов с точки зрения свойств составляющих их частиц и взаимодействий между ними. Другими словами, статистическая термодинамика обеспечивает связь между макроскопическими свойствами материалов в термодинамическом равновесии и микроскопическим поведением и движениями, происходящими внутри материала.

В то время как собственно статистическая механика включает динамику, здесь внимание сосредоточено на статистическом равновесии (устойчивом состоянии). Статистическое равновесие не означает, что частицы перестали двигаться ( механическое равновесие ), скорее, это означает, что ансамбль не развивается.

Фундаментальный постулат [ править ]

Достаточное (но не обязательно) условие статистического равновесия с изолированной системой является то , что распределение вероятностей является функцией только консервативных свойств (полной энергии, общего число частиц и т.д.). [1] Можно рассматривать множество различных равновесных ансамблей, и только некоторые из них соответствуют термодинамике. [1] Необходимы дополнительные постулаты, чтобы мотивировать, почему ансамбль для данной системы должен иметь ту или иную форму.

Обычный подход, который можно найти во многих учебниках, - это принять постулат равной априорной вероятности . [2] Этот постулат утверждает, что

Для изолированной системы с точно известной энергией и точно известным составом систему можно с равной вероятностью найти в любом микросостоянии, совместимом с этим знанием.

Следовательно, постулат равной априорной вероятности является мотивом для описанного ниже микроканонического ансамбля . Существуют различные аргументы в пользу постулата равной априорной вероятности:

  • Эргодическая гипотеза : эргодическая система - это система, которая со временем развивается, чтобы исследовать «все доступные» состояния: все те, которые имеют одинаковую энергию и состав. В эргодической системе микроканонический ансамбль является единственно возможным равновесным ансамблем с фиксированной энергией. Этот подход имеет ограниченную применимость, поскольку большинство систем не являются эргодическими.
  • Принцип безразличия : при отсутствии какой-либо дополнительной информации мы можем присвоить только равные вероятности каждой совместимой ситуации.
  • Максимальная информационная энтропия : более продуманная версия принципа безразличия утверждает, что правильный ансамбль - это ансамбль, который совместим с известной информацией и имеет наибольшую энтропию Гиббса ( информационную энтропию ). [3]

Были предложены и другие фундаментальные постулаты статистической механики. [4]

Три термодинамических ансамбля [ править ]

Основные статьи: Микроканонический ансамбль , Канонический ансамбль и Большой канонический ансамбль

Существует три равновесных ансамбля простой формы, которые можно определить для любой изолированной системы, ограниченной внутри конечного объема. [1] Это наиболее часто обсуждаемые ансамбли в статистической термодинамике. В макроскопическом пределе (определенном ниже) все они соответствуют классической термодинамике.

Микроканонический ансамбль
описывает систему с точно заданной энергией и фиксированным составом (точное количество частиц). Микроканонический ансамбль содержит с равной вероятностью каждое возможное состояние, которое согласуется с этой энергией и составом.
Канонический ансамбль
описывает систему фиксированного состава, которая находится в тепловом равновесии [примечание 3] с термостатом точной температуры . Канонический ансамбль содержит состояния разной энергии, но идентичного состава; различным состояниям в ансамбле присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии.
Большой канонический ансамбль
описывает систему с нефиксированным составом (неопределенное количество частиц), которая находится в тепловом и химическом равновесии с термодинамическим резервуаром. Резервуар имеет точную температуру и точные химические потенциалы для различных типов частиц. Большой канонический ансамбль содержит состояния с различной энергией и различным числом частиц; различным состояниям в ансамбле присваиваются разные вероятности в зависимости от их полной энергии и общего числа частиц.

Для систем, содержащих множество частиц ( термодинамический предел ), все три из перечисленных выше ансамблей имеют тенденцию давать идентичное поведение. Тогда просто вопрос математического удобства, какой ансамбль используется. [5] Теорема Гиббса об эквивалентности ансамблей [6] была развита в теории феномена концентрации меры [7], которая имеет приложения во многих областях науки, от функционального анализа до методов искусственного интеллекта и технологий больших данных . [8]

Важные случаи, когда термодинамические ансамбли не дают идентичных результатов, включают:

  • Микроскопические системы.
  • Большие системы при фазовом переходе.
  • Большие системы с дальнодействующими взаимодействиями.

В этих случаях необходимо выбрать правильный термодинамический ансамбль, поскольку между этими ансамблями наблюдаются различия не только в размере флуктуаций, но и в средних величинах, таких как распределение частиц. Правильный ансамбль - это тот, который соответствует тому, как система была подготовлена ​​и охарактеризована, другими словами, ансамбль, отражающий знания об этой системе. [2]

Термодинамические ансамбли [1]
МикроканоническийКаноническийБольшой канонический
Фиксированные переменные
Микроскопические особенности
  • Количество микросостояний
  • Каноническая функция распределения
  • Большая функция раздела
Макроскопическая функция
  • Энтропия Больцмана
  • Свободная энергия Гельмгольца
  • Большой потенциал

Методы расчета [ править ]

После того, как характеристическая функция состояния для ансамбля была вычислена для данной системы, эта система «решается» (макроскопические наблюдаемые могут быть извлечены из характеристической функции состояния). Однако вычисление характеристической функции состояния термодинамического ансамбля не обязательно является простой задачей, поскольку оно включает рассмотрение всех возможных состояний системы. Хотя некоторые гипотетические системы были решены точно, самый общий (и реалистичный) случай слишком сложен для точного решения. Существуют различные подходы для аппроксимации истинного ансамбля и расчета средних величин.

Точный [ править ]

В некоторых случаях возможны точные решения.

  • Для очень маленьких микроскопических систем ансамбли можно вычислить напрямую, просто перечислив все возможные состояния системы (используя точную диагонализацию в квантовой механике или интеграл по всему фазовому пространству в классической механике).
  • Некоторые большие системы состоят из множества отдельных микроскопических систем, и каждую из подсистем можно анализировать независимо. Следует отметить, что идеализированные газы невзаимодействующих частиц обладают этим свойством, что позволяет точно дифференцирования статистики Максвелла-Больцмана , статистики Ферми-Дирака и статистике Бозе-Эйнштейна . [2]
  • Решено несколько больших систем с взаимодействием. С помощью тонких математических методов были найдены точные решения для нескольких игрушечных моделей . [9] Некоторые примеры включают анзац Бете , модель Изинга с квадратной решеткой в нулевом поле, модель жесткого шестиугольника .

Монте-Карло [ править ]

Основная статья: метод Монте-Карло

Одним из приближенных подходов, который особенно хорошо подходит для компьютеров, является метод Монте-Карло , который исследует лишь несколько возможных состояний системы, причем состояния выбираются случайным образом (с достаточным весом). Пока эти состояния образуют репрезентативную выборку всего множества состояний системы, получается приближенная характеристическая функция. По мере включения все большего и большего количества случайных выборок ошибки снижаются до сколь угодно низкого уровня.

  • Алгоритм Метрополиса-Гастингс является классическим методом Монте - Карло , который был первоначально использован для выборки канонического ансамбля.
  • Интеграл по путям Монте-Карло , также используется для выборки канонического ансамбля.

Другое [ править ]

  • Для разреженных неидеальных газов такие подходы, как расширение кластера, используют теорию возмущений, чтобы учесть эффект слабых взаимодействий, приводящих к вириальному расширению . [10]
  • Для плотных жидкостей другой приближенный подход основан на приведенных функциях распределения, в частности радиальной функции распределения . [10]
  • Компьютерное моделирование молекулярной динамики можно использовать для расчета средних микроканонических ансамблей в эргодических системах. Благодаря подключению к стохастическому термостату, они также могут моделировать канонические и великие канонические условия.
  • Могут быть полезны смешанные методы, включающие неравновесные статистические механические результаты (см. Ниже).

Неравновесная статистическая механика [ править ]

Смотрите также: Неравновесная термодинамика

Есть много интересных физических явлений, которые связаны с квазитермодинамическими процессами, выходящими из равновесия, например:

  • перенос тепла за счет внутренних движений в материале , вызванный температурным дисбалансом,
  • электрические токи, переносимые движением зарядов в проводнике , вызванные дисбалансом напряжений,
  • спонтанные химические реакции, вызванные уменьшением свободной энергии,
  • трение , диссипация , квантовая декогеренция ,
  • системы, накачиваемые внешними силами ( оптическая накачка и др.),
  • и необратимые процессы в целом.

Все эти процессы происходят во времени с характерными скоростями, и эти скорости важны для инженерии. Область неравновесной статистической механики занимается пониманием этих неравновесных процессов на микроскопическом уровне. (Статистическая термодинамика может использоваться только для расчета окончательного результата после того, как внешние дисбалансы были устранены и ансамбль вернулся в состояние равновесия.)

В принципе, неравновесная статистическая механика может быть математически точной: ансамбли изолированной системы со временем развиваются в соответствии с детерминированными уравнениями, такими как уравнение Лиувилля или его квантовый эквивалент, уравнение фон Неймана . Эти уравнения являются результатом применения механических уравнений движения независимо к каждому состоянию в ансамбле. К сожалению, эти уравнения эволюции ансамбля наследуют большую часть сложности лежащего в основе механического движения, поэтому получить точные решения очень сложно. Более того, уравнения эволюции ансамбля полностью обратимы и не уничтожают информацию ( энтропия Гиббса ансамблясохраняется). Чтобы продвинуться вперед в моделировании необратимых процессов, помимо вероятности и обратимой механики необходимо учитывать дополнительные факторы.

Таким образом, неравновесная механика является активной областью теоретических исследований, поскольку диапазон применимости этих дополнительных предположений продолжает изучаться. Некоторые подходы описаны в следующих подразделах.

Стохастические методы [ править ]

Один из подходов к неравновесной статистической механике - включить в систему стохастическое (случайное) поведение. Стохастическое поведение разрушает информацию, содержащуюся в ансамбле. Хотя это технически неточно (помимо гипотетических ситуаций, связанных с черными дырами , система не может сама по себе вызвать потерю информации), случайность добавляется, чтобы отразить, что интересующая информация со временем преобразуется в тонкие корреляции внутри системы или в корреляции между система и окружающая среда. Эти корреляции выглядят как хаотические или псевдослучайные влияния на интересующие переменные. Заменив эти корреляции собственно случайностью, вычисления можно значительно упростить.

  • Уравнение переноса Больцмана : ранняя форма стохастической механики появилась еще до появления термина «статистическая механика» в исследованиях кинетической теории . Джеймс Клерк Максвелл продемонстрировал, что столкновения молекул могут привести к хаотическому движению внутри газа. Людвиг Больцман впоследствии показал, что, принимая этот молекулярный хаос как должное как полную рандомизацию, движения частиц в газе будут следовать простому уравнению переноса Больцмана , которое быстро вернет газ в состояние равновесия (см. H-теорему ).

    Уравнение переноса Больцмана и связанные с ним подходы являются важными инструментами в неравновесной статистической механике из-за их чрезвычайной простоты. Эти приближения хорошо работают в системах, где «интересная» информация немедленно (после всего лишь одного столкновения) превращается в тонкие корреляции, которые по существу ограничивают их разреженными газами. Уравнение переноса Больцмана оказалось очень полезным при моделировании переноса электронов в слаболегированных полупроводниках (в транзисторах ), где электроны действительно аналогичны разреженному газу.

    Связанная по теме квантовая техника - приближение случайных фаз .
  • Иерархия BBGKY : в жидкостях и плотных газах нельзя сразу отбрасывать корреляции между частицами после одного столкновения. Иерархия ББГКИ (Боголюбов-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона) дает способ получения уравнений Больцмана типано и расширяя их за пределы корпуса разбавленного газа, чтобы включить корреляции после нескольких столкновений.
  • Формализм Келдыша (также известный как NEGF - неравновесные функции Грина): квантовый подход к включению стохастической динамики можно найти в формализме Келдыша. Этот подход часто используется врасчетахэлектронного квантового транспорта .
  • Стохастическое уравнение Лиувилля .

Методы, близкие к равновесию [ править ]

Другой важный класс неравновесных статистических механических моделей имеет дело с системами, которые лишь очень незначительно отклоняются от состояния равновесия. При очень малых возмущениях отклик можно проанализировать с помощью теории линейного отклика . Замечательный результат, формализованный теоремой о флуктуации-диссипации , заключается в том, что реакция системы, когда она находится вблизи равновесия, точно связана с флуктуациями, которые происходят, когда система находится в полном равновесии. По сути, система, которая немного отошла от равновесия - независимо от того, поставлена ​​ли туда внешними силами или флуктуациями - релаксирует к равновесию таким же образом, поскольку система не может отличить разницу или «знать», как она оказалась в стороне от равновесия. [10] : 664

Это обеспечивает косвенный способ получения таких чисел, как омическая проводимость и теплопроводность, путем извлечения результатов из равновесной статистической механики. Поскольку равновесная статистическая механика математически хорошо определена и (в некоторых случаях) более удобна для расчетов, связь флуктуации и диссипации может быть удобным сокращением для расчетов в почти равновесной статистической механике.

Некоторые из теоретических инструментов, используемых для установления этой связи, включают:

  • Теорема флуктуации-диссипации
  • Взаимные отношения Онзагера
  • Отношения Грина – Кубо
  • Формализм Ландауэра – Бюттикера
  • Формализм Мори – Цванцига

Гибридные методы [ править ]

Продвинутый подход использует комбинацию стохастических методов и теории линейного отклика. В качестве примера, одним из подходов к вычислению эффектов квантовой когерентности ( слабая локализация , флуктуации проводимости ) в проводимости электронной системы является использование соотношений Грина – Кубо с учетом стохастической дефазировки за счет взаимодействий между различными электронами с использованием Келдыша. [11] [12]

Приложения вне термодинамики [ править ]

Формализм ансамбля также может использоваться для анализа общих механических систем с неопределенностью в знаниях о состоянии системы. Также ансамбли используются в:

  • распространение неопределенности во времени, [1]
  • регрессионный анализ гравитационных орбит ,
  • ансамблевое прогнозирование погоды,
  • динамика нейронных сетей ,
  • ограниченно-рациональные потенциальные игры в теории игр и экономике.

История [ править ]

В 1738 году швейцарский физик и математик Даниэль Бернулли опубликовал « Гидродинамику», заложившую основу кинетической теории газов . В этой работе Бернулли выдвинул аргумент, который используется до сих пор, что газы состоят из большого числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа, которое мы ощущаем, и что то, что мы воспринимаем как тепло , просто кинетическая энергия их движения. [4]

В 1859 году, после прочтения статьи Рудольфа Клаузиуса о диффузии молекул , шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал распределение Максвелла для молекулярных скоростей, которое дало долю молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. [13] Это был первый статистический закон в физике. [14] Максвелл также привел первый механический аргумент о том, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. [15] Пять лет спустя, в 1864 году, Людвиг Больцман , молодой студент из Вены, наткнулся на статью Максвелла и провел большую часть своей жизни, развивая эту тему.

Статистическая механика зародилась в 1870-х годах работами Больцмана, большая часть которых была опубликована в его « Лекциях по теории газа» 1896 года . [16] Оригинальные работы Больцмана по статистической интерпретации термодинамики, H-теореме , теории переноса , тепловому равновесию , уравнению состояния газов и подобным предметам занимают около 2000 страниц в трудах Венской академии и других обществ. Больцман ввел понятие равновесного статистического ансамбля, а также впервые исследовал неравновесную статистическую механику с помощью своей H- теоремы .

Термин «статистическая механика» был введен американским физиком-математиком Дж. Уиллардом Гиббсом в 1884 году. [17] [примечание 4] «Вероятностная механика» сегодня может показаться более подходящим термином, но «статистическая механика» прочно укоренилась. [18] Незадолго до своей смерти Гиббс опубликовал в 1902 году « Элементарные принципы статистической механики» , книгу, которая формализовала статистическую механику как полностью общий подход к рассмотрению всех механических систем - макроскопических или микроскопических, газообразных или негазообразных. [1] Методы Гиббса изначально были выведены в рамках классической механики , однако они были настолько общими, что было обнаружено, что они легко адаптируются к более позднимквантовая механика , и по сей день составляют основу статистической механики. [2]

См. Также [ править ]

  • Термодинамика : неравновесная , химическая
  • Механика : классическая , квантовая
  • Вероятность , статистический ансамбль
  • Численные методы: метод Монте-Карло , молекулярная динамика.
  • Статистическая физика
  • Квантовая статистическая механика
  • Список известных учебников по статистической механике
  • Список важных публикаций по статистической механике

Примечания [ править ]

  1. ^ Вероятности в квантовой статистической механике не следует путать с квантовой суперпозицией . Хотя квантовый ансамбль может содержать состояния с квантовыми суперпозициями, одно квантовое состояние не может использоваться для представления ансамбля.
  2. ^ Статистическое равновесие не следует путать с механическим равновесием . Последнее происходит, когда механическая система полностью перестает развиваться даже в микроскопическом масштабе из-за того, что находится в состоянии с идеальным балансом сил. Статистическое равновесие обычно включает состояния, очень далекие от механического равновесия.
  3. ^ Используемое здесь транзитивное тепловое равновесие (например, «X - тепловое равновесие с Y») означает, что ансамбль для первой системы не нарушается, когда системе позволяют слабо взаимодействовать со второй системой.
  4. ^ Согласно Гиббсу, термин «статистический» в контексте механики, то есть статистической механики, был впервые использован шотландским физиком Джеймсом Клерком Максвеллом в 1871 году. Источник: Дж. Клерк Максвелл, Теория тепла (Лондон, Англия: Longmans) , Green, and Co., 1871), стр. 309 : «Имея дело с массами материи, хотя мы не воспринимаем отдельные молекулы, мы вынуждены принять то, что я описал как статистический метод расчета, и отказаться от строгого динамического метода, в котором мы следим за каждым движением по исчисление ".

Ссылки [ править ]

  1. ^ a b c d e f g Гиббс, Джозайя Уиллард (1902). Элементарные принципы статистической механики . Нью-Йорк: Сыновья Чарльза Скрибнера .
  2. ^ a b c d Толмен, Р. К. (1938). Принципы статистической механики . Dover Publications . ISBN 9780486638966.
  3. Перейти ↑ Jaynes, E. (1957). «Теория информации и статистическая механика». Физический обзор . 106 (4): 620–630. Bibcode : 1957PhRv..106..620J . DOI : 10.1103 / PhysRev.106.620 .
  4. ^ a b Дж. Уффинк, " Сборник основ классической статистической физики " (2006 г.)
  5. ^ Райф, F. (1965). Основы статистической и теплофизики . Макгроу – Хилл. п. 227 . ISBN 9780070518001.
  6. ^ Тушетт, Хьюго (2015). «Эквивалентность и неэквивалентность ансамблей: термодинамические, макроэкономические и измерительные уровни». Журнал статистической физики . 159 (5): 987–1016. arXiv : 1403,6608 . Bibcode : 2015JSP ... 159..987T . DOI : 10.1007 / s10955-015-1212-2 . S2CID 118534661 . 
  7. ^ Леду, Мишель (2005). Феномен концентрации меры . Математические обзоры и монографии. 89 . DOI : 10.1090 / Surv / 089 . ISBN 9780821837924..
  8. ^ Горбань, АН; Тюкин, И.Ю. (2018). «Благо размерности: математические основы статистической физики данных» . Философские труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 376 (2118): 20170237. arXiv : 1801.03421 . Bibcode : 2018RSPTA.37670237G . DOI : 10,1098 / rsta.2017.0237 . PMC 5869543 . PMID 29555807 .  
  9. ^ Бакстер, Родни Дж. (1982). Точно решаемые модели в статистической механике . Academic Press Inc. ISBN 9780120831807.
  10. ^ a b c Балеску, Раду (1975). Равновесная и неравновесная статистическая механика . Джон Вили и сыновья. ISBN 9780471046004.
  11. ^ Альтшулер, BL; Аронов, АГ; Хмельницкий Д.Е. (1982). «Влияние электрон-электронных столкновений с малой передачей энергии на квантовую локализацию». Журнал физики C: Физика твердого тела . 15 (36): 7367. Bibcode : 1982JPhC ... 15.7367A . DOI : 10.1088 / 0022-3719 / 15/36/018 .
  12. ^ Aleiner, I .; Блантер, Ю. (2002). «Время неупругого рассеяния флуктуаций проводимости» . Physical Review B . 65 (11): 115317. arXiv : cond-mat / 0105436 . Bibcode : 2002PhRvB..65k5317A . DOI : 10.1103 / PhysRevB.65.115317 . S2CID 67801325 . 
  13. ^ См .:
    • Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации к динамической теории газов. Часть I. О движениях и столкновениях идеально упругих сфер», Philosophical Magazine , 4-я серия, 19  : 19–32.
    • Максвелл, Дж. К. (1860) «Иллюстрации к динамической теории газов. Часть II. О процессе диффузии двух или более видов движущихся частиц между собой», Philosophical Magazine , 4-я серия, 20  : 21–37.
  14. ^ Махон, Бэзил (2003). Человек, который все изменил - жизнь Джеймса Клерка Максвелла . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. ISBN 978-0-470-86171-4. OCLC  52358254 .
  15. ^ Gyenis, Балаж (2017). «Максвелл и нормальное распределение: цветная история вероятности, независимости и стремления к равновесию». Исследования по истории и философии современной физики . 57 : 53–65. arXiv : 1702.01411 . Bibcode : 2017SHPMP..57 ... 53G . DOI : 10.1016 / j.shpsb.2017.01.001 . S2CID 38272381 . 
  16. ^ Эбелинг, Вернер; Соколов, Игорь М. (2005). Эбелинг Вернер; Соколов Игорь Михайлович (ред.). Статистическая термодинамика и стохастическая теория неравновесных систем . Серия «Успехи статистической механики». 8 . Мировая научная пресса. С. 3–12. Bibcode : 2005stst.book ..... E . DOI : 10,1142 / 2012 . ISBN 978-90-277-1674-3. (раздел 1.2)
  17. ^ JW Гиббс, "О фундаментальной формуле статистической механики, с приложениями к астрономии и термодинамике". Слушания Американской ассоциации развития науки, 33 , 57-58 (1884). Воспроизведено в The Scientific Papers Дж. Уилларда Гиббса, Том II (1906), стр. 16 .
  18. ^ Mayants, Лазарь (1984). Загадка вероятности и физики . Springer. п. 174. ISBN 978-90-277-1674-3.

Внешние ссылки [ править ]

  • Статья Лоуренса Склара « Философия статистической механики » для Стэнфордской энциклопедии философии .
  • Sklogwiki - термодинамика, статистическая механика и компьютерное моделирование материалов. SklogWiki особенно ориентирован на жидкости и мягкие конденсированные вещества.
  • Статистическая термодинамика - историческая хронология
  • Термодинамика и статистическая механика Ричарда Фицпатрика
  • Конспект лекций по статистической механике и мезоскопии Дорон Коэн
  • Видео серии лекций в статистической механике на YouTube учил Сасскинд .
  • Ву-Куок, Л., Интеграл конфигурации (статистическая механика) , 2008. этот вики-сайт не работает; см эту статью в веб - архиве на 2012 28 апреля .