Парастатистика

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика плетения
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Возможности Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Поиск источников:  «Парастатистика»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В квантовой механике и статистической механики , парастатистика является одной из нескольких альтернатив более известных статистических частиц моделей ( статистика Бозе-Эйнштейна , статистика Ферми-Дирака и статистика Максвелла-Больцмана ). Другие варианты включают anyonic статистики и кос статистики , оба из них с участием более низкие размеры пространства - времени.

Формализм [ править ]

Рассмотрим операторную алгебру системы из N одинаковых частиц. Это * -алгебра . Существует S _N группа ( симметрическая группа порядка N ) действует на оператор алгебру с предполагаемой интерпретацией перестановки на N частиц. Квантовая механика требует сосредоточения внимания на наблюдаемых, имеющих физический смысл, и наблюдаемые должны быть инвариантными относительно всех возможных перестановок N частиц. Например, в случае N  = 2, R ₂  - R ₁ не может быть наблюдаемым, потому что он меняет знак, если мы поменяем местами две частицы, но расстояние между двумя частицами: | R ₂  -  R ₁ | является законным наблюдаемым.

Другими словами, наблюдаемая алгебра должна быть * -подалгеброй, инвариантной относительно действия S _N (отметим, что это не означает, что каждый элемент операторной алгебры, инвариантный относительно S _N, является наблюдаемой). Это позволяет различные суперотборных секторов , каждый из которых параметризирован диаграммы Юнга из S _N .

В частности:

• Для N идентичных парабозонов порядка p (где p - целое положительное число) допустимыми диаграммами Юнга являются все диаграммы с p или меньшим количеством строк.
• Для N одинаковых парафермионов порядка p допустимыми являются диаграммы Юнга с p или меньшим количеством столбцов.
• Если p равно 1, это сводится к статистике Бозе – Эйнштейна и Ферми – Дирака соответственно ^{[ требуется пояснение ]} .
• Если p произвольно велико (бесконечно), это сводится к статистике Максвелла – Больцмана.

Квантовая теория поля парастатистики [ править ]

Поле парабозонов порядка p , где, если x и y - пространственно- разделенные точки, и если где [,] - коммутатор, а {,} - антикоммутатор . Обратите внимание, что это не согласуется с теоремой о спиновой статистике , которая предназначена для бозонов, а не парабозонов. Может существовать такая группа, как симметрическая группа S _p, действующая на φ ^{( i )} s. Наблюдаемые должны быть инвариантными операторами.${\displaystyle \phi (x)=\sum _{i=1}^{p}\phi ^{(i)}(x)}$${\displaystyle [\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(i)}(y)]=0}$${\displaystyle \{\phi ^{(i)}(x),\phi ^{(j)}(y)\}=0}$${\displaystyle i\neq j}$ под рассматриваемой группой. Однако наличие такой симметрии не обязательно.

Парафермионное поле порядка p , где если x и y - пространственно- разделенные точки, а если . Тот же комментарий о наблюдаемых будет применяться вместе с требованием, чтобы они имели четную оценку при оценке, где ψ s имеют нечетную оценку.${\displaystyle \psi (x)=\sum _{i=1}^{p}\psi ^{(i)}(x)}$${\displaystyle \{\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(i)}(y)\}=0}$${\displaystyle [\psi ^{(i)}(x),\psi ^{(j)}(y)]=0}$${\displaystyle i\neq j}$

В parafermionic и parabosonic алгебры порождены элементами , которые подчиняются коммутационными и антикоммутационные отношения. Они обобщают обычную фермионную алгебру и бозонную алгебру квантовой механики. ^[1] Дирак алгебра и Даффина-Кеммер-Петие алгебры появляются как частные случаи parafermionic алгебры для порядка р  = 1 и р  = 2, соответственно. ^[2]

Объяснение парастатистики [ править ]

Обратите внимание, что если x и y - точки, разделенные пространственно-подобным разделением, φ ( x ) и φ ( y ) не коммутируют и не антикоммутируют, если p = 1. Тот же комментарий относится к ψ ( x ) и ψ ( y ). Итак, если у нас есть n пространственно разделенных точек x ₁ , ..., x _n ,

${\displaystyle \phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle }$

соответствует созданию n одинаковых парабозонов в точках x ₁ , ..., x _n . По аналогии,

${\displaystyle \psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle }$

соответствует созданию n одинаковых парафермионов. Поскольку эти поля не коммутируют и не антикоммутируют

${\displaystyle \phi (x_{\pi (1)})\cdots \phi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

а также

${\displaystyle \psi (x_{\pi (1)})\cdots \psi (x_{\pi (n)})|\Omega \rangle }$

дает различные состояния для каждой перестановки π в S n .

Мы можем определить оператор перестановки следующим образом:${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )\left[\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\phi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \phi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

а также

${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )\left[\psi (x_{1})\cdots \psi (x_{n})|\Omega \rangle \right]=\psi (x_{\pi ^{-1}(1)})\cdots \psi (x_{\pi ^{-1}(n)})|\Omega \rangle }$

соответственно. Можно показать, что это хорошо определено, пока оно ограничено только состояниями, охватываемыми векторами, данными выше (по существу, состояниями с n идентичными частицами). Это тоже унитарно . Более того, это операторнозначное представление симметрической группы S _n, и поэтому мы можем интерпретировать его как действие S _n на само n -частичное гильбертово пространство, превращая его в унитарное представление .${\displaystyle {\mathcal {E}}(\pi )}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

КХД может быть переформулирована с использованием парастатистики, где кварки являются парафермионами порядка 3, а глюоны - парабозонами порядка 8. Обратите внимание, что это отличается от обычного подхода, в котором кварки всегда подчиняются антикоммутационным соотношениям и соотношениям коммутации глюонов. ^[3]

История парастатистики [ править ]

Х.С. (Берт) Грин ^[4] приписывают создание парастатистики в 1953 г. ^{[5] [6]}

См. Также [ править ]

• Преобразование Клейна о том, как конвертировать между парастатистикой и более традиционной статистикой. ^[7]

Ссылки [ править ]