Модель Изинга

Статистическая механика
Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика косы
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Потенциал Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

The Ising model (/ˈaɪsɪŋ/; German: [ˈiːzɪŋ]), named after the physicist Ernst Ising, is a mathematical model of ferromagnetism in statistical mechanics. The model consists of discrete variables that represent magnetic dipole moments of atomic "spins" that can be in one of two states (+1 or −1). The spins are arranged in a graph, usually a lattice(где локальная структура периодически повторяется во всех направлениях), позволяя каждому спину взаимодействовать со своими соседями. Соседние спины, которые согласны, имеют более низкую энергию, чем несогласные; система стремится к наименьшей энергии, но высокая температура нарушает эту тенденцию, создавая возможность различных структурных фаз. Модель позволяет идентифицировать фазовые переходы как упрощенную модель реальности. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой - одна из простейших статистических моделей, показывающих фазовый переход . ^[1]

Модель Изинга была изобретена физиком Вильгельмом Ленцем  ( 1920 ), который поставил ее в качестве проблемы своему ученику Эрнсту Изингу. Одномерная модель Изинга была решена самим Изингом (1925) в его диссертации 1924 года; ^[2] он не имеет фазового перехода. Двумерная модель Изинга с квадратной решеткой намного сложнее, и аналитическое описание было дано намного позже Ларсом Онсагером  ( 1944 ). Обычно она решается методом трансфер-матрицы , хотя существуют разные подходы, больше связанные с квантовой теорией поля .

В размерностях больше четырех фазовый переход модели Изинга описывается теорией среднего поля .

Сама модель представляет собой модель среднего поля, то есть взаимодействие между любыми двумя спинами примерно не зависит от пространственного расположения этих спинов. Это предположение сделано для упрощения изучения модели. Оказывается, если вместо этого кто-то хочет включить пространственные местоположения (через параметр спин-спинового взаимодействия, который, скажем, уменьшается с увеличением расстояния между спинами), модель будет гораздо сложнее изучить. Это оправдывает вышеупомянутое упрощающее предположение, в частности, в свете того факта, что строгие математические результаты по этой модели были получены совсем недавно. ^[3]

Задача Изинга без внешнего поля может быть эквивалентно сформулирована как задача максимального разреза графа (Max-Cut), которая может быть решена с помощью комбинаторной оптимизации .

Определение [ править ]

Рассмотрим набор Λ узлов решетки, каждый из которых имеет набор смежных узлов (например, граф ), образующий d -мерную решетку. Для каждого узла решетки k  ∈ Λ существует дискретная переменная σ _k такая, что σ _k  ∈ {+1, −1}, представляющая спин узла. Конфигурации спины , σ = (σ _к ) _{к  ∈ Л} является присвоением значения спины к каждой узел решетки.

Для любых двух соседних узлов i ,  j  ∈ Λ существует взаимодействие J _ij . Также узел j  ∈ Λ имеет взаимодействующее с ним внешнее магнитное поле h _j . Энергия конфигурации сг задается функцией Гамильтона

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}-\mu \sum _{j}h_{j}\sigma _{j},}$

where the first sum is over pairs of adjacent spins (every pair is counted once). The notation ⟨ij⟩ indicates that sites i and j are nearest neighbors. The magnetic moment is given by µ. Note that the sign in the second term of the Hamiltonian above should actually be positive because the electron's magnetic moment is antiparallel to its spin, but the negative term is used conventionally.^[4] The configuration probability is given by the Boltzmann distribution with inverse temperature β ≥ 0:

${\displaystyle P_{\beta }(\sigma )={\frac {e^{-\beta H(\sigma )}}{Z_{\beta }}},}$

where β = (k_BT)⁻¹, and the normalization constant

${\displaystyle Z_{\beta }=\sum _{\sigma }e^{-\beta H(\sigma )}}$

- статистическая сумма . Для функции спинов f ("наблюдаемой") через

${\displaystyle \langle f\rangle _{\beta }=\sum _{\sigma }f(\sigma )P_{\beta }(\sigma )}$

математическое ожидание (среднее) значение f .

Вероятности конфигурации P _β (σ) представляют собой вероятность того, что (в равновесии) система находится в состоянии с конфигурацией σ.

Обсуждение [ править ]

Знак минус у каждого члена функции Гамильтона H (σ) является обычным. Используя это соглашение о знаках, модели Изинга можно классифицировать по знаку взаимодействия: если для пары i ,  j

${\displaystyle J_{ij}>0}$, взаимодействие называется ферромагнитным ,

${\displaystyle J_{ij}<0}$, взаимодействие называется антиферромагнитным ,

${\displaystyle J_{ij}=0}$, спины невзаимодействуют .

Система называется ферромагнитной или антиферромагнитной, если все взаимодействия ферромагнитные или все антиферромагнитные. Первоначальные модели Изинга были ферромагнитными, и до сих пор часто предполагается, что «модель Изинга» означает ферромагнитную модель Изинга.

В ферромагнитной модели Изинга спины хотят быть выровненными: конфигурации, в которых соседние спины одного знака, имеют более высокую вероятность. В антиферромагнитной модели соседние спины имеют тенденцию иметь противоположные знаки.

Знаковое соглашение H (σ) также объясняет, как узел вращения j взаимодействует с внешним полем. А именно, узел вращения хочет выровняться с внешним полем. Если:

${\displaystyle h_{j}>0}$, узел вращения j хочет выстроиться в положительном направлении,

${\displaystyle h_{j}<0}$, узел вращения j хочет выстроиться в отрицательном направлении,

${\displaystyle h_{j}=0}$, внешнее влияние на спиновый сайт отсутствует.

Упрощения [ править ]

Модели Изинга часто рассматриваются без внешнего поля, взаимодействующего с решеткой, то есть h  = 0 для всех j в решетке Λ. Используя это упрощение, гамильтониан принимает вид

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{\langle i~j\rangle }J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

Когда внешнее поле всюду равно нулю, h  = 0, модель Изинга симметрична относительно переключения значения спина во всех узлах решетки; ненулевое поле нарушает эту симметрию.

Другим распространенным является упрощение предположить , что все ближайших соседей ⟨ IJ ⟩ имеют одинаковую силу взаимодействия. Тогда мы можем положить J _ij = J для всех пар i ,  j в Λ. В этом случае гамильтониан дополнительно упрощается до

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

Подключение к графику максимального разреза [ править ]

Подмножество S множества вершин V (G) взвешенного неориентированного графа G определяет разрез графа G на S и его дополнительное подмножество G \ S. Размер разреза - это сумма весов ребер между S и G \ S. Максимальный сократить размер, по крайней мере , размер любого другого разреза, варьируя S.

For the Ising model without an external field on a graph G, the Hamiltonian becomes the following sum over the graph edges E(G)

${\displaystyle H(\sigma )=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}\sigma _{i}\sigma _{j}}$.

Here each vertex i of the graph is a spin site that takes a spin value ${\displaystyle \sigma _{i}=\pm 1}$. A given spin configuration ${\displaystyle \sigma }$ partitions the set of vertices ${\displaystyle V(G)}$ into two ${\displaystyle \sigma }$-depended subsets, those with spin up ${\displaystyle V^{+}}$ and those with spin down ${\displaystyle V^{-}}$. We denote by ${\displaystyle \delta (V^{+})}$ the ${\displaystyle \sigma }$-depended set of edges that connects the two complementary vertex subsets ${\displaystyle V^{+}}$ and ${\displaystyle V^{-}}$. The size ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$ of the cut ${\displaystyle \delta (V^{+})}$ to bipartite the weighted undirected graph G can be defined as

${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|={\frac {1}{2}}\sum _{ij\in \delta (V^{+})}W_{ij}}$,

where ${\displaystyle W_{ij}}$ denotes a weight of the edge ${\displaystyle ij}$ and the scaling 1/2 is introduced to compensate for double counting the same weights ${\displaystyle W_{ij}=W_{ji}}$.

The identities

${\displaystyle {\begin{aligned}H(\sigma )&=-\sum _{ij\in E(V^{+})}J_{ij}-\sum _{ij\in E(V^{-})}J_{ij}+\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}\\&=-\sum _{ij\in E(G)}J_{ij}+2\sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij},\end{aligned}}}$

where the total sum in the first term does not depend on ${\displaystyle \sigma }$, imply that minimizing ${\displaystyle H(\sigma )}$ in ${\displaystyle \sigma }$ is equivalent to minimizing ${\displaystyle \sum _{ij\in \delta (V^{+})}J_{ij}}$. Defining the edge weight ${\displaystyle W_{ij}=-J_{ij}}$ thus turns the Ising problem without an external field into a graph Max-Cut problem^[5] maximizing the cut size ${\displaystyle \left|\delta (V^{+})\right|}$, which is related to the Ising Hamiltonian as follows,

${\displaystyle H(\sigma )=\sum _{ij\in E(G)}W_{ij}-4\left|\delta (V^{+})\right|.}$

Questions[edit]

A significant number of statistical questions to ask about this model are in the limit of large numbers of spins:

• In a typical configuration, are most of the spins +1 or −1, or are they split equally?
• If a spin at any given position i is 1, what is the probability that the spin at position j is also 1?
• If β is changed, is there a phase transition?
• On a lattice Λ, what is the fractal dimension of the shape of a large cluster of +1 spins?

Basic properties and history[edit]

The most studied case of the Ising model is the translation-invariant ferromagnetic zero-field model on a d-dimensional lattice, namely, Λ = Z^d, J_ij = 1, h = 0.

In his 1924 PhD thesis, Ising solved the model for the d = 1 case, which can be thought of as a linear horizontal lattice where each site only interacts with its left and right neighbor. In one dimension, the solution admits no phase transition.^[6] Namely, for any positive β, the correlations ⟨σ_iσ_j⟩ decay exponentially in |i − j|:

${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\leq C\exp {\big (}-c(\beta )|i-j|{\big )},}$

and the system is disordered. On the basis of this result, he incorrectly concluded that this model does not exhibit phase behaviour in any dimension.

Модель Изинга претерпевает фазовый переход между упорядоченной и неупорядоченной фазами в 2-х или более измерениях. А именно, система неупорядочена при малых β, тогда как при больших β система обнаруживает ферромагнитный порядок:

${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle _{\beta }\geq c(\beta )>0.}$

Впервые это было доказано Рудольфом Пайерлсом в 1936 г. ^[7] с использованием того, что сейчас называется аргументом Пайерлса .

The Ising model on a two-dimensional square lattice with no magnetic field was analytically solved by Lars Onsager (1944). Onsager showed that the correlation functions and free energy of the Ising model are determined by a noninteracting lattice fermion. Onsager announced the formula for the spontaneous magnetization for the 2-dimensional model in 1949 but did not give a derivation. Yang (1952) gave the first published proof of this formula, using a limit formula for Fredholm determinants, proved in 1951 by Szegő in direct response to Onsager's work.^[8]

Историческое значение [ править ]

Один из аргументов Демокрита в поддержку атомизма заключался в том, что атомы естественным образом объясняют резкие фазовые границы, наблюдаемые в материалах ^{[ необходима цитата ]} , например, когда лед тает в воду или вода превращается в пар. Его идея заключалась в том, что небольшие изменения в свойствах атомарного масштаба приведут к большим изменениям в совокупном поведении. Другие считали, что материя по своей природе непрерывна, а не атомарна, и что крупномасштабные свойства материи не сводятся к основным атомным свойствам.

While the laws of chemical binding made it clear to nineteenth century chemists that atoms were real, among physicists the debate continued well into the early twentieth century. Atomists, notably James Clerk Maxwell and Ludwig Boltzmann, applied Hamilton's formulation of Newton's laws to large systems, and found that the statistical behavior of the atoms correctly describes room temperature gases. But classical statistical mechanics did not account for all of the properties of liquids and solids, nor of gases at low temperature.

Как только современная квантовая механика была сформулирована, атомизм больше не противоречил эксперименту, но это не привело к всеобщему признанию статистической механики, выходящей за рамки атомизма. Джозайя Уиллард Гиббс дал полный формализм, чтобы воспроизвести законы термодинамики из законов механики. Но многие ошибочные аргументы сохранились с XIX века, когда статистическая механика считалась сомнительной. Недостатки интуиции в основном связаны с тем фактом, что предел бесконечной статистической системы имеет множество законов нуля или единицы, которые отсутствуют в конечных системах: бесконечно малое изменение параметра может привести к большим различиям в общем, агрегированном поведении, как писал Демокрит. ожидал.

Никаких фазовых переходов в конечном объеме [ править ]

В начале двадцатого века некоторые полагали, что статистическая сумма никогда не может описать фазовый переход, основываясь на следующем аргументе:

1. Статистическая сумма представляет собой сумму e − ^{β E} по всем конфигурациям.
2. Экспоненциальная функция всюду аналитична как функция от β.
3. Сумма аналитических функций является аналитической функцией.

Этот аргумент работает для конечной суммы экспонент и правильно устанавливает, что нет сингулярностей в свободной энергии системы конечного размера. Для систем, находящихся в термодинамическом пределе (то есть для бесконечных систем), бесконечная сумма может привести к сингулярностям. Сходимость к термодинамическому пределу происходит быстро, так что фазовое поведение проявляется уже на относительно небольшой решетке, даже несмотря на то, что сингулярности сглаживаются конечным размером системы.

Это было впервые установлено Рудольфом Пайерлсом в модели Изинга.

Капли Пайерлса [ править ]

Вскоре после того, как Ленц и Изинг построили модель Изинга, Пайерлс смог явно показать, что фазовый переход происходит в двух измерениях.

To do this, he compared the high-temperature and low-temperature limits. At infinite temperature (β = 0) all configurations have equal probability. Each spin is completely independent of any other, and if typical configurations at infinite temperature are plotted so that plus/minus are represented by black and white, they look like television snow. For high, but not infinite temperature, there are small correlations between neighboring positions, the snow tends to clump a little bit, but the screen stays randomly looking, and there is no net excess of black or white.

A quantitative measure of the excess is the magnetization, which is the average value of the spin:

${\displaystyle M={\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}\sigma _{i}.}$

Поддельный аргумент, аналогичный аргументу из предыдущего раздела, теперь устанавливает, что намагниченность в модели Изинга всегда равна нулю.

1. Каждая конфигурация спинов имеет равную энергию конфигурации со всеми перевернутыми спинами.
2. Таким образом , для каждой конфигурации с намагниченностью M существует конфигурация с намагниченностью - M с равной вероятностью.
3. Таким образом, система должна тратить равное количество времени в конфигурации с намагниченностью М , как с намагниченностью - М .
4. Таким образом, средняя намагниченность (за все время) равна нулю.

As before, this only proves that the average magnetization is zero at any finite volume. For an infinite system, fluctuations might not be able to push the system from a mostly plus state to a mostly minus with a nonzero probability.

For very high temperatures, the magnetization is zero, as it is at infinite temperature. To see this, note that if spin A has only a small correlation ε with spin B, and B is only weakly correlated with C, but C is otherwise independent of A, the amount of correlation of A and C goes like ε². For two spins separated by distance L, the amount of correlation goes as ε^L, but if there is more than one path by which the correlations can travel, this amount is enhanced by the number of paths.

Количество путей длины L на квадратной решетке в d измерениях равно

${\displaystyle N(L)=(2d)^{L},}$

поскольку есть 2 d варианта, куда идти на каждом шаге.

Ограничение на общую корреляцию дается вкладом в корреляцию путем суммирования по всем путям, соединяющим две точки, который ограничен сверху суммой по всем путям длины L, деленной на

${\displaystyle \sum _{L}(2d)^{L}\varepsilon ^{L},}$

который стремится к нулю при малых ε.

При низких температурах (β ≫ 1) конфигурации близки к конфигурации с наименьшей энергией, той, где все спины положительные или все спины отрицательны. Пайерлс спросил, возможно ли статистически при низкой температуре, начиная со всех вращений минус, колебаться до состояния, при котором большинство вращений положительное. Чтобы это произошло, капли с плюсовым вращением должны быть способны застыть, чтобы образовалось положительное состояние.

Энергия капли плюсовых спинов на минусовом фоне пропорциональна периметру капли L, где плюсовые и минусовые спины соседствуют друг с другом. Для капли с периметром L площадь находится где-то между ( L  - 2) / 2 (прямая линия) и ( L / 4) ² (квадрат). Стоимость вероятности введения капли имеет множитель e − ^{β L} , но он вносит вклад в статистическую сумму, умноженную на общее количество капель с периметром L , которое меньше общего числа путей длиной L :

${\displaystyle N(L)<4^{2L}.}$

Таким образом, общий спиновой вклад от капель, даже если перерасчитывать, позволяя каждому участку иметь отдельную каплю, ограничен сверху величиной

${\displaystyle \sum _{L}L^{2}4^{2L}e^{-4\beta L},}$

которая стремится к нулю при больших β. При достаточно большом β это экспоненциально подавляет длинные петли, так что они не могут возникать, и намагниченность никогда не колеблется слишком далеко от -1.

Таким образом, Пайерлс установил, что намагниченность в модели Изинга в конечном итоге определяет секторы суперселекции , отдельные домены, не связанные конечными флуктуациями.

Двойственность Крамерса-Ванье [ править ]

Крамерс и Ванье смогли показать, что высокотемпературное расширение и низкотемпературное расширение модели равны общему изменению масштаба свободной энергии. Это позволило точно определить точку фазового перехода в двумерной модели (в предположении, что существует единственная критическая точка).

Нули Ян – Ли [ править ]

После решения Онзагера Ян и Ли исследовали, каким образом статистическая сумма становится сингулярной, когда температура приближается к критической.

Методы Монте-Карло для численного моделирования [ править ]

Определения [ править ]

Модель Изинга часто бывает трудно оценить численно, если в системе много состояний. Рассмотрим модель Изинга с

L = | Λ |: общее количество узлов на решетке,

σ _j ∈ {−1, +1}: отдельный узел спина на решетке, j  = 1, ..., L ,

S ∈ {−1, +1} ^L : состояние системы.

Поскольку каждый спиновый узел имеет ± 1 спин, возможны 2 ^L различных состояний. ^[9] Это мотивирует необходимость моделирования модели Изинга с использованием методов Монте-Карло . ^[9]

Гамильтонова , который обычно используется для представления энергии модели при использовании методов Монте - Карло

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}-h\sum _{j}\sigma _{j}.}$

Кроме того, гамильтониан дополнительно упрощается, предполагая нулевое внешнее поле h , поскольку многие вопросы, которые ставятся для решения с помощью модели, могут быть решены в отсутствие внешнего поля. Это приводит нас к следующему уравнению энергии для состояния σ:

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{\langle i~j\rangle }\sigma _{i}\sigma _{j}.}$

Используя этот гамильтониан, можно вычислить представляющие интерес величины, такие как удельная теплоемкость или намагниченность магнита при заданной температуре. ^[9]

Алгоритм Метрополиса [ править ]

Обзор [ править ]

The Metropolis–Hastings algorithm is the most commonly used Monte Carlo algorithm to calculate Ising model estimations.^[9] The algorithm first chooses selection probabilities g(μ, ν), which represent the probability that state ν is selected by the algorithm out of all states, given that one is in state μ. It then uses acceptance probabilities A(μ, ν) so that detailed balance is satisfied. If the new state ν is accepted, then we move to that state and repeat with selecting a new state and deciding to accept it. If ν is not accepted then we stay in μ. This process is repeated until some stopping criterion is met, which for the Ising model is often when the lattice becomes ferromagnetic, что означает, что все сайты указывают в одном направлении. ^[9]

При реализации алгоритма необходимо убедиться, что g (μ, ν) выбрано таким образом, чтобы соблюдалась эргодичность . В тепловом равновесии энергия системы колеблется только в небольшом диапазоне. ^[9] Это мотивировка концепции динамики с одним переворотом спина , которая гласит, что при каждом переходе мы меняем только одно из спиновых узлов на решетке. ^[9] Кроме того, используя динамику однократного переворота спина, можно перейти из любого состояния в любое другое, переключая каждый узел, который различается между двумя состояниями, по одному.

The maximum amount of change between the energy of the present state, H_μ and any possible new state's energy H_ν (using single-spin-flip dynamics) is 2J between the spin we choose to "flip" to move to the new state and that spin's neighbor.^[9] Thus, in a 1D Ising model, where each site has two neighbors (left and right), the maximum difference in energy would be 4J.

Пусть c представляет собой координационное число решетки ; число ближайших соседей любого узла решетки. Мы предполагаем, что все сайты имеют одинаковое количество соседей из-за периодических граничных условий . ^[9] Важно отметить, что алгоритм Метрополиса – Гастингса не работает в критической точке из-за критического замедления. Другие методы, такие как многосеточные методы, алгоритм Нидермайера, алгоритм Свендсена – Ванга или алгоритм Вольфа, необходимы для решения модели вблизи критической точки; требование для определения критических показателей системы.

Спецификация [ править ]

Specifically for the Ising model and using single-spin-flip dynamics, one can establish the following.

Since there are L total sites on the lattice, using single-spin-flip as the only way we transition to another state, we can see that there are a total of L new states ν from our present state μ. The algorithm assumes that the selection probabilities are equal to the L states: g(μ, ν) = 1/L. Detailed balance tells us that the following equation must hold:

${\displaystyle {\frac {P(\mu ,\nu )}{P(\nu ,\mu )}}={\frac {g(\mu ,\nu )A(\mu ,\nu )}{g(\nu ,\mu )A(\nu ,\mu )}}={\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}={\frac {P_{\beta }(\nu )}{P_{\beta }(\mu )}}={\frac {{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\nu })}}{{\frac {1}{Z}}e^{-\beta (H_{\mu })}}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$

Thus, we want to select the acceptance probability for our algorithm to satisfy

${\displaystyle {\frac {A(\mu ,\nu )}{A(\nu ,\mu )}}=e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$

Если H _ν > H _μ , то A (ν, μ)> A (μ, ν). Метрополис устанавливает большее из A (μ, ν) или A (ν, μ) равным 1. Исходя из этого, алгоритм принятия следующий: ^[9]

${\displaystyle A(\mu ,\nu )={\begin{cases}e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })},&{\text{if }}H_{\nu }-H_{\mu }>0,\\1&{\text{otherwise}}.\end{cases}}}$

Базовая форма алгоритма следующая:

1. Выберите узел спина, используя вероятность выбора g (μ, ν), и вычислите вклад в энергию, включающий этот спин.
2. Измените значение вращения и рассчитайте новый вклад.
3. Если новая энергия меньше, оставьте перевернутое значение.
4. Если новой энергии больше, только с вероятностью ${\displaystyle e^{-\beta (H_{\nu }-H_{\mu })}.}$
5. Повторение.

Изменение энергии H _ν  -  H _μ зависит только от значения спина и его ближайших соседей по графу. Так что, если граф не слишком связан, алгоритм работает быстро. Этот процесс в конечном итоге приведет к выбору из раздачи.

Рассмотрение модели Изинга как цепи Маркова [ править ]

Модель Изинга можно рассматривать как цепь Маркова , поскольку непосредственная вероятность P _β (ν) перехода в будущее состояние ν зависит только от текущего состояния μ. Алгоритм Метрополиса на самом деле является версией моделирования цепи Маркова Монте-Карло , и, поскольку мы используем динамику одиночного переворота вращения в алгоритме Метрополиса, каждое состояние можно рассматривать как имеющее связи ровно с L другими состояниями, где каждый переход соответствует перевороту одиночный сайт спина к противоположному значению. ^[10] Кроме того, поскольку изменение уравнения энергии H _σ зависит только от силы взаимодействия ближайших соседей J, модель Изинга и ее варианты, такие как модель Шнайд, можно рассматривать как форму модели избирателя для динамики мнений.

Одно измерение [ править ]

Термодинамический предел существует до тех пор, пока затухание взаимодействия происходит с α> 1. ^[11]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$

• В случае ферромагнитного взаимодействия с 1 <α <2 Дайсон доказал, сравнивая с иерархическим случаем, что существует фазовый переход при достаточно малой температуре. ^[12]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$
• В случае ферромагнитного взаимодействия Фрёлих и Спенсер доказали, что существует фазовый переход при достаточно малой температуре (в отличие от иерархического случая). ^[13]${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-2}}$
• In the case of interaction ${\displaystyle J_{ij}\sim |i-j|^{-\alpha }}$ with α > 2 (which includes the case of finite-range interactions), there is no phase transition at any positive temperature (i.e. finite β), since the free energy is analytic in the thermodynamic parameters.^[11]
• В случае взаимодействий ближайших соседей Э. Изинг дал точное решение модели. При любой положительной температуре (т. Е. Конечном β) свободная энергия аналитична в термодинамических параметрах, и усеченная двухточечная спиновая корреляция затухает экспоненциально быстро. При нулевой температуре (т.е. при бесконечном β) происходит фазовый переход второго рода: свободная энергия бесконечна, а усеченная двухточечная спиновая корреляция не затухает (остается постоянной). Следовательно, T = 0 - критическая температура в этом случае. Формулы масштабирования выполнены. ^[14]

Точное решение Изинга [ править ]

В случае ближайшего соседа (с периодическими или свободными граничными условиями) имеется точное решение. Гамильтониан одномерной модели Изинга на решетке из L узлов с периодическими граничными условиями имеет вид

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L-1}\sigma _{i}\sigma _{i+1}-h\sum _{i}\sigma _{i},}$

где J и h могут быть любым числом, так как в этом упрощенном случае J - это константа, представляющая силу взаимодействия между ближайшими соседями, а h - постоянное внешнее магнитное поле, приложенное к узлам решетки. Тогда свободная энергия равна

${\displaystyle f(\beta ,h)=-\lim _{L\to \infty }{\frac {1}{\beta L}}\ln Z(\beta )=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left(e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}}\right),}$

а спин-спиновая корреляция (т.е. ковариация) равна

${\displaystyle \langle \sigma _{i}\sigma _{j}\rangle -\langle \sigma _{i}\rangle \langle \sigma _{j}\rangle =C(\beta )e^{-c(\beta )|i-j|},}$

где C (β) и c (β) - положительные функции при T > 0. Однако при T → 0 длина обратной корреляции c (β) равна нулю.

Доказательство [ править ]

Доказательство этого результата - простое вычисление.

Если h = 0, очень легко получить свободную энергию в случае свободного граничного условия, т. Е. Когда

${\displaystyle H(\sigma )=-J(\sigma _{1}\sigma _{2}+\cdots +\sigma _{L-1}\sigma _{L}).}$

Затем модель факторизуется при замене переменных

${\displaystyle \sigma '_{j}=\sigma _{j}\sigma _{j-1},\quad j\geq 2.}$

Это дает

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta J\sigma _{L-1}\sigma _{L}}=2\prod _{j=2}^{L}\sum _{\sigma '_{j}}e^{\beta J\sigma '_{j}}=2\left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right]^{L-1}.}$

Следовательно, свободная энергия равна

${\displaystyle f(\beta ,0)=-{\frac {1}{\beta }}\ln \left[e^{\beta J}+e^{-\beta J}\right].}$

С такой же заменой переменных

${\displaystyle \langle \sigma _{j}\sigma _{j+N}\rangle =\left[{\frac {e^{\beta J}-e^{-\beta J}}{e^{\beta J}+e^{-\beta J}}}\right]^{N},}$

следовательно, он экспоненциально затухает, как только T ≠ 0; но при T = 0, т.е. в пределе β → ∞ затухания нет.

Если h ≠ 0, нам понадобится метод матрицы передачи. Для периодических граничных условий случай следующий. Статистическая сумма равна

${\displaystyle Z(\beta )=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}e^{\beta h\sigma _{1}}e^{\beta J\sigma _{1}\sigma _{2}}e^{\beta h\sigma _{2}}e^{\beta J\sigma _{2}\sigma _{3}}\cdots e^{\beta h\sigma _{L}}e^{\beta J\sigma _{L}\sigma _{1}}=\sum _{\sigma _{1},\ldots ,\sigma _{L}}V_{\sigma _{1},\sigma _{2}}V_{\sigma _{2},\sigma _{3}}\cdots V_{\sigma _{L},\sigma _{1}}.}$

Коэффициенты можно рассматривать как элементы матрицы. Возможны разные варианты: удобный (поскольку матрица симметрична)${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}}$

${\displaystyle V_{\sigma ,\sigma '}=e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma }e^{\beta J\sigma \sigma '}e^{{\frac {\beta h}{2}}\sigma '}}$

или же

${\displaystyle V={\begin{bmatrix}e^{\beta (h+J)}&e^{-\beta J}\\e^{-\beta J}&e^{-\beta (h-J)}\end{bmatrix}}.}$

В матричном формализме

${\displaystyle Z(\beta )=\operatorname {Tr} \left(V^{L}\right)=\lambda _{1}^{L}+\lambda _{2}^{L}=\lambda _{1}^{L}\left[1+\left({\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}\right)^{L}\right],}$

где λ ₁ - старшее собственное значение V , а λ ₂ - другое собственное значение:

${\displaystyle \lambda _{1}=e^{\beta J}\cosh \beta h+{\sqrt {e^{2\beta J}(\sinh \beta h)^{2}+e^{-2\beta J}}},}$

и | λ ₂ | <λ ₁ . Это дает формулу свободной энергии.

Комментарии [ редактировать ]

Энергия наинизшего состояния - JL , когда все спины одинаковые. Для любой другой конфигурации дополнительная энергия равна 2 Дж, умноженному на количество смен знака, которые встречаются при сканировании конфигурации слева направо.

Если мы обозначим количество изменений знака в конфигурации как k , разница в энергии от состояния с наименьшей энергией составит 2 k . Поскольку энергия складывается с числом переворотов, вероятность p иметь переворот спина в каждой позиции не зависит. Отношение вероятности найти флип к вероятности не найти его - это фактор Больцмана:

${\displaystyle {\frac {p}{1-p}}=e^{-2\beta J}.}$

Проблема сводится к независимым подбрасываниям монетки . По сути, это завершает математическое описание.

Из описания с точки зрения независимых подбрасываний можно понять статистику модели для длинных линий. Линия разбивается на домены. Каждый домен имеет среднюю длину exp (2β). Длина домена распределена экспоненциально, поскольку на любом этапе существует постоянная вероятность столкновения с переворотом. Домены никогда не становятся бесконечными, поэтому длинная система никогда не намагничивается. Каждый шаг уменьшает корреляцию между вращением и его соседом на величину, пропорциональную p , поэтому корреляции падают экспоненциально.

${\displaystyle \langle S_{i}S_{j}\rangle \propto e^{-p|i-j|}.}$

Функция распределения является объемом конфигураций, каждая конфигурация взвешенной по своему весу Больцмана. Поскольку каждая конфигурация описывается изменением знака, статистическая сумма факторизуется:

${\displaystyle Z=\sum _{\text{configs}}e^{\sum _{k}S_{k}}=\prod _{k}(1+p)=(1+p)^{L}.}$

Логарифм, деленный на L, - это плотность свободной энергии:

${\displaystyle \beta f=\log(1+p)=\log \left(1+{\frac {e^{-2\beta J}}{1+e^{-2\beta J}}}\right),}$

которое аналитично вне β = ∞. Признаком фазового перехода является неаналитическая свободная энергия, поэтому одномерная модель не имеет фазового перехода.

Одномерное решение с поперечным полем [ править ]

To express the Ising Hamiltonian using a quantum mechanical description of spins, we replace the spin variables with their respective Pauli matrices. However, depending on the direction of the magnetic field, we can create a transverse-field or longitudinal-field Hamiltonian. The transverse-field Hamiltonian is given by

${\displaystyle H(\sigma )=-J\sum _{i=1,\ldots ,L}\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}-h\sum _{i}\sigma _{i}^{x}.}$

The transverse-field model experiences a phase transition between an ordered and disordered regime at J ~ h. This can be shown by a mapping of Pauli matrices

${\displaystyle \sigma _{n}^{z}=\prod _{i=1}^{n}T_{i}^{x},}$

${\displaystyle \sigma _{n}^{x}=T_{n}^{z}T_{n+1}^{z}.}$

Upon rewriting the Hamiltonian in terms of this change-of-basis matrices, we obtain

${\displaystyle H(\sigma )=-h\sum _{i=1,\ldots ,L}T_{i}^{z}T_{i+1}^{z}-J\sum _{i}T_{i}^{x}.}$

Since the roles of h and J are switched, the Hamiltonian undergoes a transition at J = h.^[15]

Два измерения [ править ]

• В ферромагнитном случае имеет место фазовый переход. При низкой температуре аргумент Пайерлса доказывает положительную намагниченность для случая ближайшего соседа, а затем, согласно неравенству Гриффитса , также при добавлении взаимодействий с большим радиусом действия. Между тем, при высокой температуре расширение кластера дает аналитичность термодинамических функций.
• В случае ближайшего соседа, свободная энергия была точно вычислена Онзагером посредством эквивалентности модели со свободными фермионами на решетке. Спин-спиновые корреляционные функции были вычислены МакКоем и Ву.

Точное решение Онзагера [ править ]

Онзагер (1944) получил следующее аналитическое выражение для свободной энергии модели Изинга на анизотропной квадратной решетке, когда магнитное поле в термодинамическом пределе как функция температуры и горизонтальной и вертикальной энергий взаимодействия и соответственно${\displaystyle h=0}$${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$

${\displaystyle -\beta f=\ln 2+{\frac {1}{8\pi ^{2}}}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{1}\int _{0}^{2\pi }d\theta _{2}\ln[\cosh(2\beta J_{1})\cosh(2\beta J_{2})-\sinh(2\beta J_{1})\cos(\theta _{1})-\sinh(2\beta J_{2})\cos(\theta _{2})].}$

Из этого выражения для свободной энергии все термодинамические функции модели могут быть вычислены с использованием соответствующей производной. 2D-модель Изинга была первой моделью, демонстрирующей непрерывный фазовый переход при положительной температуре. Это происходит при температуре, которая решает уравнение${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle \sinh \left({\frac {2J_{1}}{kT_{c}}}\right)\sinh \left({\frac {2J_{2}}{kT_{c}}}\right)=1.}$

В изотропном случае, когда горизонтальная и вертикальная энергии взаимодействия равны , критическая температура наступает в следующей точке${\displaystyle J_{1}=J_{2}=J}$${\displaystyle T_{c}}$

${\displaystyle T_{c}={\frac {2J}{k\ln(1+{\sqrt {2}})}}}$

Когда энергии взаимодействия , оба отрицательны, модель Изинга становится АФМ. Поскольку квадратная решетка является двухчастной, она инвариантна при этом изменении магнитного поля , поэтому свободная энергия и критическая температура одинаковы для антиферромагнитного случая. Для треугольной решетки, которая не является двудольной, ферромагнитная и антиферромагнитная модели Изинга ведут себя заметно по-разному.${\displaystyle J_{1}}$${\displaystyle J_{2}}$${\displaystyle h=0}$

Матрица передачи [ править ]

Начнем с аналогии с квантовой механикой. Модель Изинга на длинной периодической решетке имеет статистическую сумму

${\displaystyle \sum _{\{S\}}\exp {\biggl (}\sum _{ij}S_{i,j}\left(S_{i,j+1}+S_{i+1,j}\right){\biggr )}.}$

Думайте о направлении i как о пространстве , а о j как о времени . Это независимая сумма всех значений, которые спины могут принимать на каждом временном интервале. Это тип интеграла по путям , это сумма по всем историям спинов.

Интеграл по путям можно переписать как гамильтонову эволюцию. Гамильтониан переходит во времени, выполняя единичный поворот между временем t и временем t + Δ t :

${\displaystyle U=e^{iH\Delta t}}$

Произведение матриц U, одна за другой, является оператором эволюции полного времени, который является интегралом по путям, с которого мы начали.

${\displaystyle U^{N}=(e^{iH\Delta t})^{N}=\int DXe^{iL}}$

где N - количество временных интервалов. Сумма по всем путям определяется как произведение матриц, каждый элемент матрицы - это вероятность перехода от одного среза к следующему.

Точно так же можно разделить сумму по всем конфигурациям статистической суммы на срезы, где каждый срез является одномерной конфигурацией в момент времени 1. Это определяет матрицу переноса :

${\displaystyle T_{C_{1}C_{2}}.}$

Конфигурация каждого среза представляет собой одномерный набор вращений. В каждом временном интервале T имеет матричные элементы между двумя конфигурациями спинов, одна в ближайшем будущем, а другая в ближайшем прошлом. Эти две конфигурации - это C ₁ и C ₂ , и все они являются одномерными спиновыми конфигурациями. Мы можем представить себе векторное пространство, в котором действует T, как все их сложные линейные комбинации. Используя квантово-механические обозначения:

${\displaystyle |A\rangle =\sum _{S}A(S)|S\rangle }$

где каждый базисный вектор представляет собой спиновую конфигурацию одномерной модели Изинга.${\displaystyle |S\rangle }$

Как и гамильтониан, трансфер-матрица действует на все линейные комбинации состояний. Статистическая сумма - это матричная функция от T, которая определяется суммой по всем историям, которые возвращаются к исходной конфигурации после N шагов:

${\displaystyle Z=\mathrm {tr} (T^{N}).}$

Поскольку это матричное уравнение, его можно вычислить в любом базисе. Так что, если мы можем диагонализуем матрицу Т , мы можем найти Z .

T в терминах матриц Паули [ править ]

Вклад в статистическую сумму для каждой прошлой / будущей пары конфигураций на срезе является суммой двух членов. Есть количество переворотов вращения в прошлом срезе и количество переворотов вращения между прошлым и будущим срезами. Определите оператор в конфигурациях, который переворачивает вращение на сайте i:

${\displaystyle \sigma _{i}^{x}.}$

В обычном базисе Изинга, действуя на любую линейную комбинацию прошлых конфигураций, он производит ту же линейную комбинацию, но с перевернутым вращением в позиции i каждого базисного вектора.

Определите второй оператор, который умножает базисный вектор на +1 и -1 в соответствии со спином в позиции i :

${\displaystyle \sigma _{i}^{z}.}$

T можно записать в терминах этих:

${\displaystyle \sum _{i}A\sigma _{i}^{x}+B\sigma _{i}^{z}\sigma _{i+1}^{z}}$

где A и B - константы, которые должны быть определены для воспроизведения статистической суммы. Интерпретация состоит в том, что статистическая конфигурация этого среза влияет как на количество переворотов спина в срезе, так и на то, перевернулось ли вращение в позиции i .

Операторы создания и уничтожения спин-флипов [ править ]

Как и в одномерном случае, мы переключим внимание со спинов на спин-флипы. Член σ ^z в T подсчитывает количество переворотов спина, которые мы можем записать в терминах операторов создания и уничтожения переворотов спина:

${\displaystyle \sum C\psi _{i}^{\dagger }\psi _{i}.\,}$

Первый член переворачивает вращение, поэтому в зависимости от базиса он либо:

1. перемещает спин-флип на одну единицу вправо
2. перемещает спин-флип на одну единицу влево
3. производит два спин-флипа на соседних сайтах
4. уничтожает два спин-флипа на соседних сайтах.

Запишем это в терминах операторов создания и уничтожения:

${\displaystyle \sigma _{i}^{x}=D{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i+1}+D^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}\psi _{i-1}+C\psi _{i}\psi _{i+1}+C^{*}{\psi ^{\dagger }}_{i}{\psi ^{\dagger }}_{i+1}.}$

Не обращайте внимания на постоянные коэффициенты и сосредоточьтесь на форме. Все они квадратичные. Поскольку коэффициенты постоянны, это означает, что матрица T может быть диагонализована преобразованиями Фурье.

Проведение диагонализации дает свободную энергию Онзагера.

Формула Онзагера для спонтанного намагничивания [ править ]

Онсагер объявил следующее выражение для спонтанной намагниченности M двумерного ферромагнетика Изинга на квадратной решетке на двух различных конференциях в 1948 году, хотя и без доказательства ^[8]

${\displaystyle M=\left(1-\left[\sinh 2\beta J_{1}\sinh 2\beta J_{2}\right]^{-2}\right)^{\frac {1}{8}}}$

where ${\displaystyle J_{1}}$ and ${\displaystyle J_{2}}$ are horizontal and vertical interaction energies.

A complete derivation was only given in 1951 by Yang (1952) using a limiting process of transfer matrix eigenvalues. The proof was subsequently greatly simplified in 1963 by Montroll, Potts, and Ward^[8] using Szegő's limit formula for Toeplitz determinants by treating the magnetization as the limit of correlation functions.

Minimal model[edit]

В критической точке двумерная модель Изинга представляет собой двумерную конформную теорию поля . Корреляционные функции спина и энергии описываются минимальной моделью , которая точно решена.

Три измерения [ править ]

В трех измерениях, как и в двух измерениях, наиболее изученным случаем модели Изинга является трансляционно-инвариантная модель на кубической решетке со связью ближайших соседей в нулевом магнитном поле. Ведущие теоретики в течение многих десятилетий искали аналитическое трехмерное решение, которое было бы аналогично решению Онзагера в двумерном случае. ^[16] К настоящему времени считается, что такого решения не существует, хотя нет никаких доказательств.

Александр Поляков и Владимир Доценко показали трехмерное представление модели Изинга в терминах невзаимодействующих фермионных струн . Эта конструкция была проведена на решетке, и континуальный предел, предположительно описывающий критическую точку, неизвестен.

Результат Истраила о NP-полноте для общей модели спинового стекла [ править ]

В 2000 году Сорин Истраил из Sandia National Laboratories доказал, что неплоская модель Изинга является NP-полной . ^[17] То есть, предполагая, что P ≠ NP, общая модель Изинга со спиновым стеклом точно разрешима только в плоских случаях, поэтому решения для размерностей выше двух также неразрешимы. Результат Истраила касается только модели спинового стекла с пространственно изменяющимися связями и ничего не говорит об исходной ферромагнитной модели Изинга с равными связями.

Фазовый переход [ править ]

В трех измерениях, как в двух измерениях, аргумент Пайерла показывает, что существует фазовый переход. Строго известно, что этот фазовый переход является непрерывным (в том смысле, что длина корреляции расходится, а намагниченность стремится к нулю) и называется критической точкой . Считается, что критическая точка может быть описана фиксированной точкой ренормгруппы преобразования ренормгруппы Вильсона-Каданова. Также считается, что фазовый переход может быть описан трехмерной унитарной конформной теорией поля, о чем свидетельствуют моделирование методом Монте-Карло ^{[18] [19]} и теоретические аргументы. ^[20]Хотя строгое установление картины ренормгруппы или конформной теории поля является открытой проблемой, физики-теоретики использовали эти два метода для вычисления критических показателей фазового перехода, которые согласуются с экспериментами и моделированием Монте-Карло.

Эта конформная теория поля, описывающая трехмерную критическую точку Изинга, активно исследуется с использованием метода конформного бутстрапа . ^{[21] [22] [23] [24]} Этот метод в настоящее время дает наиболее точную информацию о структуре критической теории (см. Критические показатели Изинга ).

Четыре измерения и выше [ править ]

В любом измерении модель Изинга может быть продуктивно описана локально изменяющимся средним полем. Поле определяется как среднее значение спина в большой области, но не настолько большое, чтобы охватить всю систему. Поле по-прежнему медленно меняется от точки к точке по мере перемещения усредняющего объема. Эти флуктуации поля описываются континуальной теорией поля в пределе бесконечной системы.

Местное поле [ править ]

Поле H определяется как длинноволновые компоненты Фурье спиновой переменной в том пределе, что длины волн велики. Есть много способов получить среднее значение длинных волн, в зависимости от деталей того, как отсекаются высокие длины волн. Детали не слишком важны, так как цель состоит в том, чтобы найти статистику H, а не спинов. После того , как корреляции в H известны, междугородние корреляции между спинами будут пропорциональны дальними корреляции в H .

Для любого значения медленно меняющегося поля H свободная энергия (логарифмическая вероятность) является локальной аналитической функцией H и ее градиентов. Свободная энергия F ( H ) определяется как сумма по всем конфигурациям Изинга, которые согласуются с длинноволновым полем. Поскольку H является грубым описанием, существует множество конфигураций Изинга, согласующихся с каждым значением H , при условии, что для сопоставления не требуется слишком большой точности.

Поскольку допустимый диапазон значений спина в любой области зависит только от значений H в пределах одного усредняющего объема из этой области, вклад свободной энергии от каждой области зависит только от значения H там и в соседних областях. Таким образом, F - это сумма по всем областям локального вклада, который зависит только от H и его производных.

По симметрии в H вклад вносят только четные степени. Благодаря симметрии отражения на квадратной решетке вклад вносят только четные степени градиентов. Записываем первые несколько членов в свободной энергии:

${\displaystyle \beta F=\int d^{d}x\left[AH^{2}+\sum _{i=1}^{d}Z_{i}(\partial _{i}H)^{2}+\lambda H^{4}+\cdots \right].}$

На квадратной решетке симметрии гарантируют, что все коэффициенты Z _i производных членов равны. Но даже для модели Изинга анизотропной, где Z _I ' ы в разных направлениях различны, флуктуации в Н являются изотропными в системе координат , в которой различные направления пространства масштабируется.

На любой решетке производный член

${\displaystyle Z_{ij}\,\partial _{i}H\,\partial _{j}H}$

является положительно определенной квадратичной формой и может использоваться для определения метрики пространства. Таким образом, любая трансляционно-инвариантная модель Изинга инвариантна относительно вращения на больших расстояниях в координатах, которые делают Z _ij = δ _ij . Вращательная симметрия возникает самопроизвольно на больших расстояниях только потому, что членов низшего порядка не так много. В мультикритических точках более высокого порядка эта случайная симметрия теряется.

Поскольку β F является функцией медленно меняющегося в пространстве поля, вероятность любой конфигурации поля равна:

${\displaystyle P(H)\propto e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}.}$

Среднее статистическое значение любого произведения H членов равно:

${\displaystyle \langle H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n})\rangle ={\int DH\,P(H)H(x_{1})H(x_{2})\cdots H(x_{n}) \over \int DH\,P(H)}.}$

Знаменатель в этом выражении называется статистической суммой , а интеграл по всем возможным значениям H является статистическим интегралом по путям. Он интегрирует exp (β F ) по всем значениям H , по всем длинноволновым компонентам Фурье спинов. F - евклидов лагранжиан для поля H , единственная разница между этим и квантовой теорией поля скалярного поля состоит в том, что все производные члены входят с положительным знаком, и нет общего множителя i .

${\displaystyle Z=\int DH\,e^{-\int d^{d}x\left[AH^{2}+Z|\nabla H|^{2}+\lambda H^{4}\right]}}$

Размерный анализ [ править ]

Форму F можно использовать для прогнозирования наиболее важных терминов с помощью анализа размеров. Размерный анализ не совсем прост, потому что необходимо определить масштаб H.

В общем случае выбрать закон масштабирования для H легко, так как единственный член, который вносит вклад, - это первый член,

${\displaystyle F=\int d^{d}x\,AH^{2}.}$

Этот термин является наиболее важным, но он дает тривиальное поведение. Эта форма свободной энергии является ультралокальной, что означает, что она представляет собой сумму независимого вклада каждой точки. Это похоже на переворот спина в одномерной модели Изинга. Каждое значение H в любой точке колеблется полностью независимо от значения в любой другой точке.

Масштаб поля можно переопределить, чтобы поглотить коэффициент A , и тогда становится ясно, что A определяет только общий масштаб колебаний. Ультралокальная модель описывает длинноволновое высокотемпературное поведение модели Изинга, поскольку в этом пределе средние флуктуационные значения не зависят от точки к точке.

Чтобы найти критическую точку, понизьте температуру. С понижением температуры колебания H увеличиваются, потому что колебания более коррелированы. Это означает, что среднее значение большого количества спинов не становится маленьким так быстро, как если бы они были некоррелированными, потому что они имеют тенденцию быть одинаковыми. Это соответствует уменьшению А в системе единиц , где Н не поглощает A . Фазовый переход может произойти только тогда, когда вспомогательные члены в F могут внести свой вклад, но поскольку первый член доминирует на больших расстояниях, коэффициент A должен быть настроен на ноль. Это расположение критической точки:

${\displaystyle F=\int d^{d}x\left[tH^{2}+\lambda H^{4}+Z(\nabla H)^{2}\right],}$

где t - параметр, переходящий через нуль при переходе.

Поскольку t обращается в нуль, фиксация масштаба поля с помощью этого члена приводит к взрыву других членов. Если t является небольшим, масштаб поля может быть установлен так, чтобы фиксировать коэффициент члена H ⁴ или члена (∇ H ) ² равным 1.

Намагничивание [ править ]

Чтобы найти намагниченность, зафиксируйте масштаб H так, чтобы λ было равно единице. Теперь поле H имеет размерность - d / 4, так что H ⁴ d ^d x безразмерно, а Z имеет размерность 2 -  d / 2. В этом масштабировании градиентный член важен только на больших расстояниях для d ≤ 4. Свыше четырех измерений, на длинных волнах, общая намагниченность зависит только от ультралокальных членов.

Есть один тонкий момент. Поле H статистически колеблется, и эти колебания могут сместить нулевую точку t . Чтобы увидеть, как это сделать, рассмотрим разделение H ⁴ следующим образом:

${\displaystyle H(x)^{4}=-\langle H(x)^{2}\rangle ^{2}+2\langle H(x)^{2}\rangle H(x)^{2}+\left(H(x)^{2}-\langle H(x)^{2}\rangle \right)^{2}}$

Первый член является постоянным вкладом в свободную энергию, и им можно пренебречь. Второй член - это конечный сдвиг по t . Третий член - это величина, которая масштабируется до нуля на больших расстояниях. Это означает, что при анализе масштабирования t с помощью анализа размерностей важно смещение t . Исторически это было очень запутанным, потому что сдвиг по t при любом конечном λ конечно, но вблизи перехода t очень мал. Дробное изменение t очень велико, и в единицах, где t фиксировано, сдвиг выглядит бесконечным.

The magnetization is at the minimum of the free energy, and this is an analytic equation. In terms of the shifted t,

${\displaystyle {\partial \over \partial H}\left(tH^{2}+\lambda H^{4}\right)=2tH+4\lambda H^{3}=0}$

For t < 0, the minima are at H proportional to the square root of t. So Landau's catastrophe argument is correct in dimensions larger than 5. The magnetization exponent in dimensions higher than 5 is equal to the mean field value.

When t is negative, the fluctuations about the new minimum are described by a new positive quadratic coefficient. Since this term always dominates, at temperatures below the transition the fluctuations again become ultralocal at long distances.

Fluctuations[edit]

Чтобы найти поведение флуктуаций, измените масштаб поля, чтобы зафиксировать член градиента. Тогда масштабный размер поля по длине равен 1 -  d / 2. Теперь поле имеет постоянные квадратичные пространственные флуктуации при всех температурах. Масштабный размер члена H ² равен 2, а масштабный размер члена H ⁴ равен 4 -  d . Для d <4 член H ⁴ имеет положительный масштаб. В размерах больше 4 он имеет отрицательные размеры шкалы.

Это существенная разница. В размерах, превышающих 4, фиксирование масштаба члена градиента означает, что коэффициент члена H ⁴ все менее и менее важен на более длинных и длинных волнах. Измерение, при котором неквадратичные вклады начинают давать вклад, известно как критическое измерение. В модели Изинга критический размер равен 4.

В размерах выше 4 критические флуктуации описываются чисто квадратичной свободной энергией на длинных волнах. Это означает, что все корреляционные функции вычисляются как средние по Гауссу :

${\displaystyle \langle S(x)S(y)\rangle \propto \langle H(x)H(y)\rangle =G(x-y)=\int {dk \over (2\pi )^{d}}{e^{ik(x-y)} \over k^{2}+t}}$

действительно, когда x  -  y велико. Функция G ( x  -  y ) является аналитическим продолжением пропагатора Фейнмана в мнимое время , поскольку свободная энергия является аналитическим продолжением действия квантового поля для свободного скалярного поля. Для размерностей 5 и выше все остальные корреляционные функции на больших расстояниях определяются теоремой Вика . Все нечетные моменты равны нулю по симметрии ±. Четные моменты - это сумма по всему разбиению на пары произведения G ( x  -  y ) для каждой пары.

${\displaystyle \langle S(x_{1})S(x_{2})\cdots S(x_{2n})\rangle =C^{n}\sum G(x_{i1},x_{j1})G(x_{i2},x_{j2})\ldots G(x_{in},x_{jn})}$

где C - коэффициент пропорциональности. Так что знания G достаточно. Он определяет все многоточечные корреляции поля.

Критическая двухточечная функция [ править ]

Чтобы определить форму G , учтите, что поля в интеграле по путям подчиняются классическим уравнениям движения, полученным путем изменения свободной энергии:

${\displaystyle {\begin{aligned}&&\left(-\nabla _{x}^{2}+t\right)\langle H(x)H(y)\rangle &=0\\\rightarrow {}&&\nabla ^{2}G(x)+tG(x)&=0\end{aligned}}}$

Это справедливо только в несовпадающих точках, поскольку корреляции H сингулярны, когда точки сталкиваются. H подчиняется классическим уравнениям движения по той же причине, по которой им подчиняются квантово-механические операторы - его флуктуации определяются интегралом по путям.

В критической точке t = 0 это уравнение Лапласа , которое может быть решено методом Гаусса из электростатики. Определим аналог электрического поля как

${\displaystyle E=\nabla G}$

Вдали от происхождения:

${\displaystyle \nabla \cdot E=0}$

так как G сферически симметричен в д измерениях, а Е представляет собой радиальный градиент G . Интегрируя по большой d  - 1 мерной сфере,

${\displaystyle \int d^{d-1}SE_{r}=\mathrm {constant} }$

Это дает:

${\displaystyle E={C \over r^{d-1}}}$

и G можно найти интегрированием по r .

${\displaystyle G(r)={C \over r^{d-2}}}$

Константа C фиксирует общую нормализацию поля.

G ( r ) вдали от критической точки [ править ]

Когда t не равно нулю, так что H колеблется при температуре, немного отличной от критической, двухточечная функция затухает на больших расстояниях. Уравнение, которому он подчиняется, изменяется:

${\displaystyle \nabla ^{2}G+tG=0\to {1 \over r^{d-1}}{d \over dr}\left(r^{d-1}{dG \over dr}\right)+tG(r)=0}$

При малых r по сравнению с решение расходится точно так же, как и в критическом случае, но поведение на больших расстояниях изменяется.${\displaystyle {\sqrt {t}}}$

Чтобы понять, как это сделать, удобно представить двухточечную функцию в виде интеграла, введенного Швингером в контексте квантовой теории поля:

${\displaystyle G(x)=\int d\tau {1 \over \left({\sqrt {2\pi \tau }}\right)^{d}}e^{-{x^{2} \over 4\tau }-t\tau }}$

Это G , поскольку преобразование Фурье этого интеграла несложно. Каждый фиксированный вклад τ является гауссианом по x , чье преобразование Фурье представляет собой другой гауссиан обратной ширины по k .

${\displaystyle G(k)=\int d\tau e^{-(k^{2}-t)\tau }={1 \over k^{2}-t}}$

Это обратный оператор ²  -  t в k- пространстве, действующий на единичную функцию в k- пространстве, который является преобразованием Фурье источника дельта-функции, локализованного в начале координат. Таким образом, он удовлетворяет тому же уравнению, что и G, с теми же граничными условиями, которые определяют силу расхождения в 0.

Интерпретация интегрального представления по собственному времени τ состоит в том, что двухточечная функция является суммой по всем путям случайного блуждания, которые связывают позицию 0 с позицией x за время τ. Плотность этих путей во время τ в позиции x является гауссовой, но случайные блуждающие люди исчезают с постоянной скоростью, пропорциональной tтак что гауссиан в момент времени τ уменьшается по высоте в множитель, который неуклонно убывает по экспоненте. В контексте квантовой теории поля это пути релятивистски локализованных квантов в формализме, который следует путям отдельных частиц. В чисто статистическом контексте эти пути все еще появляются в математическом соответствии с квантовыми полями, но их интерпретация носит менее физический характер.

Интегральное представление сразу показывает, что G ( r ) положительна, поскольку она представлена ​​как взвешенная сумма положительных гауссианов. Он также дает скорость убывания при большом r, поскольку собственное время для случайного блуждания, чтобы достичь положения τ, равно r ^2, и за это время гауссова высота уменьшилась на . Следовательно, коэффициент затухания, подходящий для положения r, равен .${\displaystyle e^{-t\tau }=e^{-tr^{2}}}$${\displaystyle e^{-{\sqrt {t}}r}}$

Эвристическое приближение для G ( r ):

${\displaystyle G(r)\approx {e^{-{\sqrt {t}}r} \over r^{d-2}}}$

Это не точная форма, за исключением трех измерений, где взаимодействие между путями становится важным. Точные формы в больших размерностях являются вариантами функций Бесселя .

Интерпретация полимера Симанзика [ править ]

Интерпретация корреляций как квантов фиксированного размера, перемещающихся по случайным блужданиям, дает возможность понять, почему критический размер взаимодействия H ⁴ равен 4. Термин H ⁴ можно рассматривать как квадрат плотности случайных блуждающих в любой точке. точка. Чтобы такой член изменил корреляционные функции конечного порядка, которые вводят лишь несколько новых случайных блужданий в флуктуирующую среду, новые пути должны пересекаться. В противном случае, квадрат плотности просто пропорциональна плотности , и только сдвигает Н ² коэффициент константой. Но вероятность пересечения случайных блужданий зависит от размерности, а случайные блуждания в размерности выше 4 не пересекаются.

Фрактальная размерность обычного случайного блуждания равно 2. количество шариков размера ε требуется для покрытия увеличения пути, е ^-2 . Два объекта фрактальной размерности 2 будут пересекаться с разумной вероятностью только в пространстве размерности 4 или меньше, то же самое условие, что и для общей пары плоскостей. Курт Симанзик утверждал, что это означает, что критические флуктуации Изинга в размерах выше 4 должны описываться свободным полем. Этот аргумент со временем стал математическим доказательством.

4 -  ε- измерения - ренормализационная группа [ править ]

Модель Изинга в четырех измерениях описывается флуктуирующим полем, но теперь флуктуации взаимодействуют. В полимерном представлении пересечения случайных блужданий минимально возможны. В квантовом продолжении поля кванты взаимодействуют.

Отрицательный логарифм вероятности любой конфигурации поля H - это функция свободной энергии

${\displaystyle F=\int d^{4}x\left[{Z \over 2}|\nabla H|^{2}+{t \over 2}H^{2}+{\lambda \over 4!}H^{4}\right]\,}$

Числовые факторы призваны упростить уравнения движения. Цель состоит в том, чтобы понять статистические колебания. Как и любой другой неквадратичный интеграл по путям, корреляционные функции имеют расширение Фейнмана как частицы, путешествующие по случайным блужданиям, расщепляющиеся и воссоединяющиеся в вершинах. Сила взаимодействия параметризуется классически безразмерной величиной λ.

Хотя анализ размеров показывает, что и λ, и Z безразмерны, это вводит в заблуждение. Длинноволновые статистические флуктуации не совсем масштабно инвариантны и становятся масштабно-инвариантными только тогда, когда сила взаимодействия обращается в ноль.

Причина в том, что отсечка используется для определения H , а отсечка определяет самую короткую длину волны. Колебания H на длинах волн вблизи отсечки могут влиять на более длинноволновые флуктуации. Если система масштабируется вместе с отсечкой, параметры будут масштабироваться с помощью анализа размеров, но тогда сравнение параметров не будет сравнивать поведение, потому что масштабированная система имеет больше режимов. Если масштабировать систему таким образом, чтобы отсечка на короткой длине волны оставалась фиксированной, то длинноволновые флуктуации изменяются.

Перенормировка Вильсона [ править ]

Быстрый эвристический способ изучения масштабирования - отсечь волновые числа H в точке λ. Фурье-моды H с волновыми числами больше λ не могут колебаться. Изменение масштаба, которое делает всю систему меньше, увеличивает все волновые числа и перемещает некоторые колебания выше границы отсечки.

Чтобы восстановить старое обрезание, выполните частичное интегрирование по всем волновым числам, которые раньше были запрещены, но теперь колеблются. В диаграммах Фейнмана интегрирование по флуктуирующей моде с волновым числом k связывает линии, несущие импульс k, в корреляционную функцию попарно с коэффициентом обратного пропагатора.

При изменении масштаба, когда система уменьшается в раз (1+ b ), коэффициент t увеличивается в раз (1+ b ) ² при анализе размеров. Изменение t для бесконечно малого b составляет 2 bt . Два других коэффициента безразмерны и совершенно не меняются.

Эффект самого низкого порядка интегрирования можно рассчитать из уравнений движения:

${\displaystyle \nabla ^{2}H+tH=-{\lambda \over 6}H^{3}.}$

Это уравнение является тождеством любой корреляционной функции вдали от других вставок. После интегрирования мод с Λ < k <(1+ b ) Λ это будет немного другая идентичность.

Поскольку форма уравнения будет сохранена, чтобы найти изменение коэффициентов, достаточно проанализировать изменение члена H ³ . В расширении диаграммы Фейнмана член H ³ в корреляционной функции внутри корреляции имеет три свисающие линии. Соединение двух из них при большом волновом числе k дает изменение H ³ с одной оборванной линией, пропорциональное H :

${\displaystyle \delta H^{3}=3H\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over (k^{2}+t)}}$

Коэффициент 3 исходит из того факта, что цикл можно замкнуть тремя разными способами.

Интеграл следует разбить на две части:

${\displaystyle \int dk{1 \over k^{2}}-t\int dk{1 \over k^{2}(k^{2}+t)}=A\Lambda ^{2}b+Bbt}$

Первая часть не пропорциональна t , и в уравнении движения она может быть поглощена постоянным смещением t . Это вызвано тем, что член H ³ имеет линейную часть. Только второй член, который изменяется от t до t , вносит вклад в критическое масштабирование.

Этот новый линейный член прибавляется к первому члену в левой части, изменяя t на величину, пропорциональную t . Общее изменение t - это сумма члена из анализа размеров и второго члена из продуктов оператора :

${\displaystyle \delta t=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)bt}$

Таким образом, t изменяется в масштабе, но его размер аномален , он изменяется на величину, пропорциональную значению λ.

Но λ тоже меняется. Изменение λ требует учета расщепления линий и их быстрого повторного соединения. Процесс самого низкого порядка - это процесс, при котором одна из трех линий из H ³ разделяется на три, которые быстро соединяются с одной из других линий из той же вершины. Поправка к вершине равна

${\displaystyle \delta \lambda =-{3\lambda ^{2} \over 2}\int _{k}dk{1 \over (k^{2}+t)^{2}}=-{3\lambda ^{2} \over 2}b}$

Числовой коэффициент в три раза больше, потому что есть дополнительный коэффициент в три при выборе того, какую из трех новых линий свернуть. Так

${\displaystyle \delta \lambda =-3B\lambda ^{2}b}$

Эти два уравнения вместе определяют уравнения ренормгруппы в четырех измерениях:

${\displaystyle {\begin{aligned}{dt \over t}&=\left(2-{B\lambda \over 2}\right)b\\{d\lambda \over \lambda }&={-3B\lambda \over 2}b\end{aligned}}}$

Коэффициент B определяется по формуле

${\displaystyle Bb=\int _{\Lambda <|k|<(1+b)\Lambda }{d^{4}k \over (2\pi )^{4}}{1 \over k^{4}}}$

и пропорционален площади трехмерной сферы радиуса λ, умноженной на ширину области интегрирования b Λ, деленную на Λ ⁴ :

${\displaystyle B=(2\pi ^{2}\Lambda ^{3}){1 \over (2\pi )^{4}}{b\Lambda }{1 \over b\Lambda ^{4}}={1 \over 8\pi ^{2}}}$

В других измерениях постоянная B изменяется, но такая же постоянная появляется как в потоке t, так и в потоке связи. Причина в том, что производная по t замкнутого контура с одной вершиной является замкнутым контуром с двумя вершинами. Это означает, что единственная разница между масштабированием связи и t - это комбинаторные факторы от объединения и разделения.

Фиксированная точка Вильсона – Фишера [ править ]

Изучение трех измерений, исходя из четырехмерной теории, должно быть возможным, потому что вероятности пересечения случайных блужданий непрерывно зависят от размерности пространства. На языке графов Фейнмана связь не сильно меняется при изменении размерности.

Процесс отхода от измерения 4 не может быть полностью определен без рецепта, как это делать. Рецепт четко обозначен только на диаграммах. Он заменяет представление Швингера в размерности 4 на представление Швингера в размерности 4 - ε, определяемое следующим образом:

${\displaystyle G(x-y)=\int d\tau {1 \over t^{d \over 2}}e^{{x^{2} \over 2\tau }+t\tau }}$

В размерности 4 - ε соединение λ имеет положительный масштабный размер ε, и его необходимо добавить к потоку.

${\displaystyle {\begin{aligned}{d\lambda \over \lambda }&=\varepsilon -3B\lambda \\{dt \over t}&=2-\lambda B\end{aligned}}}$

Коэффициент B зависит от размера, но он отменяется. Фиксированная точка для λ больше не равна нулю, а равна:

${\displaystyle \lambda ={\varepsilon \over 3B}}$

где масштабные размеры t изменяются на величину λ B = ε / 3.

Показатель намагниченности изменяется пропорционально:

${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\left(1-{\varepsilon \over 3}\right)}$

что составляет 0,333 в трех измерениях (ε = 1) и 0,166 в двух измерениях (ε = 2). Это не так уж и далеко от измеренной экспоненты 0,308 и двумерной экспоненты Онзагера 0,125.

Бесконечные размеры - среднее поле [ править ]

Поведение модели Изинга на полносвязном графе можно полностью понять с помощью теории среднего поля . Этот тип описания подходит для квадратных решеток очень большой размерности, потому что тогда каждый узел имеет очень большое количество соседей.

The idea is that if each spin is connected to a large number of spins, only the average ratio of + spins to − spins is important, since the fluctuations about this mean will be small. The mean field H is the average fraction of spins which are + minus the average fraction of spins which are −. The energy cost of flipping a single spin in the mean field H is ±2JNH. It is convenient to redefine J to absorb the factor N, so that the limit N → ∞ is smooth. In terms of the new J, the energy cost for flipping a spin is ±2JH.

Эта стоимость энергии дает отношение вероятности p того, что спин равен +, к вероятности 1− p того, что спин равен -. Это соотношение и есть фактор Больцмана:

${\displaystyle {p \over 1-p}=e^{2\beta JH}}$

так что

${\displaystyle p={1 \over 1+e^{-2\beta JH}}}$

Среднее значение спина задается путем усреднения 1 и -1 с весами р и 1 -  р , так что среднее значение равно 2 р  - 1. Но это среднее является одинаковым для всех спинов, и, следовательно , равен H .

${\displaystyle H=2p-1={1-e^{-2\beta JH} \over 1+e^{-2\beta JH}}=\tanh(\beta JH)}$

Решениями этого уравнения являются возможные согласованные средние поля. Для β J <1 существует только одно решение при H = 0. Для больших значений β есть три решения, и решение при H = 0 неустойчиво.

Нестабильность означает, что небольшое увеличение среднего поля выше нуля дает статистическую долю спинов, которая равна +, которая больше, чем значение среднего поля. Таким образом, среднее поле, которое колеблется выше нуля, будет создавать еще большее среднее поле и в конечном итоге установится на стабильном решении. Это означает , что при температурах ниже критической величины & beta ; J = 1 среднего поля изинговского модели претерпевает фазовый переход в пределе больших N .

Above the critical temperature, fluctuations in H are damped because the mean field restores the fluctuation to zero field. Below the critical temperature, the mean field is driven to a new equilibrium value, which is either the positive H or negative H solution to the equation.

For βJ = 1 + ε, just below the critical temperature, the value of H can be calculated from the Taylor expansion of the hyperbolic tangent:

${\displaystyle H=\tanh(\beta JH)=(1+\varepsilon )H-{(1+\varepsilon )^{3}H^{3} \over 3}}$

Dividing by H to discard the unstable solution at H = 0, the stable solutions are:

${\displaystyle H={\sqrt {3\varepsilon }}}$

Спонтанная намагниченность H растет вблизи критической точки как квадратный корень из изменения температуры. Это верно всякий раз, когда H можно вычислить из решения аналитического уравнения, которое является симметричным между положительными и отрицательными значениями, что привело Ландау к подозрению, что все фазовые переходы типа Изинга во всех измерениях должны следовать этому закону.

Показатель среднего поля универсален, поскольку изменение характера решений аналитических уравнений всегда описывается катастрофами в ряду Тейлора, который является полиномиальным уравнением. По симметрии уравнение для H должно иметь только нечетные степени H в правой части. Изменение β должно только плавно изменять коэффициенты. Переход происходит, когда коэффициент H в правой части равен 1. Рядом с переходом:

${\displaystyle H={\partial (\beta F) \over \partial h}=(1+A\varepsilon )H+BH^{3}+\cdots }$

Какими бы ни были A и B , пока ни один из них не настроен на ноль, спонтанная намагниченность будет расти как квадратный корень из ε. Этот аргумент может быть неверным только в том случае, если свободная энергия β F не является аналитической или необщей в том точном β, где происходит переход.

Но спонтанная намагниченность в магнитных системах и плотность газов вблизи критической точки измеряются очень точно. Плотность и намагниченность в трех измерениях имеют одинаковую степенную зависимость от температуры вблизи критической точки, но экспериментальное поведение выглядит следующим образом:

${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.308}}$

Показатель степени также универсален, поскольку в модели Изинга он такой же, как в экспериментальном магните и газе, но не равен среднему значению поля. Это было большим сюрпризом.

Это также верно в двух измерениях, где

${\displaystyle H\propto \varepsilon ^{0.125}}$

Но тут это не стало сюрпризом, потому что это предсказал Онсагер .

Низкие размеры - блокировать вращения [ править ]

В трех измерениях пертурбативный ряд из теории поля представляет собой разложение константы связи λ, которая не является особенно малой. Эффективный размер связи в фиксированной точке на единицу превышает коэффициент разветвления путей частиц, поэтому параметр расширения составляет примерно 1/3. В двух измерениях параметр пертурбативного расширения равен 2/3.

Но перенормировку можно продуктивно применять и непосредственно к спинам, не переходя к среднему полю. Исторически этот подход появился благодаря Лео Каданову и предшествовал пертурбативному разложению ε.

Идея состоит в том, чтобы интегрировать спины решетки итеративно, создавая поток в связях. Но теперь связи - это коэффициенты энергии решетки. Тот факт, что существует непрерывное описание, гарантирует, что эта итерация будет сходиться к фиксированной точке, когда температура настроена на критичность.

Перенормировка Мигдала – Каданова [ править ]

Напишите двумерную модель Изинга с бесконечным числом возможных взаимодействий более высокого порядка. Чтобы сохранить симметрию отражения вращения, только четные степени вносят вклад:

${\displaystyle E=\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}+\sum J_{ijkl}S_{i}S_{j}S_{k}S_{l}\ldots .}$

Из-за трансляционной инвариантности J _ij является только функцией ij. По случайной вращательной симметрии при больших i и j его размер зависит только от величины двумерного вектора i  -  j . Аналогичным образом ограничиваются и коэффициенты более высокого порядка.

Итерация перенормировки делит решетку на две части - четные спины и нечетные спины. Нечетные вращения живут на позициях решетки нечетной шахматной доски, а четные - на четной шахматной доске. Когда спины индексируются позициями ( I , J ), нечетные сайты являются те , с I  +  J нечетными и четными сайтами тех с я  +  J , даже, и даже сайты подключены только к нечетным сайтам.

The two possible values of the odd spins will be integrated out, by summing over both possible values. This will produce a new free energy function for the remaining even spins, with new adjusted couplings. The even spins are again in a lattice, with axes tilted at 45 degrees to the old ones. Unrotating the system restores the old configuration, but with new parameters. These parameters describe the interaction between spins at distances ${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {2}}}$ larger.

Начиная с модели Изинга и повторяя эту итерацию, в конечном итоге меняются все связи. Когда температура выше критической, связи сходятся к нулю, поскольку спины на больших расстояниях некоррелированы. Но когда температура критическая, будут ненулевые коэффициенты, связывающие спины на всех порядках. Поток можно приблизительно оценить, рассматривая только первые несколько членов. Этот усеченный поток будет давать все лучшие и лучшие приближения к критическим показателям, когда включается больше членов.

Самое простое приближение - оставить только обычный член J и отбросить все остальное. Это создаст поток в J , аналогичный потоку в t в фиксированной точке λ в разложении ε.

Чтобы найти изменение в J , рассмотрим четырех соседей нечетного узла. Это единственные спины, которые с ним взаимодействуют. Мультипликативный вклад в статистическую сумму от суммы двух значений спина в нечетном узле равен:

${\displaystyle e^{J(N_{+}-N_{-})}+e^{J(N_{-}-N_{+})}=2\cosh(J[N_{+}-N_{-}])}$

где N _± - количество соседей, являющихся ±. Пренебрегая множителем 2, вклад свободной энергии от этого нечетного узла равен:

${\displaystyle F=\log(\cosh[J(N_{+}-N_{-})]).}$

Это включает взаимодействия ближайших соседей и следующих ближайших соседей, как и ожидалось, но также и четырехспиновое взаимодействие, которое следует отбросить. Чтобы сократить до взаимодействий ближайших соседей, учтите, что разница в энергии между всеми спинами с одинаковыми и равными числами + и - составляет:

${\displaystyle \Delta F=\ln(\cosh[4J]).}$

Для взаимодействий ближайших соседей разница в энергии между всеми равными спинами и спинами, расположенными в шахматном порядке, составляет 8 Дж . Разница в энергии между всеми спинами равная и не смещенная, но чистый нулевой спин составляет 4 Дж . Игнорируя четырехспиновые взаимодействия, разумным усечением является среднее значение этих двух энергий или 6 Дж . Поскольку каждая ссылка будет способствовать двум нечетным спинам, правильное значение для сравнения с предыдущим будет вдвое меньше:

${\displaystyle 3J'=\ln(\cosh[4J]).}$

При малых J это быстро переходит в нулевую связь. Подача большого J к большим муфтам. Показатель намагниченности определяется из угла наклона уравнения в фиксированной точке.

Варианты этого метода дают хорошие численные приближения для критических показателей, когда включается много членов как в двух, так и в трех измерениях.

Приложения [ править ]

Магнетизм [ править ]

Первоначальной мотивацией для создания модели было явление ферромагнетизма . Железо магнитное; будучи намагниченным, он остается намагниченным в течение длительного времени по сравнению с любым атомным временем.

В 19 веке считалось, что магнитные поля возникают из-за токов в материи, и Ампер постулировал, что постоянные магниты вызываются постоянными атомными токами. Однако движение классических заряженных частиц не могло объяснить постоянные токи, как показал Лармор . Чтобы иметь ферромагнетизм, атомы должны иметь постоянные магнитные моменты, которые не связаны с движением классических зарядов.

Как только спин электрона был обнаружен, стало ясно, что магнетизм должен быть вызван большим количеством электронов, вращающихся в одном направлении. Было естественным спросить, откуда все электроны знают, в каком направлении вращаться, потому что электроны на одной стороне магнита не взаимодействуют напрямую с электронами на другой стороне. Они могут влиять только на своих соседей. Модель Изинга была разработана, чтобы исследовать, можно ли заставить большую часть электронов вращаться в одном направлении, используя только локальные силы.

Решетчатый газ [ править ]

Модель Изинга можно переосмыслить как статистическую модель движения атомов. Поскольку кинетическая энергия зависит только от количества движения, а не от положения, в то время как статистика положений зависит только от потенциальной энергии, термодинамика газа зависит только от потенциальной энергии для каждой конфигурации атомов.

Грубая модель состоит в том, чтобы сделать пространство-время решеткой и представить, что каждая позиция либо содержит атом, либо его нет. Пространство конфигурации - это пространство независимых битов B _i , где каждый бит равен 0 или 1 в зависимости от того, занята позиция или нет. Притягивающее взаимодействие снижает энергию двух соседних атомов. Если притяжение происходит только между ближайшими соседями, энергия уменьшается на −4 JB _i B _j для каждой занятой соседней пары.

Плотность атомов можно контролировать, добавляя химический потенциал , который представляет собой мультипликативную вероятностную стоимость добавления еще одного атома. Мультипликативный коэффициент вероятности может быть интерпретирован как аддитивный член в логарифме - энергия. Дополнительная энергия конфигурации с N атомами изменяется на мкН . Вероятностная стоимость еще одного атома - множитель exp (- βμ ).

Итак, энергия решеточного газа равна:

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }4JB_{i}B_{j}+\sum _{i}\mu B_{i}}$

Переписывая биты по спинам, ${\displaystyle B_{i}=(S_{i}+1)/2.}$

${\displaystyle E=-{\frac {1}{2}}\sum _{\langle i,j\rangle }JS_{i}S_{j}-{\frac {1}{2}}\sum _{i}(4J-\mu )S_{i}}$

Для решеток, в которых каждый узел имеет равное количество соседей, это модель Изинга с магнитным полем h = ( zJ  -  μ ) / 2, где z - количество соседей.

В биологических системах модифицированные версии модели решеточного газа использовались для понимания диапазона связывающего поведения. К ним относятся связывание лигандов с рецепторами на поверхности клетки ^[25], связывание белков хемотаксиса с мотором жгутика ^[26] и конденсация ДНК. ^[27]

Применение к нейробиологии [ править ]

Статистическое моделирование активности нейронов мозга. Каждый нейрон в любой момент либо активен +, либо неактивен -. Активные нейроны - это те, которые посылают потенциал действия по аксону в любое заданное временное окно, а неактивные - те, которые этого не делают. Поскольку нейронная активность в любой момент времени моделируется независимыми битами, Хопфилд предположил, что динамическая модель Изинга обеспечит первое приближение к нейронной сети, способной к обучению . ^[28]

Следуя общему подходу Джейнса ^{[29] [30],} недавней интерпретации Шнейдмана, Берри, Сегева и Биалека ^[31] , модель Изинга полезна для любой модели нейронной функции, потому что статистическая модель нейронной активности должна выбираться по принципу максимальной энтропии . Учитывая набор нейронов, статистическая модель, которая может воспроизвести среднюю частоту срабатывания каждого нейрона, вводит множитель Лагранжа для каждого нейрона:

${\displaystyle E=-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$

Но активность каждого нейрона в этой модели статистически независима. Чтобы учесть парные корреляции, когда один нейрон имеет тенденцию срабатывать (или не срабатывать) вместе с другим, введите попарные множители лагранжа:

${\displaystyle E=-{\tfrac {1}{2}}\sum _{ij}J_{ij}S_{i}S_{j}-\sum _{i}h_{i}S_{i}}$

куда ${\displaystyle J_{ij}}$ are not restricted to neighbors. Note that this generalization of Ising model is sometimes called the quadratic exponential binary distribution in statistics. This energy function only introduces probability biases for a spin having a value and for a pair of spins having the same value. Higher order correlations are unconstrained by the multipliers. An activity pattern sampled from this distribution requires the largest number of bits to store in a computer, in the most efficient coding scheme imaginable, as compared with any other distribution with the same average activity and pairwise correlations. This means that Ising models are relevant to any system which is described by bits which are as random as possible, with constraints on the pairwise correlations and the average number of 1s, which frequently occurs in both the physical and social sciences.

Спиновые очки [ править ]

С помощью модели Изинга так называемые спиновые стекла также могут быть описаны обычным гамильтонианом, в котором S -переменные описывают спины Изинга, а J _{i, k} взяты из случайного распределения. Для спиновых стекол типичное распределение выбирает антиферромагнитные связи с вероятностью p и ферромагнитные связи с вероятностью 1 -  p . Эти связи остаются фиксированными или «закаленными» даже при наличии тепловых колебаний. Когда p${\displaystyle {\hat {H}}=-{\frac {1}{2}}\,\sum J_{i,k}\,S_{i}\,S_{k},}$ = 0 имеем исходную модель Изинга. Эта система заслуживает отдельного интереса; в частности, у одного есть «неэргодические» свойства, ведущие к странному релаксационному поведению. Большое внимание также привлекла связанная модель Изинга с разбавлением связей и сайтов, особенно в двух измерениях, что привело к интригующему критическому поведению. ^[32]

Морской лед [ править ]

2D- аппроксимации плавильного пруда могут быть созданы с использованием модели Изинга; Данные топографии морского льда в значительной степени влияют на результаты. Переменная состояния является двоичной для простого двумерного приближения, будь то вода или лед. ^[33]

См. Также [ править ]

Сноски [ править ]