Аньон

Статистическая механика

Термодинамика Кинетическая теория
Статистика частиц Теорема спин-статистики Идентичные частицы Максвелл – Больцманн Бозе-Эйнштейн Ферми – Дирак Парастатистика Статистика Anyonic Статистика косы
Термодинамические ансамбли NVE Microcanonical NVT Canonical µVT Большой канонический НПХ Изоэнтальпийно-изобарический NPT Изотермический-изобарный
Модели Дебай Эйнштейн Я пою Potts
Потенциал Внутренняя энергия Энтальпия Свободная энергия Гельмгольца Свободная энергия Гиббса Большой потенциал / свободная энергия Ландау
Ученые Максвелл Больцман Гиббс Эйнштейн Эренфест фон Нейман Толман Дебай Ферми Bose
v т е

В физике , анионной представляет собой тип квазичастицу , что происходит только в двумерных системах , со свойствами , значительно меньше , чем ограничены двумя типами стандартных элементарных частиц , фермионов и бозонов . ^[1] В общем, операция обмена двумя идентичными частицами , хотя и может вызвать глобальный фазовый сдвиг, не может повлиять на наблюдаемые . Аньоны обычно делятся на абелевы и неабелевы . Абелевы энионы (обнаруженные двумя экспериментами в 2020 г.) ^[1] играют важную роль вдробный квантовый эффект Холла . Неабелевы анионы окончательно не обнаружены, хотя это активная область исследований.

Введение [ править ]

В статистической механики больших систем многих тел подчиняется законам описывается статистикой Максвелла-Больцмана . Квантовая статистика сложнее из-за различного поведения двух разных типов частиц, называемых фермионами и бозонами . Цитата из недавнего простого описания из Университета Аалто : ^[2]

В трехмерном мире, в котором мы живем, есть только два типа частиц: «фермионы», которые отталкиваются друг от друга, и «бозоны», которые любят слипаться. Общеизвестный фермион - электрон, переносящий электричество; а широко известный бозон - это фотон, несущий свет. Однако в двумерном мире существует другой тип частиц, анион, который не ведет себя как фермион или бозон.

В двумерном мире два идентичных эниона меняют свою волновую функцию, когда они меняются местами способами, которые невозможны в трехмерной физике: ^[3]

... в двух измерениях дважды обмен идентичными частицами не равносилен оставлению их в покое. Волновая функция частиц после двукратной перестановки местами может отличаться от исходной; частицы с такой необычной статистикой обмена известны как энионы. Напротив, в трех измерениях дважды обменивающиеся частицы не могут изменить их волновую функцию, оставляя нам только две возможности: бозоны, волновая функция которых остается неизменной даже после однократного обмена, и фермионы, обмен которых меняет только знак их волновой функции.

Этот процесс обмена идентичными частицами или вращения одной частицы вокруг другой называется математическим названием « плетение ». «Сплетение» двух энионов создает историческую запись события, поскольку их измененные волновые функции «подсчитывают» количество кос. ^[4]

Microsoft инвестировала в исследования анионов как потенциальной основы для топологических квантовых вычислений . Любые люди, окружающие друг друга («плетение»), будут кодировать информацию более надежным способом, чем другие потенциальные технологии квантовых вычислений . ^{[5] Однако} большая часть инвестиций в квантовые вычисления основана на методах, которые не используют никого. ^[5]

Абелевы эйоны [ править ]

В квантовой механике и некоторых классических стохастических системах неразличимые частицы обладают тем свойством, что обмен состояниями частицы $i$ с частицей $j$ (символически ) не приводит к измеримо другому состоянию многих тел. $\psi _{i}\leftrightarrow \psi _{j}{\text{ for }}i\neq j$

В квантово-механической системе, например, система с двумя неотличимыми частицами, с частицей 1 в состоянии и частицей 2 в состоянии , имеет состояние в нотации Дирака . Теперь предположим, что мы обмениваемся состояниями двух частиц, тогда состояние системы будет . Эти два состояния не должны иметь измеримую разницу, поэтому они должны быть одним и тем же вектором с точностью до фазового фактора : $\psi _{1}$ $\psi _{2}$ $\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle$ $\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle$

\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .

Здесь - фазовый фактор. В пространстве трех или более измерений фазовый фактор равен или . Таким образом, элементарные частицы являются либо фермионами с фазовым фактором , либо бозонами с фазовым фактором . Эти два типа имеют разное статистическое поведение . Фермионы подчиняются статистике Ферми – Дирака , а бозоны - статистике Бозе – Эйнштейна . В частности, из-за фазового фактора фермионы подчиняются принципу исключения Паули : если два фермиона находятся в одном и том же состоянии, то мы имеем $e^{i\theta }$ $1$ $-1$ $-1$ $1$

\left|\psi \psi \right\rangle =-\left|\psi \psi \right\rangle .

Вектор состояния должен быть равен нулю, что означает, что он не нормализуется, поэтому он нефизичен.

В двумерных системах, однако, квазичастицы можно заметить , что они подчиняются статистике непрерывно в диапазоне от Ферми-Дирака и статистике Бозе-Эйнштейна, как было показано впервые Джон Магне Лейнаас и Ян Мирхейм из университета Осло в 1977 году ^[6] In в случае двух частиц это можно выразить как

\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =e^{i\theta }\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle ,

где могут быть другие значения, кроме просто или . Важно отметить, что в этом сокращенном выражении имеется небольшое злоупотребление обозначениями , так как в действительности эта волновая функция может быть и обычно бывает многозначной. Это выражение фактически означает, что когда частица 1 и частица 2 меняются местами в процессе, когда каждая из них совершает половину оборота против часовой стрелки относительно другой, двухчастичная система возвращается к своей исходной квантовой волновой функции, за исключением умножения на комплексную единичную норму. фазовый коэффициент e ^iθ . И наоборот, при повороте на пол-оборота по часовой стрелке волновая функция умножается на e ^-^iθ. $e^{i\theta }$ $-1$ $1$ . Такая теория, очевидно, имеет смысл только в двух измерениях, где по часовой стрелке и против часовой стрелки четко определены направления.

В случае θ = π восстанавливается статистика Ферми – Дирака ( e ^iπ = −1 ), а в случае θ = 0 (или θ = 2 π ) статистика Бозе – Эйнштейна ( e ^{2 πi} = 1 ). Между ними есть кое-что другое. Франк Вильчек в 1982 году исследовал поведение таких квазичастиц и ввел термин «энион» для их описания, поскольку они могут иметь любую фазу, когда частицы меняются местами. ^[7]В отличие от бозонов и фермионов, анионы обладают тем особенным свойством, что когда они дважды меняются местами одним и тем же способом (например, если Anyon 1 и Anyon 2 вращались против часовой стрелки на пол-оборота друг относительно друга, чтобы поменяться местами, а затем они вращались против часовой стрелки на пол-оборота друг относительно друга снова, чтобы вернуться на свои исходные места), волновая функция не обязательно одинакова, а скорее умножается на некоторую сложную фазу (на e ^{2 iθ} в этом примере).

Мы также можем использовать θ = 2 π s со спиновым квантовым числом s , где s является целым числом для бозонов и полуцелым числом для фермионов, так что

e^{i\theta }=e^{2i\pi s}=(-1)^{2s},

или же

\left|\psi _{1}\psi _{2}\right\rangle =(-1)^{2s}\left|\psi _{2}\psi _{1}\right\rangle .

На краю фракционные энионы квантового эффекта Холла ограничены движением в одном пространственном измерении. Математические модели одномерных энионов составляют основу приведенных выше коммутационных соотношений.

В трехмерном пространстве положения, операторы фермионная и бозоны статистики (-1 и +1 соответственно) являются лишь 1-мерными представлениями группы перестановок ( S _N из N неразличимых частиц) , действующей на пространстве волновых функций. Точно так же в двумерном позиционном пространстве операторы абелевой анионной статистики ( e ^iθ ) - это просто одномерные представления группы кос ( B _N из N неразличимых частиц), действующей в пространстве волновых функций. Неабелевы энионные статистики - многомерные представления группы кос. Статистику Anyonic не следует путать спарастатистика , которая описывает статистику частиц, чьи волновые функции являются многомерными представлениями группы перестановок. ^[8]^{: 22}

Топологическая эквивалентность [ править ]

Тот факт, что гомотопические классы путей (т. Е. Понятие эквивалентности на косах ) имеют отношение к делу, указывает на более тонкое понимание. Он возникает из интеграла по путям Фейнмана , в котором все пути от начальной до конечной точки в пространстве-времени вносят свой вклад с соответствующим фазовым фактором . Интеграл Фейнмана путь может быть мотивировано от расширения пропагатор , используя метод , называемый Квантование по времени, ^[9] , в котором дискретизируется время.

В негомотопических путях нельзя попасть из любой точки в одном временном срезе в любую другую точку в следующем временном срезе. Это означает, что мы можем рассматривать класс путей гомотопической эквивалентности с разными весовыми коэффициентами. ^[10]

Таким образом, можно видеть, что топологическое понятие эквивалентности исходит из изучения интеграла по путям Фейнмана . ^[8]^{: 28}

Для более прозрачного способа увидеть, что гомотопическое понятие эквивалентности является «правильным» для использования, см. Эффект Ааронова – Бома .

Эксперимент [ править ]

Группа физиков-теоретиков, работающих в Университете Осло , во главе с Джоном Лейнаасом и Яном Мирхеймом , в 1977 году подсчитала, что традиционное разделение на фермионы и бозоны не применимо к теоретическим частицам, существующим в двух измерениях . ^[11] Ожидается, что такие частицы будут демонстрировать широкий спектр ранее неожиданных свойств. В 1982 году Франк Вильчек опубликовал две статьи, в которых исследовал дробную статистику квазичастиц в двух измерениях, дав им название «энионы». ^[12]

Логлин квазичастично интерферометр сканирующий электронный микроскоп из полупроводникового прибора . Четыре светло-серых области - это затворы Au / Ti необедненных электронов ; синие кривые - это краевые каналы от эквипотенциалов этих необеспеченных электронов. Темно-серые кривые - вытравленные канавки, обедненные электронами, синие точки - туннельные переходы , желтые точки - омические контакты . Электроны в устройстве удерживаются в плоскости 2d. ^[13]

Даниэль Цуй и Хорст Стёрмер открыли дробный квантовый эффект Холла в 1982 году. Математика, разработанная Вильчеком, оказалась полезной Бертрану Гальперину из Гарвардского университета в объяснении его аспектов. ^[14] Франк Вильчек, Дэн Аровас и Роберт Шриффер подтвердили это утверждение в 1985 году с помощью явного вычисления, предсказывающего, что частицы, существующие в этих системах, на самом деле являются анионами. ^[15]^[16]

В 2020 году Х. Бартоломей и соавторы из Высшей школы нормального образования (Париж) и Центра нанонаук и нанотехнологий (C2N) из эксперимента по двумерной гетероструктуре GaAs / AlGaAs определили промежуточную статистику энионов с помощью измерений электрической корреляции. токи через третий контакт при энионных столкновениях в электронном газе от двухточечных контактов. ^[17] $\theta ={\frac {\pi }{3}}$

С развитием полупроводниковой технологии, означающей, что осаждение тонких двумерных слоев возможно - например, в листах графена - изучается долгосрочный потенциал использования свойств анионов в электронике.

В 2020 году две группы ученых (одна в Париже, другая в Purdue) объявили о новых экспериментальных доказательствах существования энионов. Оба эксперимента были представлены в ежегодном выпуске журнала Discover Magazine о состоянии науки за 2020 год. ^[1]

В апреле 2020 года исследователи из Сорбонны, CNRS и École Normale Supérieure сообщили о результатах крошечного «коллайдера частиц» для энионов. Они обнаружили свойства, которые соответствовали предсказаниям теории. ^[18]^[19]

В июле 2020 года ученые из Университета Пердью обнаружили эйоны с помощью другой установки. Интерферометр команды направляет электроны через специфическую травленую наноструктуру, похожую на лабиринт, сделанную из арсенида галлия и арсенида алюминия-галлия. «В случае наших анионов фаза, генерируемая плетением, была 2π / 3», - сказал он. «Это отличается от того, что видели в природе раньше». ^[20]^[21]

Неабелевы энионы [ править ]

Нерешенная проблема в физике :

Устойчив ли топологический порядок при ненулевой температуре ?

(больше нерешенных задач по физике)

В 1988 году Юрг Фрёлих показал, что согласно теореме спин-статистики, обмен частицами является моноидальным (неабелева статистика). ^[22]В частности, это может быть достигнуто, когда система демонстрирует некоторое вырождение, так что несколько различных состояний системы имеют одинаковую конфигурацию частиц. Тогда обмен частицами может способствовать не только фазовому переходу, но может отправить систему в другое состояние с той же конфигурацией частиц. В этом случае обмен частицами соответствует линейному преобразованию на этом подпространстве вырожденных состояний. Когда нет вырождения, это подпространство одномерно, и поэтому все такие линейные преобразования коммутируют (потому что они просто умножения на фазовый множитель). Когда есть вырождение и это подпространство имеет более высокую размерность, тогда эти линейные преобразования не должны коммутировать (как и умножение матриц).

Грегори Мур , Николас Рид и Сяо-Ган Вэнь указали, что неабелева статистика может быть реализована в дробном квантовом эффекте Холла (FQHE). ^[23]^[24] В то время как поначалу неабелевы энионы обычно считались математическим курьезом, физики начали продвигаться к их открытию, когда Алексей Китаев показал, что неабелевы энионы могут быть использованы для построения топологического квантового компьютера . По состоянию на 2012 год ни один эксперимент не продемонстрировал окончательно существование неабелевых энионов, хотя многообещающие намеки появляются при изучении состояния ν = 5/2 FQHE. ^[25]^[26]Экспериментальные свидетельства существования неабелевых анионов, хотя и не окончательные и оспариваемые, ^[27] были представлены в октябре 2013 г. ^[28]

Слияние анионов [ править ]

Примерно так же, как два фермиона (например, оба со спином 1/2) можно рассматривать вместе как составной бозон (с полным спином в суперпозиции 0 и 1), два или более эниона вместе составляют составной энион ( возможно бозон или фермион). Сложный энион называется результатом слияния его компонентов.

Если идентичные абелевы энионы, каждый с индивидуальной статистикой (т. Е. Система переходит в фазу, когда два отдельных эниона подвергаются адиабатическому обмену против часовой стрелки), все сливаются вместе, они вместе имеют статистику . Это можно увидеть, заметив, что при вращении против часовой стрелки двух составных энионов друг относительно друга существуют пары отдельных энионов (один в первом составном энионе, один во втором составном энионе), каждый из которых вносит вклад в фазу . Аналогичный анализ применим к слиянию неидентичных абелевых энионов. Статистика составного эниона однозначно определяется статистикой его компонентов. $N$ $\alpha$ $e^{i\alpha }$ $N^{2}\alpha$ $N^{2}$ $e^{i\alpha }$

Неабелевы анионы имеют более сложные отношения слияния. Как правило, в системе с неабелевыми энионами есть составная частица, статистическая метка которой не определяется однозначно статистическими метками ее компонентов, а существует как квантовая суперпозиция (это полностью аналогично тому, как два фермиона известны иметь спин 1/2 вместе в квантовой суперпозиции полного спина 1 и 0). Если общая статистика слияния всех нескольких энионов известна, остается неоднозначность слияния некоторых подмножеств этих энионов, и каждая возможность представляет собой уникальное квантовое состояние. Эти множественные состояния обеспечивают гильбертово пространство, в котором могут выполняться квантовые вычисления. ^[29]

Топологическая основа [ править ]

Вращение по часовой стрелке

Обмен двумя частицами в пространстве-времени 2 + 1 путем вращения. Вращения неэквивалентны, поскольку одно не может быть деформировано в другое (без выхода мировых линий из плоскости, что невозможно в 2-м пространстве).

В более чем двух измерениях теорема спиновой статистики утверждает, что любое многочастичное состояние неразличимых частиц должно подчиняться статистике Бозе – Эйнштейна или Ферми – Дирака. Для любого d > 2 группы Ли SO ( d , 1) (обобщающие группу Лоренца ) и Пуанкаре ( d , 1) имеют Z _{2 в} качестве своей первой гомотопической группы . Поскольку циклическая группа Z ₂ состоит из двух элементов, остаются только две возможности. (Детали более сложны, но это решающий момент.)

Ситуация меняется в двух измерениях. Здесь первая гомотопическая группа SO (2,1), а также Пуанкаре (2,1) - это Z (бесконечная циклическая). Это означает, что Spin (2,1) не является универсальным покрытием : он не односвязен . Более подробно, существуют проективные представления о специальной ортогональной группы SO (2,1) , которые не вытекают из линейных представлений о SO (2,1), или его двойной крышкой , то спин группа Spin (2,1). Энионы - это равномерно дополнительные представления спиновой поляризации заряженной частицы.

Эта концепция также применима к нерелятивистским системам. Важная часть здесь состоит в том, что группа пространственного вращения SO (2) имеет бесконечную первую гомотопическую группу.

Этот факт также связан с хорошо известными в теории узлов группами кос . Соотношение можно понять , если учесть тот факт , что в двух измерениях группы перестановок двух частиц больше не является симметричной группа S ₂ (с двумя элементами) , а скорее группа кос B ₂ (с бесконечным числом элементов). Существенным моментом является то, что одна коса может наматываться на другую, и эту операцию можно выполнять бесконечно часто, как по часовой, так и против часовой стрелки.

Совершенно другой подход к проблеме стабильности-декогеренции в квантовых вычислениях - это создание топологического квантового компьютера с анионами, квазичастицами, используемыми в качестве нитей, и опорой на теорию кос для формирования стабильных логических вентилей . ^[30]^[31]

Многомерное обобщение анионов [ править ]

В качестве точечных частиц фракционированные возбуждения могут быть бозонами, фермионами или энионами в 2 + 1 пространственно-временных измерениях. Известно, что точечные частицы могут быть либо бозонами, либо фермионами в 3 + 1 и более высоких измерениях пространства-времени. Однако петлеобразные (или струнные) или мембранные возбуждения - протяженные объекты могут иметь дробную статистику. Текущие исследования показывают, что возбуждения, подобные петле и струне, существуют для топологических порядков в трехмерном пространстве-времени 3 + 1, и их статистика многопетлевых / переплетенных цепочек является ключевой сигнатурой для определения топологических порядков 3 + 1 измерений. ^[32]^[33]^[34] Статистика многопетлевых / плетеных нитей 3 + 1-мерных топологических порядков может быть захвачена с помощью инвариантов связи конкретныхтопологические квантовые теории поля в четырех измерениях пространства-времени. ^[34] В разговорной манере протяженные объекты (петля, струна, мембрана и т. Д.) Могут быть потенциально анионными в 3 + 1 и более высоких измерениях пространства-времени в запутанных системах дальнего действия .

См. Также [ править ]

Поищите anyon в Викисловаре, бесплатном словаре.

Аньонная алгебра Ли - U (1) градуированное векторное пространство L над C, снабженное билинейным оператором
Магнитная трубка - Трубчатая область пространства с постоянным магнитным потоком по всей длине.
Теория Гинзбурга – Ландау - Теория сверхпроводимости.
Представление Husimi Q - инструмент моделирования вычислительной физики
Эффект Джозефсона - квантовое физическое явление
Макроскопические квантовые явления - процессы, демонстрирующие квантовое поведение в макроскопическом масштабе, а не в атомном масштабе, где преобладают квантовые эффекты; Квантовая когерентность макроскопического масштаба приводит к макроскопическим квантовым явлениям
Магнитный домен - область магнитного материала, в которой намагниченность имеет однородное направление.
Квант магнитного потока - квантованная единица магнитного потока.
Эффект Мейснера - Изъятие магнитного поля из сверхпроводника во время его перехода в сверхпроводящее состояние
Плектон - Теоретическая частица
Квантовый вихрь - квантованная циркуляция потока некоторой физической величины.
Случайная матрица - Матричнозначная случайная величина
Топологический дефект - Тип структуры в квантовой механике
Топологические квантовые вычисления - гипотетический отказоустойчивый квантовый компьютер на основе топологической конденсированной среды.

Ссылки [ править ]

^ a b c Орнес, Стивен (12 декабря 2020 г.). «Физики доказывают, что существуют какие-либо частицы, третий тип частиц во Вселенной - физики дают нам раннее представление о третьем царстве квазичастиц, которые возникают только в двух измерениях» . Откройте для себя . Проверено 12 декабря 2020 . Этот год принес два убедительных подтверждения существования квазичастиц. Первое было получено в апреле в статье, размещенной на обложке журнала Science , от группы исследователей из Высшей школы Нормаль в Париже ... Второе подтверждение пришло в июле, когда группа из Университета Пердью в Индиане использовала экспериментальную установку. на выгравированном чипе, который отсеивает взаимодействия, которые могут скрыть поведение эниона.
^ «Наконец, аньоны обнаруживают свои экзотические квантовые свойства» . Университет Аалто. 7 декабря 2018 . Проверено 24 сентября 2020 года . Впервые они были предложены в конце 1970-х годов, но прямые экспериментальные доказательства их квантовой статистики до сих пор не были получены окончательно.
^ Shtengel, Kirilli (2007). "Дом для Anyon?" . Физика природы . 3 (11): 763. DOI : 10.1038 / nphys767 . Проверено 30 ноября 2020 .С точки зрения физика, наличие двух пространственных измерений является особенным: пара частиц, меняющих свои места, ведут себя совершенно иначе в двух измерениях, чем в трех. В трех измерениях любые два набора путей, пройденных двумя идентичными частицами в процессе обмена их положениями, могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Но в двух измерениях частицы могут вращаться друг вокруг друга двумя разными способами: по или против часовой стрелки. Глубоким следствием этого наблюдения для квантовой механики является то, что в двух измерениях дважды обмен идентичными частицами не эквивалентен оставлению их в покое.
^ Yirka, Боб (10 июля 2020). «Лучшее свидетельство существования эйонов» . Новости Phys.org . Проверено 30 ноября 2020 . Теория предполагает, что если фермион или бозон увлечь за собой другого такого же типа, это действие не приведет к записи того, что произошло. Но поскольку эйоны изменяют волновые функции, они создают такую запись.
^ a b Кастельвекки, Давиде (3 июля 2020 г.). «Добро пожаловать, аньоны! Физики нашли лучшее доказательство долгожданных 2D-структур» . Природа . 583 (7815): 176–177. Bibcode : 2020Natur.583..176C . DOI : 10.1038 / d41586-020-01988-0 . PMID 32620884 . S2CID 220336025 . Проверено 23 сентября 2020 года . Саймон и другие разработали сложные теории, использующие анионы в качестве платформы для квантовых компьютеров. Пары квазичастиц могут закодировать в своей памяти информацию о том, как они вращались друг вокруг друга. И поскольку дробная статистика является «топологической» - она зависит от того, сколько раз один энион обходил другой, а не от незначительных изменений его пути, - на нее не влияют крошечные возмущения. Эта надежность может упростить масштабирование топологических квантовых компьютеров, чем нынешние технологии квантовых вычислений, которые подвержены ошибкам.
^ Leinaas, Джон Магне ; Мирхейм, янв (11 января 1977 г.). «К теории одинаковых частиц» (PDF) . Il Nuovo Cimento Б . 37 (1): 1–23. Bibcode : 1977NCimB..37 .... 1L . DOI : 10.1007 / BF02727953 . S2CID 117277704 .
↑ Вильчек, Франк (4 октября 1982 г.). "Квантовая механика частиц с дробным спином" (PDF) . Письма с физическим обзором . 49 (14): 957–959. Bibcode : 1982PhRvL..49..957W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.49.957 . Если существует обобщенная связь спиновой статистики, мы должны ожидать, что композиты магнитная трубка-частица имеют необычную статистику, интерполируя между бозонами и фермионами. Поскольку обмен двух из этих частиц может дать любую фазу, я в общем назову их энионами.
^ a b Харе, Авинаш (2005). Дробная статистика и квантовая теория . World Scientific. ISBN 978-981-256-160-2.
^ Ланкастер, Том; Бланделл, Стивен Дж. (17 июня 2014 г.). Квантовая теория поля для одаренного любителя . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-969932-2.
Перейти ↑ Schulman, LS (февраль 1981 г.). Методы и приложения интеграции путей . Dover Publications. ISBN 0-471-76450-7.
^ Вильчек, Франк (январь 2006 г.). «От электроники до анионики» . Мир физики . 19 : 22–23. DOI : 10.1088 / 2058-7058 / 19/1/31 . ISSN 0953-8585 . В начале 1980-х я назвал гипотетические новые частицы «энионами», исходя из идеи, что все идет, но я не терял много сна в ожидании их открытия. Однако вскоре после этого Берт Гальперин из Гарвардского университета обнаружил, что концепция энионов полезна для понимания некоторых аспектов дробного квантового эффекта Холла, который описывает модификации, происходящие в электронике при низких температурах в сильных магнитных полях.
^ "Anyons, кто-нибудь?" . Журнал Симметрия . 31 августа 2011 . Проверено 24 сентября 2020 года . В 1982 году физик Франк Вильчек дал этим межузельным частицам название эйон ... «Любой эйон может быть чем угодно, от бозона до фермиона, - говорит Кейлманн. «Вильчек - забавный парень».
^ Камино, Фернандо Э .; Чжоу, Вэй; Гольдман, Владимир Дж. (17 августа 2005 г.). «Реализация квазичастичного интерферометра Лафлина: наблюдение дробной статистики» (PDF) . Physical Review B . 72 (7): 075342. arXiv : cond-mat / 0502406 . Bibcode : 2005PhRvB..72g5342C . DOI : 10.1103 / PhysRevB.72.075342 . S2CID 52245802 . Архивировано 19 июня 2015 года из оригинального (PDF) . , см. рис. 2.B
Перейти ↑ Halperin, BI (1984). «Статистика квазичастиц и иерархия дробно-квантованных состояний Холла» . Phys. Rev. Lett . Американское физическое общество. 52 (18): 1583–1586. Bibcode : 1984PhRvL..52.1583H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.52.1583 . Появление дробной статистики в данном контексте сильно напоминает дробную статистику, введенную Вильчеком для описания заряженных частиц, связанных с «трубками магнитного потока» в двух измерениях.
^ Khurana, Анил (7 декабря 2018). «Бозоны конденсируются, а фермионы« исключают », а кто-нибудь…?» . Физика сегодня . DOI : 10.1063 / 1.2811205 . Проверено 26 ноября 2020 года . В 1984 году, через два года после того, как Вильчек обсудил эту, казалось бы, загадочную возможность, Бертран Гальперин (Гарвардский университет) предположил, что возбуждения в теории дробного квантового эффекта Холла, обсуждавшейся Робертом Лафлином (Стэнфордский университет), ведут себя как эйоны. Позже Вильчек, Даниэль Аровас (Калифорнийский университет, Сан-Диего) и Роберт Шриффер (Калифорнийский университет, Санта-Барбара) подтвердили эту идею.
^ "Дробная статистика и квантовый эффект Холла" (D. Arovas, JR Schrieffer и F. Wilczek, 1984) Phys. Rev. Lett., 53 , 722
^ Х. Бартоломей, М. Кумар, Р. Бизогнин и др. Дробная статистика при энионных столкновениях // Наука , 10 апреля 2020 г .: Vol. 368, Issue 6487, pp. 173–177
^ Yirka, Боб (10 апреля 2020). «Анионное доказательство , наблюдаемое с помощью крошечного анионного коллайдера» . Phys.org . Проверено 12 декабря 2020 . Группа исследователей из Университета Сорбонны, CNRS и Ecole Normale Supérieure сообщила о наблюдательных доказательствах существования квазичастицы, называемой эйоном. В своей статье, опубликованной в журнале Science, команда описывает крошечный аннионный коллайдер, который они построили в своей лаборатории.
^ Наджар, Dana (12 мая 2020). « Свидетельство « вехи »для Anyons, Третьего Королевства Частиц» . Журнал Quanta . Проверено 12 декабря 2020 . В 2016 году трое физиков описали экспериментальную установку, которая в двух измерениях напоминает коллайдер крошечных частиц. Фев и его коллеги построили нечто подобное и использовали это, чтобы разбить всех вместе. Измеряя флуктуации токов в коллайдере, они смогли показать, что поведение энионов точно соответствует теоретическим предсказаниям.
↑ Талли, Стив (4 сентября 2020 г.). «Новое свидетельство того, что квантовый мир еще более странный, чем мы думали» . Phys.org. Одно характерное различие между фермионами и бозонами заключается в том, как частицы действуют, когда они наматываются или сплетаются друг с другом. Фермионы отвечают одним простым способом, а бозоны - другим ожидаемым и прямым образом. Любые реагируют так, как будто у них есть дробный заряд, и, что еще более интересно, создают нетривиальное изменение фазы, когда они плетутся вокруг друг друга. Это может дать энионам своего рода «память» об их взаимодействии.
^ Накамура, Дж .; Liang, S .; Гарднер, GC; Манфра, MJ (сентябрь 2020 г.). «Непосредственное наблюдение статистики анионного плетения» . Физика природы . 16 (9): 931–936. Bibcode : 2020NatPh..16..931N . DOI : 10.1038 / s41567-020-1019-1 . ISSN 1745-2481 .
^ Fröhlich, Юрга (1988). «Статистика полей, уравнение Янга – Бакстера, теория узлов и зацеплений». Непертурбативная квантовая теория поля . Серия НАТО ASI. 185 . Нью-Йорк: Спрингер. С. 71–100. DOI : 10.1007 / 978-1-4613-0729-7_4 . ISBN 1-4612-8053-2.
^ Мур, Грегори ; Читайте, Николай (19 августа 1991 г.). «Неабелионы в дробном квантовом эффекте Холла» (PDF) . Ядерная физика Б . 360 (2–3): 362–396. Bibcode : 1991NuPhB.360..362M . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90407-O .
↑ Вэнь Сяо-Ган (11 февраля 1991 г.). «Неабелева статистика в дробных квантовых состояниях Холла» (PDF) . Phys. Rev. Lett . 66 (6): 802–5. Bibcode : 1991PhRvL..66..802W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.66.802 . PMID 10043904 . Архивировано из оригинального (PDF) 26 марта 2015 года.
^ Стерн, Ади (2010). «Неабелевы состояния материи». Природа . 464 (7286): 187–93. Bibcode : 2010Natur.464..187S . DOI : 10,1038 / природа08915 . PMID 20220836 . S2CID 4362827 .
^ An, Sanghun; Jiang, P .; Choi, H .; Канг, В .; Саймон, SH; Pfeiffer, LN; Запад, кВт; Болдуин, KW (15 декабря 2011 г.). «Сплетение абелевых и неабелевых анионов в дробном квантовом эффекте Холла». arXiv : 1112.3400 [ cond-mat.mes-hall ].
^ фон Кейзерлинг, Курт; Саймон, SH; Бернд, Розенов (2015). "Улучшенная кулоновская связь объемного края в дробных интерферометрах Фабри-Перо". Письма с физическим обзором . 115 (12): 126807. arXiv : 1411.4654 . Bibcode : 2015PhRvL.115l6807V . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.115.126807 . PMID 26431008 . S2CID 20103218 .
^ RL Willett; К. Наяк; Л.Н. Пфайффер; KW West (12 января 2013 г.). "Осцилляции Ааронова – Бома, настроенные на магнитное поле, и свидетельства существования неабелевых энионов при ν = 5/2". Письма с физическим обзором . 111 (18): 186401. arXiv : 1301.2639 . Bibcode : 2013PhRvL.111r6401W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.186401 . PMID 24237543 . S2CID 22780228 .
^ К. Наяк; Ш. Саймон; А. Стерн; М. Фридман; С. Дас Сарма (28 марта 2008 г.). «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики . 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . DOI : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 . S2CID 119628297 .
^ Фридман, Майкл; Алексей Китаев; Майкл Ларсен; Чжэнхань Ван (20 октября 2002 г.). «Топологические квантовые вычисления». Бюллетень Американского математического общества . 40 (1): 31–38. arXiv : квант-ph / 0101025 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00964-3 .
↑ Монро, Дон (1 октября 2008 г.). "Anyons: революционные потребности в квантовых вычислениях?" . Новый ученый (2676).
^ Ван, Чэньцзе; Левин, Михаил (22 августа 2014 г.). «Плетение статистики петлевых возбуждений в трех измерениях». Письма с физическим обзором . 113 (8): 080403. arXiv : 1403.7437 . Bibcode : 2014PhRvL.113h0403W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.113.080403 . ISSN 1079-7114 . PMID 25192079 . S2CID 23104804 .
^ Ван, Ювен; Вэнь Сяо-Ган (15 января 2015 г.). "Неабелева струна и плетение частиц в топологическом порядке: модульное SL (3, Z) представление и 3 + 1D теория скрученной калибровки". Physical Review B . 91 (3): 035134. arXiv : 1404.7854 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.91.035134 . ISSN 2469-9969 . S2CID 13893760 .
^ a b Путров Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (сентябрь 2017 г.). "Статистика плетения и инварианты звеньев бозонной / фермионной топологической квантовой материи в 2 + 1 и 3 + 1 измерениях". Анналы физики . 384С : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode : 2017AnPhy.384..254P . DOI : 10.1016 / j.aop.2017.06.019 . S2CID 119578849 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Наяк, Четан; Саймон, Стивен Х .; Стерн, Ади; Фридман, Майкл; Дас Сарма, Санкар (2008). «Неабелевы анионы и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики . 80 (3): 1083. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . DOI : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 . S2CID 119628297 .
Вэнь Сяо-Ган (15 апреля 2002 г.). «Квантовые порядки и симметричные спиновые жидкости» (PDF) . Physical Review B . 65 (16): 165113. arXiv : cond-mat / 0107071 . Bibcode : 2002PhRvB..65p5113W . DOI : 10.1103 / PhysRevB.65.165113 . S2CID 119061254 . Архивировано из оригинального (PDF) 9 июня 2011 года.
Стерн, Ади (2008). «Аньоны и квантовый эффект Холла - педагогический обзор» (PDF) . Анналы физики . 323 (1): 204–249. arXiv : 0711.4697 . Bibcode : 2008AnPhy.323..204S . DOI : 10.1016 / j.aop.2007.10.008 . S2CID 15582782 .
Наджар, Дана (2020). « Свидетельство « вехи »для Anyons, Третьего Королевства Частиц» . Журнал Quanta .

[DISC-20201212-1] Орнес, Стивен (12 декабря 2020 г.). «Физики доказывают, что существуют какие-либо частицы, третий тип частиц во Вселенной - физики дают нам раннее представление о третьем царстве квазичастиц, которые возникают только в двух измерениях» . Откройте для себя . Проверено 12 декабря 2020 . Этот год принес два убедительных подтверждения существования квазичастиц. Первое было получено в апреле в статье, размещенной на обложке журнала Science , от группы исследователей из Высшей школы Нормаль в Париже ... Второе подтверждение пришло в июле, когда группа из Университета Пердью в Индиане использовала экспериментальную установку. на выгравированном чипе, который отсеивает взаимодействия, которые могут скрыть поведение эниона.

[ExoticQP-2] «Наконец, аньоны обнаруживают свои экзотические квантовые свойства» . Университет Аалто. 7 декабря 2018 . Проверено 24 сентября 2020 года . Впервые они были предложены в конце 1970-х годов, но прямые экспериментальные доказательства их квантовой статистики до сих пор не были получены окончательно.

[NatPhys2007-3] Shtengel, Kirilli (2007). "Дом для Anyon?" . Физика природы . 3 (11): 763. DOI : 10.1038 / nphys767 . Проверено 30 ноября 2020 .С точки зрения физика, наличие двух пространственных измерений является особенным: пара частиц, меняющих свои места, ведут себя совершенно иначе в двух измерениях, чем в трех. В трех измерениях любые два набора путей, пройденных двумя идентичными частицами в процессе обмена их положениями, могут непрерывно трансформироваться друг в друга. Но в двух измерениях частицы могут вращаться друг вокруг друга двумя разными способами: по или против часовой стрелки. Глубоким следствием этого наблюдения для квантовой механики является то, что в двух измерениях дважды обмен идентичными частицами не эквивалентен оставлению их в покое.

[Yirka2020-4] Yirka, Боб (10 июля 2020). «Лучшее свидетельство существования эйонов» . Новости Phys.org . Проверено 30 ноября 2020 . Теория предполагает, что если фермион или бозон увлечь за собой другого такого же типа, это действие не приведет к записи того, что произошло. Но поскольку эйоны изменяют волновые функции, они создают такую запись.

[Welcome2020-5] Кастельвекки, Давиде (3 июля 2020 г.). «Добро пожаловать, аньоны! Физики нашли лучшее доказательство долгожданных 2D-структур» . Природа . 583 (7815): 176–177. Bibcode : 2020Natur.583..176C . DOI : 10.1038 / d41586-020-01988-0 . PMID 32620884 . S2CID 220336025 . Проверено 23 сентября 2020 года . Саймон и другие разработали сложные теории, использующие анионы в качестве платформы для квантовых компьютеров. Пары квазичастиц могут закодировать в своей памяти информацию о том, как они вращались друг вокруг друга. И поскольку дробная статистика является «топологической» - она зависит от того, сколько раз один энион обходил другой, а не от незначительных изменений его пути, - на нее не влияют крошечные возмущения. Эта надежность может упростить масштабирование топологических квантовых компьютеров, чем нынешние технологии квантовых вычислений, которые подвержены ошибкам.

[6] Leinaas, Джон Магне ; Мирхейм, янв (11 января 1977 г.). «К теории одинаковых частиц» (PDF) . Il Nuovo Cimento Б . 37 (1): 1–23. Bibcode : 1977NCimB..37 .... 1L . DOI : 10.1007 / BF02727953 . S2CID 117277704 .

[7] Вильчек, Франк (4 октября 1982 г.). "Квантовая механика частиц с дробным спином" (PDF) . Письма с физическим обзором . 49 (14): 957–959. Bibcode : 1982PhRvL..49..957W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.49.957 . Если существует обобщенная связь спиновой статистики, мы должны ожидать, что композиты магнитная трубка-частица имеют необычную статистику, интерполируя между бозонами и фермионами. Поскольку обмен двух из этих частиц может дать любую фазу, я в общем назову их энионами.

[Khare2005-8] Харе, Авинаш (2005). Дробная статистика и квантовая теория . World Scientific. ISBN 978-981-256-160-2.

[9] Ланкастер, Том; Бланделл, Стивен Дж. (17 июня 2014 г.). Квантовая теория поля для одаренного любителя . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-969932-2.

[10] Перейти ↑ Schulman, LS (февраль 1981 г.). Методы и приложения интеграции путей . Dover Publications. ISBN 0-471-76450-7.

[WilczekJan2006-11] Вильчек, Франк (январь 2006 г.). «От электроники до анионики» . Мир физики . 19 : 22–23. DOI : 10.1088 / 2058-7058 / 19/1/31 . ISSN 0953-8585 . В начале 1980-х я назвал гипотетические новые частицы «энионами», исходя из идеи, что все идет, но я не терял много сна в ожидании их открытия. Однако вскоре после этого Берт Гальперин из Гарвардского университета обнаружил, что концепция энионов полезна для понимания некоторых аспектов дробного квантового эффекта Холла, который описывает модификации, происходящие в электронике при низких температурах в сильных магнитных полях.

[SymMag2011-12] "Anyons, кто-нибудь?" . Журнал Симметрия . 31 августа 2011 . Проверено 24 сентября 2020 года . В 1982 году физик Франк Вильчек дал этим межузельным частицам название эйон ... «Любой эйон может быть чем угодно, от бозона до фермиона, - говорит Кейлманн. «Вильчек - забавный парень».

[FractStat-13] Камино, Фернандо Э .; Чжоу, Вэй; Гольдман, Владимир Дж. (17 августа 2005 г.). «Реализация квазичастичного интерферометра Лафлина: наблюдение дробной статистики» (PDF) . Physical Review B . 72 (7): 075342. arXiv : cond-mat / 0502406 . Bibcode : 2005PhRvB..72g5342C . DOI : 10.1103 / PhysRevB.72.075342 . S2CID 52245802 . Архивировано 19 июня 2015 года из оригинального (PDF) . , см. рис. 2.B

[Halp1984-14] Перейти ↑ Halperin, BI (1984). «Статистика квазичастиц и иерархия дробно-квантованных состояний Холла» . Phys. Rev. Lett . Американское физическое общество. 52 (18): 1583–1586. Bibcode : 1984PhRvL..52.1583H . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.52.1583 . Появление дробной статистики в данном контексте сильно напоминает дробную статистику, введенную Вильчеком для описания заряженных частиц, связанных с «трубками магнитного потока» в двух измерениях.

[1989Khurana-15] Khurana, Анил (7 декабря 2018). «Бозоны конденсируются, а фермионы« исключают », а кто-нибудь…?» . Физика сегодня . DOI : 10.1063 / 1.2811205 . Проверено 26 ноября 2020 года . В 1984 году, через два года после того, как Вильчек обсудил эту, казалось бы, загадочную возможность, Бертран Гальперин (Гарвардский университет) предположил, что возбуждения в теории дробного квантового эффекта Холла, обсуждавшейся Робертом Лафлином (Стэнфордский университет), ведут себя как эйоны. Позже Вильчек, Даниэль Аровас (Калифорнийский университет, Сан-Диего) и Роберт Шриффер (Калифорнийский университет, Санта-Барбара) подтвердили эту идею.

[16] "Дробная статистика и квантовый эффект Холла" (D. Arovas, JR Schrieffer и F. Wilczek, 1984) Phys. Rev. Lett., 53 , 722

[17] Х. Бартоломей, М. Кумар, Р. Бизогнин и др. Дробная статистика при энионных столкновениях // Наука , 10 апреля 2020 г .: Vol. 368, Issue 6487, pp. 173–177

[Paris-18] Yirka, Боб (10 апреля 2020). «Анионное доказательство , наблюдаемое с помощью крошечного анионного коллайдера» . Phys.org . Проверено 12 декабря 2020 . Группа исследователей из Университета Сорбонны, CNRS и Ecole Normale Supérieure сообщила о наблюдательных доказательствах существования квазичастицы, называемой эйоном. В своей статье, опубликованной в журнале Science, команда описывает крошечный аннионный коллайдер, который они построили в своей лаборатории.

[QMag2020-19] Наджар, Dana (12 мая 2020). « Свидетельство « вехи »для Anyons, Третьего Королевства Частиц» . Журнал Quanta . Проверено 12 декабря 2020 . В 2016 году трое физиков описали экспериментальную установку, которая в двух измерениях напоминает коллайдер крошечных частиц. Фев и его коллеги построили нечто подобное и использовали это, чтобы разбить всех вместе. Измеряя флуктуации токов в коллайдере, они смогли показать, что поведение энионов точно соответствует теоретическим предсказаниям.

[20] Талли, Стив (4 сентября 2020 г.). «Новое свидетельство того, что квантовый мир еще более странный, чем мы думали» . Phys.org. Одно характерное различие между фермионами и бозонами заключается в том, как частицы действуют, когда они наматываются или сплетаются друг с другом. Фермионы отвечают одним простым способом, а бозоны - другим ожидаемым и прямым образом. Любые реагируют так, как будто у них есть дробный заряд, и, что еще более интересно, создают нетривиальное изменение фазы, когда они плетутся вокруг друг друга. Это может дать энионам своего рода «память» об их взаимодействии.

[21] Накамура, Дж .; Liang, S .; Гарднер, GC; Манфра, MJ (сентябрь 2020 г.). «Непосредственное наблюдение статистики анионного плетения» . Физика природы . 16 (9): 931–936. Bibcode : 2020NatPh..16..931N . DOI : 10.1038 / s41567-020-1019-1 . ISSN 1745-2481 .

[22] Fröhlich, Юрга (1988). «Статистика полей, уравнение Янга – Бакстера, теория узлов и зацеплений». Непертурбативная квантовая теория поля . Серия НАТО ASI. 185 . Нью-Йорк: Спрингер. С. 71–100. DOI : 10.1007 / 978-1-4613-0729-7_4 . ISBN 1-4612-8053-2.

[23] Мур, Грегори ; Читайте, Николай (19 августа 1991 г.). «Неабелионы в дробном квантовом эффекте Холла» (PDF) . Ядерная физика Б . 360 (2–3): 362–396. Bibcode : 1991NuPhB.360..362M . DOI : 10.1016 / 0550-3213 (91) 90407-O .

[24] Вэнь Сяо-Ган (11 февраля 1991 г.). «Неабелева статистика в дробных квантовых состояниях Холла» (PDF) . Phys. Rev. Lett . 66 (6): 802–5. Bibcode : 1991PhRvL..66..802W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.66.802 . PMID 10043904 . Архивировано из оригинального (PDF) 26 марта 2015 года.

[25] Стерн, Ади (2010). «Неабелевы состояния материи». Природа . 464 (7286): 187–93. Bibcode : 2010Natur.464..187S . DOI : 10,1038 / природа08915 . PMID 20220836 . S2CID 4362827 .

[26] An, Sanghun; Jiang, P .; Choi, H .; Канг, В .; Саймон, SH; Pfeiffer, LN; Запад, кВт; Болдуин, KW (15 декабря 2011 г.). «Сплетение абелевых и неабелевых анионов в дробном квантовом эффекте Холла». arXiv : 1112.3400 [ cond-mat.mes-hall ].

[27] фон Кейзерлинг, Курт; Саймон, SH; Бернд, Розенов (2015). "Улучшенная кулоновская связь объемного края в дробных интерферометрах Фабри-Перо". Письма с физическим обзором . 115 (12): 126807. arXiv : 1411.4654 . Bibcode : 2015PhRvL.115l6807V . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.115.126807 . PMID 26431008 . S2CID 20103218 .

[28] RL Willett; К. Наяк; Л.Н. Пфайффер; KW West (12 января 2013 г.). "Осцилляции Ааронова – Бома, настроенные на магнитное поле, и свидетельства существования неабелевых энионов при ν = 5/2". Письма с физическим обзором . 111 (18): 186401. arXiv : 1301.2639 . Bibcode : 2013PhRvL.111r6401W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.111.186401 . PMID 24237543 . S2CID 22780228 .

[29] К. Наяк; Ш. Саймон; А. Стерн; М. Фридман; С. Дас Сарма (28 марта 2008 г.). «Неабелевы аньоны и топологические квантовые вычисления». Обзоры современной физики . 80 (3): 1083–1159. arXiv : 0707.1889 . Bibcode : 2008RvMP ... 80.1083N . DOI : 10.1103 / RevModPhys.80.1083 . S2CID 119628297 .

[30] Фридман, Майкл; Алексей Китаев; Майкл Ларсен; Чжэнхань Ван (20 октября 2002 г.). «Топологические квантовые вычисления». Бюллетень Американского математического общества . 40 (1): 31–38. arXiv : квант-ph / 0101025 . DOI : 10.1090 / S0273-0979-02-00964-3 .

[31] Монро, Дон (1 октября 2008 г.). "Anyons: революционные потребности в квантовых вычислениях?" . Новый ученый (2676).

[1403.7437-32] Ван, Чэньцзе; Левин, Михаил (22 августа 2014 г.). «Плетение статистики петлевых возбуждений в трех измерениях». Письма с физическим обзором . 113 (8): 080403. arXiv : 1403.7437 . Bibcode : 2014PhRvL.113h0403W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.113.080403 . ISSN 1079-7114 . PMID 25192079 . S2CID 23104804 .

[1404.7854-33] Ван, Ювен; Вэнь Сяо-Ган (15 января 2015 г.). "Неабелева струна и плетение частиц в топологическом порядке: модульное SL (3, Z) представление и 3 + 1D теория скрученной калибровки". Physical Review B . 91 (3): 035134. arXiv : 1404.7854 . DOI : 10.1103 / PhysRevB.91.035134 . ISSN 2469-9969 . S2CID 13893760 .

[1612.09298-34] Путров Павел; Ван, Ювен; Яу, Шинг-Тунг (сентябрь 2017 г.). "Статистика плетения и инварианты звеньев бозонной / фермионной топологической квантовой материи в 2 + 1 и 3 + 1 измерениях". Анналы физики . 384С : 254–287. arXiv : 1612.09298 . Bibcode : 2017AnPhy.384..254P . DOI : 10.1016 / j.aop.2017.06.019 . S2CID 119578849 .