Кинетическая теория газов

Температура от идеального газа пропорциональна средней кинетической энергии его частиц. Размера из гелия атомов относительно расстояния между ними показана в масштабе при 1950 атмосфер давления. Атомы имеют определенную среднюю скорость, которая здесь в два триллиона раз меньше скорости при комнатной температуре.

Кинетическая теория газов является простой, исторически значимой моделью термодинамического поведения газов , с которыми были установлены многие основные понятия термодинамики. Модель описывает газ как большое количество идентичных субмикроскопических частиц ( атомов или молекул ), все из которых находятся в постоянном, быстром и случайном движении . Предполагается, что их размер намного меньше среднего расстояния между частицами. Частицы подвергаются случайным упругим столкновениям между собой и с ограждающими стенками контейнера. Базовая версия модели описывает идеальный газ, и не учитывает никаких других взаимодействий между частицами.

Кинетическая теория газов объясняет макроскопические свойства газов, такие как объем, давление и температура, а также свойства переноса, такие как вязкость , теплопроводность и массовая диффузия . Модель также учитывает связанные явления, такие как броуновское движение .

История [ править ]

Примерно в 50 г. до н.э. римский философ Лукреций предположил, что очевидно статические макроскопические тела были составлены в небольшом масштабе из быстро движущихся атомов, отскакивающих друг от друга. ^[1] Эта эпикурейская атомистическая точка зрения редко рассматривалась в последующие века, когда преобладали идеи Аристотеля .

Передняя крышка Hydrodynamica

В 1738 году Даниэль Бернулли опубликовал « Гидродинамику» , заложившую основу кинетической теории газов. В этой работе Бернулли выдвинул аргумент о том, что газы состоят из большого числа молекул, движущихся во всех направлениях, что их воздействие на поверхность вызывает давление газа и что их средняя кинетическая энергия определяет температуру газа. Теория не была немедленно принята, отчасти потому, что закон сохранения энергии еще не был установлен, и для физиков не было очевидно, как столкновения между молекулами могут быть совершенно упругими. ^{[2] : 36–37}

Другими пионерами кинетической теории, чьи работы также в значительной степени игнорировались их современниками, были Михаил Ломоносов (1747), ^[3] Жорж-Луи Ле Саж (около 1780, опубликовано в 1818 году), ^[4] Джон Герапат (1816) ^{[ 5]} и Джона Джеймса Уотерстона (1843 г.) ^[6], которые связали свои исследования с разработкой механических объяснений гравитации . В 1856 году Август Крёниг (вероятно, прочитав статью Уотерстона) создал простую газокинетическую модель, которая учитывала только поступательное движение частиц. ^[7]

В 1857 году Рудольф Клаузиус разработал аналогичную, но более сложную версию теории, которая включала поступательные и, в отличие от Крёнига, также вращательные и колебательные движения молекул. В этой же работе он ввел понятие длины свободного пробега частицы. ^[8] В 1859 году, после прочтения статьи Клаузиуса о диффузии молекул, шотландский физик Джеймс Клерк Максвелл сформулировал максвелловское распределение молекулярных скоростей, которое дало пропорцию молекул, имеющих определенную скорость в определенном диапазоне. ^[9] Это был первый статистический закон в физике. ^[10]Максвелл также привел первый механический аргумент, что столкновения молекул влекут за собой выравнивание температур и, следовательно, тенденцию к равновесию. ^[11] В своей тринадцатистраничной статье «Молекулы» 1873 года Максвелл утверждает: «нам говорят, что« атом »- это материальная точка, окруженная« потенциальными силами »и что когда« летающие молекулы »ударяются о твердое тело в постоянной последовательности это вызывает то, что называется давлением воздуха и других газов ». ^[12] В 1871 году Людвиг Больцман обобщил достижения Максвелла и сформулировал распределение Максвелла – Больцмана .Также логарифмическая связь между энтропией и вероятностью был впервые заявлен им.

Однако в начале 20 века многие физики считали атомы чисто гипотетическими конструкциями, а не реальными объектами. Важным поворотным моментом стали работы Альберта Эйнштейна (1905) ^[13] и Мариана Смолуховского (1906) ^[14] о броуновском движении , в которых удалось сделать определенные точные количественные предсказания, основанные на кинетической теории.

Предположения [ править ]

Теория идеальных газов делает следующие предположения:

• Газ состоит из очень мелких частиц. Эта малость их размера такова, что сумма объемов отдельных молекул газа ничтожна по сравнению с объемом емкости с газом. Это эквивалентно заявлению о том, что среднее расстояние, разделяющее частицы газа, велико по сравнению с их размером , и что прошедшее время столкновения между частицами и стенкой контейнера пренебрежимо мало по сравнению со временем между последовательными столкновениями.
• Частицы имеют одинаковую массу .
• Количество частиц настолько велико, что можно применить статистическую обработку.
• Быстро движущиеся частицы постоянно сталкиваются между собой и со стенками контейнера. Все эти столкновения абсолютно упругие, а это значит, что молекулы представляют собой идеальные твердые сферы.
• За исключением столкновений, взаимодействия между молекулами незначительны. Они не оказывают друг на друга никаких других сил .

Таким образом, динамику движения частицы можно рассматривать классически, а уравнения движения обратимы во времени.

Более современные разработки ослабляют эти предположения и основаны на уравнении Больцмана . Они могут точно описывать свойства плотных газов, потому что они включают объем частиц. Необходимые допущения - отсутствие квантовых эффектов, молекулярного хаоса и малых градиентов объемных свойств. Расширения до более высоких порядков по плотности известны как вириальные разложения .

Свойства равновесия [ править ]

Давление и кинетическая энергия [ править ]

В кинетической модели газов давление равно силе, прилагаемой атомами, ударяющимися и отскакивающими от единицы площади поверхности газового баллона. Рассмотрим газ, состоящий из N молекул, каждая из которых имеет массу m , заключенных в куб объемом V = L ³ . Когда молекула газа сталкивается со стенкой контейнера, перпендикулярной оси x, и отскакивает в противоположном направлении с той же скоростью ( упругое столкновение ), изменение количества движения определяется выражением:

${\ displaystyle \ Delta p = p_ {i, x} -p_ {f, x} = p_ {i, x} - (- p_ {i, x}) = 2p_ {i, x} = 2mv_ {x}, }$

где p - импульс, i и f обозначают начальный и конечный импульс (до и после столкновения), x указывает, что рассматривается только направление x , а v - скорость частицы (которая одинакова до и после столкновения ).

Частица сталкивается с одной конкретной боковой стенкой один раз за

${\ displaystyle \ Delta t = {\ frac {2L} {v_ {x}}},}$

где L - расстояние между противоположными стенами.

Силы из - за этой частицы

${\ displaystyle F = {\ frac {\ Delta p} {\ Delta t}} = {\ frac {mv_ {x} ^ {2}} {L}}.}$

Общая сила на стене составляет

${\ displaystyle F = {\ frac {Nm {\ overline {v_ {x} ^ {2}}}} {L}},}$

где черта обозначает среднее значение по N частицам.

Поскольку движение частиц является случайным и нет смещения в каком-либо направлении, средний квадрат скорости в каждом направлении идентичен:

${\displaystyle {\overline {v_{x}^{2}}}={\overline {v_{y}^{2}}}={\overline {v_{z}^{2}}}.}$

По теореме Пифагора в трех измерениях полный квадрат скорости v определяется выражением

${\displaystyle {\overline {v^{2}}}={\overline {v_{x}^{2}}}+{\overline {v_{y}^{2}}}+{\overline {v_{z}^{2}}},}$

${\displaystyle {\overline {v^{2}}}=3{\overline {v_{x}^{2}}}.}$

Следовательно:

${\displaystyle {\overline {v_{x}^{2}}}={\frac {\overline {v^{2}}}{3}},}$

а силу можно записать как:

${\displaystyle F={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3L}}.}$

Эта сила действует на площадь L ² . Следовательно, давление газа равно

${\displaystyle P={\frac {F}{L^{2}}}={\frac {Nm{\overline {v^{2}}}}{3V}},}$

где V = L ³ - объем ящика.

По кинетической энергии газа K :

${\displaystyle PV={\frac {2}{3}}\times {K}.}$

Это первый нетривиальный результат кинетической теории, потому что он связывает давление, макроскопическое свойство, с (поступательной) кинетической энергией молекул , которая является микроскопическим свойством.${\displaystyle N{\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}}$

Температура и кинетическая энергия [ править ]

Переписывая приведенный выше результат для давления как , мы можем объединить его с законом идеального газа${\displaystyle PV={Nm{\overline {v^{2}}} \over 3}}$

${\displaystyle \displaystyle PV=Nk_{B}T,}$

( 1 )

где есть постоянная Больцмана и абсолютная температура определяется законом идеального газа, чтобы получить${\displaystyle \displaystyle k_{B}}$${\displaystyle \displaystyle T}$

${\displaystyle k_{B}T={m{\overline {v^{2}}} \over 3}}$,

что приводит к упрощенному выражению средней кинетической энергии на молекулу ^[15]

${\displaystyle \displaystyle {\frac {1}{2}}m{\overline {v^{2}}}={\frac {3}{2}}k_{B}T}$.

Кинетическая энергия системы в N раз больше, чем у молекулы, а именно . Тогда температура принимает вид${\displaystyle K={\frac {1}{2}}Nm{\overline {v^{2}}}}$${\displaystyle \displaystyle T}$

${\displaystyle \displaystyle T={m{\overline {v^{2}}} \over 3k_{B}}}$

( 2 )

который становится

${\displaystyle \displaystyle T={\frac {2}{3}}{\frac {K}{Nk_{B}}}.}$

( 3 )

Уравнение ( 3 ) является одним из важных результатов кинетической теории: средняя молекулярная кинетическая энергия пропорциональна абсолютной температуре по закону идеального газа . Из уравнений ( 1 ) и ( 3 ) имеем

${\displaystyle \displaystyle PV={\frac {2}{3}}K.}$

( 4 )

Таким образом, произведение давления и объема на моль пропорционально средней (поступательной) молекулярной кинетической энергии.

Уравнение ( 1 ) и уравнение ( 4 ) называются «классическими результатами», которые также могут быть получены из статистической механики ; подробнее см .: ^[16]

Поскольку в системе одноатомного газа с частицами существуют степени свободы , кинетическая энергия, приходящаяся на одну степень свободы на молекулу, равна${\displaystyle \displaystyle 3N}$${\displaystyle \displaystyle N}$

${\displaystyle \displaystyle {\frac {K}{3N}}={\frac {k_{B}T}{2}}}$

( 5 )

В кинетической энергии на степень свободы постоянная пропорциональности температуры составляет 1/2 постоянной Больцмана или R / 2 на моль. В дополнение к этому, температура будет снижаться, когда давление упадет до определенной точки. ^{[ почему? ]} Этот результат связан с теоремой о равнораспределении .

Двухатомные газы должны иметь 7 степеней свободы, но более легкие двухатомные газы действуют так, как будто они имеют только 5. Одноатомные газы имеют 3 степени свободы.

Таким образом, кинетическая энергия на кельвин (одноатомный идеальный газ ) равна 3 [R / 2] = 3R / 2:

• на моль: 12,47 Дж
• на молекулу: 20,7 мкДж = 129 мкэВ.

При стандартной температуре (273,15 К) получаем:

• на моль: 3406 Дж
• на молекулу: 5,65 zJ = 35,2 мэВ.

Столкновения с контейнером [ править ]

Распределение скорости частиц, ударяющихся о стенку контейнера, можно рассчитать ^[17] на основе наивной кинетической теории, и результат может быть использован для анализа скорости эффузивного потока :

Предположим, что в контейнере плотность числа равна и частицы подчиняются распределению Максвелла по скоростям :${\displaystyle n}$

${\displaystyle f_{\text{Maxwell}}(v_{x},v_{y},v_{z})\,dv_{x}dv_{y}dv_{z}=\left({\frac {m}{2\pi kT}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}\,dv_{x}dv_{y}dv_{z}}$

Тогда количество частиц, ударяющих по площади со скоростью под углом к нормали, за интервал времени равно: ${\displaystyle dA}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle nv\cos {\theta }\,dAdt{\times }\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv{d\theta }d\phi )}$.

Интегрирование этого по всем подходящим скоростям в пределах ограничения дает количество атомных или молекулярных столкновений со стенкой контейнера на единицу площади в единицу времени:${\displaystyle v>0,0<\theta <\pi /2,0<\phi <2\pi }$

${\displaystyle J_{\text{collision}}={\frac {1}{4}}n{\bar {v}}={\frac {n}{4}}{\sqrt {\frac {8k_{B}T}{\pi m}}}.}$

Эта величина также известна как «скорость столкновения» в физике вакуума.

Если пробить этот небольшой участок и превратить его в маленькое отверстие, скорость эффузивного потока будет:${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Phi _{\text{effusion}}=J_{\text{collision}}A=nA{\sqrt {\frac {k_{B}T}{2\pi m}}}.}$

В сочетании с законом идеального газа это дает:

${\displaystyle \Phi _{\text{effusion}}={\frac {PA}{\sqrt {2\pi mk_{B}T}}}.}$

Распределение скоростей частиц, попадающих в эту небольшую область:

${\displaystyle {\begin{aligned}f(v,\theta ,\phi )\,dv{d\theta }d\phi &={\text{const.}}{\times }(v\cos {\theta }){\times }e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}{\times }(v^{2}\sin {\theta }\,dv{d\theta }d\phi )\\&={\text{const.}}{\times }(v^{3}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}dv){\times }(\cos {\theta }\sin {\theta }\,{d\theta }){\times }d\phi \end{aligned}}}$

с ограничением и const. можно определить условием нормировки быть .${\displaystyle v>0,\,0<\theta <{\frac {\pi }{2}},\,0<\phi <2\pi }$${\displaystyle {\frac {1}{2\pi }}\left({\frac {m}{k_{B}T}}\right)^{2}}$

Скорость молекул [ править ]

Из формулы кинетической энергии можно показать, что

${\displaystyle v_{\text{p}}={\sqrt {2\cdot {\frac {k_{B}T}{m}}}},}$

${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}={\sqrt {{\frac {8}{\pi }}\cdot {\frac {k_{B}T}{m}}}},}$

${\displaystyle v_{\text{rms}}={\sqrt {\frac {3}{2}}}v_{p}={\sqrt {{3}\cdot {\frac {k_{B}T}{m}}}},}$

где v выражается в м / с, T - в кельвинах, а m - масса одной молекулы газа. Наиболее вероятная (или режимная) скорость составляет 81,6% от среднеквадратичной скорости , а средняя (средняя арифметическая или средняя) скорость составляет 92,1% от среднеквадратичной скорости ( изотропное распределение скоростей ).${\displaystyle v_{\text{p}}}$${\displaystyle v_{\text{rms}}}$${\displaystyle {\bar {v}}}$

Видеть:

• Средний ,
• Среднеквадратичная скорость
• Среднее арифметическое
• Иметь в виду
• Режим (статистика)

Свойства транспорта [ править ]

Кинетическая теория газов имеет дело не только с газами, находящимися в термодинамическом равновесии, но также, что очень важно, с газами, не находящимися в термодинамическом равновесии. Это означает использование кинетической теории для рассмотрения так называемых «транспортных свойств», таких как вязкость , теплопроводность и массовая диффузия .

Вязкость и кинетический импульс [ править ]

В книгах по элементарной кинетической теории ^[18] можно найти широко используемые результаты моделирования разреженного газа. Вывод кинетической модели сдвиговой вязкости обычно начинается с рассмотрения течения Куэтта, в котором две параллельные пластины разделены слоем газа. Верхняя пластина движется с постоянной скоростью вправо из-за силы F. Нижняя пластина неподвижна, и поэтому на нее должна действовать равная и противоположная сила, чтобы удерживать ее в состоянии покоя. Молекулы в слое газа имеют поступательную составляющую скорости, которая равномерно увеличивается с расстоянием над нижней пластиной. Неравновесный поток накладывается на равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений.${\displaystyle u}$${\displaystyle y}$

Пусть - сечение столкновения одной молекулы с другой. Числовая плотность определяется как количество молекул в (обширном) объеме . Сечение столкновения на объем или плотность сечения столкновения составляет , и это связано со средней длиной свободного пробега соотношением ${\displaystyle \sigma }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n=N/V}$${\displaystyle n\sigma }$ ${\displaystyle l}$

${\displaystyle l={\frac {1}{{\sqrt {2}}n\sigma }}}$

Обратите внимание, что единица измерения поперечного сечения столкновения на объем обратно пропорциональна длине. Средняя длина свободного пробега - это среднее расстояние, которое проходит молекула или количество молекул в объеме, прежде чем они совершат свое первое столкновение.${\displaystyle n\sigma }$

Позвольте быть поступательной скоростью газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Число молекул, прибывающих в область на одной стороне газового слоя со скоростью, отклоненной от нормали, за интервал времени равно ${\displaystyle u_{0}}$${\displaystyle dA}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle nv\cos {\theta }\,dAdt{\times }\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{3/2}\,e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv{d\theta }d\phi )}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии выше и ниже газового слоя, и каждая из них будет вносить прямой импульс в${\displaystyle l\cos \theta }$

${\displaystyle p_{x}^{\pm }=m\left(u_{0}\pm l\cos \theta \,{du \over dy}\right),}$

где знак плюс относится к молекулам сверху, а знак минус снизу. Обратите внимание, что градиент скорости поступательного движения можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега. ${\displaystyle du/dy}$

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

${\displaystyle {\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}}$

дает прямую передачу импульса в единицу времени на единицу площади (также известную как напряжение сдвига ):

${\displaystyle \tau ^{\pm }={\frac {1}{4}}{\bar {v}}n\cdot m\left(u_{0}\pm {\frac {2}{3}}l\,{du \over dy}\right)}$

Таким образом, чистая скорость количества движения на единицу площади, переносимого по воображаемой поверхности, равна

${\displaystyle \tau =\tau ^{+}-\tau ^{-}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nm\cdot l\,{du \over dy}}$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с законом вязкости Ньютона

${\displaystyle \tau =\eta \,{du \over dy}}$

дает уравнение для вязкости сдвига, которое обычно обозначают, когда речь идет о разреженном газе:${\displaystyle \eta _{0}}$

${\displaystyle \eta _{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nml}$

Объединение этого уравнения с уравнением для длины свободного пробега дает

${\displaystyle \eta _{0}={\frac {1}{3{\sqrt {2}}}}{\frac {m\cdot {\bar {v}}}{\sigma }}}$

Распределение Максвелла-Больцмана дает среднюю (равновесную) скорость молекул как

${\displaystyle {\bar {v}}={\frac {2}{\sqrt {\pi }}}v_{p}=2{\sqrt {{\frac {2}{\pi }}\cdot {\frac {k_{B}T}{m_{}}}}}}$

где - наиболее вероятная скорость. Отметим, что${\displaystyle v_{p}}$

${\displaystyle k_{B}\cdot N_{A}=R\quad {\text{and}}\quad M=m\cdot N_{A}}$

и вставьте скорость в уравнение вязкости выше. Это дает хорошо известное уравнение сдвиговой вязкости для разреженных газов :

${\displaystyle \eta _{0}={\frac {2}{3{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {\sqrt {mk_{B}T}}{\sigma }}={\frac {2}{3{\sqrt {\pi }}}}\cdot {\frac {\sqrt {MRT}}{\sigma \cdot N_{A}}}}$

и - молярная масса . Приведенное выше уравнение предполагает, что плотность газа низкая (т.е. давление низкое). Это означает, что кинетическая поступательная энергия преобладает над вращательной и колебательной энергиями молекул. Уравнение вязкости также предполагает, что существует только один тип молекул газа и что молекулы газа представляют собой совершенные упругие частицы с твердым ядром сферической формы. Это предположение об упругих сферических молекулах с твердым ядром, таких как бильярдные шары, означает, что сечение столкновения одной молекулы можно оценить следующим образом:${\displaystyle M}$

${\displaystyle \sigma =\pi \left(2r\right)^{2}=\pi d^{2}}$

Радиус называется радиусом поперечного сечения столкновения или кинетическим радиусом, а диаметр называется диаметром поперечного сечения столкновения или кинетическим диаметром молекулы в мономолекулярном газе. Нет простой общей связи между сечением столкновения и размером твердого ядра (достаточно сферической) молекулы. Соотношение зависит от формы потенциальной энергии молекулы. Для реальной сферической молекулы (то есть атома благородного газа или достаточно сферической молекулы) потенциал взаимодействия больше похож на потенциал Леннарда-Джонса или потенциал Морзе, у которых есть отрицательная часть, которая притягивает другую молекулу с расстояний, превышающих радиус твердого ядра.${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$Радиус для нулевого потенциала Леннарда-Джонса затем подходит для использования в качестве оценки кинетического радиуса.

Теплопроводность и тепловой поток [ править ]

Следуя той же логике, что и выше, можно вывести кинетическую модель теплопроводности ^[18] разреженного газа:

Рассмотрим две параллельные пластины, разделенные слоем газа. Обе пластины имеют одинаковую температуру и настолько массивны по сравнению со слоем газа, что их можно рассматривать как тепловые резервуары . Верхняя плита имеет более высокую температуру, чем нижняя плита. Молекулы в газовом слое обладают молекулярной кинетической энергией, которая равномерно увеличивается с расстоянием над нижней пластиной. Неравновесный поток энергии накладывается на равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений. ${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle y}$

Позвольте быть молекулярной кинетической энергией газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри газового слоя. Число молекул, прибывающих в область на одной стороне газового слоя со скоростью, отклоненной от нормали, за интервал времени равно ${\displaystyle \varepsilon _{0}}$${\displaystyle dA}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle \quad nv\cos {\theta }\,dAdt{\times }\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv{d\theta }d\phi )}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии выше и ниже газового слоя, и каждая из них будет давать молекулярную кинетическую энергию${\displaystyle l\cos \theta }$

${\displaystyle \quad \varepsilon ^{\pm }=\left(\varepsilon _{0}\pm mc_{v}l\cos \theta \,{dT \over dy}\right),}$

где - удельная теплоемкость . Опять же, знак плюс применяется к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент температуры можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега. ${\displaystyle c_{v}}$${\displaystyle dT/dy}$

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

${\displaystyle {\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}}$

дает передачу энергии в единицу времени на единицу площади (также известную как тепловой поток ):

${\displaystyle \quad q_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}n\cdot \left(\varepsilon _{0}\pm {\frac {2}{3}}mc_{v}l\,{dT \over dy}\right)}$

Обратите внимание, что передача энергии сверху происходит в направлении, и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Таким образом, чистый тепловой поток через воображаемую поверхность равен${\displaystyle -y}$

${\displaystyle \quad q=q_{y}^{+}-q_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}nmc_{v}l\,{dT \over dy}}$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с законом Фурье

${\displaystyle \quad q=-\kappa \,{dT \over dy}}$

дает уравнение теплопроводности, которое обычно обозначают, когда речь идет о разреженном газе:${\displaystyle \kappa _{0}}$

${\displaystyle \quad \kappa _{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}nmc_{v}l}$

Коэффициент диффузии и диффузионный поток [ править ]

Следуя той же логике, что и выше, можно вывести кинетическую модель для массовой диффузии ^[18] разреженного газа:

Рассмотрим устойчивую диффузию между двумя областями одного и того же газа с идеально плоскими и параллельными границами, разделенными слоем того же газа. Обе области имеют одинаковую числовую плотность , но верхняя область имеет более высокую числовую плотность, чем нижняя область. В установившемся состоянии плотность числа в любой точке постоянна (то есть не зависит от времени). Однако числовая плотность в слое равномерно увеличивается с расстоянием над нижней пластиной. Неравновесный молекулярный поток накладывается на равновесное распределение Максвелла-Больцмана молекулярных движений. ${\displaystyle n}$${\displaystyle y}$

Пусть будет плотность газа на воображаемой горизонтальной поверхности внутри слоя. Число молекул, прибывающих в область на одной стороне газового слоя со скоростью, отклоненной от нормали, за интервал времени равно ${\displaystyle n_{0}}$${\displaystyle dA}$${\displaystyle v}$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle dt}$

${\displaystyle \quad nv\cos {\theta }\,dAdt{\times }\left({\frac {m}{2\pi k_{B}T}}\right)^{\frac {3}{2}}e^{-{\frac {mv^{2}}{2k_{B}T}}}(v^{2}\sin {\theta }\,dv{d\theta }d\phi )}$

Эти молекулы совершили свое последнее столкновение на расстоянии выше и ниже газового слоя, где локальная числовая плотность равна${\displaystyle l\cos \theta }$

${\displaystyle \quad n^{\pm }=\left(n_{0}\pm l\cos \theta \,{dn \over dy}\right)}$

Опять же, знак плюс применяется к молекулам сверху, а знак минус - снизу. Обратите внимание, что градиент числовой плотности можно считать постоянным на расстоянии длины свободного пробега.${\displaystyle dn/dy}$

Интегрирование по всем подходящим скоростям в пределах ограничения

${\displaystyle {\begin{cases}v>0\\0<\theta <\pi /2\\0<\phi <2\pi \end{cases}}}$

дает молекулярный перенос в единицу времени на единицу площади (также известный как диффузионный поток ):

${\displaystyle \quad J_{y}^{\pm }=-{\frac {1}{4}}{\bar {v}}\cdot \left(n_{0}\pm {\frac {2}{3}}l\,{dn \over dy}\right)}$

Обратите внимание, что молекулярный перенос сверху находится в направлении, и, следовательно, общий знак минус в уравнении. Таким образом, суммарный диффузионный поток через воображаемую поверхность равен${\displaystyle -y}$

${\displaystyle \quad J=J_{y}^{+}-J_{y}^{-}=-{\frac {1}{3}}{\bar {v}}l{dn \over dy}}$

Комбинируя приведенное выше кинетическое уравнение с первым законом диффузии Фика

${\displaystyle \quad J=-D{dn \over dy}}$

дает уравнение для массовой диффузии, которое обычно обозначают, когда речь идет о разреженном газе:${\displaystyle D_{0}}$

${\displaystyle \quad D_{0}={\frac {1}{3}}{\bar {v}}l}$

См. Также [ править ]

• Иерархия уравнений Боголюбова-Борна-Грина-Кирквуда-Ивона
• Уравнение Больцмана
• Теория столкновений
• Критическая температура
• Газовые законы
• Высокая температура
• Межатомный потенциал
• Магнитогидродинамика
• Распределение Максвелла – Больцмана
• Mixmaster динамика
• Термодинамика
• Модель Вичека
• Уравнение Власова

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Клаузиус, Р. (1857), «Ueber die Art der Bewegung, welche wir Wärme nennen» , Annalen der Physik , 176 (3): 353–379, Bibcode : 1857AnP ... 176..353C , doi : 10.1002 / andp .18571760302

• де Гроот, С.Р., В.А. ван Леувен и Ч. Г. ван Веерт (1980), Релятивистская кинетическая теория, Северная Голландия, Амстердам.
• Эйнштейн, А. (1905), "Über die von der molkularkinetischen Theorie der Wärme geforderte Bewegung von in ruhenden Flüssigkeiten suspendierten Teilchen" (PDF) , Annalen der Physik , 17 (8): 549–560, Bibcode : 1905 ... ..549E , DOI : 10.1002 / andp.19053220806

• Град, Harold (1949), "На кинетической теории разреженных газов", Коммуникации на чистой и прикладной математики , 2 (4): 331-407, DOI : 10.1002 / cpa.3160020403

• Herapath, J. (1816), «О физических свойствах газов» , Annals of Philosophy , Роберт Болдуин: 56–60

• Херапат, Дж. (1821), «О причинах, законах и явлениях тепла, газов, гравитации» , Annals of Philosophy , Baldwin, Cradock, and Joy, 9 : 273–293.

• Крёниг, А. (1856), "Grundzüge einer Theorie der Gase" , Annalen der Physik , 99 (10): 315–322, Bibcode : 1856AnP ... 175..315K , doi : 10.1002 / andp.18561751008

• Ле Саж, Г.-Л. (1818), «Physique Mécanique des Georges-Louis Le Sage» , в Prevost, Pierre (ed.), Deux Traites de Physique Mécanique , Geneva & Paris: JJ Paschoud, стр. 1–186.

• Либофф, Р.Л. (1990), кинетическая теория, Прентис-Холл, Энглвудские скалы, Нью-Джерси
• Ломоносов М. (1970) [1758], «О соотношении количества материала и веса» , в Генри М. Лестере (ред.), Михаил Васильевич Ломоносов о корпускулярной теории , Кембридж: издательство Гарвардского университета, стр. 224–233

• Махон, Бэзил (2003), Человек, который все изменил - жизнь Джеймса Клерка Максвелла , Хобокен, Нью-Джерси: Wiley, ISBN 0-470-86171-1

• Максвелл, Джеймс Клерк (1873), «Молекулы» , Природа , 417 (6892): 903, Bibcode : 2002Natur.417..903M , doi : 10.1038 / 417903a , PMID  12087385 , S2CID  4417753 , заархивировано из оригинала (- ^{Scholar search} ) 9 февраля 2007 г.
• Смолуховский, М. (1906), "Zur kinetischen Теорье дер Brownschen Molekularbewegung унд дер Suspensionen" , Annalen дер Physik , 21 (14): 756-780, Bibcode : 1906AnP ... 326..756V , DOI : 10.1002 / и р. 19063261405

• Уотерстон, Джон Джеймс (1843), Мысли о психических функциях(перепечатано в его Papers , 3 , 167, 183.)

• Уильямс, MMR (1971). Математические методы в теории переноса частиц . Баттервортс, Лондон. ISBN 9780408700696.

Дальнейшее чтение [ править ]

• Сидней Чепмен и Т. Г. Каулинг (1939/1970). Математическая теория неоднородных газов: учет кинетической теории вязкости, теплопроводности и диффузии в газах (первое издание 1939 г., второе издание 1952 г.), третье издание 1970 г., подготовленное в сотрудничестве с Д. Бернеттом, Кембриджский университет Пресса, Лондон.
• Дж. О. Хиршфельдер, К. Ф. Кертисс и Р. Б. Берд (1964). Молекулярная теория газов и жидкостей , второе издание (Wiley).
• Р.Л. Либофф (2003). Кинетическая теория: классические, квантовые и релятивистские описания , третье издание (Springer).
• Б. Рахими и Х. Страчтруп, Макроскопическое и кинетическое моделирование разреженных многоатомных газов , Journal of Fluid Mechanics, 806, 437–505, 2016. DOI: https://dx.doi.org/10.1017/jfm.2016.604

Внешние ссылки [ править ]

• Ранние теории газов
• Термодинамика - глава из онлайн-учебника
• Температура и давление идеального газа: уравнение состояния в проекте PHYSNET .
• Введение в кинетическую молекулярную теорию газов от школьного совета округа Верхняя Канада
• Java-анимация, иллюстрирующая кинетическую теорию, от Университета Арканзаса.
• Блок- схема, объединяющая концепции кинетической теории, от HyperPhysics
• Интерактивные апплеты Java, позволяющие старшеклассникам экспериментировать и обнаруживать, как различные факторы влияют на скорость химических реакций.
• https://www.youtube.com/watch?v=47bF13o8pb8&list=UUXrJjdDeqLgGjJbP1sMnH8A Демонстрационный аппарат для термического перемешивания в газах.