Упругое столкновение

Эта статья требует дополнительных ссылок для проверки . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью , добавив цитаты из надежных источников . Материал, не полученный от источника, может быть оспорен и удален. Найти источники:  «Упругое столкновение»  -  новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( сентябрь 2020 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение-шаблон )

Пока излучение абсолютно черного тела (не показано) не выходит из системы, атомы при тепловом возбуждении претерпевают по существу упругие столкновения. В среднем два атома отскакивают друг от друга с той же кинетической энергией, что и до столкновения. Пять атомов окрашены в красный цвет, поэтому их пути движения легче увидеть.

Упругое столкновение является столкновение двух тел , в которых суммарная кинетическая энергия двух тел остается тем же самым . В идеальном, идеально упругом столкновении нет чистого преобразования кинетической энергии в другие формы, такие как тепло, шум или потенциальная энергия.

Во время столкновения малых объектов кинетическая энергия сначала преобразуется в потенциальную энергию, связанную с силой отталкивания между частицами (когда частицы движутся против этой силы, т.е. угол между силой и относительной скоростью тупой), затем эта потенциальная энергия преобразуется обратно в кинетическую энергию (когда частицы движутся с этой силой, то есть угол между силой и относительной скоростью острый).

Столкновения атомов упругие, например обратное резерфордовское рассеяние .

Полезный частный случай упругого столкновения - это когда два тела имеют равную массу, и в этом случае они просто обмениваются своими импульсами.

Молекулы -as отличие от атомов -of в газе или жидкость редко испытывают идеально упругие столкновения , так как происходит обмен кинетической энергии поступательного движения между молекулами и их внутренними степенями свободы при каждом столкновении. В любой момент половина столкновений в той или иной степени являются неупругими столкновениями (пара обладает меньшей кинетической энергией в своих поступательных движениях после столкновения, чем до этого), а половина может быть описана как «сверхупругие» (обладающие большей кинетической энергией. после столкновения, чем до). В среднем по всему образцу молекулярные столкновения можно рассматривать как по существу упругие, покаЗакон Планка запрещает фотонам черного тела уносить энергию из системы.

В случае макроскопических тел идеально упругие столкновения - это идеал, который никогда не реализуется полностью, но приближается к взаимодействию таких объектов, как бильярдные шары.

При рассмотрении энергий возможная энергия вращения до и / или после столкновения также может играть роль.

Уравнения [ править ]

Одномерный Ньютон [ править ]

Воспроизвести медиа

Профессор Уолтер Левин объясняет одномерные упругие столкновения

При упругом столкновении сохраняется как импульс, так и кинетическая энергия. ^[1] Рассмотрим частицы 1 и 2 с массами m ₁ , m ₂ и скоростями u ₁ , u ₂ до столкновения, v ₁ , v ₂ после столкновения. Сохранение полного импульса до и после столкновения выражается следующим образом: ^[1]

${\ displaystyle \, \! m_ {1} u_ {1} + m_ {2} u_ {2} \ = \ m_ {1} v_ {1} + m_ {2} v_ {2}.}$

Точно так же сохранение полной кинетической энергии выражается следующим образом: ^[1]

${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} u_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} u_ {2} ^ {2} \ = \ {\ tfrac {1} {2}} m_ {1} v_ {1} ^ {2} + {\ tfrac {1} {2}} m_ {2} v_ {2} ^ {2}.}$

Эти уравнения можно решить напрямую, чтобы узнать, когда они известны: ^[2]${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$${\ displaystyle u_ {1}, u_ {2}}$

${\ displaystyle {\ begin {array} {ccc} v_ {1} & = & \ displaystyle {\ frac {m_ {1} -m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1 } + {\ frac {2m_ {2}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} \\ [. 5em] v_ {2} & = & \ displaystyle {\ frac {2m_ {1} } {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {1} + {\ frac {m_ {2} -m_ {1}} {m_ {1} + m_ {2}}} u_ {2} \ end {множество}}}$

Если обе массы одинаковы, у нас есть тривиальное решение:

${\ Displaystyle \ v_ {1} = и_ {2}}$

${\ Displaystyle \ v_ {2} = и_ {1}}$.

Это просто соответствует обмену телами начальных скоростей друг с другом. ^[2]

Как и следовало ожидать, решение является инвариантным относительно добавления константы ко всем скоростям, что похоже на использование системы отсчета с постоянной поступательной скоростью. Действительно, чтобы вывести уравнения, можно сначала изменить систему отсчета так, чтобы одна из известных скоростей была равна нулю, определить неизвестные скорости в новой системе отсчета и преобразовать обратно в исходную систему отсчета.

Примеры [ править ]

Шар 1: масса = 3 кг, скорость = 4 м / с

Шар 2: масса = 5 кг, скорость = −6 м / с

После столкновения:

Шар 1: скорость = -8,5 м / с

Шар 2: скорость = 1,5 м / с

Другая ситуация:

Ниже иллюстрирует случай одинаковой массы, .${\ displaystyle m_ {1} = m_ {2}}$

В предельном случае, когда весло намного больше, чем , например, ракетка для пинг-понга, ударяющая по мячу для пинг-понга или внедорожник, ударяющий по мусорному ведру, более тяжелая масса почти не меняет скорость, в то время как более легкая масса отскакивает, меняя свою скорость на противоположную. вдвое больше, чем у тяжелого. ^[3]${\ displaystyle m_ {1}}$${\displaystyle m_{2}}$

В случае большого , значение мало, если массы примерно одинаковы: столкновение с гораздо более легкой частицей не сильно меняет скорость, столкновение с гораздо более тяжелой частицей заставляет быструю частицу отскакивать назад с высокой скоростью. Вот почему замедлитель нейтронов (среда, которая замедляет быстрые нейтроны , тем самым превращая их в тепловые нейтроны, способные поддерживать цепную реакцию ) представляет собой материал, полный атомов с легкими ядрами, которые не легко поглощают нейтроны: самые легкие ядра имеют примерно такая же масса, как у нейтрона .${\displaystyle u_{1}}$${\displaystyle v_{1}}$

Вывод решения [ править ]

Чтобы вывести приведенные выше уравнения для , измените уравнения кинетической энергии и импульса:${\displaystyle v_{1},v_{2}}$

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}^{2}-u_{1}^{2})=m_{2}(u_{2}^{2}-v_{2}^{2})}$

${\displaystyle \ m_{1}(v_{1}-u_{1})=m_{2}(u_{2}-v_{2})}$

Разделив каждую сторону верхнего уравнения на каждую сторону нижнего уравнения и используя , получаем:${\displaystyle {\tfrac {a^{2}-b^{2}}{(a-b)}}=a+b}$

${\displaystyle \ v_{1}+u_{1}=u_{2}+v_{2}\quad \Rightarrow \quad v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$.

То есть относительная скорость одной частицы по отношению к другой в результате столкновения меняется на противоположную.

Теперь приведенные выше формулы следуют из решения системы линейных уравнений для , считающихся константами:${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle m_{1},m_{2},u_{1},u_{2}}$

${\displaystyle \left\{{\begin{array}{rcrcc}v_{1}&-&v_{2}&=&u_{2}-u_{1}\\m_{1}v_{1}&+&m_{2}v_{2}&=&m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}.\end{array}}\right.}$

Как только определяется, можно найти по симметрии.${\displaystyle v_{1}}$${\displaystyle v_{2}}$

Центр масс кадра [ править ]

Относительно центра масс обе скорости меняются в результате столкновения: тяжелая частица медленно движется к центру масс и отскакивает назад с той же низкой скоростью, а легкая частица быстро движется к центру масс и отскакивает. обратно с такой же высокой скоростью.

Скорость центра масс не меняется при столкновении. Чтобы увидеть это, рассмотрим центр масс во время до столкновения и время после столкновения:${\displaystyle \ t}$${\displaystyle \ t'}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t)={\frac {m_{1}x_{1}(t)+m_{2}x_{2}(t)}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle {\bar {x}}(t')={\frac {m_{1}x_{1}(t')+m_{2}x_{2}(t')}{m_{1}+m_{2}}}}$.

Следовательно, скорости центра масс до и после столкновения равны:

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle \ v_{\bar {x}}'={\frac {m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$.

В числителе и - суммарные импульсы до и после столкновения. Поскольку импульс сохраняется, у нас есть .${\displaystyle \ v_{\bar {x}}}$${\displaystyle \ v_{\bar {x}}'}$${\displaystyle \ v_{\bar {x}}=\ v_{\bar {x}}'}$

Одномерный релятивистский [ править ]

Согласно специальной теории относительности ,

${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

Где p обозначает импульс любой частицы с массой, v обозначает скорость, а c - скорость света.

В центре системы отсчета импульса, где полный импульс равен нулю,

${\displaystyle p_{1}=-p_{2}}$

${\displaystyle p_{1}^{2}=p_{2}^{2}}$

${\displaystyle {\sqrt {m_{1}^{2}c^{4}+p_{1}^{2}c^{2}}}+{\sqrt {m_{2}^{2}c^{4}+p_{2}^{2}c^{2}}}=E}$

${\displaystyle p_{1}=\pm {\frac {\sqrt {E^{4}-2E^{2}m_{1}^{2}c^{4}-2E^{2}m_{2}^{2}c^{4}+m_{1}^{4}c^{8}-2m_{1}^{2}m_{2}^{2}c^{8}+m_{2}^{4}c^{8}}}{2cE}}}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}}$.

Здесь представляют остальные массовые эс двух сталкивающихся тел, представляют их скорости до столкновения, их скорости после столкновения, их импульсы, является скорость света в вакууме, и обозначает полную энергию, сумма масс покоя и кинетической энергий два тела.${\displaystyle m_{1},m_{2}}$${\displaystyle u_{1},u_{2}}$${\displaystyle v_{1},v_{2}}$${\displaystyle p_{1},p_{2}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle E}$

Поскольку полная энергия и импульс системы сохраняются, а их массы покоя не изменяются, показано, что импульс сталкивающегося тела определяется массами покоя сталкивающихся тел, полной энергией и полным импульсом. По отношению к центру системы отсчета импульса импульс каждого сталкивающегося тела не меняет величину после столкновения, а меняет направление своего движения на противоположное.

По сравнению с классической механикой , которая дает точные результаты, имея дело с макроскопическими объектами, движущимися намного медленнее, чем скорость света , общий импульс двух сталкивающихся тел зависит от системы координат. В центре системы отсчета импульса , согласно классической механике,

${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}={0}\,\!}$

${\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}u_{2})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{2}v_{2})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{2}u_{2})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{2}v_{2})^{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{2}=-v_{2}\,\!}$

${\displaystyle {\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}u_{1})^{2}}{2m_{2}}}={\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{1}}}+{\frac {(m_{1}v_{1})^{2}}{2m_{2}}}\,\!}$

${\displaystyle (m_{1}+m_{2})(m_{1}u_{1})^{2}=(m_{1}+m_{2})(m_{1}v_{1})^{2}\,\!}$

${\displaystyle u_{1}=-v_{1}\,\!}$

Это согласуется с релятивистским расчетом , несмотря на другие различия. ${\displaystyle u_{1}=-v_{1}}$

Один из постулатов специальной теории относительности гласит, что законы физики, такие как сохранение импульса, должны быть инвариантными во всех инерциальных системах отсчета. В общей инерциальной системе отсчета, где полный импульс может быть произвольным,

${\displaystyle {\frac {m_{1}\;u_{1}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;u_{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}\;v_{1}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}\;v_{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=p_{T}}$

${\displaystyle {\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-u_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-u_{2}^{2}/c^{2}}}}={\frac {m_{1}c^{2}}{\sqrt {1-v_{1}^{2}/c^{2}}}}+{\frac {m_{2}c^{2}}{\sqrt {1-v_{2}^{2}/c^{2}}}}=E}$

Мы можем рассматривать два движущихся тела как одну систему, у которой есть полный импульс , полная энергия, а ее скорость - это скорость центра масс. Относительно центра системы отсчета количества движения полный импульс равен нулю. Можно показать, что определяется:${\displaystyle p_{T}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle v_{c}}$${\displaystyle v_{c}}$

${\displaystyle v_{c}={\frac {p_{T}c^{2}}{E}}}$

Теперь скорости до столкновения в центре системы отсчета импульса и равны:${\displaystyle u_{1}'}$${\displaystyle u_{2}'}$

${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v_{c}}{1-{\frac {u_{1}v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}-v_{c}}{1-{\frac {u_{2}v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{1}'=-u_{1}'}$

${\displaystyle v_{2}'=-u_{2}'}$

${\displaystyle v_{1}={\frac {v_{1}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{1}'v_{c}}{c^{2}}}}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {v_{2}'+v_{c}}{1+{\frac {v_{2}'v_{c}}{c^{2}}}}}}$

Когда и ,${\displaystyle u_{1}\ll c}$${\displaystyle u_{2}\ll c}$

${\displaystyle p_{T}}$ ≈ ${\displaystyle m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}$

${\displaystyle v_{c}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle u_{1}'}$≈ ≈${\displaystyle u_{1}-v_{c}}$${\displaystyle {\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{1}-m_{1}u_{1}-m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {m_{2}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle u_{2}'}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{1}'}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{2}(u_{2}-u_{1})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}'}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {m_{1}(u_{1}-u_{2})}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{1}}$≈ ≈${\displaystyle v_{1}'+v_{c}}$${\displaystyle {\frac {m_{2}u_{2}-m_{2}u_{1}+m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}}$ ≈ ${\displaystyle {\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

Следовательно, классический расчет верен, когда скорость обоих сталкивающихся тел намного ниже скорости света (~ 300 миллионов м / с).

Релятивистский вывод с использованием гиперболических функций [ править ]

Мы используем так называемый параметр скорости (обычно называемый быстротой ), чтобы получить:${\displaystyle s}$

${\displaystyle v/c={\mbox{tanh}}(s)}$

отсюда мы получаем

${\displaystyle {\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}={\mbox{ sech}}(s)}$

Релятивистская энергия и импульс выражаются следующим образом:

${\displaystyle E={\frac {mc^{2}}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc^{2}{\mbox{cosh}}(s)}$

${\displaystyle p={\frac {mv}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}=mc{\mbox{ sinh}}(s)}$

Уравнения сумме энергии и импульса сталкивающихся масс и , (скорости , , , соответствуют параметрам скорости , , , ), после деления на достаточную мощность следующим образом :${\displaystyle {m_{1}}}$${\displaystyle {m_{2}}}$${\displaystyle {v_{1}}}$${\displaystyle {v_{2}}}$${\displaystyle {u_{1}}}$${\displaystyle {u_{2}}}$${\displaystyle {s_{1}}}$${\displaystyle {s_{2}}}$${\displaystyle {s_{3}}}$${\displaystyle {s_{4}}}$${\displaystyle {c}}$

${\displaystyle m_{1}{\mbox{cosh}}(s_{1})+m_{2}{\mbox{cosh}}(s_{2})=m_{1}{\mbox{cosh}}(s_{3})+m_{2}{\mbox{cosh}}(s_{4})}$

${\displaystyle m_{1}{\mbox{sinh}}(s_{1})+m_{2}{\mbox{sinh}}(s_{2})=m_{1}{\mbox{sinh}}(s_{3})+m_{2}{\mbox{sinh}}(s_{4})}$

и зависимое уравнение, сумма приведенных выше уравнений:

${\displaystyle m_{1}e^{s_{1}}+m_{2}e^{s_{2}}=m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}$

вычтем квадраты обеих сторон уравнения "импульс" из "энергии" и используем тождество , после простоты мы получим:${\displaystyle {\mbox{cosh}}^{2}(s)-{\mbox{sinh}}^{2}(s)=1}$

${\displaystyle 2m_{1}m_{2}({\mbox{cosh}}(s_{1}){\mbox{cosh}}(s_{2})-{\mbox{sinh}}(s_{2}){\mbox{sinh}}(s_{1}))=2m_{1}m_{2}({\mbox{cosh}}(s_{3}){\mbox{cosh}}(s_{4})-{\mbox{sinh}}(s_{4}){\mbox{sinh}}(s_{3}))}$

для ненулевой массы, используя гиперболическое тригонометрическое тождество cosh (a – b) = ch (a) ch (b) - sinh (b) sinh (a), получаем:

${\displaystyle {\mbox{cosh}}(s_{1}-s_{2})={\mbox{cosh}}(s_{3}-s_{4})}$

поскольку функции четны, мы получаем два решения:${\displaystyle {\mbox{cosh}}(s)}$

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=s_{3}-s_{4}}$

${\displaystyle s_{1}-s_{2}=-s_{3}+s_{4}}$

из последнего уравнения, приводящего к нетривиальному решению, решаем и подставляем в зависимое уравнение, получаем и тогда имеем:${\displaystyle s_{2}}$${\displaystyle e^{s_{1}}}$${\displaystyle e^{s_{2}}}$

${\displaystyle e^{s_{1}}=e^{s_{4}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}}$

${\displaystyle e^{s_{2}}=e^{s_{3}}{\frac {m_{1}e^{s_{3}}+m_{2}e^{s_{4}}}{m_{1}e^{s_{4}}+m_{2}e^{s_{3}}}}}$

Это решение проблемы, но выраженное параметрами скорости. Возвратная подстановка для получения решения для скоростей:

${\displaystyle v_{1}/c={\mbox{tanh}}(s_{1})={\frac {e^{s_{1}}-e^{-s_{1}}}{e^{s_{1}}+e^{-s_{1}}}}}$

${\displaystyle v_{2}/c={\mbox{tanh}}(s_{2})={\frac {e^{s_{2}}-e^{-s_{2}}}{e^{s_{2}}+e^{-s_{2}}}}}$

Подставляем предыдущие решения и заменяем: и после долгого преобразования с заменой: получаем:${\displaystyle e^{s_{3}}={\sqrt {\frac {c+u_{1}}{c-u_{1}}}}}$${\displaystyle e^{s_{4}}={\sqrt {\frac {c+u_{2}}{c-u_{2}}}}}$${\displaystyle Z={\sqrt {(1-u_{1}^{2}/c^{2})(1-u_{2}^{2}/c^{2})}}}$

${\displaystyle v_{1}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{2}Z+2m_{2}^{2}c^{2}u_{2}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})c^{2}u_{1}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{2}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{1}^{2}-m_{2}^{2})u_{2}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}$

${\displaystyle v_{2}={\frac {2m_{1}m_{2}c^{2}u_{1}Z+2m_{1}^{2}c^{2}u_{1}-(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})u_{1}^{2}u_{2}+(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})c^{2}u_{2}}{2m_{1}m_{2}c^{2}Z-2m_{1}^{2}u_{1}u_{2}-(m_{2}^{2}-m_{1}^{2})u_{1}^{2}+(m_{1}^{2}+m_{2}^{2})c^{2}}}}$.

Двумерный [ править ]

В случае двух сталкивающихся тел в двух измерениях общая скорость каждого тела должна быть разделена на две перпендикулярные скорости: одна касательная к общим нормальным поверхностям сталкивающихся тел в точке контакта, а другая - вдоль линии столкновения. Поскольку столкновение передает силу только вдоль линии столкновения, скорости, касающиеся точки столкновения, не изменяются. Затем скорости вдоль линии столкновения можно использовать в тех же уравнениях, что и для одномерного столкновения. Конечные скорости затем могут быть рассчитаны из двух новых компонентных скоростей и будут зависеть от точки столкновения. Исследования двумерных столкновений многих тел проводятся в рамках двумерного газа .

В системе координат центра импульса в любой момент времени скорости двух тел противоположны, а их величины обратно пропорциональны массам. При упругом столкновении эти величины не меняются. Направления могут меняться в зависимости от формы тел и точки удара. Например, в случае сфер угол зависит от расстояния между (параллельными) путями центров двух тел. Возможно любое ненулевое изменение направления: если это расстояние равно нулю, скорости при столкновении меняются на противоположные; если он близок к сумме радиусов сфер, два тела отклоняются лишь незначительно.

Предполагая, что перед столкновением вторая частица находится в состоянии покоя, углы отклонения двух частиц, и , связаны с углом отклонения в системе центра масс соотношением ^[4]${\displaystyle \vartheta _{1}}$${\displaystyle \vartheta _{2}}$${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \tan \vartheta _{1}={\frac {m_{2}\sin \theta }{m_{1}+m_{2}\cos \theta }},\qquad \vartheta _{2}={\frac {{\pi }-{\theta }}{2}}.}$

Величины скоростей частиц после столкновения равны:

${\displaystyle v'_{1}=v_{1}{\frac {\sqrt {m_{1}^{2}+m_{2}^{2}+2m_{1}m_{2}\cos \theta }}{m_{1}+m_{2}}},\qquad v'_{2}=v_{1}{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\sin {\frac {\theta }{2}}.}$

Двумерное столкновение с двумя движущимися объектами [ править ]

Конечные компоненты скоростей x и y первого шара могут быть рассчитаны как: ^[5]

${\displaystyle {\begin{aligned}v'_{1x}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\cos(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\cos(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\\[0.8em]v'_{1y}&={\frac {v_{1}\cos(\theta _{1}-\varphi )(m_{1}-m_{2})+2m_{2}v_{2}\cos(\theta _{2}-\varphi )}{m_{1}+m_{2}}}\sin(\varphi )+v_{1}\sin(\theta _{1}-\varphi )\sin(\varphi +{\frac {\pi }{2}})\end{aligned}}}$

где v ₁ и v ₂ - скалярные размеры двух исходных скоростей объектов, m ₁ и m ₂ - их массы, θ ₁ и θ ₂ - углы их движения, то есть (то есть движение прямо вниз вправо есть либо под углом -45 °, либо под углом 315 °), а фи в нижнем регистре (φ) - это контактный угол. (Чтобы получить скорости второго шара по осям x и y, нужно поменять местами все нижние индексы «1» на «2».)${\displaystyle v_{1x}=v_{1}\cos \theta _{1},\;v_{1y}=v_{1}\sin \theta _{1}}$

Это уравнение получено из того факта, что взаимодействие между двумя телами легко вычисляется по краю контакта, а это означает, что скорости объектов могут быть рассчитаны в одном измерении путем поворота осей x и y, параллельных краю контакта объекты, а затем повернуты обратно в исходную ориентацию, чтобы получить истинные x и y компоненты скоростей ^{[6] [7] [8] [9] [10] [11]}

В безугловом представлении измененные скорости вычисляются с использованием центров x ₁ и x ₂ во время контакта как

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {v} '_{1}&=\mathbf {v} _{1}-{\frac {2m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{1}-\mathbf {v} _{2},\,\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\rangle }{\|\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{1}-\mathbf {x} _{2}),\\\mathbf {v} '_{2}&=\mathbf {v} _{2}-{\frac {2m_{1}}{m_{1}+m_{2}}}\ {\frac {\langle \mathbf {v} _{2}-\mathbf {v} _{1},\,\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\rangle }{\|\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1}\|^{2}}}\ (\mathbf {x} _{2}-\mathbf {x} _{1})\end{aligned}}}$

где угловые скобки указывают внутреннее произведение (или скалярное произведение ) двух векторов.

См. Также [ править ]

• Столкновение
• Неупругое столкновение
• Коэффициент реституции

Ссылки [ править ]

Общие ссылки [ править ]

• Раймонд, Дэвид Дж. «10.4.1 Упругие столкновения». Радикально современный подход к вводной физике: Том 1: Основные принципы . Сокорро, Нью-Мексико: New Mexico Tech Press. ISBN 978-0-9830394-5-7.

Внешние ссылки [ править ]

• Разрешение столкновений твердых тел в трех измерениях, включая вывод с использованием законов сохранения
• VNE Rigid Body Collision Simulation Небольшой 3D-движок с открытым исходным кодом с простой для понимания реализацией упругих столкновений на C
• Визуализируйте двумерное моделирование столкновения двух частиц без столкновения с настраиваемым пользователем коэффициентом восстановления и скоростями частиц (требуется Adobe Shockwave)
• Двумерные упругие столкновения без тригонометрии. Объяснение того, как рассчитывать двумерные упругие столкновения с использованием векторов.
• Bouncescope Бесплатный симулятор упругих столкновений десятков настраиваемых пользователем объектов.
• Управление столкновением мяча с мячом с помощью скрипта Flash Flash для управления упругими столкновениями между любым количеством сфер
• Вывод упругих столкновений
• Вывод формулы упругого соударения, если скорость одного из шаров равна 0