Радиус Бора

Радиус Боры ( ₀ ) является физической константой , равным наиболее вероятного расстояния между ядром и электроном в атоме водорода в его основное состоянии (нерелятивистском и с бесконечно тяжелым протоном). Он назван в честь Нильса Бора из-за его роли в модели атома Бора . Его ценность5,291 772 109 03 (80) × 10 ^-11  м . ^{[1] [примечание 1]}

Определение и значение [ править ]

Радиус Бора: ^[2]

${\ displaystyle a_ {0} = {\ frac {4 \ pi \ varepsilon _ {0} \ hbar ^ {2}} {m _ {\ text {e}} e ^ {2}}} = {\ frac {\ hbar} {m _ {\ text {e}} c \ alpha}}}$

куда:

${\ displaystyle a_ {0}}$ - радиус Бора,

${\ displaystyle \ varepsilon _ {0} \}$является диэлектрической проницаемостью свободного пространства ,

${\ displaystyle \ hbar \}$- приведенная постоянная Планка ,

${\ Displaystyle м _ {\ текст {е}} \}$- масса покоя электрона ,

${\ Displaystyle е \}$это элементарный заряд ,

${\ displaystyle c \}$это скорость света в вакууме, и

${\ Displaystyle \ альфа \}$- постоянная тонкой структуры .

Значение CODATA радиуса Бора (в единицах СИ ) равно5,291 772 109 03 (80) × 10 ^-11  м . ^[1]

Модель Бора выводит радиус для п - го возбужденного состояния в виде водородоподобного атома . Радиус Бора соответствует n = 1 .

Используйте [ редактировать ]

В модели Бора для атомной структуры, выдвинутой Н. Бор в 1913 г., электроны вращаются вокруг центрального ядра под электростатического притяжения. Первоначальный вывод утверждал, что электроны имеют орбитальный угловой момент, кратный приведенной постоянной Планка, что успешно соответствовало наблюдению дискретных уровней энергии в спектрах излучения, наряду с предсказанием фиксированного радиуса для каждого из этих уровней. В простейшем атоме, водороде , один электрон вращается вокруг ядра, и его наименьшая возможная орбита с наименьшей энергией имеет радиус орбиты, почти равный радиусу Бора. (Это не совсем радиус Бора из-зауменьшенный массовый эффект . Они различаются примерно на 0,05%.)

Модель атома Бора была заменена облаком вероятности электрона, подчиняющимся уравнению Шредингера , которое дополнительно усложняется эффектами спина и квантового вакуума, приводящими к возникновению тонкой структуры и сверхтонкой структуры . Тем не менее формула радиуса Бора остается центральной в расчетах атомной физики , отчасти из-за ее простой связи с другими фундаментальными константами. (Вот почему он определяется с использованием истинной массы электрона, а не приведенной массы, как упоминалось выше.) Например, это единица длины в атомных единицах .

Важное отличие состоит в том, что радиус Бора дает радиус с максимальной радиальной плотностью вероятности ^{[3], а} не его ожидаемое радиальное расстояние. Ожидается , радиальное расстояние в 1,5 раза превышает радиус Бора, в результате длинного хвоста радиальной волновой функции. Еще одно важное отличие состоит в том, что в трехмерном пространстве максимальная плотность вероятности возникает в месте расположения ядра, а не на радиусе Бора, тогда как радиальная плотность вероятности достигает максимума на радиусе Бора, то есть при построении распределения вероятностей в его радиальной зависимости .

Связанные объекты [ править ]

Боровский радиус электрона - одна из трех связанных единиц длины, две другие - это комптоновская длина волны электрона и классический радиус электрона . Радиус Бора складывается из массы электрона , постоянной Планка и заряда электрона . Длина волны Комптона построена из , и скорость света . Классический радиус электрона состоит из , и . Любую из этих трех длин можно записать через любую другую, используя постоянную тонкой структуры :${\ displaystyle \ lambda _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle r _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$ ${\ displaystyle \ hbar}$ ${\ displaystyle e}$${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$${\ displaystyle \ hbar}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle m _ {\ mathrm {e}}}$${\ displaystyle c}$${\ displaystyle e}$${\ displaystyle \ alpha}$

${\displaystyle r_{\mathrm {e} }=\alpha {\frac {\lambda _{\mathrm {e} }}{2\pi }}=\alpha ^{2}a_{0}.}$

Радиус Бора примерно в 19 000 раз больше, чем классический радиус электрона (т. Е. Общий масштаб атомов - ангстрем , а масштаб частиц - фемтометр ). Комптоновская длина волны электрона примерно в 20 раз меньше, чем радиус Бора, а классический радиус электрона примерно в 1000 раз меньше комптоновской длины волны электрона.

«Уменьшенный» радиус Бора [ править ]

Радиус Бора, включая эффект приведенной массы в атоме водорода, может быть задан следующими уравнениями:

${\displaystyle \ a_{0}^{*}\ ={\frac {\lambda _{\mathrm {p} }+\lambda _{\text{e}}}{2\pi \alpha }}={\frac {m_{\text{e}}}{\mu }}a_{0}={\frac {\hbar }{\mu c\alpha }}={\frac {4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}}{\mu |q_{\text{e}}||q_{\text{p}}|}},}$

куда:

${\displaystyle \lambda _{\text{p}}\ }$- комптоновская длина волны протона,

${\displaystyle \lambda _{\text{e}}\ }$ - комптоновская длина волны электрона,

${\displaystyle \hbar \ }$- приведенная постоянная Планка ,

${\displaystyle \alpha \ }$- постоянная тонкой структуры ,

${\displaystyle c\ }$это скорость света ,

${\displaystyle \mu \ }$- приведенная масса системы электрон / протон,

${\displaystyle \varepsilon _{0}\ }$является диэлектрической проницаемостью свободного пространства ,

${\displaystyle |q_{\text{e}}|\ }$ - величина заряда электрона,

${\displaystyle |q_{\text{p}}|\ }$ - величина заряда протона.

В первом уравнении эффект уменьшенной массы достигается за счет использования увеличенной комптоновской длины волны, которая представляет собой просто сумму комптоновских длин волн электрона и протона. Использование приведенной массы по своей сути является классическим обобщением проблемы двух тел, когда мы находимся за пределами приближения, согласно которому масса движущегося по орбите тела намного меньше массы тела, вращающегося по орбите.

Примечательно, что приведенная масса системы электрон / протон будет (очень немного) меньше массы электрона, поэтому «приведенный радиус Бора» на самом деле больше, чем типичное значение ( или метры).${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 1.00054\,a_{0}}$${\displaystyle a_{0}^{*}\approx 5.2946541\times 10^{-11}}$

Радиусы в подобных системах [ править ]

Этот результат можно обобщить на другие системы, такие как позитроний (электрон, вращающийся вокруг позитрона ) и мюоний (электрон, вращающийся вокруг антимюона ), используя приведенную массу (или эквивалентно сумму комптоновских длин волн) системы и учитывая возможное изменение ответственный. Как правило, соотношения модели Бора (радиус, энергия и т. Д.) Могут быть легко изменены для этих экзотических систем (вплоть до низшего порядка) путем простой замены массы электрона приведенной массой системы (а также корректировки заряда, когда это необходимо). . Например, радиус позитрония приблизительно равен , так как приведенная масса позитрониевой системы составляет половину массы электрона (${\displaystyle 2\,a_{0}}$${\displaystyle \mu _{{\text{e}}^{-},{\text{e}}^{+}}=m_{\text{e}}/2}$), в то время как приведенная масса для системы электрон / протон приблизительно равна массе электрона ( ), как обсуждалось выше.${\displaystyle \mu _{{\text{e}}^{-},{\text{p}}}\approx m_{\text{e}}}$

Другое важное наблюдение состоит в том, что любой водородоподобном атом будет иметь радиус Бора , который в первую очередь , как изменяется с числом протонов в ядре. Это можно увидеть в последнем уравнении, которое является результатом . Между тем, приведенная масса ( ) лучше аппроксимируется только в пределе увеличения массы ядра. Эти результаты сведены в уравнение${\displaystyle r_{Z}=a_{0}/Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle |q_{\text{p}}|\rightarrow |q_{(Z*{\text{p}})}|=Z|q_{\text{p}}|}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle m_{\text{e}}}$

${\displaystyle r_{Z,\mu }\ ={\frac {m_{e}}{\mu }}{\frac {a_{0}}{Z}}.}$

Таблица примерных соотношений приведена ниже:

Радиус Бора	${\displaystyle a_{0}}$
«Уменьшенный» радиус Бора	${\displaystyle 1.00054\,a_{0}}$
Позитрониевый радиус	${\displaystyle 2a_{0}}$
Радиус мюония	${\displaystyle 1.0048\,a_{0}}$
Он + радиус	${\displaystyle a_{0}/2}$
Li 2+ радиус	${\displaystyle a_{0}/3}$

См. Также [ править ]

• Ангстрем
• Магнетон Бора
• Ридбергская энергия

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Шкалы длины в физике: радиус Бора