Водородоподобный атом

Водородом , как атом / ион (обычно называемый «гидрогенный атом») любое атомное ядро связано с одним электроном , и , таким образом , является изоэлектронным с водородом . Эти атомы или ионы могут нести положительный заряд , где - атомный номер атома. Примерами водородоподобных атомов / ионов являются сам водород , He ⁺ , Li ²⁺ , Be ³⁺ и B ^4+.${\ Displaystyle е (Z-1)}$${\ displaystyle Z}$. Поскольку водородоподобные атомы / ионы представляют собой двухчастичные системы, взаимодействие которых зависит только от расстояния между двумя частицами, их (нерелятивистское) уравнение Шредингера может быть решено в аналитической форме, как и (релятивистское) уравнение Дирака . Решения являются одноэлектронными функциями и называются водородоподобными атомными орбиталями . ^[1]

Другие системы могут также называться «водородоподобные атомы», такие как мюоний (электрон, вращающийся вокруг антимюона ), позитроний (электрон и позитрон ), некоторые экзотические атомы (образованные с другими частицами) или ридберговские атомы (в один электрон находится в таком высокоэнергетическом состоянии, что воспринимает остальную часть атома практически как точечный заряд ).

Решение Шредингера [ править ]

В решении уравнения Шредингера, которое является нерелятивистским, водородоподобные атомные орбитали являются собственными функциями одноэлектронного оператора углового момента L и его z- компоненты L _z . Водородоподобная атомная орбиталь однозначно идентифицируется по значениям главного квантового числа n , квантового числа углового момента l и магнитного квантового числа m . Собственные значения энергии не зависят от l или m , а только от n . К ним необходимо добавить двузначное спиновое квантовое число m _s= ± ½, закладывая основу для принципа Aufbau . Этот принцип ограничивает допустимые значения четырех квантовых чисел в электронных конфигурациях более электронных атомов. В водородоподобных атомах все вырожденные орбитали с фиксированными n и l , m и s, изменяющимися между определенными значениями (см. Ниже), образуют атомную оболочку .

Уравнение Шредингера для атомов или ионов с более чем одним электроном не было решено аналитически из-за вычислительных трудностей, вызванных кулоновским взаимодействием между электронами. Для получения (приближенных) волновых функций или других свойств из квантово-механических расчетов необходимо применять численные методы. Из-за сферической симметрии ( гамильтониана ) полный угловой момент J атома является сохраняющейся величиной. Многие численные процедуры начинаются с произведений атомных орбиталей, которые являются собственными функциями одноэлектронных операторов L и L _z . Радиальные части этих атомных орбиталей иногда представляют собой числовые таблицы или иногда орбитали Слейтера . Кпостроены многоэлектронные собственные функции связи по угловому моменту J ² (и, возможно, S ² ).

В квантово-химических расчетах водородоподобные атомные орбитали не могут служить основой расширения, потому что они не полны. Неквадратно интегрируемые состояния континуума (E> ​​0) должны быть включены, чтобы получить полный набор, т. Е. Охватывать все одноэлектронное гильбертово пространство. ^[2]

В простейшей модели атомные орбитали водородоподобных атомов / ионов являются решениями уравнения Шредингера в сферически-симметричном потенциале . В этом случае потенциальный член - это потенциал, определяемый законом Кулона :

${\ displaystyle V (r) = - {\ frac {1} {4 \ pi \ epsilon _ {0}}} {\ frac {Ze ^ {2}} {r}}}$

куда

• ε ₀ - диэлектрическая проницаемость вакуума,
• Z - атомный номер (количество протонов в ядре),
• е - элементарный заряд (заряд электрона),
• r - расстояние электрона от ядра.

После записи волновой функции как произведения функций:

${\ Displaystyle \ psi (г, \ тета, \ phi) = R_ {nl} (r) Y_ {lm} (\ theta, \ phi) \,}$

(в сферических координатах ), где - сферические гармоники , приходим к следующему уравнению Шредингера:${\ displaystyle Y_ {lm}}$

${\ displaystyle - {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 \ mu}} \ left [{1 \ over r ^ {2}} {\ partial \ over \ partial r} \ left (r ^ {2 } {\ partial R (r) \ over \ partial r} \ right) - {l (l + 1) R (r) \ over r ^ {2}} \ right] + V (r) R (r) = ER (r),}$

где находится, примерно, то масса из электрона (точнее, это приведенная масса системы , состоящей из электрона и ядра), а приведенная постоянная Планка .${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ hbar}$

Различные значения l дают решения с разным угловым моментом , где l (неотрицательное целое число) - квантовое число орбитального углового момента . Число квант магнитного м (удовлетворяющий ) является (квантуется) проекция орбитального углового момента на г -Axis. См. Здесь шаги, ведущие к решению этого уравнения.${\ displaystyle -l \ leq m \ leq l}$

Нерелятивистские волновые функции и энергия [ править ]

Все собственные функции до n  = 4. Твердые орбитали охватывают объем выше определенного порога плотности вероятности. Цвета отображают сложную фазу.${\ displaystyle \ psi _ {nlm}}$

В дополнение к л и м , третье целое число п > 0, вытекает из граничных условий , размещенных на R . Функции R и Y, которые решают приведенные выше уравнения, зависят от значений этих целых чисел, называемых квантовыми числами . Обычно волновые функции индексируются значениями квантовых чисел, от которых они зависят. Окончательное выражение для нормированной волновой функции:

${\ Displaystyle \ psi _ {п \ ell m} = R_ {n \ ell} (r) \, Y _ {\ ell m} (\ theta, \ phi)}$

${\displaystyle R_{n\ell }(r)={\sqrt {{\left({\frac {2Z}{na_{\mu }}}\right)}^{3}{\frac {(n-\ell -1)!}{2n(n+\ell )!}}}}e^{-Zr/{na_{\mu }}}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)^{\ell }L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}\left({\frac {2Zr}{na_{\mu }}}\right)}$

куда:

• ${\displaystyle L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}}$- обобщенные многочлены Лагерра .
• ${\displaystyle a_{\mu }={{4\pi \varepsilon _{0}\hbar ^{2}} \over {\mu e^{2}}}={\frac {\hbar c}{\alpha \mu c^{2}}}={{m_{\mathrm {e} }} \over {\mu }}a_{0}}$

где - постоянная тонкой структуры . Здесь - приведенная масса системы ядро-электрон, то есть где - масса ядра. Обычно ядро ​​намного массивнее электрона, поэтому (но для позитрония )${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu ={{m_{\mathrm {N} }m_{\mathrm {e} }} \over {m_{\mathrm {N} }+m_{\mathrm {e} }}}}$${\displaystyle m_{\mathrm {N} }}$${\displaystyle \mu \approx m_{\mathrm {e} }.}$ ${\displaystyle \mu =m_{\mathrm {e} }/2.}$

• ${\displaystyle E_{n}=-\left({\frac {Z^{2}\mu e^{4}}{32\pi ^{2}\epsilon _{0}^{2}\hbar ^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-\left({\frac {Z^{2}\hbar ^{2}}{2\mu a_{\mu }^{2}}}\right){\frac {1}{n^{2}}}=-{\frac {\mu c^{2}Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}.}$
• ${\displaystyle Y_{\ell m}(\theta ,\phi )\,}$функция - сферическая гармоника .

четность за счет угловой волновой функции .${\displaystyle {\left({-1}\right)}^{\ell }}$

Квантовые числа [ править ]

Квантовые числа , и являются целыми числами и могут иметь следующие значения:${\displaystyle n}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$

${\displaystyle n=1,2,3,4,\dots \,}$

${\displaystyle \ell =0,1,2,\dots ,n-1\,}$

${\displaystyle m=-\ell ,-\ell +1,\ldots ,0,\ldots ,\ell -1,\ell \,}$

Для теоретико-групповой интерпретации этих квантовых чисел см. Эту статью . Среди прочего, в этой статье приводятся теоретико-групповые причины, почему и .${\displaystyle \ell <n\,}$${\displaystyle -\ell \leq m\leq \,\ell }$

Угловой момент [ править ]

Каждый атомной орбитали связан с угловым моментом L . Это векторный оператор , и собственные значения его квадрата L ² ≡ L _x ² + L _y ² + L _z ² определяются как:

${\displaystyle {\hat {L}}^{2}Y_{\ell m}=\hbar ^{2}\ell (\ell +1)Y_{\ell m}}$

Проекция этого вектора на произвольное направление квантуется . Если произвольное направление называется z , квантование определяется по формуле:

${\displaystyle {\hat {L}}_{z}Y_{\ell m}=\hbar mY_{\ell m},}$

где m ограничено, как описано выше. Обратите внимание, что L ² и L _z коммутируют и имеют общее собственное состояние, что соответствует принципу неопределенности Гейзенберга . Поскольку L _x и L _y не коммутируют с L _z , невозможно найти состояние, которое является собственным состоянием всех трех компонентов одновременно. Следовательно, значения компонентов x и y не являются точными, а задаются функцией вероятности конечной ширины. Тот факт, что x и yкомпоненты не определены должным образом, означает, что направление вектора углового момента также не определено должным образом, хотя его составляющая вдоль оси z резкая.

Эти соотношения не дают полного углового момента электрона. Для этого необходимо учитывать спин электрона .

Это квантование углового момента очень похоже на то, что было предложено Нильсом Бором (см. Модель Бора ) в 1913 году, без знания волновых функций.

Включая спин-орбитальное взаимодействие [ править ]

В реальном атоме спин движущегося электрона может взаимодействовать с электрическим полем ядра через релятивистские эффекты, явление, известное как спин-орбитальное взаимодействие . Если принять во внимание эту связь, спин и орбитальный угловой момент больше не сохраняются , что можно изобразить прецессией электрона . Следовательно, необходимо заменить квантовые числа l , m и проекцию спина m _s квантовыми числами, которые представляют полный угловой момент (включая спин ), j и т _J , а также квантовое число от четности .

См. Следующий раздел по уравнению Дирака для решения, которое включает связь.

Решение уравнения Дирака [ править ]

В 1928 году в Англии Пол Дирак нашел уравнение , полностью совместимое со специальной теорией относительности . Уравнение для водородоподобных атомов было решено в том же году (в предположении простого кулоновского потенциала вокруг точечного заряда) немцем Вальтером Гордоном . Вместо одной (возможно, сложной) функции, как в уравнении Шредингера, нужно найти четыре комплексные функции, составляющие биспинор . Первая и вторая функции (или компоненты спинора) соответствуют (в обычном базисе) состояниям со спином «вверх» и «вниз», как и третий и четвертый компоненты.

Термины «вращение вверх» и «вращение вниз» относятся к выбранному направлению, обычно к направлению z. Электрон может находиться в суперпозиции спина вверх и спина вниз, что соответствует оси вращения, направленной в каком-то другом направлении. Состояние вращения может зависеть от местоположения.

Электрон в окрестности ядра обязательно имеет ненулевые амплитуды для третьего и четвертого компонентов. Вдали от ядра они могут быть маленькими, но вблизи ядра они становятся большими.

В собственных функциях этого гамильтониана , что означает функцию с определенной энергией (и которые , следовательно , не развивается для сдвига фазы , за исключением), имеет энергии характеризуется не квантовое числом п только (как для уравнения Шредингера), но по п и квантовое число j , квантовое число полного углового момента . Квантовое число J определяет сумму квадратов трех моментов , чтобы быть ямайских ( J + 1) (раз ħ ² см постоянную Планка). Эти угловые моменты включают в себя как орбитальный угловой момент (связанный с угловой зависимостью ψ), так и спиновой угловой момент (связанный со спиновым состоянием). Расщепление энергий состояний одного и того же главного квантового числа n из-за различий в j называется тонкой структурой . Квантовое число j полного углового момента составляет от 1/2 до n −1/2.

Орбитали для данного состояния могут быть записаны с использованием двух радиальных функций и двух угловых функций. Радиальные функции зависят как от главного квантового числа n, так и от целого числа k , определяемого как:

${\displaystyle k={\begin{cases}-j-{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell +{\tfrac {1}{2}}\\j+{\tfrac {1}{2}}&{\text{if }}j=\ell -{\tfrac {1}{2}}\end{cases}}}$

где ℓ - азимутальное квантовое число от 0 до n −1. Угловые функции зависят от k и квантового числа m, которое изменяется от - j до j с шагом 1. Состояния помечены буквами S, P, D, F и так далее, чтобы обозначать состояния с ℓ, равным 0, 1, 2, 3 и так далее (см. Азимутальное квантовое число ) с индексом j . Например, состояния для n = 4 приведены в следующей таблице (перед ними будет стоять n , например 4S _1/2 ):

Они могут быть дополнительно помечены нижним индексом m . Существует 2 n ² состояний с главным квантовым числом n , из них 4 j +2 с любым разрешенным j, кроме самого высокого ( j = n −1/2), для которого имеется только 2 j +1. Поскольку орбитали, имеющие заданные значения n и j, имеют одинаковую энергию в соответствии с уравнением Дирака, они образуют основу для пространства функций, имеющих эту энергию.

Энергия как функция n и | k | (равно j +1/2), составляет:

${\displaystyle {\begin{array}{rl}E_{n\,j}&=\mu c^{2}\left(1+\left[{\dfrac {Z\alpha }{n-|k|+{\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}}\right]^{2}\right)^{-1/2}\\&\\&\approx \mu c^{2}\left\{1-{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{2n^{2}}}\left[1+{\dfrac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n}}\left({\dfrac {1}{|k|}}-{\dfrac {3}{4n}}\right)\right]\right\}\end{array}}}$

(Энергия, конечно, зависит от используемой нулевой точки.) Обратите внимание, что если бы Z могло быть больше 137 (выше, чем любой известный элемент), то у нас было бы отрицательное значение внутри квадратного корня для S _1/2 и _{Орбитали} P _1/2 , а это значит, что их не существовало бы. Решение Шредингера соответствует замене внутренней скобки во втором выражении на 1. Точность разницы энергий между двумя нижними состояниями водорода, рассчитанная из решения Шредингера, составляет около 9 ppm (90 мкэВслишком низко, около 10 эВ), тогда как точность уравнения Дирака для той же разницы энергий составляет около 3 ppm (слишком высокая). Решение Шредингера всегда помещает состояния с немного более высокими энергиями, чем более точное уравнение Дирака. Уравнение Дирака довольно точно дает некоторые уровни водорода (например, состоянию 4P _1/2 дается энергия только около2 × 10 ⁻¹⁰ эВ слишком высоко), другие - в меньшей степени (например, уровень 2S _1/2 составляет примерно4 × 10 ⁻⁶ эВ слишком мало). ^[3] Изменение энергии из-за использования уравнения Дирака, а не решения Шредингера, имеет порядок α ² , и по этой причине α называется постоянной тонкой структуры .

Решение уравнения Дирака для квантовых чисел n , k и m :

${\displaystyle \Psi ={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{k,m}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}\Omega _{-k,m}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}g_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(2k+1)}}Y_{k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-g_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(k+{\tfrac {1}{2}}+m)/(2k+1)}}Y_{k,m+1/2}(\theta ,\phi )\\if_{n,k}(r)r^{-1}{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m-1/2}(\theta ,\phi )\\-if_{n,k}(r)r^{-1}\operatorname {sgn} k{\sqrt {(-k+{\tfrac {1}{2}}-m)/(-2k+1)}}Y_{-k,m+1/2}(\theta ,\phi )\end{pmatrix}}}$

где Ωs - столбцы двух функций сферических гармоник, показанных справа. означает сферическую гармоническую функцию:${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )}$

${\displaystyle Y_{a,b}(\theta ,\phi )={\begin{cases}(-1)^{b}{\sqrt {{\frac {2a+1}{4\pi }}{\frac {(a-b)!}{(a+b)!}}}}P_{a}^{b}(\cos \theta )e^{ib\phi }&{\text{if }}a>0\\Y_{-a-1,b}(\theta ,\phi )&{\text{if }}a<0\end{cases}}}$

в котором - ассоциированный многочлен Лежандра . (Обратите внимание, что определение Ω может включать в себя сферическую гармонику, которой не существует, например , но коэффициент при ней будет равен нулю.)${\displaystyle P_{a}^{b}}$${\displaystyle Y_{0,1}}$

Вот поведение некоторых из этих угловых функций. Коэффициент нормализации не учитывается для упрощения выражений.

${\displaystyle \Omega _{-1,-1/2}\propto {\binom {0}{1}}}$

${\displaystyle \Omega _{-1,1/2}\propto {\binom {1}{0}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,-1/2}\propto {\binom {(x-iy)/r}{z/r}}}$

${\displaystyle \Omega _{1,1/2}\propto {\binom {z/r}{(x+iy)/r}}}$

Из них мы видим, что в орбитали S _1/2 ( k = −1) две верхние компоненты имеют нулевой орбитальный угловой момент, как S-орбитали Шредингера, но две нижние компоненты являются орбиталями, как P-орбитали Шредингера. В решении P _1/2 ( k = 1) ситуация обратная. В обоих случаях вращение каждого компонента компенсирует его орбитальный угловой момент вокруг оси z, чтобы дать правильное значение для полного углового момента вокруг оси z .

Два спинора Ω подчиняются соотношению:

${\displaystyle \Omega _{k,m}={\begin{pmatrix}z/r&(x-iy)/r\\(x+iy)/r&-z/r\end{pmatrix}}\Omega _{-k,m}}$

Чтобы написать функции и определим масштабированный радиус ρ:${\displaystyle g_{n,k}(r)}$${\displaystyle f_{n,k}(r)}$

${\displaystyle \rho \equiv 2Cr}$

с

${\displaystyle C={\frac {\sqrt {\mu ^{2}c^{4}-E^{2}}}{\hbar c}}}$

где E - энергия ( ), указанная выше. Мы также определяем γ как:${\displaystyle E_{n\,j}}$

${\displaystyle \gamma \equiv {\sqrt {k^{2}-Z^{2}\alpha ^{2}}}}$

Когда k = - n (что соответствует наивысшему возможному j для данного n , такого как 1S _1/2 , 2P _3/2 , 3D _5/2 ...), тогда и равны:${\displaystyle g_{n,k}(r)}$${\displaystyle f_{n,k}(r)}$

${\displaystyle g_{n,-n}(r)=A(n+\gamma )\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

${\displaystyle f_{n,-n}(r)=AZ\alpha \rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}}$

где A - нормировочная константа, включающая гамма-функцию :

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2n(n+\gamma )}}}{\sqrt {\frac {C}{\gamma \Gamma (2\gamma )}}}}$

Обратите внимание, что из-за множителя Zα f ( r) мала по сравнению с g ( r ). Также обратите внимание, что в этом случае энергия определяется как

${\displaystyle E_{n,n-1/2}={\frac {\gamma }{n}}\mu c^{2}={\sqrt {1-{\frac {Z^{2}\alpha ^{2}}{n^{2}}}}}\,\mu c^{2}}$

а радиальная постоянная распада C на

${\displaystyle C={\frac {Z\alpha }{n}}{\frac {\mu c^{2}}{\hbar c}}.}$

В общем случае (когда k не равно - n ) основаны на двух обобщенных полиномах Лагерра порядка и :${\displaystyle g_{n,k}(r){\text{ and }}f_{n,k}(r)}$${\displaystyle n-|k|-1}$${\displaystyle n-|k|}$

${\displaystyle g_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+(\gamma -k){\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

${\displaystyle f_{n,k}(r)=A\rho ^{\gamma }e^{-\rho /2}\left((\gamma -k)\rho L_{n-|k|-1}^{(2\gamma +1)}(\rho )+Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-kE}{\hbar cC}}L_{n-|k|}^{(2\gamma -1)}(\rho )\right)}$

с A теперь определено как

${\displaystyle A={\frac {1}{\sqrt {2k(k-\gamma )}}}{\sqrt {{\frac {C}{n-|k|+\gamma }}{\frac {(n-|k|-1)!}{\Gamma (n-|k|+2\gamma +1)}}{\frac {1}{2}}\left(\left({\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)^{2}+{\frac {Ek}{\gamma \mu c^{2}}}\right)}}}$

Опять же, f мало по сравнению с g (за исключением очень малого r ), потому что, когда k положительно, преобладают первые члены, а α велико по сравнению с γ - k , тогда как, когда k отрицательно, вторые члены доминируют, а α мало по сравнению с γ - к . Обратите внимание, что доминирующий член очень похож на соответствующее решение Шредингера - верхний индекс многочлена Лагерра немного меньше (2γ + 1 или 2γ − 1, а не 2ℓ + 1, которое является ближайшим целым числом), как и степень ρ (γ или γ − 1 вместо ℓ, ближайшего целого числа). Экспоненциальное затухание происходит немного быстрее, чем в решении Шредингера.

Коэффициент нормализации делает интеграл по всему пространству квадрата модуля равным 1.

1S орбитальный [ править ]

Вот орбиталь 1S _1/2 , вращение вверх, без нормализации:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\0\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

Обратите внимание, что γ немного меньше 1, поэтому верхняя функция похожа на экспоненциально убывающую функцию от r, за исключением того, что при очень малых r она теоретически стремится к бесконечности. Но значение только превышает 10 при значении r, меньшем, чем очень маленькое число (намного меньше радиуса протона), если Z не очень велико.${\displaystyle r^{\gamma -1}}$${\displaystyle 10^{1/(\gamma -1)},}$

Орбиталь 1S _{1/2 с} замедленным вращением без нормализации выглядит следующим образом:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}0\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy)/r\\-iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}z/r\end{pmatrix}}}$

Мы можем смешать их, чтобы получить орбитали со спином, ориентированным в каком-то другом направлении, например:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\(1+\gamma )r^{\gamma -1}e^{-Cr}\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x-iy+z)/r\\iZ\alpha r^{\gamma -1}e^{-Cr}(x+iy-z)/r\end{pmatrix}}}$

что соответствует оси вращения и углового момента, направленной в направлении x. Добавление i раз вращения «вниз» к вращению «вверх» дает орбиталь, ориентированную в направлении y.

2P _1/2 и 2S _1/2 орбиталей [ править ]

Другой пример: орбиталь 2P _1/2 , вращение вверх, пропорционально:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma -1){\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma -1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}-E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\end{pmatrix}}}$

(Помните, что . C примерно вдвое меньше, чем для орбитали 1S, но γ остается прежним.)${\displaystyle \rho =2rC}$

Обратите внимание, что когда ρ мало по сравнению с α (или r мало по сравнению с ), доминирует орбиталь S-типа (третий компонент биспинора).${\displaystyle \hbar c/(\mu c^{2})}$

Для орбитальной орбиты со спином вверх 2S _1/2 имеем:

${\displaystyle \Psi \propto {\begin{pmatrix}\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left(Z\alpha \rho +(\gamma +1){\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)\\0\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)z/r\\i\rho ^{\gamma -1}e^{-\rho /2}\left((\gamma +1)\rho +Z\alpha {\frac {\gamma \mu c^{2}+E}{\hbar cC}}(-\rho +2\gamma )\right)(x+iy)/r\end{pmatrix}}}$

Теперь первая компонента S-подобна, и есть радиус около ρ = 2, где он стремится к нулю, тогда как нижняя двухкомпонентная часть P-подобна.

Решения с отрицательной энергией [ править ]

Помимо связанных состояний, в которых энергия меньше энергии электрона, бесконечно отделенного от ядра, существуют решения уравнения Дирака при более высокой энергии, соответствующие несвязанному электрону, взаимодействующему с ядром. Эти решения нельзя нормализовать, но могут быть найдены решения, которые стремятся к нулю, когда r стремится к бесконечности (что невозможно, за исключением упомянутых выше значений E для связанных состояний ). Существуют аналогичные решения с этими решениями с отрицательной энергией, которые аналогичны решениям с положительной энергией, имеющим противоположную энергию, но для случая, когда ядро ​​отталкивает электрон, а не притягивает его, за исключением того, что решения для двух верхних компонентов меняются местами с теми. для двух нижних.${\displaystyle |E|<\mu c^{2}}$${\displaystyle E<-\mu c^{2}.}$

Решения с отрицательной энергией уравнения Дирака существуют даже в отсутствие кулоновской силы, действующей на ядро. Дирак предположил, что мы можем считать почти все эти состояния уже заполненными. Если одно из этих состояний с отрицательной энергией не заполнено, это проявляется, как если бы существует электрон, который отталкивается положительно заряженным ядром. Это побудило Дирака выдвинуть гипотезу о существовании положительно заряженных электронов, и его предсказание было подтверждено открытием позитрона .

Помимо решения Гордона уравнения Дирака [ править ]

Уравнение Дирака с простым кулоновским потенциалом, порожденным точечным немагнитным ядром, было не последним словом, и его предсказания отличаются от экспериментальных результатов, как упоминалось ранее. Более точные результаты включают лэмбовский сдвиг (радиационные поправки, возникающие из квантовой электродинамики ) ^[4] и сверхтонкую структуру .

См. Также [ править ]

• Атом Ридберга
• Позитроний
• Экзотический атом
• Двухэлектронный атом
• Молекулярный ион водорода

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Джеральд Тешл (2009). Математические методы в квантовой механике; С приложениями к операторам Шредингера . Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-4660-5.
• Типлер, Пол и Ральф Ллевеллин (2003). Современная физика (4-е изд.). Нью-Йорк: WH Freeman and Company. ISBN 0-7167-4345-0