Уравнение Дирака

Часть серии по
Квантовая механика
${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}|\psi (t)\rangle ={\hat {H}}|\psi (t)\rangle }$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В физике элементарных частиц , то уравнение Дирака является релятивистское волновое уравнение , полученный британский физик Поль Дирак в 1928 г. В своей свободной форме , или в том числе электромагнитных взаимодействий , он описывает все спин-½ массивных частиц , таких как электроны и кварки , для которых четность представляет собой симметрию . Это согласуется как с принципами квантовой механики и теории относительности , ^[1]и была первой теорией, полностью объяснившей специальную теорию относительности в контексте квантовой механики . Это было подтверждено путем тщательного учета мелких деталей спектра водорода .

Уравнение также подразумевало существование новой формы материи, антивещества , о которой раньше не подозревали и не наблюдали, и что было экспериментально подтверждено несколько лет спустя. Он также предоставил теоретическое обоснование для введения нескольких компонентов волновых функций в Pauli «s феноменологической теории спины . Волновые функции в теории Дирака - это векторы четырех комплексных чисел (известных как биспиноры ), два из которых напоминают волновую функцию Паули в нерелятивистском пределе, в отличие от уравнения Шредингеракоторые описывают волновые функции только одного комплексного значения. Более того, в пределе нулевой массы уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля .

Хотя Дирак сначала не полностью осознал важность своих результатов, вытекающее из этого объяснение спина как следствие союза квантовой механики и теории относительности - и в конечном итоге открытие позитрона - представляет собой один из величайших триумфов теоретической физики . Это достижение было описано как полностью сопоставимое с работами Ньютона , Максвелла и Эйнштейна до него. ^[2] В контексте квантовой теории поля уравнение Дирака переосмысливается для описания квантовых полей, соответствующих частицам со спином 1/2.

Уравнение Дирака изображено на полу Вестминстерского аббатства на мемориальной доске, посвященной жизни Поля Дирака, которая была открыта 13 ноября 1995 года ^[3].

Математическая формулировка [ править ]

Уравнение Дирака в форме, первоначально предложенной Дираком, имеет следующий вид: ^[4]

${\displaystyle \left(\beta mc^{2}+c\sum _{n\mathop {=} 1}^{3}\alpha _{n}p_{n}\right)\psi (x,t)=i\hbar {\frac {\partial \psi (x,t)}{\partial t}}}$

где ψ = ψ ( x , t ) - волновая функция для электрона с массой покоя m с пространственно-временными координатами x , t . Р ₁ , р ₂ , р ₃ являются компонентами импульса , понимается как оператор импульса в уравнении Шредингера . Кроме того, c - скорость света , а ħ - приведенная постоянная Планка.. Эти фундаментальные физические константы отражают соответственно специальную теорию относительности и квантовую механику.

Целью Дирака при составлении этого уравнения было объяснить поведение релятивистски движущегося электрона и, таким образом, позволить рассматривать атом в соответствии с теорией относительности. Его довольно скромная надежда заключалась в том, что внесенные таким образом поправки могут иметь отношение к проблеме атомных спектров .

До этого времени попытки сделать старую квантовую теорию атома совместимой с теорией относительности, попытки, основанные на дискретизации углового момента, хранящегося на, возможно, некруговой орбите атомного ядра , терпели неудачу - и новая квантовая теория Механика Гейзенберга , Паули , Джордана , Шредингера и самого Дирака не достигла достаточного развития для решения этой проблемы. Хотя первоначальные намерения Дирака были удовлетворены, его уравнение имело гораздо более глубокое значение для структуры материи и ввело новые математические классы объектов, которые теперь являются важными элементами фундаментальной физики.

Новыми элементами в этом уравнении являются четыре матрицы 4 × 4 α ₁ , α ₂ , α ₃ и β , а также четырехкомпонентная волновая функция ψ . В ψ есть четыре компонента, поскольку их вычисление в любой заданной точке конфигурационного пространства является биспинором . Это интерпретируется как суперпозиция электрона со спином вверх, электрона со спином вниз, позитрона со спином вверх и позитрона со спином вниз ( дальнейшее обсуждение см. Ниже ).

4 × 4 матриц & alpha ; _к и β все эрмитова и инволютивная :

${\displaystyle \alpha _{i}^{2}=\beta ^{2}=I_{4}}$

и все они взаимно антикоммутируют :

${\displaystyle \alpha _{i}\alpha _{j}+\alpha _{j}\alpha _{i}=0\quad (i\neq j)}$

${\displaystyle \alpha _{i}\beta +\beta \alpha _{i}=0}$

Эти матрицы и форма волновой функции имеют глубокое математическое значение. Алгебраическая структура, представленная гамма-матрицами, была создана примерно 50 лет назад английским математиком В.К. Клиффордом . В свою очередь, идеи Клиффорда возникли в середине 19 века в работе немецкого математика Германа Грассмана в его Lineale Ausdehnungslehre ( Теория линейных расширений ). Последнее считалось почти непонятным большинством его современников. Появление чего-то столь кажущегося абстрактным в столь поздний срок и в такой прямой физической форме - одна из самых замечательных глав в истории физики. ^{[ цитата необходима]}

Таким образом, единое символическое уравнение распадается на четыре связанных линейных уравнения в частных производных первого порядка для четырех величин, составляющих волновую функцию. Уравнение может быть записано более явно в единицах Планка как: ^[5]

${\displaystyle i\partial _{t}{\begin{bmatrix}\psi _{1}\\\psi _{2}\\\psi _{3}\\\psi _{4}\end{bmatrix}}=i\partial _{x}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\-\psi _{3}\\-\psi _{2}\\-\psi _{1}\end{bmatrix}}+\partial _{y}{\begin{bmatrix}-\psi _{4}\\+\psi _{3}\\-\psi _{2}\\+\psi _{1}\end{bmatrix}}+i\partial _{z}{\begin{bmatrix}-\psi _{3}\\+\psi _{4}\\-\psi _{1}\\+\psi _{2}\end{bmatrix}}+m{\begin{bmatrix}+\psi _{1}\\+\psi _{2}\\-\psi _{3}\\-\psi _{4}\end{bmatrix}}}$

что проясняет, что это система из четырех дифференциальных уравнений в частных производных с четырьмя неизвестными функциями.

Делаем уравнение Шредингера релятивистским [ править ]

Уравнение Дирака внешне похоже на уравнение Шредингера для массивной свободной частицы :

${\displaystyle -{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}\phi =i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\phi ~.}$

Левая часть представляет собой квадрат оператора импульса, деленный на удвоенную массу, которая является нерелятивистской кинетической энергией. Поскольку относительность рассматривает пространство и время как единое целое, релятивистское обобщение этого уравнения требует, чтобы производные пространства и времени входили симметрично, как в уравнениях Максвелла, которые управляют поведением света - уравнения должны быть дифференциально одного порядка в пространстве. и время. В теории относительности импульс и энергии являются пространственной и временной частями вектора пространства-времени, четырехмерного импульса , и они связаны релятивистски инвариантным соотношением

${\displaystyle E^{2}=m^{2}c^{4}+p^{2}c^{2}}$

что говорит о том, что длина этого четырехвектора пропорциональна массе покоя m . Подставляя операторные эквиваленты энергии и импульса из теории Шредингера, мы получаем уравнение Клейна – Гордона, описывающее распространение волн, построенное из релятивистски инвариантных объектов:

${\displaystyle \left(-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\nabla ^{2}\right)\phi ={\frac {m^{2}c^{2}}{\hbar ^{2}}}\phi }$

с волновой функцией ϕ, являющейся релятивистским скаляром: комплексным числом, имеющим одно и то же числовое значение во всех системах отсчета. И пространственные, и временные производные входят во второй порядок. Это имеет важное значение для интерпретации уравнения. Поскольку уравнение имеет второй порядок по производной по времени, необходимо указать начальные значения как самой волновой функции, так и ее первой производной по времени, чтобы решить определенные задачи. Поскольку оба могут быть заданы более или менее произвольно, волновая функция не может сохранять свою прежнюю роль определения плотности вероятности нахождения электрона в данном состоянии движения. В теории Шредингера плотность вероятности дается положительно определенным выражением

${\displaystyle \rho =\phi ^{*}\phi }$

и эта плотность конвектируется согласно вектору тока вероятности

${\displaystyle J=-{\frac {i\hbar }{2m}}(\phi ^{*}\nabla \phi -\phi \nabla \phi ^{*})}$

с сохранением вероятности тока и плотности, следующих из уравнения неразрывности:

${\displaystyle \nabla \cdot J+{\frac {\partial \rho }{\partial t}}=0~.}$

Тот факт, что плотность положительно определена и конвектируется в соответствии с этим уравнением неразрывности, означает, что мы можем интегрировать плотность по определенной области и установить общее значение 1, и это условие будет поддерживаться законом сохранения . Собственная релятивистская теория с током плотности вероятности также должна разделять это свойство. Теперь, если мы хотим сохранить понятие конвективной плотности, мы должны обобщить выражение Шредингера для плотности и тока так, чтобы производные по пространству и времени снова входили симметрично по отношению к скалярной волновой функции. Нам разрешено сохранить выражение Шредингера для тока, но мы должны заменить плотность вероятности симметрично сформированным выражением

${\displaystyle \rho ={\frac {i\hbar }{2mc^{2}}}(\psi ^{*}\partial _{t}\psi -\psi \partial _{t}\psi ^{*})~.}$

который теперь становится 4-м компонентом вектора пространства-времени, и вся вероятностная 4-плотность тока имеет релятивистски ковариантное выражение

${\displaystyle J^{\mu }={\frac {i\hbar }{2m}}(\psi ^{*}\partial ^{\mu }\psi -\psi \partial ^{\mu }\psi ^{*})~.}$

Уравнение неразрывности осталось прежним. Теперь все совместимо с теорией относительности, но мы сразу видим, что выражение для плотности больше не является положительно определенным - начальные значения ψ и ∂ _t ψ могут быть свободно выбраны, и плотность, таким образом, может стать отрицательной, что невозможно. для допустимой плотности вероятности. Таким образом, мы не можем получить простое обобщение уравнения Шредингера при наивном предположении, что волновая функция является релятивистским скаляром, а уравнение, которому оно удовлетворяет, второго порядка по времени.

Хотя это не является успешным релятивистским обобщением уравнения Шредингера, это уравнение возрождается в контексте квантовой теории поля , где оно известно как уравнение Клейна – Гордона , и описывает поле бесспиновых частиц (например, пи-мезон или бозон Хиггса ) . Исторически сложилось так, что сам Шредингер пришел к этому уравнению до того, которое носит его имя, но вскоре отбросил его. В контексте квантовой теории поля под неопределенной плотностью понимается плотность заряда , которая может быть положительной или отрицательной, а не плотность вероятности.

Переворот Дирака [ править ]

Таким образом, Дирак решил попробовать уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени. Можно, например, формально (т.е. злоупотребляя обозначениями ) принять релятивистское выражение для энергии

${\displaystyle E=c{\sqrt {p^{2}+m^{2}c^{2}}}~,}$

замените p его операторным эквивалентом, разложите квадратный корень в бесконечной серии производных операторов, поставьте задачу на собственные значения, а затем решите уравнение формально с помощью итераций. Большинство физиков мало верили в такой процесс, даже если это было технически возможно.

Как гласит история, Дирак смотрел в камин в Кембридже, обдумывая эту проблему, когда ему пришла в голову идея извлечь квадратный корень из волнового оператора следующим образом:

${\displaystyle \nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}=\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)~.}$

Умножая правую часть, мы видим, что для того, чтобы все перекрестные члены, такие как ∂ _x ∂ _y, обратились в нуль, мы должны принять

${\displaystyle AB+BA=0,~\ldots ~}$

с

${\displaystyle A^{2}=B^{2}=\ldots =1~.}$

Дирак, который только что был активно вовлечен в разработку основ матричной механики Гейзенберга , сразу понял, что эти условия могут быть выполнены, если A , B , C и D являются матрицами , что подразумевает, что волновая функция имеет несколько компонентов . Это сразу же объяснило появление двухкомпонентных волновых функций в феноменологической теории спина Паули , что до тех пор считалось загадочным даже для самого Паули. Однако для создания системы с требуемыми свойствами требуются матрицы размером не менее 4 × 4, поэтому волновая функция имела четырекомпонентов, а не двух, как в теории Паули, или одного, как в простой теории Шредингера. Четырехкомпонентная волновая функция представляет собой новый класс математических объектов в физических теориях, которые здесь впервые появляются.

Учитывая факторизацию по этим матрицам, теперь можно сразу записать уравнение

${\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}\right)\psi =\kappa \psi }$

с будет определено позднее. Применяя снова матричный оператор к обеим сторонам, получаем${\displaystyle \kappa }$

${\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\partial _{t}^{2}\right)\psi =\kappa ^{2}\psi ~.}$

Взяв, мы обнаруживаем, что все компоненты волновой функции по отдельности удовлетворяют релятивистскому соотношению энергия – импульс. Таким образом, искомое уравнение первого порядка как в пространстве, так и во времени имеет вид${\displaystyle \kappa ={\tfrac {mc}{\hbar }}}$

${\displaystyle \left(A\partial _{x}+B\partial _{y}+C\partial _{z}+{\frac {i}{c}}D\partial _{t}-{\frac {mc}{\hbar }}\right)\psi =0~.}$

Параметр

${\displaystyle A=i\beta \alpha _{1}\,,\,B=i\beta \alpha _{2}\,,\,C=i\beta \alpha _{3}\,,\,D=\beta ~,}$

и потому что ${\displaystyle D^{2}=\beta ^{2}=I_{4}~,}$

мы получаем уравнение Дирака, как написано выше.

Ковариантная форма и релятивистская инвариантность [ править ]

Чтобы продемонстрировать релятивистскую инвариантность уравнения, целесообразно привести его в форму, в которой производные по пространству и времени появляются на равных основаниях. Новые матрицы представлены следующим образом:

${\displaystyle D=\gamma ^{0}~,}$

${\displaystyle A=i\gamma ^{1}~,\quad B=i\gamma ^{2}~,\quad C=i\gamma ^{3}~,}$

и уравнение принимает вид (с учетом определения ковариантных компонент 4-градиента и особенно того, что ∂ ₀ =1/c∂ _т )

где подразумевается суммирование по значениям дважды повторяющегося индекса μ = 0, 1, 2, 3 , а ∂ _μ - это 4-градиент. На практике часто пишут гамма-матрицы в терминах субматриц 2 × 2, взятых из матриц Паули и единичной матрицы 2 × 2 . Явное стандартное представление является

${\displaystyle \gamma ^{0}={\begin{pmatrix}I_{2}&0\\0&-I_{2}\end{pmatrix}}~,\gamma ^{1}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{x}\\-\sigma _{x}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{2}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{y}\\-\sigma _{y}&0\end{array}}\right)~,\gamma ^{3}=\left({\begin{array}{cccc}0&\sigma _{z}\\-\sigma _{z}&0\end{array}}\right)~.}$

Полная система резюмируется с использованием метрики Минковского в пространстве-времени в виде

${\displaystyle \{\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }\}=2\eta ^{\mu \nu }I_{4}}$

где выражение в скобках

${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$

обозначает антикоммутатор . Это определяющие соотношения алгебры Клиффорда над псевдоортогональным 4-мерным пространством с метрической сигнатурой (+ - - -) . Специальная алгебра Клиффорда, используемая в уравнении Дирака, сегодня известна как алгебра Дирака . Хотя в то время, когда уравнение было сформулировано, Дирак не признавал его таковым, в ретроспективе введение этой геометрической алгебры представляет собой огромный шаг вперед в развитии квантовой теории.

Уравнение Дирака теперь можно интерпретировать как уравнение для собственных значений , где масса покоя пропорциональна собственному значению оператора 4-импульса , а константа пропорциональности - это скорость света:

${\displaystyle P_{\mathrm {op} }\psi =mc\psi ~.}$

Используя ( произносится как «d-слэш» ^[6] ), согласно обозначению наклонной черты Фейнмана , уравнение Дирака принимает следующий вид:${\displaystyle {\partial \!\!\!/}\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ \gamma ^{\mu }\partial _{\mu }}$${\displaystyle {\partial \!\!\!{\big /}}}$

${\displaystyle i\hbar {\partial \!\!\!{\big /}}\psi -mc\psi =0.}$

На практике, физики часто используют единицы измерения , такой , что ħ = с = 1 , известным как природными единицами . Тогда уравнение принимает простой вид

Фундаментальная теорема гласит, что если даны два различных набора матриц, которые удовлетворяют соотношениям Клиффорда , то они связаны друг с другом преобразованием подобия :

${\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=S^{-1}\gamma ^{\mu }S~.}$

Если вдобавок все матрицы унитарны , как и множество Дирака, то сама S унитарна ;

${\displaystyle \gamma ^{\mu \prime }=U^{\dagger }\gamma ^{\mu }U~.}$

Преобразование U уникально с точностью до мультипликативного множителя, равного 1. Давайте теперь представим, что преобразование Лоренца было выполнено для пространственных и временных координат, а также для производных операторов, которые образуют ковариантный вектор. Для оператора γ ^μ ∂ _μчтобы оставаться инвариантными, гаммы должны трансформироваться между собой как контравариантный вектор относительно своего пространственно-временного индекса. Эти новые гаммы сами по себе удовлетворяют соотношениям Клиффорда из-за ортогональности преобразования Лоренца. По основной теореме мы можем заменить новое множество старым, подвергающимся унитарному преобразованию. В новой системе отсчета, учитывая, что масса покоя является релятивистским скаляром, уравнение Дирака примет вид

${\displaystyle (iU^{\dagger }\gamma ^{\mu }U\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0}$

${\displaystyle U^{\dagger }(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)U\psi (x^{\prime },t^{\prime })=0~.}$

Если теперь определить преобразованный спинор

${\displaystyle \psi ^{\prime }=U\psi }$

тогда у нас есть преобразованное уравнение Дирака, демонстрирующее очевидную релятивистскую инвариантность :

${\displaystyle (i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }^{\prime }-m)\psi ^{\prime }(x^{\prime },t^{\prime })=0~.}$

Таким образом, как только мы остановимся на каком-либо унитарном представлении гамм, это будет окончательно при условии, что мы преобразуем спинор в соответствии с унитарным преобразованием, которое соответствует данному преобразованию Лоренца.

Различные представления используемых матриц Дирака позволят сосредоточить внимание на конкретных аспектах физического содержания волновой функции Дирака (см. Ниже). Представление, показанное здесь, известно как стандартное представление - в нем две верхние компоненты волновой функции переходят в 2-спинорную волновую функцию Паули в пределе низких энергий и малых скоростей по сравнению со светом.

Приведенные выше соображения раскрывают происхождение гамм в геометрии , возвращаясь к исходной мотивации Грассмана - они представляют собой фиксированный базис единичных векторов в пространстве-времени. Точно так же продукты гамм, такие как γ _μ γ _ν, представляют собой ориентированные элементы поверхности и так далее. Имея это в виду, мы можем найти форму элемента единичного объема в пространстве-времени в терминах гамм следующим образом. По определению это

${\displaystyle V={\frac {1}{4!}}\epsilon _{\mu \nu \alpha \beta }\gamma ^{\mu }\gamma ^{\nu }\gamma ^{\alpha }\gamma ^{\beta }.}$

Для этого , чтобы быть инвариантом, то символ эпсилон должен быть тензором , и поэтому должны содержать фактор √ г , где г является определяющим из метрического тензора . Поскольку это отрицательно, этот фактор является мнимым . Таким образом

${\displaystyle V=i\gamma ^{0}\gamma ^{1}\gamma ^{2}\gamma ^{3}~.}$

Этой матрице присвоен специальный символ γ ⁵ из-за его важности при рассмотрении несобственных преобразований пространства-времени, то есть таких, которые изменяют ориентацию базисных векторов. В стандартном представлении это

${\displaystyle \gamma _{5}={\begin{pmatrix}0&I_{2}\\I_{2}&0\end{pmatrix}}~.}$

Также будет обнаружено, что эта матрица антикоммутируется с другими четырьмя матрицами Дирака:

${\displaystyle \gamma ^{5}\gamma ^{\mu }+\gamma ^{\mu }\gamma ^{5}=0}$

Он играет ведущую роль, когда возникают вопросы о четности , потому что элемент объема как направленная величина меняет знак при пространственно-временном отражении. Таким образом, извлечение положительного квадратного корня из приведенного выше значения равносильно выбору соглашения о хиральности пространства-времени.

Сохранение вероятности тока [ править ]

Определив присоединенный спинор

${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$

где г | ^† является сопряженной транспозицией от ф , и , заметив , что

${\displaystyle (\gamma ^{\mu })^{\dagger }\gamma ^{0}=\gamma ^{0}\gamma ^{\mu }~,}$

мы получаем, взяв эрмитово сопряжение уравнения Дирака и умножив справа на γ ⁰ , сопряженное уравнение:

${\displaystyle {\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }+m)=0~,}$

где ∂ _μ действует слева. Умножение уравнения Дирака на ψ слева и сопряженного уравнения на ψ справа и сложение дает закон сохранения тока Дирака:

${\displaystyle \partial _{\mu }\left({\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi \right)=0~.}$

Теперь мы видим большое преимущество уравнения первого порядка по сравнению с тем, которое пробовал Шредингер - это сохраняющаяся плотность тока, необходимая для релятивистской инвариантности, только теперь его 4-й компонент положительно определен и, таким образом, подходит на роль плотности вероятности:

${\displaystyle J^{0}={\bar {\psi }}\gamma ^{0}\psi =\psi ^{\dagger }\psi ~.}$

Поскольку плотность вероятности теперь появляется как четвертый компонент релятивистского вектора, а не простой скаляр, как в уравнении Шредингера, на нее будут распространяться обычные эффекты преобразований Лоренца, такие как замедление времени. Таким образом, например, атомные процессы, которые наблюдаются как скорости, обязательно будут корректироваться в соответствии с теорией относительности, в то время как процессы, связанные с измерением энергии и импульса, которые сами по себе образуют релятивистский вектор, будут подвергаться параллельной корректировке, сохраняющей релятивистскую ковариацию наблюдаемых значений.

Решения [ править ]

См. Спинор Дирака для получения подробной информации о решениях уравнения Дирака. Обратите внимание, что, поскольку оператор Дирака действует на наборах из четырех квадратично интегрируемых функций , его решения должны быть членами одного и того же гильбертова пространства . Тот факт, что энергии решений не имеют нижней границы, является неожиданным - подробнее см. Раздел теории дырок ниже.

Сравнение с теорией Паули [ править ]

Необходимость введения полуцелого спина экспериментально восходит к результатам эксперимента Штерна – Герлаха . Пучок атомов проходит через сильное неоднородное магнитное поле , которое затем разделяется на N частей в зависимости от собственного углового момента атомов. Было обнаружено, что для атомов серебра пучок разделялся на две части - поэтому основное состояние не могло быть целым , потому что даже если бы собственный угловой момент атомов был как можно меньше, 1 пучок был бы разделен на три части. , соответствующие атомам с L _z = −1, 0, +1. Вывод состоит в том , что атомы серебра имеют чистый собственный момент ¹ / ₂ . Паули создал теорию, которая объяснила это расщепление, введя двухкомпонентную волновую функцию и соответствующий поправочный член в гамильтониан , представляющий полуклассическую связь этой волновой функции с приложенным магнитным полем, как в единицах СИ : эти жирные символы подразумевают евклидовы векторы в трех  измерениях , тогда как четырехмерный вектор Минковского A _μ можно определить как .) ${\displaystyle A_{\mu }=(\phi /c,-\mathbf {A} )}$

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right)^{2}+e\phi ~.}$

Здесь A и представляют компоненты электромагнитного четырехпотенциала в их стандартных единицах СИ, а три сигмы представляют собой матрицы Паули . При возведении в квадрат первого члена обнаруживается остаточное взаимодействие с магнитным полем, наряду с обычным классическим гамильтонианом заряженной частицы, взаимодействующей с приложенным полем в единицах СИ :${\displaystyle \phi }$

${\displaystyle H={\frac {1}{2m}}\left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)^{2}+e\phi -{\frac {e\hbar }{2m}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {B} ~.}$

Этот гамильтониан теперь представляет собой матрицу 2 × 2 , поэтому основанное на нем уравнение Шредингера должно использовать двухкомпонентную волновую функцию. При введении внешнего электромагнитного 4-векторного потенциала в уравнение Дирака аналогичным способом, известным как минимальная связь , он принимает вид:

${\displaystyle (\gamma ^{\mu }(i\hbar \partial _{\mu }-eA_{\mu })-mc)\psi =0~.}$

Второе применение оператора Дирака теперь будет воспроизводить член Паули точно так же, как раньше, потому что пространственные матрицы Дирака, умноженные на i , имеют те же свойства возведения в квадрат и коммутацию, что и матрицы Паули. Более того, значение гиромагнитного отношения электрона, стоящего перед новым членом Паули, объясняется из первых принципов. Это было крупным достижением уравнения Дирака, которое вселило в физиков большую веру в его правильность. Однако есть еще кое-что. Теорию Паули можно рассматривать как низкоэнергетический предел теории Дирака следующим образом. Сначала уравнение записывается в виде связанных уравнений для 2-спиноров с восстановленными единицами СИ:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}(mc^{2}-E+e\phi )&c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\\-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)&\left(mc^{2}+E-e\phi \right)\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\psi _{+}\\\psi _{-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}~.}$

так

${\displaystyle (E-e\phi )\psi _{+}-c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{-}=mc^{2}\psi _{+}}$

${\displaystyle -(E-e\phi )\psi _{-}+c{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}=mc^{2}\psi _{-}}$

Предполагая, что поле слабое, а движение электрона нерелятивистское, мы имеем полную энергию электрона, примерно равную его энергии покоя , а импульс переходит к классическому значению,

${\displaystyle E-e\phi \approx mc^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {p} \approx m\mathbf {v} }$

и поэтому второе уравнение можно записать

${\displaystyle \psi _{-}\approx {\frac {1}{2mc}}{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\psi _{+}}$

что в порядке v/c- таким образом, при типичных энергиях и скоростях нижние компоненты спинора Дирака в стандартном представлении значительно подавлены по сравнению с верхними компонентами. Подстановка этого выражения в первое уравнение дает после некоторой перестановки

${\displaystyle (E-mc^{2})\psi _{+}={\frac {1}{2m}}\left[{\boldsymbol {\sigma }}\cdot \left(\mathbf {p} -e\mathbf {A} \right)\right]^{2}\psi _{+}+e\phi \psi _{+}}$

Оператор слева представляет энергию частицы, уменьшенную на ее энергию покоя, которая является просто классической энергией, поэтому мы восстановим теорию Паули, если отождествим его 2-спинор с верхними компонентами спинора Дирака в нерелятивистском приближении. Дальнейшее приближение дает уравнение Шредингера как предел теории Паули. Таким образом, уравнение Шредингера можно рассматривать как далеко нерелятивистское приближение уравнения Дирака, когда можно пренебречь спином и работать только при низких энергиях и скоростях. Это также стало большим триумфом для нового уравнения, поскольку в нем прослеживается загадочная буква i.что появляется в нем, и необходимость сложной волновой функции, возвращаясь к геометрии пространства-времени через алгебру Дирака. Это также подчеркивает, почему уравнение Шредингера, хотя на первый взгляд имеет форму уравнения диффузии , на самом деле представляет собой распространение волн.

Следует особо подчеркнуть, что такое разделение спинора Дирака на большую и малую компоненты явно зависит от низкоэнергетического приближения. Весь спинор Дирака представляет собой неприводимое целое, и компоненты, которыми мы только что пренебрегли, чтобы прийти к теории Паули, принесут новые явления в релятивистском режиме - антивещество и идею создания и уничтожения частиц.

Сравнение с теорией Вейля [ править ]

В пределе т → 0 , уравнение Дирака сводится к уравнению Вейля , который описывает релятивистские Безмассовые спин - ¹ / ₂ частиц. ^[7]

Лагранжиан Дирака [ править ]

Как уравнение Дирака, так и присоединенное уравнение Дирака могут быть получены из (варьирования) действия с определенной плотностью лагранжиана, которая определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i\hbar c{\overline {\psi }}\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }\psi -mc^{2}{\overline {\psi }}\psi }$

Если изменить это относительно ψ, получится присоединенное уравнение Дирака. Между тем, если изменить это по ψ, получится уравнение Дирака.

Физическая интерпретация [ править ]

Идентификация наблюдаемых [ править ]

Важнейший физический вопрос в квантовой теории: какие физически наблюдаемые величины определяются теорией? Согласно постулатам квантовой механики, такие величины определяются эрмитовыми операторами , действующими в гильбертовом пространстве возможных состояний системы. Тогда собственные значения этих операторов являются возможными результатами измерения соответствующей физической величины. В теории Шредингера простейшим таким объектом является общий гамильтониан, который представляет полную энергию системы. Если мы хотим сохранить эту интерпретацию при переходе к теории Дирака, мы должны принять гамильтониан как

${\displaystyle H=\gamma ^{0}\left[mc^{2}+c\gamma ^{k}\left(p_{k}-qA_{k}\right)\right]+qA^{0}.}$

где, как всегда, подразумевается суммирование по дважды повторяющемуся индексу k = 1, 2, 3 . Это выглядит многообещающе, потому что мы видим при рассмотрении энергию покоя частицы и, в случае A = 0 , энергию заряда, помещенного в электрический потенциал qA ⁰ . А как насчет члена с векторным потенциалом? В классической электродинамике энергия заряда, движущегося в приложенном потенциале, равна

${\displaystyle H=c{\sqrt {\left(p-qA\right)^{2}+m^{2}c^{2}}}+qA^{0}.}$

Таким образом, гамильтониан Дирака фундаментально отличается от своего классического аналога, и мы должны очень внимательно относиться к правильному определению того, что наблюдается в этой теории. Большая часть очевидного парадоксального поведения, подразумеваемого уравнением Дирака, сводится к неправильной идентификации этих наблюдаемых. ^{[ необходима цитата ]}

Теория дыр [ править ]

Отрицательные E решения уравнения проблематичны, поскольку предполагалось, что частица имеет положительную энергию. С математической точки зрения, однако, у нас нет причин отказываться от решений с отрицательной энергией. Поскольку они существуют, мы не можем просто игнорировать их, поскольку, как только мы учтем взаимодействие между электроном и электромагнитным полем, любой электрон, помещенный в собственное состояние с положительной энергией, распадется на собственные состояния с отрицательной энергией с последовательно более низкой энергией. Настоящие электроны, очевидно, не ведут себя подобным образом, иначе они бы исчезли, испуская энергию в виде фотонов .

Чтобы справиться с этой проблемой, Дирак ввел гипотезу, известную как теория дыр , о том, что вакуум - это квантовое состояние многих тел, в котором заняты все собственные состояния электронов с отрицательной энергией. Это описание вакуума как «моря» электронов называется морем Дирака . Поскольку принцип запрета Паули запрещает электронам занимать одно и то же состояние, любой дополнительный электрон будет вынужден занять собственное состояние с положительной энергией, а электронам с положительной энергией будет запрещено распадаться на собственные состояния с отрицательной энергией.

Если электрону запрещено одновременно занимать собственные состояния с положительной и отрицательной энергией, тогда функция, известная как Zitterbewegung, который возникает из-за интерференции состояний с положительной и отрицательной энергией, следует рассматривать как нефизическое предсказание зависящей от времени теории Дирака. Этот вывод можно сделать из объяснения теории дыр, приведенного в предыдущем абзаце. Последние результаты опубликованы в журнале Nature [R. Gerritsma, G. Kirchmair, F. Zaehringer, E. Solano, R. Blatt, and C. Roos, Nature 463, 68-71 (2010)], в котором характеристика Zitterbewegung моделировалась в эксперименте с захваченными ионами. Этот эксперимент влияет на интерпретацию дыр, если сделать вывод, что физико-лабораторный эксперимент - это не просто проверка математической правильности решения уравнения Дирака, но измерение реального эффекта, обнаруживаемость которого в электронной физике все еще недостижима.

Далее Дирак рассуждал, что если собственные состояния с отрицательной энергией заполнены не полностью, каждое незанятое собственное состояние, называемое дырой, будет вести себя как положительно заряженная частица. Дырка обладает положительной энергией, поскольку энергия требуется для создания пары частица-дырка из вакуума. Как отмечалось выше, Дирак первоначально думал, что дырка может быть протоном, но Герман Вейль указал, что дырка должна вести себя так, как если бы она имела ту же массу, что и электрон, тогда как протон более чем в 1800 раз тяжелее. Дыра была в конечном итоге идентифицирована как позитрон , экспериментально обнаруженный Карлом Андерсоном в 1932 году.

Не совсем удовлетворительно описывать «вакуум» с помощью бесконечного моря электронов с отрицательной энергией. Бесконечно отрицательные вклады моря электронов с отрицательной энергией должны быть компенсированы бесконечной положительной «голой» энергией, а вклад в плотность заряда и ток, исходящий от моря электронов с отрицательной энергией, в точности компенсируется бесконечным положительным " желе », так что чистая плотность электрического заряда вакуума равна нулю. В квантовой теории поля , в преобразовании Боголюбова на операторов рождения и уничтожения(превращение занятого состояния электронов с отрицательной энергией в незанятое состояние позитронов с положительной энергией и незанятое состояние электронов с отрицательной энергией в занятое состояние позитронов с положительной энергией) позволяет нам обойти формализм моря Дирака, хотя формально он эквивалентен ему .

Однако в некоторых приложениях физики конденсированного состояния основные концепции «теории дыр» верны. Море электронов проводимости в электрическом проводнике , называемое морем Ферми , содержит электроны с энергией до химического потенциала системы. Незаполненное состояние в море Ферми ведет себя как положительно заряженный электрон, хотя его называют «дыркой», а не «позитроном». Отрицательный заряд моря Ферми уравновешивается положительно заряженной ионной решеткой материала.

В квантовой теории поля [ править ]

В квантовых теориях поля, таких как квантовая электродинамика , поле Дирака подвергается процессу вторичного квантования , который разрешает некоторые парадоксальные особенности уравнения.

Лоренцева ковариация уравнения Дирака [ править ]

Уравнение Дирака лоренцево ковариантно . Формулирование это помогает осветить не только уравнение Дирака, но и майорановский спинорный и Elko спинорный , которые , хотя и тесно связаны между собой , имеют тонкие и важные различия.

Понимание ковариации Лоренца упрощается, если иметь в виду геометрический характер процесса. ^[8] Позвольте быть единственной неподвижной точкой в пространственно-временном многообразии . Его местоположение может быть выражено в нескольких системах координат . В литературе по физике они обозначаются как и , при том понимании, что оба и описывают одну и ту же точку , но в разных локальных системах отсчета ( система отсчета на небольшом протяженном участке пространства-времени). Можно представить себе волокно${\displaystyle a}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$различных систем координат над ним. Говоря геометрическими терминами, можно сказать, что пространство-время можно охарактеризовать как пучок волокон , в частности пучок кадров . Разница между двумя точками в одном и том же волокне - комбинация вращений и повышения Лоренца . Выбор системы координат - это (локальный) раздел этого пакета.${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$

К пучку каркасов присоединен второй пучок - спинорный пучок . Сечение спинорного пучка - это просто поле частицы (в данном случае спинор Дирака). Разные точки спинорного волокна соответствуют одному и тому же физическому объекту (фермиону), но выражены в разных лоренцевых системах отсчета. Ясно, что связка кадров и спинорная связка должны быть связаны друг с другом согласованным образом, чтобы получить согласованные результаты; формально говорят, что спинорное расслоение является ассоциированным расслоением ; он связан с основным комплектом , которым в данном случае является комплект кадров. Различия между точками на волокне соответствуют симметрии системы. У спинорного расслоения есть два различных генератора симметрии:полный угловой момент и собственный угловой момент . Оба соответствуют преобразованиям Лоренца, но по-разному.

Изложение здесь следует за Ициксоном и Зубером. ^[9] Он почти идентичен Бьоркену и Дреллу. ^[10] Аналогичный вывод в общем релятивистском контексте можно найти у Вайнберга. ^[11] При преобразовании Лоренца спинор Дирака преобразуется как${\displaystyle x\mapsto x^{\prime },}$

${\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=S\psi (x)}$

Можно показать, что явное выражение для дается выражением${\displaystyle S}$

${\displaystyle S=\exp \left({\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)}$

где параметризует преобразование Лоренца, а - матрица 4x4${\displaystyle \omega ^{\mu \nu }}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$

${\displaystyle \sigma ^{\mu \nu }={\frac {i}{2}}[\gamma ^{\mu },\gamma ^{\nu }]~.}$

Эту матрицу можно интерпретировать как собственный угловой момент поля Дирака. Это заслуживает такой интерпретации возникает контрастный его к генератору из преобразований Лоренца , имеющая форму${\displaystyle J_{\mu \nu }}$

${\displaystyle J_{\mu \nu }={\frac {1}{2}}\sigma _{\mu \nu }+i(x_{\mu }\partial _{\nu }-x_{\nu }\partial _{\mu })}$

Это можно интерпретировать как полный угловой момент . Он действует на спинорное поле как

${\displaystyle \psi ^{\prime }(x)=\exp \left({\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x)}$

Обратите внимание, что на приведенном выше значении нет штриха: указанное выше получается путем преобразования получения изменения в исходную систему координат и последующего возврата к ней .${\displaystyle x}$${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }}$${\displaystyle \psi (x)\mapsto \psi ^{\prime }(x^{\prime })}$${\displaystyle x^{\prime }\mapsto x}$

Геометрическая интерпретация вышеизложенного является то , что поле кадра является аффинным , не имеющим предпочтительным происхождением. Генератор генерирует симметрии этого пространства: оно обеспечивает Перемаркировка неподвижной точки генератор генерирует движение от одной точки в волокна к другому: движение от с обоими , и до сих пор , соответствующих одной и той же точке пространства - времени эти , возможно , тупые замечания можно выясняется с помощью явной алгебры.${\displaystyle J_{\mu \nu }}$${\displaystyle x~.}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }}$${\displaystyle x}$${\displaystyle x^{\prime }}$${\displaystyle a.}$

Позвольте быть преобразованием Лоренца. Уравнение Дирака${\displaystyle x^{\prime }=\Lambda x}$

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\psi (x)-m\psi (x)=0}$

Если уравнение Дирака должно быть ковариантным, то оно должно иметь точно такой же вид во всех фреймах Лоренца:

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial }{\partial x^{\prime \mu }}}\psi ^{\prime }(x^{\prime })-m\psi ^{\prime }(x^{\prime })=0}$

Два спинора и оба должны описывать одно и то же физическое поле, и поэтому должны быть связаны преобразованием, которое не меняет никаких физических наблюдаемых (заряд, ток, масса и т. Д. ). Преобразование должно кодировать только изменение системы координат. Можно показать, что такое преобразование представляет собой унитарную матрицу 4x4 . Таким образом, можно предположить, что связь между двумя кадрами может быть записана как${\displaystyle \psi }$${\displaystyle \psi ^{\prime }}$

${\displaystyle \psi ^{\prime }(x^{\prime })=S(\Lambda )\psi (x)}$

Подставляя это в преобразованное уравнение, получаем

${\displaystyle i\gamma ^{\mu }{\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}{\frac {\partial }{\partial x^{\nu }}}S(\Lambda )\psi (x)-S(\Lambda )\psi (x)=0}$

Преобразование Лоренца есть

${\displaystyle {\frac {\partial x^{\nu }}{\partial x^{\prime \mu }}}={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\nu }}_{\mu }}$

Исходное уравнение Дирака затем восстанавливается, если

${\displaystyle S(\Lambda )\gamma ^{\mu }S^{-1}(\Lambda )={\left(\Lambda ^{-1}\right)^{\mu }}_{\nu }\gamma ^{\nu }}$

Явное выражение для (равное приведенному выше выражению) можно получить, рассматривая бесконечно малое преобразование Лоренца${\displaystyle S(\Lambda )}$

${\displaystyle {\Lambda ^{\mu }}_{\nu }={g^{\mu }}_{\nu }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }}$

где это метрический тензор и антисимметричен. После подключения и пыхтения получается${\displaystyle g_{\mu \nu }}$${\displaystyle \omega _{\mu \nu }}$

${\displaystyle S(\Lambda )=I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }+{\mathcal {O}}(\Lambda ^{2})}$

которая является (бесконечно малой) формой для приведенного выше. Чтобы получить аффинную перемаркировку, напишите${\displaystyle S}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\psi ^{\prime }(x^{\prime })&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x)\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }\right)\psi (x^{\prime }+{\omega ^{\mu }}_{\nu }\,x^{\prime \,\nu })\\&=\left(I+{\frac {-i}{4}}\omega ^{\mu \nu }\sigma _{\mu \nu }-x_{\mu }^{\prime }\omega ^{\mu \nu }\partial _{\nu }\right)\psi (x^{\prime })\\&=\left(I+{\frac {-i}{2}}\omega ^{\mu \nu }J_{\mu \nu }\right)\psi (x^{\prime })\\\end{aligned}}}$

После должной антисимметричности получается генератор симметрий, приведенный ранее. Таким образом, оба и могут быть названы «генераторами преобразований Лоренца», но с тонкой разницей: первое соответствует перемаркировке точек на связке аффинных систем отсчета , что заставляет перенос вдоль волокна спинора на спин расслоение , а второе соответствует трансляциям вдоль волокна спинового пучка (рассматриваемому как движение вдоль пучка кадров, а также движение вдоль волокна спинового пучка). Вайнберг приводит дополнительные аргументы в пользу их физической интерпретации как полный и собственный угловой момент. ^[12]${\displaystyle J_{\mu \nu }}$${\displaystyle J_{\mu \nu }}$${\displaystyle \sigma _{\mu \nu }}$${\displaystyle x\mapsto x^{\prime }}$${\displaystyle \psi \mapsto \psi ^{\prime }}$

Другие формулировки [ править ]

Уравнение Дирака можно сформулировать и другими способами.

Искривленное пространство-время [ править ]

Эта статья разработала уравнение Дирака в плоском пространстве-времени согласно специальной теории относительности. Можно сформулировать уравнение Дирака в искривленном пространстве-времени .

Алгебра физического пространства [ править ]

В этой статье уравнение Дирака было разработано с использованием четырех векторов и операторов Шредингера. Уравнение Дирака в алгебре физического пространства использует алгебру Клиффорда над действительными числами, тип геометрической алгебры.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Цитаты [ править ]

Избранные статьи [ править ]

• Андерсон, Карл (1933). «Положительный электрон» . Физический обзор . 43 (6): 491. Bibcode : 1933PhRv ... 43..491A . DOI : 10.1103 / PhysRev.43.491 .
• Arminjon, M .; Ф. Рейфлер (2013). «Эквивалентные формы уравнений Дирака в искривленном пространстве-времени и обобщенные отношения де Бройля». Бразильский журнал физики . 43 (1–2): 64–77. arXiv : 1103.3201 . Bibcode : 2013BrJPh..43 ... 64А . DOI : 10.1007 / s13538-012-0111-0 . S2CID  38235437 .
• Дирак, РАМ (1928). "Квантовая теория электрона" (PDF) . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 117 (778): 610–624. Bibcode : 1928RSPSA.117..610D . DOI : 10.1098 / rspa.1928.0023 . JSTOR  94981 .
• Дирак, РАМ (1930). «Теория электронов и протонов» . Труды Королевского общества A: математические, физические и инженерные науки . 126 (801): 360–365. Bibcode : 1930RSPSA.126..360D . DOI : 10.1098 / RSPA.1930.0013 . JSTOR  95359 .
• Frisch, R .; Стерн, О. (1933). "Uber die magnetische Ablenkung von Wasserstoffmolekülen und das magnetische Moment des Protons. I". Zeitschrift für Physik . 85 (1–2): 4. Bibcode : 1933ZPhy ... 85 .... 4F . DOI : 10.1007 / BF01330773 . S2CID  120793548 .

Учебники [ править ]

• Bjorken, JD; Дрелл, С. Релятивистская квантовая механика .
• Хальзен, Фрэнсис ; Мартин, Алан (1984). Кварки и лептоны: вводный курс современной физики элементарных частиц . Джон Вили и сыновья.
• Гриффитс, ди-джей (2008). Введение в элементарные частицы (2-е изд.). Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40601-2.
• Рэй, Аластер И.М.; Джим Наполитано (2015). Квантовая механика (6-е изд.). Рутледж. ISBN 978-1482299182.
• Шифф, Л.И. (1968). Квантовая механика (3-е изд.). Макгроу-Хилл.
• Шанкар Р. (1994). Принципы квантовой механики (2-е изд.). Пленум.
• Таллер, Б. (1992). Уравнение Дирака . Тексты и монографии по физике. Springer.

Внешние ссылки [ править ]

В Wikiquote есть цитаты, связанные с: уравнением Дирака.

• Уравнение Дирака на MathPages
• Природа уравнения Дирака, его решения и спин
• Уравнение Дирака для частицы со спином 1/2
• Педагогические пособия по квантовой теории поля щелкните гл. 4 для пошагового введения в уравнение Дирака, спиноры и релятивистские операторы спина / спиральности.
• Документальный фильм BBC Atom 3 - Иллюзия реальности