Квантовое состояние

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовый Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

В квантовой физике , квантовое состояние представляет собой математический объект , который обеспечивает распределение вероятностей для результатов каждого возможного измерения на системе. Знание квантового состояния вместе с правилами эволюции системы во времени исчерпывает все, что можно предсказать о поведении системы. Смесь квантовых состояний снова квантовое состояние. Квантовые состояния, которые нельзя записать как смесь других состояний, называются чистыми квантовыми состояниями , а все другие состояния называются смешанными квантовыми состояниями . Чистое квантовое состояние можно представить в виде луча в гильбертовом пространстве надкомплексные числа , ^{[1] [2], в} то время как смешанные состояния представлены матрицами плотности , которые являются положительными полуопределенными операторами , действующими в гильбертовых пространствах. ^{[3] [4]}

Чистые состояния также известны как векторы состояния или волновые функции , причем последний термин применяется, в частности, когда они представлены как функции положения или импульса. Например, при работе с энергетическим спектром от электрона в атоме водорода , соответствующие векторы состояния обозначается главным квантовое число п , с угловым моментом квантового числа л , с числом магнитных квантовыми м , и спина Z-составляющей с _z . В качестве другого примера, если спин электрона измеряется в любом направлении, например, с помощью эксперимента Штерна-Герлаха, возможны два результата: вверх или вниз. Таким образом, гильбертово пространство для спина электрона является двумерным и представляет собой кубит . Чистое состояние здесь представлено двумерным комплексным вектором с длиной, равной единице; то есть с${\ Displaystyle (\ альфа, \ бета)}$

${\ Displaystyle | \ альфа | ^ {2} + | \ бета | ^ {2} = 1,}$

где и являются абсолютными значениями из и . Смешанное состояние в этом случае имеет структуру матрицы, которая является эрмитовой и положительно полуопределенной, и имеет след 1. ^[5] Более сложный случай задается (в обозначениях бра-кет ) синглетным состоянием , которое иллюстрирует квантовую запутанность :${\ Displaystyle | \ альфа |}$${\ displaystyle | \ beta |}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$${\ displaystyle 2 \ times 2}$

${\ Displaystyle \ left | \ psi \ right \ rangle = {\ frac {1} {\ sqrt {2}}} {\ big (} \ left | \ uparrow \ downarrow \ right \ rangle - \ left | \ downarrow \ вверх \ right \ rangle {\ big)},}$

который включает в себя суперпозицию совместных спиновых состояний для двух частиц со спином ¹ / ₂ . Синглетное состояние удовлетворяет тому свойству, что если спины частиц измеряются в одном и том же направлении, то либо спин первой частицы наблюдается вверх, а спин второй частицы - вниз, либо первая - вниз, а вторая - вниз. одна наблюдается вверх, обе возможности возникают с равной вероятностью.

Смешанное квантовое состояние соответствует вероятностной смеси чистых состояний; однако разные распределения чистых состояний могут порождать эквивалентные (т. е. физически неразличимые) смешанные состояния. Теорема Шредингера – HJW классифицирует множество способов записать данное смешанное состояние как выпуклую комбинацию чистых состояний. ^[6] Прежде чем конкретное измерение будет выполнено в квантовой системе, теория дает только распределение вероятностей для результата, а форма, которую принимает это распределение, полностью определяется квантовым состоянием и линейными операторами.описание измерения. Распределения вероятностей для различных измерений демонстрируют компромиссы, примером которых является принцип неопределенности : состояние, которое подразумевает узкий разброс возможных результатов для одного эксперимента, обязательно подразумевает широкий разброс возможных результатов для другого.

Концептуальное описание [ править ]

Чистые состояния [ править ]

В математической формулировке квантовой механики чистые квантовые состояния соответствуют векторам в гильбертовом пространстве , а каждая наблюдаемая величина (например, энергия или импульс частицы ) связана с математическим оператором . Оператор служит линейной функцией, которая действует на состояния системы. Собственные значения оператора соответствуют возможным значениям наблюдаемой. Например, частицы с импульсом 1 кг⋅м / с можно наблюдать тогда и только тогда, когда одно из собственных значений оператора импульса равно 1 кг⋅м / с. Соответствующий собственный вектор (который физики называют собственным состоянием) с собственным значением 1 кг⋅м / с было бы квантовым состоянием с определенным, четко определенным значением импульса 1 кг⋅м / с, без квантовой неопределенности . Если бы его импульс был измерен, результат гарантированно составил бы 1 кгм / с.

С другой стороны, система в суперпозиции нескольких различных собственных состояний, как правило, имеет квантовую неопределенность для данной наблюдаемой. Мы можем представить эту линейную комбинацию собственных состояний как:

${\displaystyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle .}$

Коэффициент, который соответствует определенному состоянию в линейной комбинации, является комплексным числом, что позволяет создавать интерференционные эффекты между состояниями. Коэффициенты зависят от времени. Как квантовое состояние изменяется во времени, определяется оператором временной эволюции . Символы и ^[a], окружающие скобку, являются частью обозначения на скобках .${\displaystyle |}$${\displaystyle \rangle }$${\displaystyle \Psi }$

Статистические смеси состояний - это другой тип линейной комбинации. Статистическая смесь состояний - это статистический ансамбль независимых систем. Статистические смеси представляют собой уровень знаний, в то время как неопределенность в квантовой механике является фундаментальной. Математически статистическая смесь - это не комбинация с использованием комплексных коэффициентов, а скорее комбинация с использованием действительных положительных вероятностей различных состояний . Число представляет собой вероятность того, что случайно выбранная система находится в состоянии . В отличие от случая линейной комбинации каждая система находится в определенном собственном состоянии. ^{[7] [8]}${\displaystyle \Phi _{n}}$${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle \Phi _{n}}$

Ожидаемое значение наблюдаемого A - это среднее статистическое значение измеренных значений наблюдаемого. Именно это среднее значение и распределение вероятностей предсказывается физическими теориями.${\displaystyle \langle A\rangle _{\sigma }}$

Нет состояния, которое одновременно являлось бы собственным состоянием для всех наблюдаемых. Например, мы не можем подготовить состояние, при котором точно известны и измерение положения Q ( t ), и измерение импульса P ( t ) (одновременно t ); по крайней мере у одного из них будет диапазон возможных значений. ^[b] Это содержание соотношения неопределенностей Гейзенберга .

Более того, в отличие от классической механики, измерение системы неизбежно приводит к изменению ее состояния . ^{[9] [10] [c]} Точнее: после измерения наблюдаемой A система будет в собственном состоянии A ; таким образом, состояние изменилось, если только система уже не находилась в этом собственном состоянии. Это выражает своего рода логическую последовательность: если мы измеряем A дважды в одном и том же цикле эксперимента, измерения идут последовательно во времени ^[d], то они дадут одинаковые результаты. Однако это имеет следующие странные последствия.

Рассмотрим два несовместимых наблюдаемых , A и B , где A соответствует измерению раньше во времени , чем B . ^[e] Предположим, что система находится в собственном состоянии B в начале эксперимента. Если мы измеряем только B , все прогоны эксперимента дадут одинаковый результат. Если мы измеряем сначала A, а затем B в одном и том же запуске эксперимента, система перейдет в собственное состояние A после первого измерения, и мы обычно заметим, что результаты B являются статистическими. Таким образом:Квантово-механические измерения влияют друг на друга , и порядок, в котором они выполняются, важен.

Другая особенность квантовых состояний становится актуальной, если мы рассматриваем физическую систему, состоящую из нескольких подсистем; например, эксперимент с двумя частицами, а не с одной. Квантовая физика допускает определенные состояния, называемые запутанными состояниями , которые демонстрируют определенные статистические корреляции между измерениями двух частиц, которые не могут быть объяснены классической теорией. Подробнее см. Запутанность . Эти запутанные состояния приводят к экспериментально проверяемым свойствам ( теорема Белла ), которые позволяют нам различать квантовую теорию и альтернативные классические (неквантовые) модели.

Изображение Шредингера и изображение Гейзенберга [ править ]

Можно считать, что наблюдаемые зависят от времени, а состояние σ фиксировалось один раз в начале эксперимента. Такой подход называется картиной Гейзенберга . (Этот подход был использован в более поздней части обсуждения выше, с изменяющимися во времени наблюдаемыми P ( t ), Q ( t ).) Можно, эквивалентно, рассматривать наблюдаемые как фиксированные, в то время как состояние системы зависит от времени ; это известно как картина Шредингера . (Этот подход был использован в предыдущей части обсуждения выше, с изменяющимся во времени состоянием .) Концептуально (и математически) эти два подхода эквивалентны; выбор одного из них - дело условности.${\textstyle |\Psi (t)\rangle =\sum _{n}C_{n}(t)|\Phi _{n}\rangle }$

Обе точки зрения используются в квантовой теории. В то время как нерелятивистская квантовая механика обычно формулируется в терминах картины Шредингера, картина Гейзенберга часто предпочтительнее в релятивистском контексте, то есть для квантовой теории поля . Сравните с картиной Дирака . ^{[12] : 65}

Формализм в квантовой физике [ править ]

Чистые состояния как лучи в сложном гильбертовом пространстве [ править ]

Квантовая физика чаще всего формулируется в терминах линейной алгебры следующим образом. Любая данная система отождествляется с некоторым конечномерным или бесконечномерным гильбертовым пространством . Чистые состояния соответствуют векторам с нормой 1. Таким образом, набор всех чистых состояний соответствует единичной сфере в гильбертовом пространстве, поскольку единичная сфера определяется как множество всех векторов с нормой 1.

Умножение чистого состояния на скаляр физически несущественно (до тех пор, пока состояние рассматривается само по себе). Если вектор в комплексном гильбертовом пространстве может быть получен из другого вектора путем умножения на некоторое ненулевое комплексное число, два вектора, как говорят, соответствуют одному и тому же «лучу» в ^{[1] : 50,} а также одной и той же точке в проективное гильбертово пространство из .${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$

Обозначения Брэкет [ править ]

В вычислениях в квантовой механике часто используются линейные операторы , скалярные произведения, двойственные пространства и эрмитово сопряжение . Чтобы сделать такие вычисления гладкими и сделать ненужным (в некоторых контекстах) полное понимание лежащей в основе линейной алгебры, Поль Дирак изобрел обозначение для описания квантовых состояний, известное как обозначение скобки . Хотя подробности этого выходят за рамки данной статьи, некоторые последствия этого:

• Выражение, используемое для обозначения вектора состояния (которое соответствует чистому квантовому состоянию), принимает форму (где " " может быть заменено любыми другими символами, буквами, числами или даже словами). Это можно противопоставить обычной математической нотации, где векторы обычно представляют собой строчные латинские буквы, и из контекста ясно, что они действительно векторы.${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \psi }$
• Дирак определил два вида вектора, бюстгальтер и кет , двойственные друг другу. ^[f]
• Каждый кет однозначно связан с так называемым лифчикем , обозначаемым , что соответствует одному и тому же физическому квантовому состоянию. Технически бюстгальтер является дополнением кет. Это элемент дуального пространства , связанный с кет теоремой о представлении Рисса . В конечномерном пространстве с выбранным базисом, записываемым как вектор-столбец, является вектор-строка; чтобы получить это просто взять транспонирования и въездной-накрест , комплексно сопряженное с .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \langle \psi |}$${\displaystyle |\psi \rangle }$
• Скалярные произведения ^{[г] [ч]} (также называемые скобки ) написано так, чтобы выглядеть как бюстгальтер и кеты рядом друг с другом: . (Фраза «бюстгальтер» должна напоминать «скобку».)${\displaystyle \langle \psi _{1}|\psi _{2}\rangle }$

Спин [ править ]

Угловой момент имеет тот же размер ( M · L ² · Т ^-1 ) в качестве постоянная Планка и в квантовой масштабе, ведет себя как дискретная степень свободы квантовой системы. ^{[ какой? ]} Большинство частиц обладают своего рода внутренним угловым моментом, который вообще не проявляется в классической механике и является результатом релятивистского обобщения теории Дирака. Математически это описывается спинорами . В нерелятивистской квантовой механике групповые представления группы ЛиSU (2) используются для описания этой дополнительной свободы. Для данной частицы выбор представления (и, следовательно, диапазон возможных значений наблюдаемой спина) задается неотрицательным числом S, которое в единицах приведенной постоянной Планка ħ является либо целым числом (0, 1, 2 ...) или полуцелое число (1/2, 3/2, 5/2 ...). Для массивной частицы со спином S ее спиновое квантовое число m всегда принимает одно из 2 S + 1 возможных значений в наборе

${\displaystyle \{-S,-S+1,\ldots +S-1,+S\}}$

Как следствие, квантовое состояние частицы со спином описывается векторной волновой функцией со значениями в C 2 S +1 . Эквивалентно, он представлен комплексной функцией четырех переменных: одна дискретная квантово-числовая переменная (для спина) добавляется к обычным трем непрерывным переменным (для положения в пространстве).

Многотельные состояния и статистика частиц [ править ]

Квантовое состояние системы из N частиц, каждая потенциально со спином, описывается комплексной функцией с четырьмя переменными на частицу, соответствующими 3 пространственным координатам и спину , например

${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} _{1},\,m_{1};\;\dots ;\;\mathbf {r} _{N},\,m_{N})\rangle .}$

Здесь спиновые переменные m _ν принимают значения из множества

${\displaystyle \{-S_{\nu },\,-S_{\nu }+1,\,\ldots ,\,+S_{\nu }-1,\,+S_{\nu }\}}$

где - спин ν- й частицы. для частицы, не обладающей спином.${\displaystyle S_{\nu }}$${\displaystyle S_{\nu }=0}$

Обработка идентичных частиц сильно отличается для бозонов (частиц с целым спином) и фермионов (частиц с полуцелым спином). Вышеупомянутая N -частичная функция должна быть либо симметризована (в бозонном случае), либо антисимметризована (в фермионном случае) относительно числа частиц. Если не все N частиц идентичны, но некоторые из них идентичны, то функция должна быть (анти) симметризована отдельно по переменным, соответствующим каждой группе идентичных переменных, в соответствии с ее статистикой (бозонной или фермионной).

Электроны - это фермионы с S  = 1/2, фотоны (кванты света) - это бозоны с S  = 1 (хотя в вакууме они безмассовые и не могут быть описаны с помощью механики Шредингера).

Когда симметризация или антисимметризация не нужны, N -частичные пространства состояний могут быть получены просто с помощью тензорных произведений одночастичных пространств, к которым мы вернемся позже.

Базовые состояния одночастичных систем [ править ]

Как и в случае с любым гильбертовым пространством , если для гильбертова пространства системы выбран базис , то любое кет-пространство может быть расширено как линейная комбинация этих базовых элементов. Условно, исходя из базисных кетов , можно записать любой кет${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\sum _{i}c_{i}|{k_{i}}\rangle }$

где c _i - комплексные числа . С физической точки зрения это описывается выражением квантовой суперпозиции состояний . Если базисные кеты выбраны ортонормированными (как это часто бывает), то .${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$${\displaystyle c_{i}=\langle {k_{i}}|\psi \rangle }$

Следует отметить одно свойство: нормализованные состояния характеризуются${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \langle \psi |\psi \rangle =1,}$

и для ортонормированного базиса это переводится как

${\displaystyle \sum _{i}\left|c_{i}\right|^{2}=1.}$

Разложения такого рода играют важную роль в измерениях в квантовой механике. В частности, если это собственные состояния (с собственными значениями k _i ) наблюдаемой, и эта наблюдаемая измеряется в нормализованном состоянии , то вероятность того, что результатом измерения будет k _i, равна | c _i | ² . (Вышеупомянутое условие нормализации требует, чтобы общая сумма вероятностей была равна единице.)${\displaystyle |{k_{i}}\rangle }$ ${\displaystyle |\psi \rangle }$

Особенно важным примером является базис положения , который представляет собой базис, состоящий из собственных состояний с собственными значениями наблюдаемой, которая соответствует позиции измерения. ^[i] Если эти собственные состояния невырождены (например, если система представляет собой одиночную бесспиновую частицу), то любой кет связан с комплексной функцией трехмерного пространства.${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} )\equiv \langle \mathbf {r} |\psi \rangle .}$^[k]

Эта функция называется волновой функцией, соответствующей . Аналогично рассмотренному выше дискретному случаю плотность вероятности нахождения частицы в позиции равна, а нормированные состояния имеют ${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle |\psi (\mathbf {r} )|^{2}}$

${\displaystyle \int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \,|\psi (\mathbf {r} )|^{2}=1}$.

С точки зрения непрерывного набора позиций , состояние :${\displaystyle |\mathbf {r} \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle }$

${\displaystyle |\psi \rangle =\int \mathrm {d} ^{3}\mathbf {r} \,\psi (\mathbf {r} )|\mathbf {r} \rangle }$.

Суперпозиция чистых состояний [ править ]

Как упоминалось выше, квантовые состояния могут накладываться друг на друга . Если и - два кета, соответствующие квантовым состояниям, то кет${\displaystyle |\alpha \rangle }$${\displaystyle |\beta \rangle }$

${\displaystyle c_{\alpha }|\alpha \rangle +c_{\beta }|\beta \rangle }$

другое квантовое состояние (возможно, ненормированное). Обратите внимание, что как амплитуды, так и фазы ( аргументы ) и будут влиять на результирующее квантовое состояние. Другими словами, например, даже если и (для реального θ ) соответствуют одному и тому же физическому квантовому состоянию, они не являются взаимозаменяемыми , поскольку и не будут соответствовать одному и тому же физическому состоянию для всех вариантов . Однако и будет соответствовать такому же физическому состоянию. Иногда это описывают, говоря, что «глобальные» фазовые факторы нефизичны, но «относительные» фазовые факторы являются физическими и важными.${\displaystyle c_{\alpha }}$${\displaystyle c_{\beta }}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle e^{i\theta }|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle +e^{i\theta }|\psi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\phi \rangle +|\psi \rangle }$${\displaystyle e^{i\theta }(|\phi \rangle +|\psi \rangle )}$

Одним из практических примеров суперпозиции является эксперимент с двумя щелями , в котором суперпозиция приводит к квантовой интерференции . Состояние фотона представляет собой суперпозицию двух различных состояний, одно из которых соответствует прохождению фотона через левую щель, а другое - прохождению через правую щель. Относительная фаза этих двух состояний зависит от разницы расстояний до двух щелей. В зависимости от этой фазы интерференция в одних местах является конструктивной, а в других - деструктивной, создавая интерференционную картину. Мы можем сказать, что наложенные состояния находятся в когерентной суперпозиции по аналогии с когерентностью в других волновых явлениях.

Другой пример важности относительной фазы в квантовой суперпозиции - осцилляции Раби , где относительная фаза двух состояний изменяется во времени из-за уравнения Шредингера . В результате суперпозиция колеблется между двумя разными состояниями.

Смешанные состояния [ править ]

Чисто квантовое состояние является состоянием , которое может быть описано с помощью одного вектора кет, как описано выше. Смешанное квантовое состояние представляет собой статистический ансамбль чистых состояний (см квантовой статистической механики ). Смешанные состояния неизбежно возникают из чистых состояний, когда для составной квантовой системы с запутанным состоянием на ней часть недоступна для наблюдателя. Состояние части выражаются тогда как частичный след над .${\displaystyle H_{1}\otimes H_{2}}$${\displaystyle H_{2}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle H_{2}}$

Смешанное состояние нельзя описать одним кет-вектором. Вместо этого он описывается связанной с ним матрицей плотности (или оператором плотности ), обычно обозначаемой ρ . Обратите внимание, что матрицы плотности могут описывать как смешанные, так и чистые состояния, рассматривая их как единое целое. Более того, смешанное квантовое состояние в данной квантовой системе, описываемой гильбертовым пространством, всегда можно представить как частичный след чистого квантового состояния (называемого очищением ) на более крупной двудольной системе для достаточно большого гильбертова пространства .${\displaystyle H}$${\displaystyle H\otimes K}$${\displaystyle K}$

Матрица плотности, описывающая смешанное состояние, определяется как оператор вида

${\displaystyle \rho =\sum _{s}p_{s}|\psi _{s}\rangle \langle \psi _{s}|}$

где - доля ансамбля в каждом чистом состоянии . Матрицу плотности можно рассматривать как способ использования одночастичного формализма для описания поведения многих подобных частиц, давая распределение вероятностей (или ансамбль) состояний, в которых эти частицы можно найти в.${\displaystyle p_{s}}$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle .}$

Простой критерий для проверки , является ли матрица плотности , описывающая чистое или смешанное состояние является то , что след от р ² равен 1 , если состояние является чистым, и меньше , чем 1 , если состояние является смешанным. ^{[1] [14]} Другой эквивалентный критерий состоит в том, что энтропия фон Неймана равна нулю для чистого состояния и строго положительна для смешанного состояния.

Правила измерения в квантовой механике особенно просто сформулировать в терминах матриц плотности. Например, среднее по ансамблю ( математическое ожидание ) измерения, соответствующего наблюдаемой A , определяется как

${\displaystyle \langle A\rangle =\sum _{s}p_{s}\langle \psi _{s}|A|\psi _{s}\rangle =\sum _{s}\sum _{i}p_{s}a_{i}|\langle \alpha _{i}|\psi _{s}\rangle |^{2}=\operatorname {tr} (\rho A)}$

где - собственные наборы и собственные значения, соответственно, для оператора A , а "tr" означает след. Важно отметить, что имеют место два типа усреднения, один из которых представляет собой взвешенную квантовую суперпозицию над базисными кетами чистых состояний, а другой - статистическое (упомянутое некогерентное ) среднее с вероятностями p _s этих состояний.${\displaystyle |\alpha _{i}\rangle ,\;a_{i}}$${\displaystyle |\psi _{s}\rangle }$

Согласно Eugene Вигнеру , ^[15] понятие смеси было выдвинуто Л. Д. Ландау . ^{[16] [13] : 38–41}

Математические обобщения [ править ]

Состояния можно сформулировать в терминах наблюдаемых, а не в виде векторов в векторном пространстве. Это положительные нормализованные линейные функционалы на C * -алгебре или иногда другие классы алгебр наблюдаемых. См. Положение о C * -алгебре и конструкции Гельфанда – Наймарка – Сигала для получения более подробной информации.

См. Также [ править ]

• Атомный электронный переход
• Сфера Блоха
• Штат Гринбергера – Хорна – Цайлингера
• Основное состояние
• Введение в квантовую механику
• Теорема о запрете клонирования
• Ортонормированный базис
• PBR теорема
• Квантовый гармонический осциллятор
• Квантовый логический вентиль
• Уменьшение вектора состояния , по историческим причинам названное коллапсом волновой функции
• Стационарное состояние
• Состояние W

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Концепция квантовых состояний, в частности содержание раздела « Формализм в квантовой физике» выше, рассматривается в большинстве стандартных учебников по квантовой механике.

Обсуждение концептуальных аспектов и сравнение с классическими состояниями см .:

• Ишем, Крис Дж (1995). Лекции по квантовой теории: математические и структурные основы . Imperial College Press . ISBN 978-1-86094-001-9.

Для более подробного освещения математических аспектов см .:

• Браттели, Ола ; Робинсон, Дерек В. (1987). Операторные алгебры и квантовая статистическая механика 1 . Springer. ISBN 978-3-540-17093-8. 2-е издание.В частности, см. Разд. 2.3.

Для обсуждения очистки смешанных квантовых состояний см. Главу 2 лекций Джона Прескилла по Physics 219 в Калифорнийском технологическом институте.

Для обсуждения геометрических аспектов см .:

• Бенгтссон I; Yczkowski K (2006). Геометрия квантовых состояний . Кембридж: Издательство Кембриджского университета., второе, исправленное издание (2017 г.)