Симметрия в квантовой механике

Часть серии по
Квантовая механика
${\ Displaystyle я \ HBAR {\ гидроразрыва {\ partial} {\ partial t}} | \ psi (t) \ rangle = {\ hat {H}} | \ psi (t) \ rangle}$ Уравнение Шредингера
Вступление Глоссарий История Учебники
Фон Классическая механика Старая квантовая теория Обозначение Бра – Кет Гамильтониан Вмешательство
Основы Родившееся правило Комптоновская длина волны Согласованность Декогеренция Комплементарность Уровень энергии Запутанность Гамильтониан Принцип неопределенности Основное состояние Вмешательство Измерение Слабое измерение Нелокальность Наблюдаемый Оператор Квантовая Квантовая флуктуация Квантовое число Квантовый шум Квантовая область Квантовое состояние Квантовая система Квантовая телепортация Кубит Вращение Суперпозиция Квантовое вакуумное состояние Симметрия (Спонтанное) нарушение симметрии Состояние вакуума Распространение волн Волновая функция Коллапс волновой функции Дуальность волна-частица Волна материи Прямоугольный потенциальный барьер Пространство фока
Последствия Эффект Зеемана Эффект Старка Эффект Ааронова – Бома Квантование Ландау Квантовый эффект Холла Квантовый эффект Зенона Квантовое туннелирование Фотоэлектрический эффект Эффект Казимира
Эксперименты Неравенство Белла Дэвиссон-Гермер Двойная щель Элицур – Вайдман Франк-Герц Неравенство Леггетта – Гарга Мах – Цендер Поппер Квантовый ластик  ( отложенный выбор ) Кот Шредингера Штерн-Герлах Отсроченный выбор Уиллера
Составы Обзор Динамические картинки ( Гейзенберг ; Взаимодействие ; Шредингер ) Матрица Фазовое пространство Суммирование по историям (интеграл по путям)
Уравнения Дирак Хеллманн-Фейнман Кляйн – Гордон Липпманн-Швингер Паули Ридберг Шредингер
Интерпретации Обзор Байесовский Последовательные истории Копенгаген Космологический де Бройль-Бом Ансамбль Скрытая переменная Многомиры Объективный коллапс Квантовая логика Реляционный Стохастик Транзакционный
Дополнительные темы Квантовый отжиг Квантовый хаос Квантовые вычисления Квантовая геометрия Матрица плотности Квантовая теория поля Дробная квантовая механика Квантовая гравитация Квантовая информатика Квантовое машинное обучение Теория возмущений (квантовая механика) Релятивистская квантовая механика Теория рассеяния Теория сверхтекучего вакуума Самопроизвольное параметрическое преобразование с понижением частоты Квантовая статистическая механика
Ученые Ааронов Колокол Блэкетт Блох Бом Бор Родившийся Bose де Бройль Кэндлин Комптон Дирак Дэвиссон Дебай Эренфест Эйнштейн Эверетт Фок Ферми Фейнман Глаубер Gutzwiller Гейзенберг Гильберта Иордания Крамерс Паули ягненок Ландо Лауэ Мозли Милликен Оннес Планк Раби Раман Ридберг Шредингер Зоммерфельд фон Нейман Weyl Вена Вигнер Zeeman Цайлингер Гоудсмит Уленбек Ян
Категории ► Квантовая механика
v т е

Симметрии в квантовой механике описывают особенности пространства-времени и частиц, которые не изменяются при некоторых преобразованиях в контексте квантовой механики , релятивистской квантовой механики и квантовой теории поля , а также с приложениями в математической формулировке стандартной модели и физики конденсированного состояния . В общем, симметрия в физике , законы инвариантности и сохранения являются фундаментально важными ограничениями для формулирования физических теорий.и модели. На практике это мощные методы решения проблем и прогнозирования того, что может случиться. Хотя законы сохранения не всегда дают прямой ответ на проблему, они формируют правильные ограничения и первые шаги к решению множества проблем.

В данной статье рассматривается связь между классической форме непрерывных симметрий , а также их квантовых операторов , и связывает их с группами Ли и релятивистских преобразований в группе Лоренца и группы Пуанкаре .

Обозначение [ править ]

Условные обозначения, используемые в этой статье, следующие. Жирный показывают векторы , четыре вектора , матрицу и векторные оператор , в то время как квантовые состояния используют Бра и кета . Широкие шляпы предназначены для операторов , узкие - для единичных векторов (включая их компоненты в нотации тензорного индекса ). Суммирование конвенции о неоднократных индексов тензорных используется, если не указано иное. Метрика Минковского подпись является (+ ---).

Преобразования симметрии волновой функции в нерелятивистской квантовой механике [ править ]

Непрерывные симметрии [ править ]

Как правило, соответствие между непрерывными симметриями и законами сохранения дается теоремой Нётер .

Форма фундаментальных квантовых операторов, например энергии как частной производной по времени и импульса как пространственного градиента , становится ясной, если рассмотреть начальное состояние, а затем немного изменить один из его параметров. Это можно сделать для смещений (длины), продолжительности (времени) и углов (поворотов). Кроме того, инвариантность определенных величин можно увидеть, сделав такие изменения длин и углов, иллюстрируя сохранение этих величин.

В дальнейшем преобразования только для одночастичных волновых функций в виде:

${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}} \ psi (\ mathbf {r}, t) = \ psi (\ mathbf {r} ', t')}$

рассматриваются, где - унитарный оператор . Унитарность обычно требуется для операторов, представляющих преобразования пространства, времени и спина, поскольку норма состояния (представляющая полную вероятность нахождения частицы где-то с некоторым спином) должна быть инвариантной относительно этих преобразований. Обратное - эрмитово сопряжение . Результаты могут быть распространены на многочастичные волновые функции. Стандартно записанные в нотации Дирака преобразования квантовых векторов состояния :${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}}$ ${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}} ^ {- 1} = {\ widehat {\ Omega}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}} \ left | \ mathbf {r} (t) \ right \ rangle = \ left | \ mathbf {r} '(t') \ right \ rangle}$

Теперь действие заменяет ψ ( r , t ) на ψ ( r ′, t ′), так что обратное превращает ψ ( r ′, t ′) обратно в ψ ( r , t ), так что оператор, инвариантный относительно, удовлетворяет:${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}} ^ {- 1} = {\ widehat {\ Omega}} ^ {\ dagger}}$${\ displaystyle {\ widehat {A}}}$${\ displaystyle {\ widehat {\ Omega}}}$

${\displaystyle {\widehat {A}}\psi ={\widehat {\Omega }}^{\dagger }{\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi \quad \Rightarrow \quad {\widehat {\Omega }}{\widehat {A}}\psi ={\widehat {A}}{\widehat {\Omega }}\psi }$

и поэтому:

${\displaystyle [{\widehat {\Omega }},{\widehat {A}}]\psi =0}$

для любого состояния ψ . Квантовые операторы , представляющие наблюдаемые также должны быть эрмитовым , так что их собственные являются действительными числами , т.е. оператор равен его эрмитов сопряженным , .${\displaystyle {\widehat {A}}={\widehat {A}}^{\dagger }}$

Обзор теории групп Ли [ править ]

Ниже приведены ключевые положения теории групп, относящиеся к квантовой теории, примеры приводятся на протяжении всей статьи. Для альтернативного подхода с использованием групп матриц см. Книги Холла ^{[1] [2]}

Пусть G является группой Ли , которая является группой , которая локально параметрироваться конечным числом N в режиме реального непрерывно изменяющихся параметров £ , ₁ , ξ ₂ , ... ξ _N . На более математическом языке это означает, что G - гладкое многообразие , которое также является группой, для которой групповые операции гладкие.

• размерность группы , N , есть число параметров , он имеет.
• в группе элементов , например , в G являются функциями параметров:

${\displaystyle g=G(\xi _{1},\xi _{2},\cdots )}$

и все параметры, установленные в ноль, возвращают идентификационный элемент группы:

${\displaystyle I=G(0,0\cdots )}$

Элементы группы часто представляют собой матрицы, действующие на векторы, или преобразования, действующие на функции.

• В образующие группы являются частные производные элементов группы по отношению к параметрам группы, в результате вычисляется , когда параметр устанавливается равным нулю:

${\displaystyle X_{j}=\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$

На языке многообразий образующие - это элементы касательного пространства к G в единице. Генераторы также известны как бесконечно малые группы элементов или элементов алгебры Ли в G . (См. Обсуждение коммутатора ниже.)

Одним из аспектов генераторов в теоретической физике является то, что они могут быть сконструированы как операторы, соответствующие симметриям, которые могут быть записаны как матрицы или как дифференциальные операторы. В квантовой теории для унитарных представлений группы генераторы требуют множителя i :

${\displaystyle X_{j}=i\left.{\frac {\partial g}{\partial \xi _{j}}}\right|_{\xi _{j}=0}}$

Генераторы группы образуют векторное пространство , что означает, что линейные комбинации генераторов также образуют генератор.

• Генераторы (матрицы или дифференциальные операторы) удовлетворяют коммутационным соотношениям :

${\displaystyle \left[X_{a},X_{b}\right]=if_{abc}X_{c}}$

где f _abc - (зависящие от базиса) структурные константы группы. Вместе со свойством векторного пространства это делает набор всех образующих группы алгеброй Ли . Из-за антисимметрии скобки структурные константы группы антисимметричны по первым двум индексам.

• Затем представления группы описывают способы, которыми группа G (или ее алгебра Ли) может действовать в векторном пространстве. (Векторное пространство может быть, например, пространство собственных векторов для гамильтониана , имеющего G в качестве группы симметрии.) Обозначит представление с использованием капиталом D . Можно затем Дифференцируемая D , чтобы получить представление алгебры Ли, часто также обозначаемый D . Эти два представления связаны следующим образом:

${\displaystyle D[g(\xi _{j})]\equiv D(\xi _{j})=e^{i\xi _{j}D(X_{j})}}$

без суммирования по повторяющемуся индексу j . Представления - это линейные операторы, которые принимают элементы группы и сохраняют правило композиции:

${\displaystyle D(\xi _{a})D(\xi _{b})=D(\xi _{a}\xi _{b}).}$

Представление, которое не может быть разложено в прямую сумму других представлений, называется неприводимым . Неприводимые представления принято помечать индексом n в скобках, как в D ^{( n )} , или, если имеется более одного числа, мы пишем D ^{( n , m , ...)} .

В квантовой теории возникает дополнительная тонкость, когда два вектора, различающиеся умножением на скаляр, представляют одно и то же физическое состояние. Здесь уместным понятием представления является проективное представление , которое удовлетворяет закону композиции только с точностью до скаляра. В контексте квантово-механического спина такие представления называются спинориальными .

Импульс и энергия как генераторы переноса, эволюции во времени и вращения [ править ]

Пространство оператор сдвига действует на волновую функцию для сдвига координат пространства на бесконечно малую смещения Д г . Явное выражение можно быстро определить с помощью разложения в ряд Тейлора по ф ( г + Δ г , т ) о г , то (сохраняя термин первого порядка и пренебрегая второго и более высокого порядка), заменить производные пространства с помощью оператора импульса . Аналогично для оператора сдвига времени, действующего на параметр времени, разложение Тейлора ψ ( r , t + Δ t${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$${\displaystyle {\widehat {T}}}$ ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}}$) около t , а производная по времени заменена оператором энергии .${\displaystyle {\widehat {E}}}$

Имя	Оператор перевода ${\displaystyle {\widehat {T}}}$	Оператор перевода времени / эволюции ${\displaystyle {\widehat {U}}}$
Воздействие на волновую функцию	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} +\Delta \mathbf {r} ,t)}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ,t+\Delta t)}$
Инфинитезимальный оператор	${\displaystyle {\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )=I+{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}}$	${\displaystyle {\widehat {U}}(\Delta t)=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}}$
Конечный оператор	${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\left(I+{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \mathbf {r} }{N}}\cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)^{N}=\exp \left({\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)={\widehat {T}}(\Delta \mathbf {r} )}$	${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\left(I-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta t}{N}}\cdot {\widehat {E}}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta t{\widehat {E}}\right)={\widehat {U}}(\Delta t)}$
Генератор	Оператор моментума ${\displaystyle {\widehat {\mathbf {p} }}=-i\hbar \nabla }$	Энергетический оператор ${\displaystyle {\widehat {E}}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}}$

Экспоненциальные функции возникают по определению как эти пределы из-за Эйлера , и их можно понять физически и математически следующим образом. Чистый перенос может состоять из множества небольших переносов, поэтому, чтобы получить оператор сдвига для конечного приращения, замените Δ r на Δ r / N и Δ t на Δ t / N , где N - положительное ненулевое целое число. Затем с увеличением N величина Δ r и Δ t становится еще меньше, при этом направления остаются неизменными. Воздействуя инфинитезимальными операторами на волновую функцию Nраз и переход к пределу, когда N стремится к бесконечности, дает конечные операторы.

Трансляции пространства и времени коммутируют, что означает коммутацию операторов и генераторов.

Коммутаторы

Операторы	${\displaystyle \left[{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{1}),{\widehat {T}}(\mathbf {r} _{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {U}}(t_{1}),{\widehat {U}}(t_{2})\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$
Генераторы	${\displaystyle \left[{\widehat {p}}_{i},{\widehat {p}}_{j},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$	${\displaystyle \left[{\widehat {E}},{\widehat {p}}_{i},\right]\psi (\mathbf {r} ,t)=0}$

Для гамильтониана, не зависящего от времени, энергия сохраняется во времени, а квантовые состояния являются стационарными состояниями : собственные состояния гамильтониана - это собственные значения энергии E :

${\displaystyle {\widehat {U}}(t)=\exp \left(-{\frac {i\Delta tE}{\hbar }}\right)}$

и все стационарные состояния имеют вид

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t+t_{0})={\widehat {U}}(t-t_{0})\psi (\mathbf {r} ,t_{0})}$

где t ₀ - начальное время, обычно равное нулю, поскольку при установке начального времени нет потери непрерывности.

Альтернативное обозначение .${\displaystyle {\widehat {U}}(t-t_{0})\equiv U(t,t_{0})}$

Угловой момент как генератор вращения [ править ]

Орбитальный угловой момент [ править ]

Оператор вращения воздействует на волновую функцию, чтобы повернуть пространственные координаты частицы на постоянный угол Δ θ :

${\displaystyle {R}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (\mathbf {r} ,t)=\psi (\mathbf {r} ',t)}$

где r ′ - повернутые координаты вокруг оси, определяемой единичным вектором через угловое приращение Δ θ , определяемое как:${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$

${\displaystyle \mathbf {r} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {r} \,.}$

где - матрица вращения, зависящая от оси и угла. На теоретическом языке групп матрицы вращения являются элементами группы, а углы и ось являются параметрами трехмерной специальной ортогональной группы SO (3). Матрицы вращения вокруг стандартного декартова базисного вектора на угол Δ θ и соответствующие генераторы поворотов J = ( J _x , J _y , J _z ) :${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})}$${\displaystyle \Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\Delta \theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$

${\displaystyle {\widehat {R}}_{x}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}\equiv J_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \theta }}\right|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0\\0&0&-1\\0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}_{y}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&1&0\\-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}\equiv J_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \theta }}\right|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&0&0\\-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}_{z}\equiv {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}\equiv J_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \theta }}\right|_{\theta =0}=i{\begin{pmatrix}0&-1&0\\1&0&0\\0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

В более общем случае для вращения вокруг оси, определенной с помощью , элементами матрицы вращения являются: ^[3]${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$

${\displaystyle [{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]_{ij}=(\delta _{ij}-a_{i}a_{j})\cos \theta -\varepsilon _{ijk}a_{k}\sin \theta +a_{i}a_{j}}$

где δ _ij - символ Кронекера , а ε _ijk - символ Леви-Чивиты .

Не так очевидно, как определить оператор вращения по сравнению с переводами пространства и времени. Мы можем рассмотреть частный случай (вращение вокруг оси x , y или z ), а затем вывести общий результат или напрямую использовать общую матрицу вращения и обозначение тензорного индекса с δ _ij и ε _ijk . Чтобы вывести оператор бесконечно малого вращения, который соответствует малому Δ θ , мы используем приближения малых углов sin (Δ θ ) ≈ Δ θ и cos (Δ θ ) ≈ 1, затем Тейлор расширится вокруг r или r _i, оставим член первого порядка и подставим компоненты оператора углового момента .

	Вращение вокруг ${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$	Вращение вокруг ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$
Воздействие на волновую функцию	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})\psi (x,y,z,t)=\psi (x-\Delta \theta y,\Delta \theta x+y,z,t)}$	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\psi (r_{i},t)=\psi (R_{ij}r_{j},t)=\psi (r_{i}-\varepsilon _{ijk}a_{k}\Delta \theta r_{j},t)}$
Инфинитезимальный оператор	${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})=I-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\widehat {L}}_{z}}$	${\displaystyle {\begin{aligned}{\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {a} }})&=I-(-\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kij}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-(\Delta \theta a_{k}\varepsilon _{kji}r_{j}){\frac {\partial }{\partial r_{i}}}\\&=I-\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot (\mathbf {r} \times \nabla )\\&=I-{\frac {i\Delta \theta }{\hbar }}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\\\end{aligned}}}$
Бесконечно малые вращения	${\displaystyle {\widehat {R}}=1-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\,,\quad {\widehat {\mathbf {L} }}=i\hbar {\hat {\mathbf {a} }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}}$	Одно и тоже
Конечные вращения	${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }\left(1-{\frac {i}{\hbar }}{\frac {\Delta \theta }{N}}{\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)^{N}=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}\right)={\widehat {R}}}$	Одно и тоже
Генератор	z -компонента оператора углового момента${\displaystyle {\widehat {L}}_{z}=i\hbar {\frac {\partial }{\partial \theta }}}$	Оператор полного углового момента .${\displaystyle {\widehat {\mathbf {L} }}}$

Г -компонент углового момента может быть заменен составляющей вдоль оси , определенной , используя скалярное произведение .${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {L} }}}$

Опять же, конечное вращение может быть выполнено из множества небольших вращений, заменяя Δ θ на Δ θ / N и принимая предел, когда N стремится к бесконечности, дает оператор вращения для конечного вращения.

Вращения вокруг одной и той же оси коммутируют, например, можно записать поворот на углы θ ₁ и θ ₂ вокруг оси i

${\displaystyle R(\theta _{1}+\theta _{2},\mathbf {e} _{i})=R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i})R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})\,,\quad [R(\theta _{1}\mathbf {e} _{i}),R(\theta _{2}\mathbf {e} _{i})]=0\,.}$

Однако вращения вокруг разных осей не переключаются. Общие правила коммутации резюмируются

${\displaystyle [L_{i},L_{j}]=i\hbar \varepsilon _{ijk}L_{k}.}$

В этом смысле орбитальный угловой момент обладает свойствами вращения, присущими здравому смыслу. Каждый из вышеперечисленных коммутаторов можно легко продемонстрировать, взяв повседневный объект и повернув его на один и тот же угол вокруг любых двух разных осей в обоих возможных порядках; окончательные комплектации разные.

В квантовой механике есть еще одна форма вращения, которая математически кажется похожей на орбитальный случай, но имеет другие свойства, описанные ниже.

Спиновый угловой момент [ править ]

Все предыдущие величины имеют классические определения. Спин - это величина, которой обладают частицы в квантовой механике без какого-либо классического аналога, имеющая единицы углового момента. Спин оператор вектора обозначается . Собственные значения его компонентов - это возможные результаты (в единицах ) измерения спина, спроецированного на одно из основных направлений.${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}=({\widehat {S_{x}}},{\widehat {S_{y}}},{\widehat {S_{z}}})}$${\displaystyle \hbar }$

Вращения (обычного пространства) вокруг оси на угол θ вокруг единичного вектора в пространстве, действующего на многокомпонентную волновую функцию (спинор) в точке пространства, представлены следующим образом:${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}}$${\displaystyle {\hat {a}}}$

Однако, в отличие от орбитального углового момента, в котором квантовое число проекции z может принимать только положительные или отрицательные целые значения (включая ноль), квантовое число s спина z- проекции может принимать все положительные и отрицательные полуцелые значения. Для каждого квантового числа спина существуют матрицы вращения.

Вычисление экспоненты для заданного квантового числа s спина z- проекции дает (2 s + 1) -мерную матрицу спина. Это можно использовать для определения спинора как вектора-столбца из 2 s + 1 компонентов, который преобразуется в повернутую систему координат в соответствии со спиновой матрицей в фиксированной точке в пространстве.

Для простейшего нетривиального случая s = 1/2 оператор спина имеет вид

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {S} }}={\frac {\hbar }{2}}{\boldsymbol {\sigma }}}$

где матрицы Паули в стандартном представлении:

${\displaystyle \sigma _{1}=\sigma _{x}={\begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{2}=\sigma _{y}={\begin{pmatrix}0&-i\\i&0\end{pmatrix}}\,,\quad \sigma _{3}=\sigma _{z}={\begin{pmatrix}1&0\\0&-1\end{pmatrix}}}$

Полный угловой момент [ править ]

Оператор полного углового момента представляет собой сумму орбитального и спинового

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {J} }}={\widehat {\mathbf {L} }}+{\widehat {\mathbf {S} }}}$

и является важной величиной для многочастичных систем, особенно в ядерной физике и квантовой химии многоэлектронных атомов и молекул.

У нас есть похожая матрица вращения:

${\displaystyle {\widehat {J}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot {\widehat {\mathbf {J} }}\right)}$

Сохраняющиеся величины в квантовом гармоническом осцилляторе [ править ]

Группа динамической симметрии n- мерного квантового гармонического осциллятора - это специальная унитарная группа SU ( n ). Например, число инфинитезимальных образующих соответствующих алгебр Ли групп SU (2) и SU (3) равно трем и восьми соответственно. Это приводит к ровно трем и восьми независимым сохраняющимся величинам (кроме гамильтониана) в этих системах.

Двумерный квантовый гармонический осциллятор имеет ожидаемые сохраняющиеся величины гамильтониана и углового момента, но имеет дополнительные скрытые сохраняющиеся величины разности уровней энергии и другую форму углового момента.

Группа Лоренца в релятивистской квантовой механике [ править ]

Ниже приводится обзор группы Лоренца; обработка ускорений и вращений в пространстве-времени. В этом разделе см. (Например) T. Ohlsson (2011) ^[4] и E. Abers (2004). ^[5]

Преобразования Лоренца можно параметризовать быстроту ф для повышения в направлении трехмерного единичного вектора , и угол поворота θ относительно трехмерного единичного вектора , определяющая ось, так и вместе шесть параметров группы Лоренца (три для вращений и три для повышения). Группа Лоренца шестимерна.${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}=(n_{1},n_{2},n_{3})}$ ${\displaystyle {\hat {\mathbf {a} }}=(a_{1},a_{2},a_{3})}$${\displaystyle \varphi {\hat {\mathbf {n} }}=\varphi (n_{1},n_{2},n_{3})}$${\displaystyle \theta {\hat {\mathbf {a} }}=\theta (a_{1},a_{2},a_{3})}$

Чистые вращения в пространстве-времени [ править ]

Рассмотренные выше матрицы вращения и генераторы вращения образуют пространственноподобную часть четырехмерной матрицы, представляющую преобразования Лоренца чистого вращения. Три элемента группы Лоренца и образующие J = ( J ₁ , J ₂ , J ₃ ) для чистых вращений:${\displaystyle {\widehat {R}}_{x},{\widehat {R}}_{y},{\widehat {R}}_{z}}$

${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta \\0&0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{x}=J_{1}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&-1\\0&0&1&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &0&\sin \Delta \theta \\0&0&1&0\\0&-\sin \Delta \theta &0&\cos \Delta \theta \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{y}=J_{2}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&-1&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&\cos \Delta \theta &-\sin \Delta \theta &0\\0&\sin \Delta \theta &\cos \Delta \theta &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle J_{z}=J_{3}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&0\\0&0&-1&0\\0&1&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

Матрицы вращения действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и вращают пространственно-подобные компоненты в соответствии с

${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {R}}(\Delta \theta ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$

оставив временную координату неизменной. В матричных выражениях A рассматривается как вектор-столбец .

Чистое ускорение в пространстве-времени [ править ]

Повышение со скоростью c tanh φ в направлениях x , y или z, заданных стандартным декартовым базисным вектором , является матрицами преобразования повышения. Эти матрицы и соответствующие образующие K = ( K ₁ , K ₂ , K ₃ ) являются оставшимися тремя элементами группы и образующими группы Лоренца:${\displaystyle {\hat {\mathbf {e} }}_{x},{\hat {\mathbf {e} }}_{y},{\hat {\mathbf {e} }}_{z}}$${\displaystyle {\widehat {B}}_{x},{\widehat {B}}_{y},{\widehat {B}}_{z}}$

${\displaystyle {\widehat {B}}_{x}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &\sinh \varphi &0&0\\\sinh \varphi &\cosh \varphi &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{x}=K_{1}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{x})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&1&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{y}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&\sinh \varphi &0\\0&1&0&0\\\sinh \varphi &0&\cosh \varphi &0\\0&0&0&1\\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{y}=K_{2}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{y})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,,}$
${\displaystyle {\widehat {B}}_{z}\equiv {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})={\begin{pmatrix}\cosh \varphi &0&0&\sinh \varphi \\0&1&0&0\\0&0&1&0\\\sinh \varphi &0&0&\cosh \varphi \\\end{pmatrix}}\,,}$	${\displaystyle K_{z}=K_{3}=i\left.{\frac {\partial {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {e} }}_{z})}{\partial \varphi }}\right|_{\varphi =0}=i{\begin{pmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\\end{pmatrix}}\,.}$

Матрицы усиления действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и смешивают временные и пространственные компоненты в соответствии с:

${\displaystyle \mathbf {A} '={\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})\mathbf {A} }$

Термин «ускорение» относится к относительной скорости между двумя кадрами, и его не следует смешивать с импульсом как генератором перемещений , как объясняется ниже .

Комбинирование усилений и вращений [ править ]

Продукты вращений дают другое вращение (частый пример подгруппы), в то время как продукты повышений и повышений или вращений и повышений не могут быть выражены как чистые повышения или чистые вращения. В общем, любое преобразование Лоренца можно выразить как произведение чистого вращения и чистого ускорения. Для получения дополнительной информации см. (Например) BR Durney (2011) ^[6] и HL Berk et al. ^[7] и ссылки в нем.

Генераторы повышения и вращения имеют представления, обозначенные D ( K ) и D ( J ) соответственно, заглавная буква D в этом контексте указывает представление группы .

Для группы Лоренца представления D ( K ) и D ( J ) генераторов K и J удовлетворяют следующим правилам коммутации.

Коммутаторы

	Чистое вращение	Чистый импульс	Преобразование Лоренца
Генераторы	${\displaystyle \left[J_{a},J_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[K_{a},K_{b}\right]=-i\varepsilon _{abc}J_{c}}$	${\displaystyle \left[J_{a},K_{b}\right]=i\varepsilon _{abc}K_{c}}$
Представления	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(J_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$	${\displaystyle \left[{D(K_{a})},{D(K_{b})}\right]=-i\varepsilon _{abc}{D(J_{c})}}$	${\displaystyle \left[{D(J_{a})},{D(K_{b})}\right]=i\varepsilon _{abc}{D(K_{c})}}$

Во всех коммутаторах повышающие объекты смешиваются с объектами для вращений, хотя одни вращения просто дают другое вращение. Возведение в степень генераторов дает операторы ускорения и вращения, которые объединяются в общее преобразование Лоренца, при котором пространственно-временные координаты преобразуются из одного кадра покоя в другой усиленный и / или вращающийся кадр. Точно так же возведение в степень представления генераторов дает представления операторов ускорения и вращения, в соответствии с которыми преобразуется спинорное поле частицы.

Законы трансформации

	Чистый импульс	Чистое вращение	Преобразование Лоренца
Трансформации	${\displaystyle {\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} \right)}$	${\displaystyle {\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)}$	${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$
Представления	${\displaystyle D[{\widehat {B}}(\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )\right)}$	${\displaystyle D[{\widehat {R}}(\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})]=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)}$	${\displaystyle D[\Lambda (\theta ,{\hat {\mathbf {a} }},\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }})]=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot D(\mathbf {K} )+\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot D(\mathbf {J} )\right)\right]}$

В литературе генераторы повышения K и генераторы вращения J иногда объединяются в один генератор для преобразований Лоренца M , антисимметричную четырехмерную матрицу с элементами:

${\displaystyle M^{0a}=-M^{a0}=K_{a}\,,\quad M^{ab}=\varepsilon _{abc}J_{c}\,.}$

и, соответственно, параметры ускорения и вращения собираются в другую антисимметричную четырехмерную матрицу ω с элементами:

${\displaystyle \omega _{0a}=-\omega _{a0}=\varphi n_{a}\,,\quad \omega _{ab}=\theta \varepsilon _{abc}a_{c}\,,}$

Тогда общее преобразование Лоренца:

${\displaystyle \Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left[-{\frac {i}{2}}\left(\varphi {\hat {\mathbf {n} }}\cdot \mathbf {K} +\theta {\hat {\mathbf {a} }}\cdot \mathbf {J} \right)\right]}$

с суммированием по повторяющимся матричным индексам α и β . Матрицы Λ действуют на любые четыре вектора A = ( A ₀ , A ₁ , A ₂ , A ₃ ) и смешивают временноподобные и пространственно-подобные компоненты в соответствии с:

${\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda (\varphi ,{\hat {\mathbf {n} }},\theta ,{\hat {\mathbf {a} }})\mathbf {A} }$

Преобразования спинорных волновых функций в релятивистской квантовой механике [ править ]

В релятивистской квантовой механике волновые функции больше не однокомпонентные скалярные поля, а 2 (2 s + 1) компонентные спинорные поля, где s - спин частицы. Ниже приведены преобразования этих функций в пространстве-времени.

При правильном ортохронном преобразовании Лоренца ( r , t ) → Λ ( r , t ) в пространстве Минковского все одночастичные квантовые состояния ψ _σ локально преобразуются при некотором представлении D группы Лоренца : ^{[8] [9]}

${\displaystyle \psi _{\sigma }(\mathbf {r} ,t)\rightarrow D(\Lambda )\psi _{\sigma }(\Lambda ^{-1}(\mathbf {r} ,t))}$

где D (Λ) - конечномерное представление, другими словами, квадратная матрица размерности (2 s + 1) × (2 s + 1) , а ψ рассматривается как вектор-столбец, содержащий компоненты с (2 s + 1) допустимые значения σ :

${\displaystyle \psi (\mathbf {r} ,t)={\begin{bmatrix}\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)\\\vdots \\\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)\\\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)\end{bmatrix}}\quad \rightleftharpoons \quad {\psi (\mathbf {r} ,t)}^{\dagger }={\begin{bmatrix}{\psi _{\sigma =s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =s-1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&\cdots &{\psi _{\sigma =-s+1}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }&{\psi _{\sigma =-s}(\mathbf {r} ,t)}^{\star }\end{bmatrix}}}$

Реальные неприводимые представления и спин [ править ]

Эти неприводимые представления о D ( K ) и D ( J ) , в коротком «irreps», могут быть использованы для сборки для спиновых представлений группы Лоренца. Определение новых операторов:

${\displaystyle \mathbf {A} ={\frac {\mathbf {J} +i\mathbf {K} }{2}}\,,\quad \mathbf {B} ={\frac {\mathbf {J} -i\mathbf {K} }{2}}\,,}$

так что A и B являются просто комплексно сопряженными друг другу, из этого следует, что они удовлетворяют симметрично сформированным коммутаторам:

${\displaystyle \left[A_{i},A_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}A_{k}\,,\quad \left[B_{i},B_{j}\right]=\varepsilon _{ijk}B_{k}\,,\quad \left[A_{i},B_{j}\right]=0\,,}$

и это по существу коммутаторы, которым удовлетворяют операторы орбитального и спинового углового момента. Следовательно, A и B образуют операторные алгебры, аналогичные угловому моменту; одни и те же лестничные операторы , z -проекции и т. д. независимо друг от друга, поскольку каждый из их компонентов коммутирует друг с другом. По аналогии со спиновым квантовым числом мы можем ввести положительные целые или полуцелые числа a, b с соответствующими наборами значений m = a , a - 1, ... - a + 1, - a и n = b , б - 1, ... - б+ 1, - б . Матрицы, удовлетворяющие указанным выше соотношениям коммутации, такие же, как для спинов a и b, имеют компоненты, заданные умножением значений дельты Кронекера на матричные элементы углового момента:

${\displaystyle \left(A_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{x}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{x}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{x}^{(n)}\right)_{n'n}}$

${\displaystyle \left(A_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{y}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{y}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{y}^{(n)}\right)_{n'n}}$

${\displaystyle \left(A_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{n'n}\left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_{z}\right)_{m'n',mn}=\delta _{m'm}\left(J_{z}^{(n)}\right)_{n'n}}$

где в каждом случае номер строки m′n ′ и номер столбца mn разделены запятой, и в свою очередь:

${\displaystyle \left(J_{z}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{m'm}\,\quad \left(J_{x}^{(m)}\pm iJ_{y}^{(m)}\right)_{m'm}=m\delta _{a',a\pm 1}{\sqrt {(a\mp m)(a\pm m+1)}}}$

и аналогично для J ^{( n )} . ^{[примечание 1]} Каждая из трех матриц J ^{( m )} представляет собой квадратные матрицы размером (2 m + 1) × (2 m + 1) , а каждая из трех J ^{( n )} составляет (2 n + 1) × (2 n + 1) ) квадратные матрицы. Целые или полуцелые числа m и n нумеруют все неприводимые представления в эквивалентных обозначениях, используемых авторами: D ^{( m , n )} ≡ ( m, n ) ≡ D ^{( m )} ⊗ D ^{( n )} , каждая из которых является квадратной матрицей [(2 m + 1) (2 n + 1)] × [(2 m + 1) (2 n + 1)] .

Применяя это к частицам со спином s ;

• левосторонние (2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются относительно действительных репсов D ^{( s , 0)} ,
• правые (2 s + 1) -компонентные спиноры преобразуются относительно действительных репсов D ^{(0, s )} ,
• взяв прямые суммы, обозначенные символом ⊕ (см. прямую сумму матриц для более простой концепции матриц), получаем представления, при которых преобразуются 2 (2 s + 1) -компонентные спиноры: D ^{( m , n )} ⊕ D ^{( n , m )} где m + n = s . Это тоже настоящие нити, но, как показано выше, они расщепляются на сложные конъюгаты.

В этих случаях D относится к любому из D ( J ) , D ( K ) или к полному преобразованию Лоренца D (Λ) .

Релятивистские волновые уравнения [ править ]

В контексте уравнения Дирака и уравнения Вейля спиноры Вейля, удовлетворяющие уравнению Вейля, преобразуются при простейших неприводимых спиновых представлениях группы Лоренца, поскольку спиновое квантовое число в этом случае является наименьшим допустимым ненулевым числом: 1/2 . 2-компонентный левый спинор Вейля преобразуется при D ^{(1/2, 0),} а 2-компонентный правый спинор Вейля преобразуется при D ^{(0, 1/2)} . Спиноры Дирака, удовлетворяющие уравнению Дирака, преобразуются по представлению D ^{(1/2, 0)} ⊕ D ^{(0, 1/2)} - прямой сумме репсов спиноров Вейля.

Группа Пуанкаре в релятивистской квантовой механике и теории поля [ править ]

Космические трансляции , временные трансляции , вращения и ускорения , вместе взятые, составляют группу Пуанкаре . Элементами группы являются три матрицы вращения и три матрицы повышения (как в группе Лоренца), одна для переводов времени и три для пространственных переводов в пространстве-времени. Для каждого есть генератор. Следовательно, группа Пуанкаре 10-мерна.

В специальной теории относительности пространство и время могут быть собраны в четырехпозиционный вектор X = ( ct , - r ) , и параллельно могут также энергия и импульс, которые объединяются в четырехмерный вектор импульса P = ( E / c , - p ) . С учетом релятивистской квантовой механики параметры временной продолжительности и пространственного смещения (всего четыре, один для времени и три для пространства) объединяются в пространственно-временное смещение Δ X = ( c Δ t , −Δ r ), а операторы энергии и импульса подставляются в четырехмерный импульс, чтобы получить четырехмерный оператор:

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {P} }}=\left({\frac {\widehat {E}}{c}},-{\widehat {\mathbf {p} }}\right)=i\hbar \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right)\,,}$

которые являются генераторами трансляций пространства-времени (всего четыре, одно время и три пространства):

${\displaystyle {\widehat {X}}(\Delta \mathbf {X} )=\exp \left(-{\frac {i}{\hbar }}\Delta \mathbf {X} \cdot {\widehat {\mathbf {P} }}\right)=\exp \left[-{\frac {i}{\hbar }}\left(\Delta t{\widehat {E}}+\Delta \mathbf {r} \cdot {\widehat {\mathbf {p} }}\right)\right]\,.}$

Существуют коммутационные соотношения между компонентами четырехимпульса P (генераторы пространственно-временных трансляций) и угловым моментом M (генераторы преобразований Лоренца), которые определяют алгебру Пуанкаре: ^{[10] [11]}

• ${\displaystyle [P_{\mu },P_{\nu }]=0\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },P_{\rho }]=\eta _{\mu \rho }P_{\nu }-\eta _{\nu \rho }P_{\mu }\,}$
• ${\displaystyle {\frac {1}{i}}[M_{\mu \nu },M_{\rho \sigma }]=\eta _{\mu \rho }M_{\nu \sigma }-\eta _{\mu \sigma }M_{\nu \rho }-\eta _{\nu \rho }M_{\mu \sigma }+\eta _{\nu \sigma }M_{\mu \rho }\,}$

где η - метрический тензор Минковского . (Обычно для операторов четырех импульсов в коммутационных соотношениях снимаются шляпы). Эти уравнения являются выражением фундаментальных свойств пространства и времени, насколько они известны сегодня. У них есть классический аналог, в котором коммутаторы заменены скобками Пуассона .

Для описания спина в релятивистской квантовой механике псевдовектор Паули – Любанского

${\displaystyle W_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}$

оператор Казимира , является постоянной спиной вклада полного углового момента, и есть Коммутационные соотношения между Р и W , а также между M и W :

${\displaystyle \left[P^{\mu },W^{\nu }\right]=0\,,}$

${\displaystyle \left[J^{\mu \nu },W^{\rho }\right]=i\left(\eta ^{\rho \nu }W^{\mu }-\eta ^{\rho \mu }W^{\nu }\right)\,,}$

${\displaystyle \left[W_{\mu },W_{\nu }\right]=-i\epsilon _{\mu \nu \rho \sigma }W^{\rho }P^{\sigma }\,.}$

Инварианты, построенные из W , экземпляры инвариантов Казимира, могут использоваться для классификации неприводимых представлений группы Лоренца.

Симметрии в квантовой теории поля и физике элементарных частиц [ править ]

Унитарные группы в квантовой теории поля [ править ]

Теория групп - это абстрактный способ математического анализа симметрий. Унитарные операторы имеют первостепенное значение в квантовой теории, поэтому унитарные группы важны в физике элементарных частиц. Группа N- мерных унитарных квадратных матриц обозначается U ( N ). Унитарные операторы сохраняют скалярные произведения, что означает, что вероятности также сохраняются, поэтому квантовая механика системы инвариантна относительно унитарных преобразований. Пусть - унитарный оператор, поэтому обратный - эрмитово сопряженный оператор, коммутирующий с гамильтонианом:${\displaystyle {\widehat {U}}}$ ${\displaystyle {\widehat {U}}^{-1}={\widehat {U}}^{\dagger }}$

${\displaystyle \left[{\widehat {U}},{\widehat {H}}\right]=0}$

тогда наблюдаемая, соответствующая оператору , сохраняется, а гамильтониан инвариантен относительно преобразования .${\displaystyle {\widehat {U}}}$${\displaystyle {\widehat {U}}}$

Поскольку предсказания квантовой механики должны быть инвариантными под действием группы, физики ищут унитарные преобразования для представления группы.

Важными подгруппами каждой U ( N ) являются те унитарные матрицы, которые имеют единичный определитель (или являются «унимодулярными»): они называются специальными унитарными группами и обозначаются SU ( N ).

U (1) [ править ]

Простейшей унитарной группой является U (1), которая представляет собой просто комплексные числа модуля 1. Этот одномерный матричный элемент имеет вид:

${\displaystyle U=e^{-i\theta }}$

в которой θ - параметр группы, а группа абелева, поскольку одномерные матрицы всегда коммутируют при матричном умножении. Лагранжианы в квантовой теории поля для комплексных скалярных полей часто инвариантны относительно преобразований U (1). Если есть квантовое число a, связанное с симметрией U (1), например барион и три лептонных числа в электромагнитных взаимодействиях, мы имеем:

${\displaystyle U=e^{-ia\theta }}$

U (2) и SU (2) [ править ]

Общий вид элемента элемента U (2) параметризуется двумя комплексными числами a и b :

${\displaystyle U={\begin{pmatrix}a&b\\-b^{\star }&a^{\star }\\\end{pmatrix}}}$

а для SU (2) определитель ограничен 1:

${\displaystyle \det(U)=aa^{\star }+bb^{\star }={|a|}^{2}+{|b|}^{2}=1}$

На теоретико-групповом языке матрицы Паули являются генераторами специальной унитарной группы в двух измерениях, обозначаемой SU (2). Их соотношение коммутации такое же, как и для орбитального углового момента, за исключением коэффициента 2:

${\displaystyle [\sigma _{a},\sigma _{b}]=2i\hbar \varepsilon _{abc}\sigma _{c}}$

Групповой элемент SU (2) можно записать:

${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=e^{i\theta \sigma _{j}/2}}$

где σ _j - матрица Паули, а параметры группы - углы поворота вокруг оси.

Двумерный изотропный квантовый гармонический осциллятор имеет группу симметрии SU (2), в то время как алгебра симметрий рационального анизотропного осциллятора является нелинейным расширением u (2). ^[12]

U (3) и SU (3) [ править ]

Восемь матриц Гелл-Манна λ _n (см. Статью о них и структурных константах) важны для квантовой хромодинамики . Первоначально они возникли в теории аромата SU (3), которая до сих пор имеет практическое значение в ядерной физике. Они являются генераторами группы SU (3), поэтому элемент группы SU (3) можно записать аналогично элементу группы SU (2):

${\displaystyle U(\theta ,{\hat {\mathbf {e} }}_{j})=\exp \left(-{\frac {i}{2}}\sum _{n=1}^{8}\theta _{n}\lambda _{n}\right)}$