Родившееся правило

Правило рождения (также называется правилом Борна ) является ключевым постулатом квантовой механики , которая дает вероятность , что измерение квантовой системы позволит получить заданный результат. ^[1] В своей простейшей форме он утверждает, что плотность вероятности нахождения частицы в данной точке при измерении пропорциональна квадрату величины волновой функции частицы в этой точке. Его сформулировал немецкий физик Макс Борн в 1926 году.

Подробности [ править ]

Правило Борна гласит, что если наблюдаемая, соответствующая самосопряженному оператору с дискретным спектром , измеряется в системе с нормированной волновой функцией ( см. Обозначение Бра – Кет ), то ${\ textstyle A}$ ${\ textstyle | \ psi \ rangle}$

измеренный результат будет одним из собственных значений из и ${\ displaystyle \ lambda}$ $A$
вероятность измерения данного собственного значения будет равна , где - проекция на собственное подпространство, соответствующее . $\lambda _{i}$ $\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle$ $P_{i}$ $A$ $\lambda _{i}$

(В случае, когда собственное подпространство, соответствующее, является одномерным и охватывается нормализованным собственным вектором , равно , поэтому вероятность равна . Поскольку комплексное число известно как амплитуда вероятности, которую вектор состояния присваивает собственному вектору , правило Борна принято описывать как утверждение, что вероятность равна квадрату амплитуды (на самом деле амплитуда, умноженная на ее собственное комплексное сопряжение ). Точно так же вероятность может быть записана как .)

A

\lambda _{i}

|\lambda _{i}\rangle

P_{i}

|\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|

\langle \psi |P_{i}|\psi \rangle

\langle \psi |\lambda _{i}\rangle \langle \lambda _{i}|\psi \rangle

\langle \lambda _{i}|\psi \rangle

|\psi \rangle

|\lambda _{i}\rangle

|\langle \lambda _{i}|\psi \rangle |^{2}

В случае, когда спектр не полностью дискретен, спектральная теорема доказывает существование некоторой проекционно-значной меры - спектральной меры . В этом случае, $A$ $Q$ $A$

вероятность того, что результат измерения находится в измеримом множестве, равна . $M$ $\langle \psi |Q(M)|\psi \rangle$

Учитывая волновую функцию для одиночной бесструктурной частицы в пространстве позиций, означает, что функция плотности вероятности для измерения положения во времени равна $\psi$ $p(x,y,z)$ $t_{0}$

p(x,y,z)=|\psi (x,y,z,t_{0})|^{2}

.

В некоторых приложениях эта трактовка правила Борна обобщается с использованием положительно-операторных мер . POVM - это мера , значения которой являются положительными полуопределенными операторами в гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением измерений фон Неймана и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых самосопряженными наблюдаемыми. Грубо говоря, POVM для PVM - это то же самое, что смешанное состояние для чистого состояния . Смешанные состояния необходимы, чтобы указать состояние подсистемы более крупной системы (см. Очистку квантового состояния); аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективных измерений, выполняемых в более крупной системе. POVM - это наиболее общий вид измерения в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[2] Они широко используются в области квантовой информации .

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM - это набор положительных полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве , сумма которых равна единичной матрице , ^[3]^:⁹⁰ $\{F_{i}\}$ ${\mathcal {H}}$

\sum _{i=1}^{n}F_{i}=\operatorname {I} .

Элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при выполнении измерения квантового состояния определяется выражением $F_{i}$ $i$ $\rho$

p(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})

,

где - оператор трассировки . Это POVM-версия правила Борна. Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к $\operatorname {tr}$ $|\psi \rangle$

p(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle

.

История [ править ]

Правило Борна было сформулировано Борном в статье 1926 года. ^[4] В этой статье Борн решает уравнение Шредингера для задачи рассеяния и, вдохновленный работой Эйнштейна по фотоэлектрическому эффекту, ^[5] заключает в сноске, что правило Борна дает единственно возможную интерпретацию решения. В 1954 году вместе с Вальтером Боте Борн был удостоен Нобелевской премии по физике за эту и другие работы. ^[5] Джон фон Нейман обсуждал применение спектральной теории к правилу Борна в своей книге 1932 года. ^[6]

Теорема Глисона показывает, что правило Борна может быть выведено из обычного математического представления измерений в квантовой физике вместе с допущением неконтекстуальности . Эндрю М. Глисон впервые доказал теорему в 1957 году ^[7], вызванный вопросом, заданным Джорджем У. Макки . ^[8]^[9] Эта теорема была исторически значимой из-за той роли, которую она сыграла в демонстрации того, что широкие классы теорий скрытых переменных несовместимы с квантовой физикой. ^[10]

Интерпретации [ править ]

Правило Борна вместе с унитарностью оператора временной эволюции (или, что то же самое, гамильтонианом, являющимся эрмитовым ), подразумевает унитарность теории, которая считается необходимой для согласованности. Например, унитарность гарантирует, что вероятность всех возможных исходов в сумме равна 1 (хотя это не единственный вариант выполнения этого конкретного требования). $e^{-i{\hat {H}}t}$ ${\hat {H}}$

В интерпретации квантовой теории QBist правило Борна рассматривается как модификация стандартного закона полной вероятности , который учитывает размерность гильбертова пространства рассматриваемой физической системы. ^[11] Было заявлено, что теория пилотных волн может также статистически вывести правило Борна, хотя это остается спорным. ^[12] Хотя утверждалось, что правило Борна может быть выведено из многомировой интерпретации , существующие доказательства критиковались как циркулярные. ^[13] Кастнер утверждает, что транзакционная интерпретацияуникальна тем, что дает физическое объяснение правилу Борна. ^[14]

См. Также [ править ]

Эйнштейн и квант
Теорема Глисона
Унитарность

Ссылки [ править ]

^ Временная эволюция квантовой системы полностью детерминирована в соответствии с уравнением Шредингера . Именно через правило Борна вероятность входит в теорию.
^ Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : квант-ph / 0212023 . Bibcode : 2004RvMP ... 76 ... 93P . DOI : 10.1103 / RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 .
^ Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC 634735192 .
^ Родился, Макс (1926). «I.2». В Уилере, JA ; Zurek, WH (ред.). Цур Quantenmechanik der Stoßvorgänge [ О квантовой механике столкновений ]. Zeitschrift für Physik . 37 . Princeton University Press (опубликовано в 1983 г.). С. 863–867. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..863B . DOI : 10.1007 / BF01397477 . ISBN 978-0-691-08316-2.
^ a b Родился, Макс (11 декабря 1954 г.). «Статистическая интерпретация квантовой механики» (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Проверено 7 ноября 2018 . И снова идея Эйнштейна дала мне возможность. Он попытался сделать двойственность частиц - квантов света или фотонов - и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности появления фотонов. Это понятие можно сразу перенести на пси-функцию: | psi | ² должен представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).
^ Нойман (фон), Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Математические основы квантовой механики ]. Перевод Бейера, издательство Роберт Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934.
^ Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. DOI : 10.1512 / iumj.1957.6.56050 . Руководство по ремонту 0096113 .
^ Макки, Джордж У. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8P2): 45–57. DOI : 10.1080 / 00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 .
^ Чернофф, Пол Р. "Энди Глисон и квантовая механика" (PDF) . Уведомления AMS . 56 (10): 1253–1259.
^ Мермин, Н. Дэвид (1993-07-01). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Bibcode : 1993RvMP ... 65..803M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .
^ Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
Перейти ↑ Goldstein, Sheldon (2017). «Бомовская механика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.
^ Ландсман, NP (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . In Weinert, F .; Hentschel, K .; Greenberger, D .; Фалькенбург, Б. (ред.). Компендиум квантовой физики . Springer. ISBN 3-540-70622-4. Похоже, что вывод состоит в том, что до сих пор не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод невозможен в принципе.
Перейти ↑ Kastner, RE (2013). Транзакционная интерпретация квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. п. 35 . ISBN 978-0-521-76415-5.

Внешние ссылки [ править ]

В Викицитатнике есть цитаты, связанные с: правилом Борна

Квантовой механике не грозит опасность: физики подтверждают ключевой принцип десятилетней давности экспериментально ScienceDaily (23 июля 2010 г.)

[1] Временная эволюция квантовой системы полностью детерминирована в соответствии с уравнением Шредингера . Именно через правило Борна вероятность входит в теорию.

[2] Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : квант-ph / 0212023 . Bibcode : 2004RvMP ... 76 ... 93P . DOI : 10.1103 / RevModPhys.76.93 . S2CID 7481797 .

[mike_ike-3] Нильсен, Майкл А .; Чуанг, Исаак Л. (2000). Квантовые вычисления и квантовая информация (1-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-63503-5. OCLC 634735192 .

[Zeitschrift-4] Родился, Макс (1926). «I.2». В Уилере, JA ; Zurek, WH (ред.). Цур Quantenmechanik der Stoßvorgänge [ О квантовой механике столкновений ]. Zeitschrift für Physik . 37 . Princeton University Press (опубликовано в 1983 г.). С. 863–867. Bibcode : 1926ZPhy ... 37..863B . DOI : 10.1007 / BF01397477 . ISBN 978-0-691-08316-2.

[Nobel-5] Родился, Макс (11 декабря 1954 г.). «Статистическая интерпретация квантовой механики» (PDF) . www.nobelprize.org . nobelprize.org . Проверено 7 ноября 2018 . И снова идея Эйнштейна дала мне возможность. Он попытался сделать двойственность частиц - квантов света или фотонов - и волн понятной, интерпретируя квадрат амплитуд оптических волн как плотность вероятности появления фотонов. Это понятие можно сразу перенести на пси-функцию: | psi | ² должен представлять плотность вероятности для электронов (или других частиц).

[Grundlagen-6] Нойман (фон), Джон (1932). Mathematische Grundlagen der Quantenmechanik [ Математические основы квантовой механики ]. Перевод Бейера, издательство Роберт Т. Принстонского университета (опубликовано в 1996 г.). ISBN 978-0691028934.

[gleason1957-7] Глисон, Эндрю М. (1957). «Меры на замкнутых подпространствах гильбертова пространства» . Математический журнал Университета Индианы . 6 (4): 885–893. DOI : 10.1512 / iumj.1957.6.56050 . Руководство по ремонту 0096113 .

[8] Макки, Джордж У. (1957). «Квантовая механика и гильбертово пространство». Американский математический ежемесячник . 64 (8P2): 45–57. DOI : 10.1080 / 00029890.1957.11989120 . JSTOR 2308516 .

[chernoff2009-9] Чернофф, Пол Р. "Энди Глисон и квантовая механика" (PDF) . Уведомления AMS . 56 (10): 1253–1259.

[mermin1993-10] Мермин, Н. Дэвид (1993-07-01). «Скрытые переменные и две теоремы Джона Белла». Обзоры современной физики . 65 (3): 803–815. arXiv : 1802.10119 . Bibcode : 1993RvMP ... 65..803M . DOI : 10.1103 / RevModPhys.65.803 . S2CID 119546199 .

[11] Хили, Ричард (2016). «Квантово-байесовские и прагматические взгляды на квантовую теорию» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

[12] Перейти ↑ Goldstein, Sheldon (2017). «Бомовская механика» . В Залте, Эдвард Н. (ред.). Стэнфордская энциклопедия философии . Лаборатория метафизических исследований Стэнфордского университета.

[13] Ландсман, NP (2008). «Правило Борна и его интерпретация» (PDF) . In Weinert, F .; Hentschel, K .; Greenberger, D .; Фалькенбург, Б. (ред.). Компендиум квантовой физики . Springer. ISBN 3-540-70622-4. Похоже, что вывод состоит в том, что до сих пор не было дано общепринятого вывода правила Борна, но это не означает, что такой вывод невозможен в принципе.

[14] Перейти ↑ Kastner, RE (2013). Транзакционная интерпретация квантовой механики . Издательство Кембриджского университета. п. 35 . ISBN 978-0-521-76415-5.

[1]