POVM

В функциональном анализе и теориях квантового измерения , А положительный оператор-мера ( POVM ) является мерой , чьи значения являются положительными полуопределенными операторами на гильбертовом пространстве . POVM являются обобщением проекционно-значных мер (PVM) и, соответственно, квантовые измерения, описываемые POVM, являются обобщением квантовых измерений, описываемых PVM (называемых проективными измерениями).

Грубо говоря, POVM для PVM - это то же самое, что смешанное состояние для чистого состояния . Смешанные состояния необходимы для определения состояния подсистемы более крупной системы (см. Очистку квантового состояния ); Аналогично, POVM необходимы для описания воздействия на подсистему проективного измерения, выполняемого в более крупной системе.

POVM - это наиболее общий вид измерения в квантовой механике, который также может использоваться в квантовой теории поля . ^[1] Они широко используются в области квантовой информации .

Определение [ править ]

В простейшем случае POVM с конечным числом элементов, действующих в конечномерном гильбертовом пространстве , POVM - это набор положительных полуопределенных матриц в гильбертовом пространстве, которые суммируются с единичной матрицей , ^[2]^:⁹⁰ ${\ displaystyle \ {F_ {i} \}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {H}}}$

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1} ^ {n} F_ {i} = \ operatorname {I}.}

В квантовой механике элемент POVM связан с результатом измерения , так что вероятность его получения при измерении квантового состояния определяется выражением ${\ displaystyle F_ {i}}$ ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle \ rho}$

{\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})

,

где - оператор трассировки . Когда измеряемое квантовое состояние является чистым, эта формула сводится к $\operatorname {tr}$ $|\psi \rangle$

{\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{i})=\langle \psi |F_{i}|\psi \rangle

.

Простейший случай POVM обобщает простейший случай PVM, который представляет собой набор ортогональных проекторов , суммирующих единичную матрицу : $\{\Pi _{i}\}$

\sum _{i=1}^{N}\Pi _{i}=\operatorname {I} ,\quad \Pi _{i}\Pi _{j}=\delta _{ij}\Pi _{i}.

Формулы вероятности для PVM такие же, как для POVM. Важное отличие состоит в том, что элементы POVM не обязательно ортогональны. Как следствие, количество элементов POVM может быть больше, чем размерность гильбертова пространства, в котором они действуют. С другой стороны, количество элементов PVM не превышает размерности гильбертова пространства. $n$ $N$

В общем, POVM также можно определить в ситуациях, когда количество элементов и размерность гильбертова пространства не конечны:

Определение . Позвольте быть измеримым пространством ; что является σ-алгебра подмножеств . POVM - это функция, определенная, на значениях которой являются ограниченные неотрицательные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве, такие что и для каждого , $(X,M)$ $M$ $X$ $F$ $M$ ${\mathcal {H}}$ $F(X)=\operatorname {I} _{\mathcal {H}}$ $\psi \in {\mathcal {H}}$

E\mapsto \langle F(E)\psi \mid \psi \rangle \ ({\text{for every }}E\in M)

является неотрицательной счетно-аддитивной мерой на σ-алгебре . $M$

Его ключевое свойство состоит в том, что он определяет вероятностную меру в пространстве результатов, поэтому ее можно интерпретировать как вероятность (плотность) результата при выполнении измерения в квантовом состоянии . $\langle F(E)\psi \mid \psi \rangle$ $E$ $|\psi \rangle$

Это определение следует противопоставить определению проекционно-оценочной меры , которое аналогично, за исключением того, что для проекционно-значных мер значения должны быть проекционными операторами. $F$

Теорема Наймарка о растяжении [ править ]

Примечание. Альтернативное написание этого слова - «Теорема Ноймарка».

Теорема Наймарка ^[3] показывает, как POVM могут быть получены из PVM, действующих на большее пространство. Этот результат имеет решающее значение для квантовой механики, поскольку он позволяет физически реализовать измерения POVM. ^[4]^{: 285}

В простейшем случае из POVM с конечным числом элементов , действующих на конечномерном гильбертовом пространстве, теорема М. А. Наймарка говорит , что если это POVM действует на гильбертовом пространстве размерности , то существует PVM , действующий на гильбертовом пространстве в размерность и изометрия такие, что для всех $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ ${\mathcal {H}}_{A}$ $d_{A}$ $\{\Pi _{i}\}_{i=1}^{n}$ ${\mathcal {H}}_{A'}$ $d_{A'}$ $V:{\mathcal {H}}_{A}\to {\mathcal {H}}_{A'}$ $i$

F_{i}=V^{\dagger }\Pi _{i}V

Один из способов построить такую PVM и изометрию ^[5]^[6] , чтобы позволить , и ${\mathcal {H}}_{A'}={\mathcal {H}}_{A}\otimes {\mathcal {H}}_{B}$ $\Pi _{i}=\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}$

V=\sum _{i=1}^{n}{\sqrt {F_{i}}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}

Обратите внимание, что в этой конструкции размерность большего гильбертова пространства равна . Это не минимально возможное, поскольку более сложная конструкция дает (при условии, что ). ^[4]^:²⁸⁵ ${\mathcal {H}}_{A'}$ $d_{A'}=nd_{A}$ $d_{A'}=n$ $n\geq d_{A}$

Эту конструкцию можно превратить в рецепт физической реализации POVM, расширив изометрию до унитарной , то есть найдя такую, что $V$ $U$ $U$

V=U(\operatorname {I} _{A}\otimes |0\rangle _{B}).

Это всегда можно сделать. Рецепт реализации измерения POVM, описанного в квантовом состоянии, состоит в том, чтобы подготовить вспомогательную часть в этом состоянии , развить ее вместе с помощью унитарной системы и выполнить проективное измерение на вспомогательной службе, описанной PVM . Тогда легко увидеть, что вероятность получения результата с помощью этого метода такая же, как вероятность получения его с исходной POVM. То есть, $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ $\rho$ $|0\rangle _{B}$ $\rho$ $U$ $\{|i\rangle \langle i|_{B}\}_{i=1}^{n}$ $i$

{\text{Prob}}(i)=\operatorname {tr} (\rho F_{i})=\operatorname {tr} \left(\operatorname {I} _{A}\otimes |i\rangle \langle i|_{B}\left[U\rho _{A}\otimes |0\rangle \langle 0|_{B}U^{\dagger }\right]\right).

Состояние после измерения [ править ]

Состояние после измерения определяется не самим POVM, а скорее PVM, который его физически реализует. Поскольку существует бесконечно много различных PVM, реализующих одну и ту же POVM, операторы сами по себе не определяют, каким будет состояние после измерения. Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что для любых унитарных операторов $\{F_{i}\}_{i=1}^{n}$ $W$

M_{i}=W{\sqrt {F_{i}}}

также будет обладать свойством , что при использовании изометрии $M_{i}^{\dagger }M_{i}=F_{i}$

V_{W}=\sum _{i=1}^{n}{M_{i}}_{A}\otimes {|i\rangle }_{B}

в приведенной выше конструкции также будет реализован тот же POVM. В случае, когда измеряемое состояние находится в чистом состоянии , результирующая унитарная единица принимает его вместе с вспомогательной функцией для состояния $|\psi \rangle _{A}$ $U_{W}$

U_{W}(|\psi \rangle _{A}|0\rangle _{B})=\sum _{i=1}^{n}M_{i}|\psi \rangle _{A}|i\rangle _{B},

и проективное измерение на анцилле рухнет до состояния ^[2]^:⁸⁴ $|\psi \rangle _{A}$

|\psi '\rangle _{A}={\frac {M_{i_{0}}|\psi \rangle }{\sqrt {\langle \psi |M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{0}}|\psi \rangle }}}

по получению результата . Когда измеряемое состояние описывается матрицей плотности , соответствующее состояние после измерения задается следующим образом: $i_{0}$ $\rho _{A}$

\rho '_{A}={M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger } \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}

.

Таким образом, мы видим, что состояние после измерения явно зависит от унитарности . $W$

Еще одно отличие от проективных измерений состоит в том, что измерение POVM, как правило, не является повторяемым. Если при первом измерении был получен результат , вероятность получения другого результата при втором измерении равна $i_{0}$ $i_{1}$

{\text{Prob}}(i_{1}|i_{0})={\operatorname {tr} (M_{i_{1}}M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger }M_{i_{1}}^{\dagger }) \over {\rm {tr}}(M_{i_{0}}\rho M_{i_{0}}^{\dagger })}

,

которые могут быть ненулевыми, если и не ортогональны. В проективном измерении эти операторы всегда ортогональны, и поэтому измерение всегда повторяется. $M_{i_{0}}$ $M_{i_{1}}$

Пример: однозначная дискриминация квантового состояния [ править ]

Представление состояний сферой Блоха (синий) и оптимальная POVM (красный) для однозначной дискриминации квантовых состояний на состояниях и . Отметим, что на сфере Блоха ортогональные состояния антипараллельны.

|\psi \rangle =|0\rangle

|\varphi \rangle =(|0\rangle +|1\rangle )/{\sqrt {2}}

Предположим, у вас есть квантовая система измерения 2, которая, как вы знаете, находится либо в состоянии, либо в состоянии , и вы хотите определить, в каком из них она находится. Если и ортогональны, эта задача проста: набор будет формировать PVM, и проективное измерение в этом базисе определит состояние с уверенностью. Если, однако, и не являются ортогональными, эта задача невозможна в том смысле, что нет никакого измерения, ни PVM, ни POVM, которое определило бы их различие. ^[2]^:⁸⁷ Невозможность идеально различать неортогональные состояния является основой для протоколов квантовой информации , таких как квантовая криптография. $|\psi \rangle$ $|\varphi \rangle$ $|\psi \rangle$ $|\varphi \rangle$ $\{|\psi \rangle \langle \psi |,|\varphi \rangle \langle \varphi |\}$ $|\psi \rangle$ $|\varphi \rangle$ , квантовые монеты и квантовые деньги .

Задача однозначного распознавания квантовых состояний (UQSD) - следующая лучшая вещь: никогда не ошибиться относительно того, является ли состояние или , за счет иногда получения неубедительного результата. Эта задача не может быть сделана проективным измерением, потому что мы должны иметь три результата, , , и неубедительные, и проекционные измерения в размерности 2 могут иметь не более 2 результатов. $|\psi \rangle$ $|\varphi \rangle$ $\psi$ $\varphi$

POVM, который дает наивысшую вероятность окончательного результата в этой задаче, определяется формулой ^[7]^[8]

F_{\psi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|

F_{\varphi }={\frac {1}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|

F_{?}=\operatorname {I} -F_{\psi }-F_{\varphi },

где - квантовое состояние, ортогональное , а - ортогональное . $|\varphi ^{\perp }\rangle$ $|\varphi \rangle$ $|\psi ^{\perp }\rangle$ $|\psi \rangle$

Обратите внимание: когда результат получен, мы уверены, что квантовое состояние есть , а когда результат получен, мы уверены, что квантовое состояние есть . $\operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\psi })=\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\varphi })=0$ $\psi$ $|\psi \rangle$ $\varphi$ $|\varphi \rangle$

Предполагая, что квантовая система может находиться в состоянии или с той же вероятностью, вероятность получения окончательного результата определяется выражением $|\psi \rangle$ $|\varphi \rangle$

{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (|\psi \rangle \langle \psi |F_{\psi })+{\frac {1}{2}}\operatorname {tr} (|\varphi \rangle \langle \varphi |F_{\varphi })=1-|\langle \varphi |\psi \rangle |.

Этот результат известен как предел Ивановича-Дикса-Переса в честь авторов, пионеров исследования UQSD. ^[9]^[10]^[11]

Используя приведенную выше конструкцию, мы можем получить проективное измерение, которое физически реализует эту POVM. Квадратные корни элементов POVM задаются формулой

{\sqrt {F_{\psi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\varphi ^{\perp }\rangle \langle \varphi ^{\perp }|

{\sqrt {F_{\varphi }}}={\frac {1}{\sqrt {1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\psi ^{\perp }\rangle \langle \psi ^{\perp }|

{\sqrt {F_{?}}}={\sqrt {\frac {2|\langle \varphi |\psi \rangle |}{1+|\langle \varphi |\psi \rangle |}}}|\gamma \rangle \langle \gamma |,

куда

|\gamma \rangle ={\frac {1}{\sqrt {2(1+|\langle \varphi |\psi \rangle |)}}}(|\psi \rangle +e^{i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}|\varphi \rangle ).

Пометка три возможных состояния Ancilla как , , и инициализирует его состояние , мы видим , что в результате унитарная принимает состояние вместе с Ancilla к $|{\text{result ?}}\rangle$ $|{\text{result ψ}}\rangle$ $|{\text{result φ}}\rangle$ $|{\text{result ?}}\rangle$ $U_{\text{UQSD}}$ $|\psi \rangle$

U_{\text{UQSD}}(|\psi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\varphi ^{\perp }\rangle |{\text{result ψ}}\rangle +{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle ,

и аналогичным образом государство вместе с помощницей $|\varphi \rangle$

U_{\text{UQSD}}(|\varphi \rangle |{\text{result ?}}\rangle )={\sqrt {1-|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\psi ^{\perp }\rangle |{\text{result φ}}\rangle +e^{-i\arg(\langle \varphi |\psi \rangle )}{\sqrt {|\langle \varphi |\psi \rangle |}}|\gamma \rangle |{\text{result ?}}\rangle .

Затем измерение на вспомогательной части дает желаемые результаты с той же вероятностью, что и POVM.

Этот POVM использовался для экспериментального различения неортогональных состояний поляризации фотона с использованием степени свободы пути в качестве вспомогательной. Реализация POVM с проективным измерением немного отличалась от описанной здесь. ^[12]^[13]

См. Также [ править ]

SIC-POVM
Квантовое измерение
Математическая формулировка квантовой механики
Матрица плотности
Квантовая операция
Прогнозно-оценочная мера
Векторная мера

Ссылки [ править ]

^ Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : квант-ph / 0212023 . Bibcode : 2004RvMP ... 76 ... 93P . DOI : 10.1103 / RevModPhys.76.93 .
^ a b c М. Нильсен и И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)
^ И. М. Гельфанд, М. А. Ноймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Рек. Математика. [Мат. Сборник] НС 12 (54) (1943), 197–213.
^ а б А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Kluwer Academic Publishers, 1993.
^ Дж. Прескилл, Лекционные заметки по физике: квантовая информация и вычисления, глава 3, http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture
^ Дж. Уотроус. Теория квантовой информации. Cambridge University Press, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/
^ JA Bergou; У. Херцог; М. Хиллери (2004). «Дискриминация квантовых состояний». В М. Пэрис; J. eháček (ред.). Квантовое оценивание состояния . Springer. стр. 417 -465. DOI : 10.1007 / 978-3-540-44481-7_11 . ISBN 978-3-540-44481-7.
^ Chefles, Энтони (2000). «Дискриминация квантовых состояний». Современная физика . Informa UK Limited. 41 (6): 401–424. arXiv : квант-ph / 0010114v1 . Bibcode : 2000ConPh..41..401C . DOI : 10.1080 / 00107510010002599 . ISSN 0010-7514 .
^ Иванович, ID (1987). «Как различать неортогональные состояния». Физика Буквы A . Elsevier BV. 123 (6): 257–259. Bibcode : 1987PhLA..123..257I . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (87) 90222-2 . ISSN 0375-9601 .
^ ДИЭКС, D. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Физика Буквы A . Elsevier BV. 126 (5–6): 303–306. Bibcode : 1988PhLA..126..303D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90840-7 . ISSN 0375-9601 .
^ Перес, Ашер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Физика Буквы A . Elsevier BV. 128 (1-2): 19. Bibcode : 1988PhLA..128 ... 19P . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 91034-1 . ISSN 0375-9601 .
^ Б. Хаттнер; А. Мюллер; Ж. Д. Готье; Х. Збинден; Н. Гисин (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Physical Review . APS. 54 (5): 3783. Bibcode : 1996PhRvA..54.3783H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.54.3783 . PMID 9913923 .
^ RBM Clarke; А. Шефлес; С. М. Барнетт; Э. Риис (2001). «Экспериментальная демонстрация оптимального однозначного состояния дискриминации». Physical Review . APS. 63 (4): 040305 (R). arXiv : квант-ph / 0007063 . Bibcode : 2001PhRvA..63d0305C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.63.040305 .

POVMs
- К. Краус, Состояния, эффекты и операции, Конспект лекций по физике 190, Springer (1983).
- EBDavies, Квантовая теория открытых систем, Academic Press (1976).
- А.С. Холево , Вероятностные и статистические аспекты квантовой теории, North-Holland Publ. Cy., Амстердам (1982).

[1] Перес, Ашер ; Терно, Дэниел Р. (2004). «Квантовая информация и теория относительности». Обзоры современной физики . 76 (1): 93–123. arXiv : квант-ph / 0212023 . Bibcode : 2004RvMP ... 76 ... 93P . DOI : 10.1103 / RevModPhys.76.93 .

[mike_ike-2] М. Нильсен и И. Чуанг, Квантовые вычисления и квантовая информация, Cambridge University Press, (2000)

[naimark-3] И. М. Гельфанд, М. А. Ноймарк, О вложении нормированных колец в кольцо операторов в гильбертовом пространстве, Рек. Математика. [Мат. Сборник] НС 12 (54) (1943), 197–213.

[peres_book-4] а б А. Перес. Квантовая теория: концепции и методы. Kluwer Academic Publishers, 1993.

[preskill_notes-5] Дж. Прескилл, Лекционные заметки по физике: квантовая информация и вычисления, глава 3, http://www.theory.caltech.edu/people/preskill/ph229/#lecture

[6] Дж. Уотроус. Теория квантовой информации. Cambridge University Press, 2018. Глава 2.3, https://cs.uwaterloo.ca/~watrous/TQI/

[7] JA Bergou; У. Херцог; М. Хиллери (2004). «Дискриминация квантовых состояний». В М. Пэрис; J. eháček (ред.). Квантовое оценивание состояния . Springer. стр. 417 -465. DOI : 10.1007 / 978-3-540-44481-7_11 . ISBN 978-3-540-44481-7.

[8] Chefles, Энтони (2000). «Дискриминация квантовых состояний». Современная физика . Informa UK Limited. 41 (6): 401–424. arXiv : квант-ph / 0010114v1 . Bibcode : 2000ConPh..41..401C . DOI : 10.1080 / 00107510010002599 . ISSN 0010-7514 .

[9] Иванович, ID (1987). «Как различать неортогональные состояния». Физика Буквы A . Elsevier BV. 123 (6): 257–259. Bibcode : 1987PhLA..123..257I . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (87) 90222-2 . ISSN 0375-9601 .

[10] ДИЭКС, D. (1988). «Перекрытие и различимость квантовых состояний». Физика Буквы A . Elsevier BV. 126 (5–6): 303–306. Bibcode : 1988PhLA..126..303D . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 90840-7 . ISSN 0375-9601 .

[11] Перес, Ашер (1988). «Как различать неортогональные состояния». Физика Буквы A . Elsevier BV. 128 (1-2): 19. Bibcode : 1988PhLA..128 ... 19P . DOI : 10.1016 / 0375-9601 (88) 91034-1 . ISSN 0375-9601 .

[12] Б. Хаттнер; А. Мюллер; Ж. Д. Готье; Х. Збинден; Н. Гисин (1996). «Однозначное квантовое измерение неортогональных состояний». Physical Review . APS. 54 (5): 3783. Bibcode : 1996PhRvA..54.3783H . DOI : 10.1103 / PhysRevA.54.3783 . PMID 9913923 .

[13] RBM Clarke; А. Шефлес; С. М. Барнетт; Э. Риис (2001). «Экспериментальная демонстрация оптимального однозначного состояния дискриминации». Physical Review . APS. 63 (4): 040305 (R). arXiv : квант-ph / 0007063 . Bibcode : 2001PhRvA..63d0305C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.63.040305 .

[1]