Квантовая теория поля

Квантовая теория поля
Диаграмма Фейнмана
История
Фон Эффект Казимира Космическая струна Теория поля Электромагнетизм Слабая сила Сильная сила Четвертичное взаимодействие Квантовая механика Специальная теория относительности Общая теория относительности Калибровочная теория
Симметрии Симметрия в квантовой механике C-симметрия P-симметрия Т-симметрия Симметрия переноса пространства Симметрия перевода времени Симметрия вращения Симметрия Лоренца Симметрия Пуанкаре Калибровочная симметрия Явное нарушение симметрии Спонтанное нарушение симметрии Теория Янга – Миллса Нётер заряд Топологический заряд
Инструменты Аномалия Переход Эффективная теория поля Ценность ожидания Призрачные поля Призраки Фаддеева – Попова Диаграмма Фейнмана Решеточная калибровочная теория Формула восстановления LSZ Функция разделения Пропагатор Квантование Регуляризация Перенормировка Состояние вакуума Теорема Вика Аксиомы Вайтмана Параметризация Фейнмана
Уравнения Уравнение Дирака Уравнение Клейна – Гордона Уравнения Прока Уравнение Уиллера – ДеВитта Уравнения Баргмана – Вигнера Уравнение Джооса – Вайнберга Уравнение Вейля
Стандартная модель Квантовое вакуумное состояние Квантовая динамика Квантовая термодинамика Квантовая электродинамика Электрослабое взаимодействие Квантовая хромодинамика Механизм Хиггса Виртуальная частица
Неполные теории Причинная динамическая триангуляция Причинные фермионные системы Причинные множества Конформная теория поля Теория Черна – Саймонса Море Дирака Ложный вакуум Калибровочная теория Теория калибровочной гравитации Калибровочная теория гравитации Теория возмущений 6D (2,0) суперконформная теория поля Двумерная конформная теория поля Квантовая теория поля в искривленном пространстве-времени Теория теплового квантового поля Топологическая квантовая теория поля Локальная квантовая теория поля Теория поля Лиувилля Некоммутативная квантовая теория поля Квантовая геометрия Теория рассеяния Полуклассическая гравитация Отжим пена Теория струн Теория суперструн М-Теория Суперсимметрия Супергравитация Разноцветный Теория всего Каноническая квантовая гравитация Квантовая космология Квантовая пена Квантовая флуктуация Квантовая гравитация Локальная квантовая теория поля Петлевая квантовая гравитация Петлевая квантовая космология Релятивистская квантовая теория поля Теория скрытых переменных Теория объективного коллапса Теория Янга – Миллса
Ученые Адлер Андерсон Быть Боголюбов Коулман Каллан ДеВитт Дирак Дайсон Ферми Фейнман Фирц Фок Fröhlich Гелл-Манн Голдстоун Валовой Гейзенберг 'т Хофт Джеки Иордания Ландо Ли Lehmann Мандельштам Майорана Намбу Паризи Поляков Салам Швингер Skyrme Штюкельберг Симанзик Томонага Вельтман Вайнберг Weisskopf Weyl Вильчек Уилсон Виттен Ян Юкава Циммерманн Зинн-Джастин
v т е

В теоретической физике , квантовой теории поля ( КТП ) является теоретической основой , которая сочетает в себе классическая теория поля , специальная теория относительности и квантовая механика , ^{[1] : XI} , но не общей теории относительности описание «s от тяжести . QFT используется в физике элементарных частиц для построения физических моделей из субатомных частиц и в физике конденсированных сред , для построения моделей квазичастицы .

КТП рассматривает частицы как возбужденные состояния (также называемые квантами ) лежащих в их основе квантовых полей , которые более фундаментальны, чем частицы. Взаимодействия между частицами описываются членами взаимодействия в лагранжиане, включающем соответствующие квантовые поля. Каждое взаимодействие может быть визуально представлено диаграммами Фейнмана согласно теории возмущений в квантовой механике .

История [ править ]

В качестве успешной теоретической основы сегодня квантовая теория поля возникла в результате работы поколений физиков-теоретиков на протяжении большей части 20 века. Его развитие началось в 1920-х годах с описания взаимодействий между светом и электронами , что привело к появлению первой квантовой теории поля - квантовой электродинамики . Вскоре последовало серьезное теоретическое препятствие, связанное с появлением и сохранением различных бесконечностей в пертурбативных вычислениях. Проблема была разрешена только в 1950-х годах с изобретением процедуры перенормировки . Вторым серьезным препятствием стала очевидная неспособность QFT описать слабые и сильные взаимодействия., до такой степени, что некоторые теоретики призывали отказаться от теоретико-полевого подхода. Развитие калибровочной теории и завершение Стандартной модели в 1970-х годах привели к возрождению квантовой теории поля.

Теоретические основы [ править ]

Квантовая теория поля является результатом сочетания классической теории поля , квантовой механики и специальной теории относительности . ^{[1] : xi Сделаем} краткий обзор этих теоретических предшественников.

Самая ранняя успешная классическая теория поля возникла из закона всемирного тяготения Ньютона , несмотря на полное отсутствие концепции полей в его трактате 1687 года « Philosophi Naturalis Principia Mathematica» . Сила тяжести, описанная Ньютоном, представляет собой « действие на расстоянии » - ее воздействие на далекие объекты происходит мгновенно, независимо от расстояния. Однако в обмене письмами с Ричардом Бентли Ньютон заявил, что «немыслимо, чтобы неодушевленная грубая материя без посредничества чего-то другого, не являющегося материальным, действовала на другую материю и влияла на нее без взаимного контакта». ^{[2] : 4}Только в 18 веке физики-математики открыли удобное описание гравитации на основе полей - числовую величину ( вектор ), присвоенную каждой точке в пространстве, указывающую действие гравитации на любую частицу в этой точке. Однако это считалось просто математическим трюком. ^{[3] : 18}

Поля начали обретать собственное существование с развитием электромагнетизма в 19 ​​веке. Майкл Фарадей ввел английский термин «поле» в 1845 году. Он ввел поля как свойства пространства (даже если оно лишено материи), имеющего физические эффекты. Он выступал против «действия на расстоянии» и предполагал, что взаимодействия между объектами происходят через заполняющие пространство «силовые линии». Это описание полей сохранилось по сей день. ^{[2] [4] : 301 [5] : 2}

Теория классического электромагнетизма была завершена в 1864 году уравнениями Максвелла , описывающими взаимосвязь между электрическим полем , магнитным полем , электрическим током и электрическим зарядом . Уравнения Максвелла подразумевали существование электромагнитных волн , явления, при котором электрические и магнитные поля распространяются из одной пространственной точки в другую с конечной скоростью, которая оказывается скоростью света . Таким образом, действие на расстоянии было окончательно опровергнуто. ^{[2] : 19}

Несмотря на огромный успех классического электромагнетизма, он не смог учесть ни дискретных линий в атомных спектрах , ни распределение излучения черного тела на разных длинах волн. ^[6] Исследование Максом Планком излучения черного тела положило начало квантовой механике. Он рассматривал атомы, которые поглощают и излучают электромагнитное излучение, как крошечные осцилляторы с важнейшим свойством , заключающимся в том, что их энергия может принимать только серию дискретных, а не непрерывных значений. Они известны как квантовые гармонические осцилляторы . Этот процесс ограничения энергии дискретными значениями называется квантованием. ^{[7] : Глава 2} Основываясь на этой идее,Альберт Эйнштейн в 1905 году предложил объяснение фотоэлектрического эффекта , согласно которому свет состоит из отдельных пакетов энергии, называемых фотонами (квантами света). Это означало, что электромагнитное излучение, будучи волнами в классическом электромагнитном поле, также существует в форме частиц. ^[6]

В 1913 году Нильс Бор представил модель атомной структуры Бора , в которой электроны внутри атомов могут принимать только серию дискретных, а не непрерывных энергий. Это еще один пример квантования. Модель Бора успешно объяснила дискретную природу спектральных линий атомов. В 1924 году Луи де Бройль выдвинул гипотезу дуальности волна-частица , согласно которой микроскопические частицы проявляют как волнообразные, так и частицы-подобные свойства при различных обстоятельствах. ^[6] Объединив эти разрозненные идеи, между 1925 и 1926 годами была сформулирована единая дисциплина, квантовая механика , с важным вкладом Макса Планка., де Бройль, Вернер Гейзенберг , Макс Борн , Эрвин Шредингер , Поль Дирак и Вольфганг Паули . ^{[3] : 22-23}

В том же году, когда была опубликована статья о фотоэффекте, Эйнштейн опубликовал свою специальную теорию относительности , основанную на электромагнетизме Максвелла. Новые правила, называемые преобразованием Лоренца , были даны для того, как временные и пространственные координаты события меняются при изменении скорости наблюдателя, и различие между временем и пространством было размыто. ^{[3] : 19} Было предложено, чтобы все физические законы были одинаковыми для наблюдателей с разными скоростями, т.е. чтобы физические законы были инвариантны относительно преобразований Лоренца.

Остались две трудности. С точки зрения наблюдений уравнение Шредингера, лежащее в основе квантовой механики, могло бы объяснить вынужденное излучение атомов, когда электрон испускает новый фотон под действием внешнего электромагнитного поля, но оно не могло объяснить спонтанное излучение , при котором энергия электрона спонтанно уменьшается. и излучает фотон даже без действия внешнего электромагнитного поля. Теоретически уравнение Шредингера не могло описывать фотоны и несовместимо с принципами специальной теории относительности - оно рассматривает время как обычное число, одновременно преобразовывая пространственные координаты в линейные операторы . ^[6]

Квантовая электродинамика [ править ]

Квантовая теория поля, естественно, началась с изучения электромагнитных взаимодействий, поскольку электромагнитное поле было единственным известным классическим полем с 1920-х годов. ^{[8] : 1}

Благодаря работам Борна, Гейзенберга и Паскуаля Джордана в 1925–1926 годах квантовая теория свободного электромагнитного поля (не взаимодействующего с материей) была разработана с помощью канонического квантования , когда электромагнитное поле трактовалось как набор квантовых гармонических осцилляторов . ^{[8] : 1} Однако, за исключением взаимодействий, такая теория была неспособна делать количественные прогнозы о реальном мире. ^{[3] : 22}

В своей основополагающей статье 1927 года «Квантовая теория испускания и поглощения излучения» Дирак ввел термин квантовая электродинамика (КЭД), теория, которая добавляет к условиям, описывающим свободное электромагнитное поле, дополнительный член взаимодействия между плотностью электрического тока и электромагнитным вектором. потенциал . Используя теорию возмущений первого порядка , он успешно объяснил явление спонтанного излучения. Согласно принципу неопределенности в квантовой механике, квантовые гармонические осцилляторы не могут оставаться неподвижными, но они имеют ненулевой минимум энергии и всегда должны колебаться, даже в состоянии с самой низкой энергией ( основное состояние). Следовательно, даже в идеальном вакууме остается колеблющееся электромагнитное поле с нулевой энергией . Именно эта квантовая флуктуация электромагнитных полей в вакууме «стимулирует» спонтанное излучение электронов в атомах. Теория Дирака оказалась чрезвычайно успешной в объяснении как испускания, так и поглощения излучения атомами; Применяя теорию возмущений второго порядка, он смог учесть рассеяние фотонов, резонансную флуоресценцию , а также нерелятивистское комптоновское рассеяние . Тем не менее, применение теории возмущений более высокого порядка сопровождалось проблематичными бесконечностями в вычислениях. ^{[6]: 71}

В 1928 году Дирак написал волновое уравнение , описывающее релятивистские электроны, - уравнение Дирака . Это имело следующие важные последствия: спин электрона равен 1/2; g- фактор электрона равен 2; это привело к правильной формуле Зоммерфельда для тонкой структуры из атома водорода ; и его можно было бы использовать для вывода формулы Клейна – Нишины для релятивистского комптоновского рассеяния. Хотя результаты были плодотворными, теория также, по-видимому, предполагала существование состояний с отрицательной энергией, которые могли бы сделать атомы нестабильными, поскольку они всегда могли распадаться на состояния с более низкой энергией путем испускания излучения. ^{[6] :71–72}

В то время преобладало мнение, что мир состоит из двух очень разных компонентов: материальных частиц (таких как электроны) и квантовых полей (таких как фотоны). Материальные частицы считались вечными, а их физическое состояние описывалось вероятностями нахождения каждой частицы в любой заданной области пространства или диапазоне скоростей. С другой стороны, фотоны считались просто возбужденными состояниями лежащего в основе квантованного электромагнитного поля и могли свободно создаваться или разрушаться. Между 1928 и 1930 годами Джордан, Юджин Вигнер , Гейзенберг, Паули и Энрико Фермиобнаружил, что материальные частицы также можно рассматривать как возбужденные состояния квантовых полей. Как фотоны являются возбужденными состояниями квантованного электромагнитного поля, так и каждому типу частиц соответствует соответствующее квантовое поле: электронное поле, протонное поле и т. Д. При наличии достаточной энергии теперь можно создавать материальные частицы. Основываясь на этой идее, Ферми в 1932 году предложил объяснение бета-распада, известное как взаимодействие Ферми . Ядра атомов не содержат электронов сами по себе , но в процессе распада электрон создается из окружающего электронного поля, аналогично фотону, создаваемому из окружающего электромагнитного поля при радиационном распаде возбужденного атома. ^{[3] :22–23}

В 1929 году Дирак и другие поняли, что состояния с отрицательной энергией, подразумеваемые уравнением Дирака, можно устранить, допустив существование частиц с такой же массой, что и электроны, но с противоположным электрическим зарядом. Это не только обеспечило стабильность атомов, но и стало первым предположением о существовании антивещества . В самом деле, доказательство существования позитронов было обнаружено в 1932 году Карлом Дэвидом Андерсоном в космических лучах . При наличии достаточного количества энергии, например, путем поглощения фотона, может быть создана электронно-позитронная пара. Этот процесс называется рождением пары.; обратный процесс, аннигиляция, также может происходить с испусканием фотона. Это показало, что нет необходимости фиксировать количество частиц во время взаимодействия. Однако исторически позитроны сначала рассматривались как «дыры» в бесконечном электронном море, а не как новый вид частиц, и эта теория получила название теории дыр Дирака . ^{[6] : 72 [3] : 23} КТП естественным образом включила античастицы в свой формализм. ^{[3] : 24}

Бесконечности и перенормировка [ править ]

Роберт Оппенгеймер показал в 1930 году, что пертурбативные вычисления более высокого порядка в КЭД всегда приводили к бесконечным величинам, таким как собственная энергия электрона и энергия нулевой точки вакуума электронного и фотонного полей ^[6], предполагая, что вычислительные методы время не могло должным образом справиться с взаимодействиями с участием фотонов с чрезвычайно высокими импульсами. ^{[3] : 25} Систематический подход к удалению таких бесконечностей был разработан только 20 лет спустя.

Между 1934 и 1938 годами Эрнстом Штюкельбергом была опубликована серия статей, в которых была установлена ​​релятивистски инвариантная формулировка КТП. В 1947 году Штюкельберг также независимо разработал полную процедуру перенормировки. К сожалению, такие достижения не были поняты и признаны теоретическим сообществом. ^[6]

Столкнувшись с этими бесконечностями, Джон Арчибальд Уиллер и Гейзенберг предложили в 1937 и 1943 годах соответственно заменить проблемную КТП так называемой теорией S-матриц . Поскольку конкретные детали микроскопических взаимодействий недоступны для наблюдений, теория должна пытаться описать только отношения между небольшим количеством наблюдаемых ( например, энергией атома) во взаимодействии, а не заниматься микроскопическими деталями взаимодействия. . В 1945 году Ричард Фейнман и Уиллер дерзко предложили полностью отказаться от КТП и предложили действие на расстоянии в качестве механизма взаимодействия частиц. ^{[3] : 26}

В 1947 году Уиллис Лэмб и Роберт Ретерфорд измерили мельчайшую разницу в уровнях энергии ² S _1/2 и ² P _1/2 атома водорода, также названную сдвигом Лэмба . Пренебрегая вкладом фотонов, энергия которых превышает массу электрона, Ганс Бете успешно оценил численное значение лэмбовского сдвига. ^{[6] [3] : 28} Впоследствии Норман Майлс Кролл , Лэмб, Джеймс Брюс Френч и Виктор Вайскопфснова подтвердил это значение, используя подход, в котором бесконечности отменяли другие бесконечности, чтобы в результате были конечные количества. Однако этот метод был неуклюжим и ненадежным, и его нельзя было обобщить на другие вычисления. ^[6]

В конечном итоге прорыв произошел примерно в 1950 году, когда Джулиан Швингер , Фейнман, Фриман Дайсон и Шиничиро Томонага разработали более надежный метод устранения бесконечностей . Основная идея - заменить исходные, так называемые «голые» параметры (масса, электрический заряд и т. Д.), Не имеющие физического смысла, их конечными измеренными значениями. Чтобы отменить кажущиеся бесконечными параметры, нужно ввести в лагранжиан дополнительные бесконечные «контрчлены». Эта систематическая вычислительная процедура известна как перенормировка и может применяться к произвольному порядку в теории возмущений. ^[6]

Путем применения процедуры перенормировки были окончательно проведены расчеты, объясняющие аномальный магнитный момент электрона (отклонение g- фактора электрона от 2) и поляризацию вакуума . Эти результаты в значительной степени совпадали с экспериментальными измерениями, что знаменовало конец «войны с бесконечностями». ^[6]

В то же время Фейнман ввел формулировку интегралов по путям квантовой механики и диаграмм Фейнмана . ^{[8] : 2} Последний может использоваться для визуальной и интуитивной организации и для помощи в вычислении членов пертурбативного разложения. Каждую диаграмму можно интерпретировать как пути частиц во взаимодействии, причем каждая вершина и линия имеют соответствующее математическое выражение, а произведение этих выражений дает амплитуду рассеяния взаимодействия, представленного диаграммой. ^{[1] : 5}

Именно с изобретением процедуры перенормировки и диаграмм Фейнмана КТП, наконец, возникла как законченная теоретическая основа. ^{[8] : 2}

Теория поля оператора [ править ]

Хотя перенормировка воспринималась большинством физиков как законная и необходимая, Швингер был недоволен. Выступая на Международном симпозиуме по истории физики элементарных частиц в Фермилабе в 1980 году, он сказал: « Необходимость учета этих [экспериментальных] результатов привела к определенной теоретической структуре, которая полностью соответствовала первоначальной задаче, но требовала упрощения. и обобщение; требовалось новое видение ... Подобно кремниевому кристаллу последних лет, диаграмма Фейнмана приносила вычисления в массы ... Но в конце концов нужно было снова собрать все воедино, и тогда поэтапный подход теряет часть своей привлекательности ... Квантовая теория поля должен иметь дело с полями Бозе-Эйнштейна и полями Ферми-Дирака на полностью эквивалентной основе… Это была моя проблема.- «Перенормировочная теория квантовой электродинамики: индивидуальный взгляд» Джулиана Швингера ^[9]

Эта проблема привела к появлению шести статей по «Теории квантованных полей», опубликованных в Physical Review в 1951-54 гг. ^[10] . Швингер считал, что эта новая теория гораздо важнее, чем работа по перенормировке, за которую он получил Нобелевскую премию. Фактически, он посвятил свою Нобелевскую речь в 1965 году описанию этой работы, точно так же, как Эйнштейн в своей Нобелевской речи говорил о теории относительности, а не о теории фотоэлектрического эффекта, за которую он получил награду.Релятивистская квантовая теория полей родилась около тридцати пяти лет назад благодаря отцовским усилиям Дирака, Гейзенберга, Паули и других. Однако это был несколько умственно отсталый юноша, и 17 лет спустя он впервые достиг подросткового возраста, и мы собрались здесь, чтобы отметить это событие. Но это последующее развитие и более зрелая фаза предмета, которую я хочу кратко обсудить сегодня. ^[11]

В версии КТП Швингера поля не описываются простыми числами; они описываются векторами в бесконечномерном гильбертовом пространстве, и для каждого поля существует соответствующий оператор, который действует на эти векторы - отсюда и название Швингера «Теория операторного поля». Такое использование гильбертова пространства приводит к концепции квантов поля:

… Эти два различных классических понятия [частицы и волны] сливаются и выходят за пределы чего-то, что не имеет классического аналога - квантованного поля, которое представляет собой новую собственную концепцию, единство, которое заменяет классическую двойственность. ^[12]

Кванты иногда называют возбуждением в поле, но это еще не все. Каждый квант - это целостная единица поля, которую нельзя разделить.Электрон - это квантованная рябь квантового поля электрона, которая действует как частица, потому что движется как единое целое со своими сохраняющимися величинами, которые всегда поддерживаются как единое целое. ^[13]

Квант… имеет характер «все или ничего»: он полностью присутствует или полностью отсутствует. У вас не может быть только части фотона. Этот характер «все или ничего» означает, что вы должны добавить или удалить весь квант мгновенно ... даже если он распространяется на многие километры. Вы не можете изменить часть кванта, потому что у него нет частей; это одна вещь. ^[14]

Несмотря на успех теории Швингера в разрешении парадоксов и загадок квантовой механики ^[15] , в настоящее время она в значительной степени игнорируется или забывается. Одна из причин заключается в том, что идея мгновенного коллапса беспокоит многих физиков, в том числе Эйнштейна, который назвал это жутким действием на расстоянии. Однако это экспериментальный факт ^[16] , и он не нарушает принципа относительности, потому что в процессе не передается никакая информация. Удаление поля до того, как оно успеет что-либо сделать, или изменение вращения (или другого свойства) поля до того, как оно что-то изменило, - это не то же самое, что изменение чего-то, что уже произошло. ^[17]

Другая причина в том, что эта более поздняя работа Швингера не была хорошо понята в физическом сообществе.Так и началась трагедия. Потребность [Швингера] делать все по-своему заставила его разработать свой собственный язык, свои собственные подходы и методы ... По мере того, как он становился все более изолированным, все меньше людей понимало и говорило на новых языках, которые он создал ... что способствовало его дальнейшей изоляции ... Это была взаимная потеря В проигрыше оказались и Швингер, и сообщество. ^[18]

Неперенормируемость [ править ]

Учитывая огромный успех КЭД, многие теоретики в течение нескольких лет после 1949 года полагали, что КТП вскоре сможет обеспечить понимание всех микроскопических явлений, а не только взаимодействий между фотонами, электронами и позитронами. Вопреки этому оптимизму, QFT вступила в очередной период депрессии, продолжавшейся почти два десятилетия. ^{[3] : 30}

Первым препятствием была ограниченная применимость процедуры перенормировки. В пертурбативных вычислениях в КЭД все бесконечные величины могут быть исключены путем переопределения небольшого (конечного) числа физических величин (а именно массы и заряда электрона). Дайсон доказал в 1949 году, что это возможно только для небольшого класса теорий, называемых «перенормируемыми теориями», примером которых является КЭД. Тем не менее, большинство теорий, в том числе теории Ферми от слабого взаимодействия , являются «неперенормируемы». Любое пертурбативное вычисление в этих теориях, выходящее за рамки первого порядка, приведет к бесконечностям, которые нельзя удалить, переопределив конечное число физических величин. ^{[3] : 30}

Вторая серьезная проблема проистекает из ограниченной применимости метода диаграмм Фейнмана, который основан на разложении в ряд в теории возмущений. Чтобы ряды сходились и вычисления низкого порядка были хорошим приближением, константа связи , в которой ряд расширяется, должна быть достаточно малым числом. Константа связи в КЭД - это постоянная тонкой структуры α ≈ 1/137 , которая достаточно мала, чтобы в реалистичных расчетах учитывать только простейшие диаграммы Фейнмана самого низкого порядка. Напротив, константа связи при сильном взаимодействиипримерно порядка единицы, что делает сложные диаграммы Фейнмана более высокого порядка столь же важными, как и простые. Таким образом, не было возможности получить надежные количественные прогнозы для сильного взаимодействия с использованием пертурбативных методов КТП. ^{[3] : 31}

Когда возникли эти трудности, многие теоретики начали отворачиваться от QFT. Одни сосредоточились на принципах симметрии и законах сохранения , а другие взяли старую теорию S-матрицы Уиллера и Гейзенберга. QFT использовалась эвристически как руководящие принципы, но не как основа для количественных расчетов. ^{[3] : 31}

Стандартная модель [ править ]

В 1954 году Ян Чен-Нин и Роберт Миллс обобщили локальную симметрию QED, что привело к неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга – Миллса), которые основаны на более сложных локальных группах симметрии . ^{[19] : 5} В КЭД (электрически) заряженные частицы взаимодействуют посредством обмена фотонами, в то время как в неабелевой калибровочной теории частицы, несущие новый тип « заряда », взаимодействуют посредством обмена безмассовыми калибровочными бозонами . В отличие от фотонов, эти калибровочные бозоны сами несут заряд. ^{[3] : 32 [20]}

Шелдон Глэшоу разработал неабелеву калибровочную теорию, которая объединила электромагнитное и слабое взаимодействия в 1960 году. В 1964 году Абдус Салам и Джон Клайв Уорд пришли к той же теории, но другим путем. Тем не менее эту теорию нельзя было перенормировать. ^[21]

Питер Хиггс , Роберт Браут , Франсуа Энглерт , Джеральд Гуральник , Карл Хаген и Том Киббл предложили в своих знаменитых статьях Physical Review Letters, что калибровочная симметрия в теориях Янга – Миллса может быть нарушена механизмом, называемым спонтанным нарушением симметрии , благодаря которому калибровочные бозоны могут приобретать массу. ^{[19] : 5-6}

Объединив более раннюю теорию Глэшоу, Салама и Уорда с идеей спонтанного нарушения симметрии, Стивен Вайнберг в 1967 году написал теорию, описывающую электрослабые взаимодействия между всеми лептонами и эффекты бозона Хиггса . Его теория поначалу в основном игнорировалась ^{[21] [19] : 6,} пока она не была обнаружена в 1971 году благодаря доказательству Перенормируемости неабелевых калибровочных теорий Герарда т Хоофта . Электрослабая теория Вайнберга и Салама была распространена с лептонов на кварки в 1970 году Глэшоу, Джоном Илиопулосом и Лучано Майани., отмечая его завершение. ^[21]

Харальд Фрич , Мюррей Гелл-Манн и Генрих Лойтвайлер в 1971 году обнаружили, что некоторые явления, связанные с сильным взаимодействием, также можно объяснить неабелевой калибровочной теорией. Так родилась квантовая хромодинамика (КХД). В 1973 году Дэвид Гросс , Фрэнк Вильчек и Хью Дэвид Политцер показали, что неабелевы калибровочные теории « асимптотически свободны », что означает, что при перенормировке константа связи сильного взаимодействия уменьшается по мере увеличения энергии взаимодействия. (Подобные открытия делались много раз ранее, но в значительной степени игнорировались) ^{[19] :11} Следовательно, по крайней мере, при взаимодействии при высоких энергиях, константа связи в КХД становится достаточно малой, чтобы гарантировать расширение пертурбативного ряда, что делает возможными количественные предсказания для сильного взаимодействия. ^{[3] : 32}

Эти теоретические открытия привели к возрождению QFT. Полная теория, включающая в себя теорию электрослабого взаимодействия и хромодинамику, сегодня называется Стандартной моделью элементарных частиц. ^[22] Стандартная модель успешно описывает все фундаментальные взаимодействия, кроме гравитации , и ее многочисленные предсказания были встречены замечательным экспериментальным подтверждением в последующие десятилетия. ^{[8] : 3} Хиггса , центральное место в механизме спонтанного нарушения симметрии, был окончательно обнаружен в 2012 году в ЦЕРН , отмечая полную проверку наличия всех составляющих стандартной модели. ^[23]

Другие события [ править ]

В 1970-х годах в неабелевых калибровочных теориях были разработаны непертурбативные методы. 'Т'Хоофт-Полякова монопольный была обнаружена т'Хоофта и Александра Полякова , флюса труб по Хольгер Бех Нильсен и Poul Олесеном и инстантонами Поляковым и соавторам. Эти объекты недоступны с помощью теории возмущений. ^{[8] : 4}

Суперсимметрия также появилась в тот же период. Первая суперсимметричная КТП в четырех измерениях была построена Юрием Гольфандом и Евгением Лихтманом в 1970 году, но их результат не вызвал широкого интереса из-за « железного занавеса» . Суперсимметрия стала популярной в теоретическом сообществе только после работ Юлиуса Весса и Бруно Зумино в 1973 г. ^{[8] : 7}

Среди четырех фундаментальных взаимодействий гравитация остается единственным, которому не хватает последовательного описания КТП. Различные попытки теории квантовой гравитации привела к развитию теории струн , ^{[8] : 6} сам тип двумерного QFT с конформной симметрии . ^[24] Жоэль Шерк и Джон Шварц впервые предложили в 1974 году , что теория струн может быть квантовой теорией гравитации. ^[25]

Физика конденсированного состояния [ править ]

Хотя квантовая теория поля возникла в результате изучения взаимодействий между элементарными частицами, она успешно применялась к другим физическим системам, особенно к системам многих тел в физике конденсированного состояния .

Исторически сложилось, что механизм Хиггса спонтанного нарушения симметрии является результатом Yoichiro Намбу применения «s из сверхпроводящей теории к элементарным частицам, в то время как понятие перенормировки вышли из исследования второго порядка фазовых переходов в веществе. ^[26]

Вскоре после введения фотонов Эйнштейн выполнил процедуру квантования колебаний в кристалле, что привело к появлению первой квазичастицы - фононов . Лев Ландау утверждал, что низкоэнергетические возбуждения во многих системах конденсированной материи можно описать в терминах взаимодействий между набором квазичастиц. Метод диаграмм Фейнмана в КТП, естественно, хорошо подходил для анализа различных явлений в системах конденсированного состояния. ^[27]

Калибровочная теория используется для описания квантования магнитного потока в сверхпроводниках, удельного сопротивления в квантовом эффекте Холла , а также связи между частотой и напряжением в эффекте Джозефсона переменного тока . ^[27]

Принципы [ править ]

Для простоты в следующих разделах используются натуральные единицы , в которых уменьшенная постоянная Планка ħ и скорость света c установлены равными единице.

Классические поля [ править ]

Классическое поле является функцией пространственных и временных координат. ^[28] Примеры включают гравитационное поле в ньютоновской гравитации g ( x , t ) и электрическое поле E ( x , t ) и магнитное поле B ( x , t ) в классическом электромагнетизме . Классическое поле можно рассматривать как числовую величину, присваиваемую каждой точке пространства, которая изменяется во времени. Следовательно, он имеет бесконечно много степеней свободы.. ^{[28] [29]}

Многие явления, проявляющие квантово-механические свойства, нельзя объяснить только классическими полями. Такие явления, как фотоэлектрический эффект , лучше всего объясняются дискретными частицами ( фотонами ), а не пространственно непрерывным полем. Целью квантовой теории поля является описание различных квантово-механических явлений с использованием модифицированной концепции полей.

Каноническое квантование и интегралы по путям - две общие формулировки КТП. ^{[30] : 61} Чтобы обосновать основы КТП, уместно сделать обзор классической теории поля.

Простейшее классическое поле - это реальное скалярное поле - действительное число в каждой точке пространства, которое изменяется во времени. Он обозначается как ϕ ( x , t ) , где x - вектор положения, а t - время. Предположим, что лагранжиан поля равен${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L = \ int d ^ {3} x \, {\ mathcal {L}} = \ int d ^ {3} x \, \ left [{\ frac {1} {2}} {\ dot { \ phi}} ^ {2} - {\ frac {1} {2}} (\ nabla \ phi) ^ {2} - {\ frac {1} {2}} m ^ {2} \ phi ^ {2 }\верно],}$

где - плотность лагранжиана, - производная поля по времени, ∇ - оператор градиента, а m - действительный параметр («масса» поля). Применяя уравнение Эйлера – Лагранжа к лагранжиану: ^{[1] : 16}${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {\ partial} {\ partial t}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ phi / \ partial t)}} \ right ] + \ sum _ {i = 1} ^ {3} {\ frac {\ partial} {\ partial x ^ {i}}} \ left [{\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial (\ partial \ phi / \ partial x ^ {i})}} \ right] - {\ frac {\ partial {\ mathcal {L}}} {\ partial \ phi}} = 0,}$

получаем уравнения движения поля, описывающие его изменение во времени и пространстве:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial t ^ {2}}} - \ nabla ^ {2} + m ^ {2} \ right) \ phi = 0.}$

Это известно как уравнение Клейна – Гордона . ^{[1] : 17}

Уравнение Клейна – Гордона является волновым уравнением , поэтому его решения могут быть выражены как сумма нормальных мод (полученных с помощью преобразования Фурье ) следующим образом:

${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d ^ {3} p} {(2 \ pi) ^ {3}}} {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}} \ left (a _ {\ mathbf {p}} e ^ {- i \ omega _ {\ mathbf {p}} t + i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} + a _ {\ mathbf {p}} ^ {*} e ^ {i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ right) ,}$

где a - комплексное число (нормализованное по соглашению), * обозначает комплексное сопряжение , а ω _p - частота нормального режима:

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}} = {\ sqrt {| \ mathbf {p} | ^ {2} + m ^ {2}}}.}$

Таким образом, каждую нормальную моду, соответствующую одному p, можно рассматривать как классический гармонический осциллятор с частотой ω _p . ^{[1] : 21,26}

Каноническое квантование [ править ]

Процедура квантования вышеупомянутого классического поля в поле квантового оператора аналогична преобразованию классического гармонического осциллятора в квантовый гармонический осциллятор .

Смещение классического гармонического осциллятора описывается формулой

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} ae ^ {- i \ omega t} + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} a ^ {*} e ^ {i \ omega t},}$

где a - комплексное число (нормированное по соглашению), а ω - частота осциллятора. Обратите внимание, что x - это смещение частицы при простом гармоническом движении из положения равновесия, не путать с пространственной меткой x квантового поля.

Для квантового гармонического осциллятора x ( t ) превращается в линейный оператор :${\ Displaystyle {\ шляпа {х}} (т)}$

${\ displaystyle {\ hat {x}} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} e ^ {- я \ omega t} + {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} ^ {\ dagger} e ^ {i \ omega t}.}.}$

Комплексные числа а и ^* заменяются операторами уничтожения и оператор создания , соответственно, где † обозначает эрмитово сопряжение . Отношение коммутации между ними ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle [{\ hat {a}}, {\ hat {a}} ^ {\ dagger}] = 1.}$

Состояние вакуума , которое является самым низким энергетическим состоянием, определяется следующим образом:${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} | 0 \ rangle = 0.}$

Любое квантовое состояние одиночного гармонического осциллятора может быть получено последовательным применением оператора создания : ^{[1] : 20}${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {a}} ^ {\ dagger}}$

${\ displaystyle | n \ rangle = ({\ hat {a}} ^ {\ dagger}) ^ {n} | 0 \ rangle.}$

Точно так же вышеупомянутое действительное скалярное поле ϕ , которое соответствует x в единственном гармоническом осцилляторе, также превращается в квантовый полевой оператор , в то время как оператор аннигиляции, оператор рождения и угловая частота теперь относятся к конкретному p :${\ displaystyle {\ hat {\ phi}}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} ^ {\ dagger}}$${\ Displaystyle ш _ {\ mathbf {p}}}$

${\displaystyle {\hat {\phi }}(\mathbf {x} ,t)=\int {\frac {d^{3}p}{(2\pi )^{3}}}{\frac {1}{\sqrt {2\omega _{\mathbf {p} }}}}\left({\hat {a}}_{\mathbf {p} }e^{-i\omega _{\mathbf {p} }t+i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }+{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }e^{i\omega _{\mathbf {p} }t-i\mathbf {p} \cdot \mathbf {x} }\right).}$

Их коммутационные соотношения: ^{[1] : 21}

${\displaystyle [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=(2\pi )^{3}\delta (\mathbf {p} -\mathbf {q} ),\quad [{\hat {a}}_{\mathbf {p} },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }]=[{\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger },{\hat {a}}_{\mathbf {q} }^{\dagger }]=0,}$

где δ - дельта-функция Дирака . Состояние вакуума определяется${\displaystyle |0\rangle }$

${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }|0\rangle =0,\quad {\text{for all }}\mathbf {p} .}$

Из любого квантового состояния поля можно получить последовательное применение операторов создания , например ^{[1] : 22}${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle {\hat {a}}_{\mathbf {p} }^{\dagger }}$

${\displaystyle ({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{3}}^{\dagger })^{3}{\hat {a}}_{\mathbf {p} _{2}}^{\dagger }({\hat {a}}_{\mathbf {p} _{1}}^{\dagger })^{2}|0\rangle .}$

Хотя квантовое поле, появляющееся в лагранжиане, является пространственно непрерывным, квантовые состояния поля дискретны. В то время как пространство состояний одного квантового гармонического осциллятора содержит все дискретные энергетические состояния одной колеблющейся частицы, пространство состояний квантового поля содержит дискретные уровни энергии произвольного числа частиц. Последнее пространство известно как пространство Фока , что может объяснить тот факт, что число частиц не фиксировано в релятивистских квантовых системах. ^[31] Процесс квантования произвольного числа частиц вместо одной частицы часто также называют вторым квантованием . ^{[1] : 19}

Вышеупомянутая процедура является прямым приложением нерелятивистской квантовой механики и может быть использована для квантования (сложных) скалярных полей, полей Дирака , ^{[1] : 52} векторных полей ( например, электромагнитного поля) и даже струн . ^[32] Однако операторы рождения и уничтожения хорошо определены только в простейших теориях, которые не содержат взаимодействий (так называемая свободная теория). В случае действительного скалярного поля существование этих операторов было следствием разложения решений классических уравнений движения на сумму нормальных мод. Для выполнения расчетов по любой реалистичной теории взаимодействий, теория возмущений было бы необходимо.

Лагранжиан любого квантового поля в природе будет содержать члены взаимодействия в дополнение к членам свободной теории. Например, член взаимодействия четвертой степени может быть введен в лагранжиан действительного скалярного поля: ^{[1] : 77}

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi )(\partial ^{\mu }\phi )-{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}-{\frac {\lambda }{4!}}\phi ^{4},}$

где μ - индекс пространства-времени и т. д. Суммирование по индексу μ было опущено в соответствии с обозначениями Эйнштейна . Если параметр λ достаточно мал, то теория взаимодействия, описываемая вышеупомянутым лагранжианом, может рассматриваться как малое возмущение свободной теории.${\displaystyle \partial _{0}=\partial /\partial t,\ \partial _{1}=\partial /\partial x^{1}}$

Интегралы по путям [ править ]

Рецептура интеграла по путям КТПА связана с прямым вычислением амплитуды рассеяния некоторого процесса взаимодействия, а не созданием операторов и государственными пространств. Чтобы вычислить амплитуду вероятности эволюции системы от некоторого начального состояния в момент времени t = 0 до некоторого конечного состояния в момент t = T , общее время T делится на N небольших интервалов. Общая амплитуда - это произведение амплитуды эволюции в каждом интервале, интегрированное по всем промежуточным состояниям. Пусть H - гамильтониан (${\displaystyle |\phi _{I}\rangle }$${\displaystyle |\phi _{F}\rangle }$т.е. генератор временной эволюции ), то ^{[30] : 10}

${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int d\phi _{1}\int d\phi _{2}\cdots \int d\phi _{N-1}\,\langle \phi _{F}|e^{-iHT/N}|\phi _{N-1}\rangle \cdots \langle \phi _{2}|e^{-iHT/N}|\phi _{1}\rangle \langle \phi _{1}|e^{-iHT/N}|\phi _{I}\rangle .}$

Переходя к пределу N → ∞ , указанное выше произведение интегралов становится интегралом по путям Фейнмана: ^{[1] : 282 [30] : 12}

${\displaystyle \langle \phi _{F}|e^{-iHT}|\phi _{I}\rangle =\int {\mathcal {D}}\phi (t)\,\exp \left\{i\int _{0}^{T}dt\,L\right\},}$

где L - лагранжиан, содержащий ϕ и его производные по пространственным и временным координатам, полученный из гамильтониана H с помощью преобразования Лежандра . Начальные и конечные условия интеграла по путям соответственно равны

${\displaystyle \phi (0)=\phi _{I},\quad \phi (T)=\phi _{F}.}$

Другими словами, полная амплитуда - это сумма по амплитуде всех возможных путей между начальным и конечным состояниями, где амплитуда пути задается экспонентой подынтегральной функции.

Двухточечная корреляционная функция [ править ]

Теперь мы предполагаем, что теория содержит взаимодействия, лагранжевые члены которых являются малым возмущением свободной теории.

В расчетах часто встречаются такие выражения:

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle ,}$

где x и y - четыре вектора положения , T - оператор временного порядка (а именно, он упорядочивает x и y в соответствии с их временной составляющей, более позднее время слева и более раннее время справа) и является основным состоянием ( вакуумное состояние) теории взаимодействий. Это выражение, известное как двухточечная корреляционная функция или двухточечная функция Грина , представляет собой амплитуду вероятности распространения поля от y к x . ^{[1] : 82}${\displaystyle |\Omega \rangle }$

В каноническом квантовании двухточечная корреляционная функция может быть записана как: ^{[1] : 87}

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\langle 0|T\left\{\phi _{I}(x)\phi _{I}(y)\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}|0\rangle }{\langle 0|T\left\{\exp \left[-i\int _{-T}^{T}dt\,H_{I}(t)\right]\right\}|0\rangle }},}$

где ε - бесконечно малое число, ϕ _I - оператор поля согласно свободной теории, а H _I - член гамильтониана взаимодействия. Для теории ϕ ⁴ это ^{[1] : 84}

${\displaystyle H_{I}(t)=\int d^{3}x\,{\frac {\lambda }{4!}}\phi _{I}(x)^{4}.}$

Поскольку λ является малым параметром, экспоненциальную функцию exp можно разложить в ряд Тейлора по λ и вычислить почленно. Это уравнение полезно тем, что оно выражает полевой оператор и основное состояние в теории взаимодействия, которые трудно определить, в терминах их аналогов в свободной теории, которые хорошо определены.

В формулировке интеграла по путям двухточечная корреляционная функция может быть записана как: ^{[1] : 284}

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x)\phi (y)\}|\Omega \rangle =\lim _{T\to \infty (1-i\epsilon )}{\frac {\int {\mathcal {D}}\phi \,\phi (x)\phi (y)\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}{\int {\mathcal {D}}\phi \,\exp \left[i\int _{-T}^{T}d^{4}z\,{\mathcal {L}}\right]}},}$

где - плотность лагранжиана. Как и в предыдущем абзаце, экспоненциальный множитель, включающий член взаимодействия, также может быть разложен в ряд по λ .${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

Согласно теореме Вика , любую n- точечную корреляционную функцию в свободной теории можно записать как сумму произведений двухточечных корреляционных функций. Например,

${\displaystyle {\begin{aligned}\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle =&\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{2})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{3})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{3})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{4})\}|0\rangle \\&+\langle 0|T\{\phi (x_{1})\phi (x_{4})\}|0\rangle \langle 0|T\{\phi (x_{2})\phi (x_{3})\}|0\rangle .\end{aligned}}}$

Поскольку корреляционные функции в теории взаимодействия могут быть выражены через функции свободной теории, для вычисления всех физических величин в (пертурбативной) теории взаимодействия необходимо вычислить только последние. ^{[1] : 90}

С помощью канонического квантования или интегралов по путям можно получить:

${\displaystyle D_{F}(x-y)\equiv \langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\}|0\rangle =\lim _{\epsilon \to 0}\int {\frac {d^{4}p}{(2\pi )^{4}}}{\frac {i}{p_{\mu }p^{\mu }-m^{2}+i\epsilon }}e^{-ip_{\mu }(x^{\mu }-y^{\mu })}.}$

Это известно как пропагатор Фейнмана для реального скалярного поля. ^{[1] : 31 288 [30] : 23}

Диаграмма Фейнмана [ править ]

Корреляционные функции в теории взаимодействий можно записать в виде ряда возмущений. Каждый член в этой серии является продуктом пропагаторов Фейнмана в свободной теории и может быть визуально представлен диаграммой Фейнмана . Например, член λ ¹ в двухточечной корреляционной функции в теории ϕ ⁴ равен

${\displaystyle {\frac {-i\lambda }{4!}}\langle 0|T\{\phi (x)\phi (y)\int d^{4}z\,\phi (z)\phi (z)\phi (z)\phi (z)\}|0\rangle .}$

После применения теоремы Вика одним из членов будет

${\displaystyle 12\cdot {\frac {-i\lambda }{4!}}\int d^{4}z\,D_{F}(x-z)D_{F}(y-z)D_{F}(z-z),}$

соответствующая диаграмма Фейнмана

Каждая точка соответствует одному полевому фактору ϕ . Точки, помеченные x и y , называются внешними точками, а те, что находятся внутри, называются внутренними точками или вершинами (на этой диаграмме есть одна). Значение соответствующего члена можно получить из диаграммы, следуя «правилам Фейнмана»: назначить каждой вершине, а пропагатор Фейнмана - каждой линии с конечными точками x ₁ и x ₂ . Произведение факторов, соответствующих каждому элементу диаграммы, деленное на «фактор симметрии» (2 для этой диаграммы), дает выражение для члена в ряду возмущений. ^{[1] : 91-94}${\displaystyle -i\lambda \int d^{4}z}$${\displaystyle D_{F}(x_{1}-x_{2})}$

Чтобы вычислить n- точечную корреляционную функцию до k -го порядка, составьте список всех допустимых диаграмм Фейнмана с n внешними точками и k или меньшим количеством вершин, а затем используйте правила Фейнмана, чтобы получить выражение для каждого члена. Точнее,

${\displaystyle \langle \Omega |T\{\phi (x_{1})\cdots \phi (x_{n})\}|\Omega \rangle }$

равна сумме (соответствующих выражений) всех связанных диаграмм с n внешними точками. (Связанные диаграммы - это такие, в которых каждая вершина соединена с внешней точкой линиями. Компоненты, которые полностью не связаны с внешними линиями, иногда называют «вакуумными пузырями».) В обсуждаемой выше теории взаимодействия ϕ ⁴ каждая вершина должна иметь четыре стороны . ^{[1] : 98}

В реальных приложениях амплитуду рассеяния определенного взаимодействия или скорость распада частицы можно вычислить из S-матрицы , которая сама может быть найдена с помощью метода диаграммы Фейнмана. ^{[1] : 102-115}

Диаграммы Фейнмана, лишенные «петель», называются древовидными диаграммами, которые описывают процессы взаимодействия низшего порядка; диаграммы, содержащие n петель, называются n- петлевыми диаграммами, которые описывают вклады более высокого порядка или радиационные поправки во взаимодействие. ^{[30] : 44} Линии, конечными точками которых являются вершины, можно рассматривать как распространение виртуальных частиц . ^{[1] : 31}

Ренормализация [ править ]

Правила Фейнмана можно использовать для непосредственной оценки древовидных диаграмм. Однако наивное вычисление петлевых диаграмм, подобных показанной выше, приведет к расходящимся интегралам импульса, что, кажется, подразумевает, что почти все члены в пертурбативном разложении бесконечны. Процедура перенормировки - это систематический процесс удаления таких бесконечностей.

Параметры, входящие в лагранжиан, такие как масса m и константа связи λ , не имеют физического смысла - m , λ и напряженность поля ϕ не являются экспериментально измеряемыми величинами и упоминаются здесь как голая масса, голая константа связи, и голое поле соответственно. Физическая масса и константа связи измеряются в некотором процессе взаимодействия и обычно отличаются от исходных величин. При вычислении физических величин из этого процесса взаимодействия можно ограничить область расходящихся интегралов импульса до значения ниже некоторого порогового значения импульса Λ , получить выражения для физических величин, а затем принять предел Λ → ∞. Это пример регуляризации , класса методов для обработки расхождений в КТП, где Λ является регулятором.

Подход, проиллюстрированный выше, называется голой теорией возмущений, поскольку в расчетах используются только голые величины, такие как масса и константа связи. Другой подход, называемый перенормированной теорией возмущений, заключается в использовании физически значимых величин с самого начала. В случае теории ϕ ⁴ сначала переопределяется напряженность поля:

${\displaystyle \phi =Z^{1/2}\phi _{r},}$

где ϕ - затравочное поле, ϕ _r - перенормированное поле, а Z - постоянная, которую необходимо определить. Плотность лагранжиана становится:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}m_{r}^{2}\phi _{r}^{2}-{\frac {\lambda _{r}}{4!}}\phi _{r}^{4}+{\frac {1}{2}}\delta _{Z}(\partial _{\mu }\phi _{r})(\partial ^{\mu }\phi _{r})-{\frac {1}{2}}\delta _{m}\phi _{r}^{2}-{\frac {\delta _{\lambda }}{4!}}\phi _{r}^{4},}$

где m _r и λ _r - экспериментально измеряемая перенормированная масса и константа связи, соответственно, и

${\displaystyle \delta _{Z}=Z-1,\quad \delta _{m}=m^{2}Z-m_{r}^{2},\quad \delta _{\lambda }=\lambda Z^{2}-\lambda _{r}}$

- константы, которые предстоит определить. Первые три члена представляют собой плотность лагранжиана ϕ ^4, записанную в терминах перенормированных величин, а последние три члена называются «контрчлены». Поскольку лагранжиан теперь содержит больше членов, диаграммы Фейнмана должны включать дополнительные элементы, каждый со своими собственными правилами Фейнмана. Процедура описана следующим образом. Сначала выберите схему регуляризации (такую ​​как введенная выше предельная регуляризация или размерная регуляризация ); назовем регулятор Λ . Вычислите диаграммы Фейнмана, в которых расходящиеся члены будут зависеть от Λ . Затем определим δ _Z , δ _m и δ _λтакие, что диаграммы Фейнмана для контрчленов будут точно сокращать расходящиеся члены в нормальных диаграммах Фейнмана, когда берется предел Λ → ∞ . Таким образом получаются значимые конечные величины. ^{[1] : 323-326}

Исключить все бесконечности можно только для получения конечного результата в перенормируемых теориях, тогда как в неперенормируемых теориях бесконечности нельзя удалить путем переопределения небольшого числа параметров. Стандартная модель элементарных частиц является renormalisable QFT, ^{[1] : 719-727} в то время как квантовая гравитация не является renormalisable. ^{[1] : 798 [30] : 421}

Группа перенормировки [ править ]

Перенормировки группа , разработанная Кеннета Уилсона , является математический аппарат используется для изучения изменений в физических параметрах (коэффициенты в функции Лагранжа) как система рассматривается в разных масштабах. ^{[1] : 393} Способ, которым каждый параметр изменяется в зависимости от масштаба, описывается его функцией β . ^{[1] : 417} Корреляционные функции, лежащие в основе количественных физических предсказаний, изменяются в зависимости от масштаба в соответствии с уравнением Каллана – Симанзика . ^{[1] : 410-411}

Например, константа связи в QED, а именно элементарный заряд e , имеет следующую функцию β :

${\displaystyle \beta (e)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {de}{d\Lambda }}={\frac {e^{3}}{12\pi ^{2}}}+O(e^{5}),}$

где Λ - энергетический масштаб, в котором выполняется измерение e . Это дифференциальное уравнение означает, что наблюдаемый элементарный заряд увеличивается с увеличением масштаба. ^[33] Перенормированная константа связи, которая изменяется в зависимости от шкалы энергии, также называется бегущей константой связи. ^{[1] : 420}

Константа связи g в квантовой хромодинамике , неабелевой калибровочной теории, основанной на группе симметрии SU (3) , имеет следующую β- функцию:

${\displaystyle \beta (g)\equiv {\frac {1}{\Lambda }}{\frac {dg}{d\Lambda }}={\frac {g^{3}}{16\pi ^{2}}}\left(-11+{\frac {2}{3}}N_{f}\right)+O(g^{5}),}$

где N _f - количество ароматов кварка . В случае, когда N _f ≤ 16 (Стандартная модель имеет N _f = 6 ), константа связи g уменьшается с увеличением шкалы энергии. Следовательно, хотя сильное взаимодействие является сильным при низких энергиях, оно становится очень слабым при взаимодействии при высоких энергиях, явление, известное как асимптотическая свобода . ^{[1] : 531}

Конформные теории поля (КТП) - это специальные КТП, допускающие конформную симметрию . Они нечувствительны к изменениям масштаба, так как все их константы связи имеют нулевую функцию β . (Однако обратное неверно - исчезновение всех β- функций не означает конформной симметрии теории.) ^[34] Примеры включают теорию струн ^[24] и N = 4 суперсимметричную теорию Янга – Миллса . ^[35]

Согласно картине Вильсона, каждая КТП в основном сопровождается своим ограничением по энергии Λ , т.е. что теория больше не справедлива при энергиях выше, чем Λ , и все степени свободы выше шкалы Λ должны быть опущены. Например, граница может быть инверсией атомного расстояния в системе конденсированной материи, а в физике элементарных частиц она может быть связана с фундаментальной «зернистостью» пространства-времени, вызванной квантовыми флуктуациями в гравитации. Граница границ теорий взаимодействия частиц лежит далеко за пределами текущих экспериментов. Даже если теория была бы очень сложной в этом масштабе, до тех пор, пока ее связи достаточно слабы, ее следует описывать при низких энергиях перенормируемымэффективная теория поля . ^{[1] : 402-403} Разница между перенормируемыми и неперенормируемыми теориями состоит в том, что первые нечувствительны к деталям при высоких энергиях, тогда как вторые зависят от них. ^{[8] : 2} Согласно этой точке зрения, неперенормируемые теории следует рассматривать как низкоэнергетические эффективные теории более фундаментальной теории. Неспособность удалить обрезание Λ из расчетов в такой теории просто указывает на то, что новые физические явления появляются на масштабах выше Λ , где необходима новая теория. ^{[30] : 156}

Другие теории [ править ]

Процедуры и квантовани перенормировки , описанные в предыдущих параграфах выполняются для свободной теории и ф 4 теории реального скалярного поля. Аналогичный процесс может быть проделан для других типов полей, включая комплексное скалярное поле, векторное поле и поле Дирака , а также для других типов взаимодействующих членов, включая электромагнитное взаимодействие и взаимодействие Юкавы .

Например, квантовая электродинамика содержит поле Дирака ψ, представляющее поле электронов, и векторное поле A ^μ, представляющее электромагнитное поле ( поле фотонов ). (Несмотря на свое название, квантовое электромагнитное "поле" на самом деле соответствует классическому электромагнитному четырехпотенциалу , а не классическим электрическим и магнитным полям.) Полная плотность лагранжиана КЭД:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\bar {\psi }}(i\gamma ^{\mu }\partial _{\mu }-m)\psi -{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }F^{\mu \nu }-e{\bar {\psi }}\gamma ^{\mu }\psi A_{\mu },}$

где & gamma ^ц являются матрицы Дирака , и это напряженность электромагнитного поля . Параметрами в этой теории являются масса (затравочного) электрона m и (затравочный) элементарный заряд e . Первое и второе слагаемые в плотности лагранжиана соответствуют свободному полю Дирака и свободному векторному полю соответственно. Последний член описывает взаимодействие между электронным и фотонным полями, которое рассматривается как возмущение свободных теорий. ^{[1] : 78}${\displaystyle {\bar {\psi }}=\psi ^{\dagger }\gamma ^{0}}$${\displaystyle F_{\mu \nu }=\partial _{\mu }A_{\nu }-\partial _{\nu }A_{\mu }}$

Выше показан пример трехуровневой диаграммы Фейнмана в QED. Он описывает аннигилизацию электрона и позитрона, создание фотона вне оболочки , а затем распад на новую пару электрона и позитрона. Время бежит слева направо. Стрелки, указывающие вперед во времени, представляют собой распространение позитронов, а стрелки, указывающие назад во времени, представляют собой распространение электронов. Волнистая линия представляет собой распространение фотона. Каждая вершина в диаграммах QED Фейнмана должна иметь входящую и исходящую фермионную (позитронную / электронную) ветвь, а также фотонную ветвь.

Калибровочная симметрия [ править ]

Если следующее преобразование полей выполняется в каждой точке пространства-времени x (локальное преобразование), то лагранжиан КЭД остается неизменным или инвариантным:

${\displaystyle \psi (x)\to e^{i\alpha (x)}\psi (x),\quad A_{\mu }(x)\to A_{\mu }(x)+ie^{-1}e^{-i\alpha (x)}\partial _{\mu }e^{i\alpha (x)},}$

где α ( x ) - любая функция координат пространства-времени. Если лагранжиан теории (или, точнее, действие ) инвариантен относительно некоторого локального преобразования, то преобразование называется калибровочной симметрией теории. ^{[1] : 482–483} Калибровочные симметрии образуют группу в каждой точке пространства-времени. В случае КЭДА, последовательного применение двух различных локальных преобразований симметрии и является еще одним преобразованием симметрии . Для любого & alpha ; ( х ) , представляет собой элемент из U (1)${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$${\displaystyle e^{i\alpha '(x)}}$${\displaystyle e^{i[\alpha (x)+\alpha '(x)]}}$${\displaystyle e^{i\alpha (x)}}$группы, поэтому говорят, что КЭД обладает калибровочной симметрией U (1) . ^{[1] : 496} Фотонное поле A _μ можно назвать калибровочным бозоном U (1) .

U (1) - абелева группа , что означает, что результат будет одинаковым независимо от порядка, в котором применяются ее элементы. КТП также могут быть построены на неабелевых группах , что дает начало неабелевым калибровочным теориям (также известным как теории Янга – Миллса). ^{[1] : 489} Квантовая хромодинамика , описывающая сильное взаимодействие, является неабелевой калибровочной теорией с калибровочной симметрией SU (3) . Он содержит три поля Дирака ψ ⁱ , i = 1,2,3, представляющие кварковые поля, а также восемь векторных полей A ^{a, μ} , a = 1, ..., 8представляющие глюонные поля, которые являются калибровочными бозонами SU (3) . ^{[1] : 547} Плотность лагранжиана КХД: ^{[1] : 490-491}

${\displaystyle {\mathcal {L}}=i{\bar {\psi }}^{i}\gamma ^{\mu }(D_{\mu })^{ij}\psi ^{j}-{\frac {1}{4}}F_{\mu \nu }^{a}F^{a,\mu \nu }-m{\bar {\psi }}^{i}\psi ^{i},}$

где D _μ - калибровочная ковариантная производная :

${\displaystyle D_{\mu }=\partial _{\mu }-igA_{\mu }^{a}t^{a},}$

где г константа связи, т являются восемь генераторов из SU (3) в фундаментальном представлении ( 3 × 3 матрицы),

${\displaystyle F_{\mu \nu }^{a}=\partial _{\mu }A_{\nu }^{a}-\partial _{\nu }A_{\mu }^{a}+gf^{abc}A_{\mu }^{b}A_{\nu }^{c},}$

и е ^аЬсов являются структурными константами из SU (3) . Повторяющиеся индексы i , j , a неявно суммируются по следующим обозначениям Эйнштейна. Этот лагранжиан инвариантен относительно преобразования:

${\displaystyle \psi ^{i}(x)\to U^{ij}(x)\psi ^{j}(x),\quad A_{\mu }^{a}(x)t^{a}\to U(x)\left[A_{\mu }^{a}(x)t^{a}+ig^{-1}\partial _{\mu }\right]U^{\dagger }(x),}$

где U ( x ) - элемент SU (3) в каждой точке пространства-времени x :

${\displaystyle U(x)=e^{i\alpha (x)^{a}t^{a}}.}$

Предыдущее обсуждение симметрий находится на уровне лагранжиана. Другими словами, это «классические» симметрии. После квантования некоторые теории больше не будут демонстрировать свою классическую симметрию - явление, называемое аномалией . Например, в формулировке интеграла по путям, несмотря на инвариантность плотности лагранжиана при некотором локальном преобразовании полей, мера интеграла по путям может измениться. ^{[30] : 243} Чтобы теория, описывающая природу, была непротиворечивой, она не должна содержать каких-либо аномалий в своей калибровочной симметрии. Стандартная модель элементарных частиц - это калибровочная теория, основанная на группе SU (3) × SU (2) × U (1) , в которой все аномалии точно сокращаются. ^[1]${\displaystyle {\mathcal {L}}[\phi ,\partial _{\mu }\phi ]}$ ${\displaystyle \int {\mathcal {D}}\phi }$^{: 705-707}

Теоретическая основа общей теории относительности , принцип эквивалентности , также может пониматься как форма калибровочной симметрии, превращая общую теорию относительности в калибровочную теорию, основанную на группе Лоренца . ^[36]

Теорема Нётер утверждает, что каждая непрерывная симметрия, т. Е. Параметр в преобразовании симметрии, являющийся непрерывным, а не дискретным, приводит к соответствующему закону сохранения . ^{[1] : 17-18 [30] : 73} Например, U (1) -симметрия КЭД предполагает сохранение заряда . ^[37]

Калибровочные преобразования не связывают отдельные квантовые состояния. Скорее, он связывает два эквивалентных математических описания одного и того же квантового состояния. Например, поле фотона A ^μ , будучи четырехвекторным , имеет четыре кажущихся степени свободы, но фактическое состояние фотона описывается его двумя степенями свободы, соответствующими поляризации . Остальные две степени свободы называются «избыточными» - очевидно, разные способы записи A ^μ могут быть связаны друг с другом калибровочным преобразованием и фактически описывают одно и то же состояние фотонного поля. В этом смысле калибровочная инвариантность - это не «настоящая» симметрия, а отражение «избыточности» выбранного математического описания.^{[30] : 168}

Чтобы учесть избыточность калибровки в формулировке интеграла по путям, необходимо выполнить так называемую процедуру фиксации калибровки Фаддеева – Попова . В неабелевых калибровочных теориях такая процедура вводит новые поля, называемые «призраками». Частицы, соответствующие призрачным полям, называются призрачными частицами, которые не могут быть обнаружены извне. ^{[1] : 512-515} Более строгое обобщение процедуры Фаддеева – Попова дает БРСТ-квантование . ^{[1] : 517}

Спонтанное нарушение симметрии [ править ]

Самопроизвольное нарушение симметрии - это механизм, при котором симметрия лагранжиана нарушается описываемой им системой. ^{[1] : 347}

Чтобы проиллюстрировать механизм, рассмотрим линейную сигма-модель, содержащую N вещественных скалярных полей, описываемых плотностью лагранжиана:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\phi ^{i})(\partial ^{\mu }\phi ^{i})+{\frac {1}{2}}\mu ^{2}\phi ^{i}\phi ^{i}-{\frac {\lambda }{4}}(\phi ^{i}\phi ^{i})^{2},}$

где μ и λ - действительные параметры. Теория допускает глобальную симметрию O ( N ) :

${\displaystyle \phi ^{i}\to R^{ij}\phi ^{j},\quad R\in \mathrm {O} (N).}$

Состояние с наименьшей энергией (основное состояние или вакуумное состояние) классической теории - это любое однородное поле ϕ _0, удовлетворяющее

${\displaystyle \phi _{0}^{i}\phi _{0}^{i}={\frac {\mu ^{2}}{\lambda }}.}$

Без ограничения общности, пусть основное состояние находится в N -м направлении:

${\displaystyle \phi _{0}^{i}=\left(0,\cdots ,0,{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}\right).}$

Исходные поля N можно переписать как:

${\displaystyle \phi ^{i}(x)=\left(\pi ^{1}(x),\cdots ,\pi ^{N-1}(x),{\frac {\mu }{\sqrt {\lambda }}}+\sigma (x)\right),}$

и исходная плотность лагранжиана как:

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\pi ^{k})(\partial ^{\mu }\pi ^{k})+{\frac {1}{2}}(\partial _{\mu }\sigma )(\partial ^{\mu }\sigma )-{\frac {1}{2}}(2\mu ^{2})\sigma ^{2}-{\sqrt {\lambda }}\mu \sigma ^{3}-{\sqrt {\lambda }}\mu \pi ^{k}\pi ^{k}\sigma -{\frac {\lambda }{2}}\pi ^{k}\pi ^{k}\sigma ^{2}-{\frac {\lambda }{4}}(\pi ^{k}\pi ^{k})^{2},}$

где k = 1, ..., N -1 . Исходная глобальная симметрия O ( N ) больше не проявляется, остается только подгруппа O ( N -1) . Большая симметрия перед спонтанным нарушением симметрии называется «скрытой» или спонтанно нарушенной. ^{[1] : 349-350}

Теорема Голдстоуна утверждает, что при спонтанном нарушении симметрии каждая нарушенная непрерывная глобальная симметрия приводит к безмассовому полю, называемому бозоном Голдстоуна. В приведенном выше примере O ( N ) имеет N ( N -1) / 2 непрерывных симметрий (размерность его алгебры Ли ), а O ( N -1) имеет ( N -1) ( N -2) / 2 . Число нарушенных симметрий - это их разность N -1 , что соответствует N -1 безмассовым полям π ^k . ^{[1] : 351}

С другой стороны, когда калибровочная (в отличие от глобальной) симметрия спонтанно нарушается, образующийся бозон Голдстоуна «съедается» соответствующим калибровочным бозоном, становясь дополнительной степенью свободы для калибровочного бозона. Теорема об эквивалентности бозонов Голдстоуна утверждает, что при высокой энергии амплитуда излучения или поглощения продольно поляризованного массивного калибровочного бозона становится равной амплитуде излучения или поглощения бозона Голдстоуна, который был съеден калибровочным бозоном. ^{[1] : 743-744}

В КТП ферромагнетизма спонтанное нарушение симметрии может объяснить выравнивание магнитных диполей при низких температурах. ^{[30] : 199} В Стандартной модели элементарных частиц бозоны W и Z , которые в противном случае были бы безмассовыми в результате калибровочной симметрии, приобретают массу в результате спонтанного нарушения симметрии бозона Хиггса , процесса, называемого механизмом Хиггса . ^{[1] : 690}

Суперсимметрия [ править ]

Все известные экспериментально симметрии в природе связывают бозоны с бозонами, а фермионы с фермионами. Теоретики выдвинули гипотезу о существовании типа симметрии, называемой суперсимметрией , которая связывает бозоны и фермионы. ^{[1] : 795 [30] : 443}

Стандартная модель подчиняется симметрии Пуанкаре , генераторами которой являются пространственно-временные трансляции P ^μ и преобразования Лоренца J _μν . ^{[38] : 58–60} В дополнение к этим генераторам суперсимметрия в (3 + 1) -мерностях включает дополнительные генераторы Q _α , называемые суперзарядами , которые сами преобразуются как фермионы Вейля . ^{[1] : 795 [30] : 444} Группа симметрий, порожденная всеми этими генераторами, известна как суперпуанкаре.. В общем, может быть более одного набора генераторов суперсимметрии, Q _α ^I , I = 1, ..., N , которые порождают соответствующую N = 1 суперсимметрию, N = 2 суперсимметрию и так далее. ^{[1] : 795 [30] : 450} Суперсимметрия также может быть построена в других измерениях, ^{[39] в} первую очередь в (1 + 1) измерениях для ее применения в теории суперструн . ^[40]

Лагранжиан суперсимметричной теории должен быть инвариантным относительно действия супергруппы Пуанкаре. ^{[30] : 448} Примеры таких теорий включают: минимальную суперсимметричную стандартную модель (MSSM), N = 4 суперсимметричную теорию Янга – Миллса , ^{[30] : 450} и теорию суперструн. В суперсимметричной теории у каждого фермиона есть бозонный суперпартнер, и наоборот. ^{[30] : 444}

Если суперсимметрия превращается в локальную симметрию, то результирующая калибровочная теория является расширением общей теории относительности, называемой супергравитацией . ^[41]

Суперсимметрия - потенциальное решение многих текущих проблем физики. Например, проблема иерархии Стандартной модели - почему масса бозона Хиггса не корректируется радиационно (при перенормировке) до очень высокого масштаба, такого как масштаб великого объединения или масштаб Планка, - может быть решена путем соотнесения поля Хиггса и его суперпартнер Хиггсино . Радиационные поправки, обусловленные петлями бозона Хиггса в диаграммах Фейнмана, компенсируются соответствующими петлями Хиггсино. Суперсимметрия также предлагает ответы на великое объединение всех калибровочных констант связи в Стандартной модели, а также на природу темной материи . ^{[1] : 796-797[42]}

Тем не менее, по состоянию на 2018 год ^[update]эксперименты еще не предоставили доказательств существования суперсимметричных частиц. Если суперсимметрия была истинной симметрией природы, то это должна быть нарушенная симметрия, а энергия нарушения симметрии должна быть выше, чем достижимая в современных экспериментах. ^{[1] : 797 [30] : 443}

Другое время [ править ]

Теория ϕ ⁴ , КЭД, КХД, а также вся Стандартная модель предполагают (3 + 1) -мерное пространство Минковского (3 пространственных и 1 временное измерения) в качестве фона, на котором определяются квантовые поля. Однако QFT a priori не накладывает ограничений на количество измерений или геометрию пространства-времени.

В физике конденсированного состояния QFT используется для описания (2 + 1) -мерных электронных газов . ^[43] В физике высоких энергий , теория струн представляет собой тип (1 + 1) n - мерного КТП, ^{[30] : 452 [24]} в то время как теория Калуцы-Клейна использует силу тяжести в дополнительных измерений в теории калибровочных производят в более низких измерениях. ^{[30] : 428-429}

В пространстве Минковского плоская метрика η _μν используется для повышения и понижения индексов пространства-времени в лагранжиане, например

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=\eta _{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =\eta ^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$

где п ^μν является обратным п _μν удовлетворяющих п ^Мр п ^ρν = & delta ; ^ц _N , . С другой стороны, для QFT в искривленном пространстве-времени используется общая метрика (такая как метрика Шварцшильда, описывающая черную дыру ):

${\displaystyle A_{\mu }A^{\mu }=g_{\mu \nu }A^{\mu }A^{\nu },\quad \partial _{\mu }\phi \partial ^{\mu }\phi =g^{\mu \nu }\partial _{\mu }\phi \partial _{\nu }\phi ,}$

где g ^μν - величина, обратная g _μν . Для реального скалярного поля плотность лагранжиана на общем пространственно-временном фоне равна

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\sqrt {|g|}}\left({\frac {1}{2}}g^{\mu \nu }\nabla _{\mu }\phi \nabla _{\nu }\phi -{\frac {1}{2}}m^{2}\phi ^{2}\right),}$

где g = det ( g _μν ) , а ∇ _μ обозначает ковариантную производную . ^[44] Лагранжиан QFT, а следовательно, и результаты его вычислений и физические предсказания, зависят от геометрии пространственно-временного фона.

Топологическая квантовая теория поля [ править ]

Корреляционные функции и физические предсказания QFT зависят от метрики пространства-времени g _μν . Для специального класса КТП, называемого топологическими квантовыми теориями поля (ТКТП), все корреляционные функции не зависят от непрерывных изменений в метрике пространства-времени. ^{[45] : 36} QFT в искривленном пространстве-времени обычно изменяются в соответствии с геометрией (локальной структурой) пространственно-временного фона, в то время как TQFT инвариантны относительно диффеоморфизмов пространства-времени, но чувствительны к топологии (глобальной структуре) пространства-времени. Это означает, что все результаты вычислений TQFT являются топологическими инвариантами основного пространства-времени.Теория Черна – Саймонса является примером TQFT и использовалась для построения моделей квантовой гравитации. ^[46] Приложения TQFT включают дробный квантовый эффект Холла и топологические квантовые компьютеры . ^{[47] : 1–5} Траектория мировой линии фракционированных частиц (известных как энионы ) может образовывать конфигурацию связи в пространстве-времени, ^[48]который связывает статистику плетения анионов в физике с инвариантами связей в математике. Топологические квантовые теории поля (ТКТП), применимые к передовым исследованиям топологических квантовых материй, включают калибровочные теории Черна-Саймонса-Виттена в пространственно-временных измерениях 2 + 1, другие новые экзотические ТКТП в пространственно-временных измерениях 3 + 1 и за их пределами. ^[49]

Пертурбативные и непертурбативные методы [ править ]

Используя теорию возмущений , общий эффект малого члена взаимодействия может быть аппроксимирован порядком за порядком разложением в ряд числа виртуальных частиц, участвующих во взаимодействии. Каждый член в расширении можно понимать как один из возможных способов взаимодействия (физических) частиц друг с другом через виртуальные частицы, визуально выраженный с помощью диаграммы Фейнмана . Электромагнитная сила между двумя электронами в КЭД представлена (в первом порядке теории возмущений) путем распространения виртуального фотона. Аналогичным образом бозоны W и Z несут слабое взаимодействие, а глюонынесут сильное взаимодействие. Интерпретация взаимодействия как суммы промежуточных состояний, включающих обмен различными виртуальными частицами, имеет смысл только в рамках теории возмущений. Напротив, непертурбативные методы в КТП рассматривают взаимодействующий лагранжиан в целом без какого-либо разложения в ряд. Вместо частиц, несущих взаимодействия, эти методы породили такие концепции, как монополь 'т Хофта – Полякова , доменная стенка , магнитная трубка и инстантон . ^[8] Примеры QFTs, которые вполне разрешим непертурбативно включают минимальные модели из конформной теории поля ^[50] и Тирринг модели. ^[51]

Математическая строгость [ править ]

Несмотря на огромный успех в физике элементарных частиц и физике конденсированного состояния, самой КТП не хватает формальной математической основы. Например, согласно теореме Хаага , не существует четко определенной картины взаимодействия для КТП, что означает, что теория возмущений КТП, лежащая в основе всего метода диаграмм Фейнмана , в корне не определена. ^[52]

Однако пертурбативная квантовая теория поля, которая требует, чтобы величины были вычислены только как формальные степенные ряды без каких-либо требований сходимости, может быть подвергнута строгой математической обработке. В частности, в монографии Кевина Костелло « Перенормировка и эффективная теория поля» ^[53] дается строгая формулировка пертурбативной перенормировки, которая сочетает в себе подходы теории эффективного поля Каданова , Вильсона и Полчинского , а также методики Баталина-Вилковиского.подход к квантованию калибровочных теорий. Кроме того, пертурбативные методы интегралов по путям, обычно понимаемые как формальные вычислительные методы, вдохновленные конечномерной теорией интегрирования, ^[54] могут получить надежную математическую интерпретацию из их конечномерных аналогов. ^[55]

Начиная с 1950-х годов ^[56] физики-теоретики и математики пытались организовать все КТП в набор аксиом , чтобы математически строгим образом установить существование конкретных моделей релятивистских КТП и изучить их свойства. Это направление исследований называются конструктивной квантовой теорией поля , подпол математической физики , ^{[57] : 2} , которая привела к таким результатам , как СРТ - теорема , спин-статистика теоремы и теоремы Голдстоуна . ^[56]

По сравнению с обычным, QFT топологической квантовой теории поля и конформной теории поля лучше поддерживаются математически - оба могут быть классифицированы в рамках представлений о кобордизмах . ^[58]

Алгебраическая квантовая теория поля - это другой подход к аксиоматизации КТП, в котором фундаментальными объектами являются локальные операторы и алгебраические отношения между ними. Аксиоматические системы после этого подхода включают Вайтман аксиомы и Haag-Кастлер аксиомы . ^{[57] : 2-3} Одним из способов построения теорий, удовлетворяющих аксиомам Вайтмана, является использование аксиом Остервальдера-Шредера , которые дают необходимые и достаточные условия для получения теории реального времени из теории мнимого времени путем аналитического продолжения ( вращения Вика ) . ^{[57] : 10}

Существование Янга – Миллса и разрыв между массами , одна из проблем , связанных с Премией тысячелетия , касается четко определенного существования теорий Янга – Миллса, изложенных вышеупомянутыми аксиомами. Полная постановка задачи выглядит следующим образом. ^[59]

Докажите, что для любой компактной простой калибровочной группы G нетривиальная квантовая теория Янга – Миллса существует и имеет массовую щель ∆> 0 . Существование включает установление аксиоматических свойств, по крайней мере, столь же сильных, как те, которые цитируются в Streater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) и Osterwalder & Schrader (1975) .${\displaystyle \mathbb {R} ^{4}}$ harvtxt error: no target: CITEREFStreaterWightman1964 (help) harvtxt error: no target: CITEREFOsterwalderSchrader1973 (help) harvtxt error: no target: CITEREFOsterwalderSchrader1975 (help)

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

Дальнейшее чтение [ править ]

Обычные читатели

• Пайс, А. (1994) [1986]. Внутренняя граница: материи и сил в физическом мире (переиздание под ред.). Оксфорд, Нью-Йорк, Торонто: Издательство Оксфордского университета . ISBN 978-0198519973.
• Швебер, СС (1994). QED и люди, которые сделали это: Дайсон, Фейнман, Швингер и Томонага . Издательство Принстонского университета . ISBN 9780691033273.
• Фейнман, Р.П. (2001) [1964]. Характер физического закона . MIT Press . ISBN 978-0-262-56003-0.
• Фейнман, Р.П. (2006) [1985]. QED: Странная теория света и материи . Издательство Принстонского университета. ISBN 978-0-691-12575-6.
• Гриббин Дж. (1998). Вопрос для Quantum: Физика элементарных частиц от А до Z . Вайденфельд и Николсон . ISBN 978-0-297-81752-9.

Вступительные тексты

• МакМахон, Д. (2008). Квантовая теория поля . Макгроу-Хилл . ISBN 978-0-07-154382-8.
• Боголюбов, Н .; Ширков Д. (1982). Квантовые поля . Бенджамин Каммингс . ISBN 978-0-8053-0983-6.
• Фрэмптон, PH (2000). Теории калибровочного поля . Границы в физике (2-е изд.). Вайли .
• Greiner, W .; Мюллер, Б. (2000). Калибровочная теория слабых взаимодействий . Springer . ISBN 978-3-540-67672-0.
• Itzykson, C .; Зубер, Ж.-Б. (1980). Квантовая теория поля . Макгроу-Хилл . ISBN 978-0-07-032071-0.
• Кейн, GL (1987). Современная физика элементарных частиц . Группа Персей . ISBN 978-0-201-11749-3.
• Кляйнерт, Х .; Шульте-Фролинде, Верена (2001). Критические свойства φ 4 -теорий . World Scientific . ISBN 978-981-02-4658-7.
• Кляйнерт, Х. (2008). Многозначные поля в конденсированной среде, электродинамике и гравитации (PDF) . World Scientific. ISBN 978-981-279-170-2.
• Лаудон, Р. (1983). Квантовая теория света . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-851155-7.
• Mandl, F .; Шоу, Г. (1993). Квантовая теория поля . Джон Вили и сыновья . ISBN 978-0-471-94186-6.
• Райдер, LH (1985). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-33859-2.
• Шварц, доктор медицины (2014). Квантовая теория поля и стандартная модель . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-1107034730. Архивировано из оригинала на 2018-03-22 . Проверено 13 мая 2020 .
• Ynduráin, FJ (1996). Релятивистская квантовая механика и введение в теорию поля . Релятивистская квантовая механика и введение в теорию поля (1-е изд.). Springer. Bibcode : 1996rqmi.book ..... Y . DOI : 10.1007 / 978-3-642-61057-8 . ISBN 978-3-540-60453-2.
• Greiner, W .; Рейнхардт, Дж. (1996). Квантование поля . Springer. ISBN 978-3-540-59179-5.
• Пескин, М .; Шредер, Д. (1995). Введение в квантовую теорию поля . Westview Press . ISBN 978-0-201-50397-5.
• Шарф, Гюнтер (2014) [1989]. Конечная квантовая электродинамика: причинный подход (третье изд.). Dover Publications. ISBN 978-0486492735.
• Средницки, М. (2007). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521-8644-97.
• Тонг, Дэвид (2015). «Лекции по квантовой теории поля» . Проверено 9 февраля 2016 .
• Зи, Энтони (2010). Квантовая теория поля в двух словах (2-е изд.). Издательство Принстонского университета . ISBN 978-0691140346.

Расширенные тексты

• Браун, Лоуэлл С. (1994). Квантовая теория поля . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-46946-3.
• Боголюбов, Н .; Логунов, АА ; Оксак А.И.; Тодоров, ИТ (1990). Общие принципы квантовой теории поля . Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-0-7923-0540-8.
• Вайнберг, С. (1995). Квантовая теория полей . 1 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521550017.

Внешние ссылки [ править ]

• СМИ, связанные с квантовой теорией поля, на Викискладе?

Одномерная квантовая теория поля в Викиверситете

• "Квантовая теория поля" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Стэнфордская философская энциклопедия : « Квантовая теория поля » Мейнарда Кульман.
• Сигел, Уоррен, 2005. Поля. arXiv : hep-th / 9912205 .
• Квантовая теория поля П. Дж. Малдерса