Специальная теория относительности

Альберт Эйнштейн около 1905, года его « Annus Mirabilis документов были опубликованы». К ним относятся Zur Elektrodynamik bewegter Körper , работа, основывающая специальную теорию относительности.

Специальная теория относительности
Принцип относительности Теория относительности Двойная специальная теория относительности инвариант де Ситтера специальная теория относительности Общая теория относительности Масштаб относительности
Фонды Постулаты специальной теории относительности Одновременность Относительность одновременности Относительное движение Мероприятие Точка зрения Инерциальная система отсчета Масса Инертная масса Инвариантный Рама отдыха Рамка центра импульса Скорость света Уравнения Максвелла Преобразование Лоренца
Последствия Замедление времени Гравитационное замедление времени Релятивистская масса Эквивалентность массы и энергии Подходящее время Правильная длина Уменьшение длины Действия на расстоянии Принцип локальности Относительность одновременности Релятивистский эффект Доплера Прецессия Томаса Релятивистский диск Парадокс космического корабля Белла Парадокс Эренфеста
Пространство-время Стрела времени Световой конус Мировая линия Трехмерное пространство Четырехмерное пространство Космос Время Многообразие Гладкий коллектор Риманово многообразие Гильбертово пространство Евклидово пространство Топологическое пространство Топологический дефект Диаграммы пространства-времени Пространство-время Минковского Скаляр Лоренца
Динамика Подходящее время Правильная масса Скаляр Лоренца 4-импульс
История Прекурсоры Галилея относительность Преобразование Галилея Теории эфира
Люди Эйнштейн Зоммерфельд Михельсон Морли Фитцджеральд Herglotz Лоренц Пуанкаре Минковский Физо Авраам Родившийся Планк фон Лауэ Эренфест Толман Дирак
Альтернативные формулировки специальной теории относительности
v т е

В физике , то специальная теория относительности , или специальная теория относительности для краткости, является научной теорией о взаимосвязи между пространством и временем . В оригинальной трактовке Альберта Эйнштейна теория основана на двух постулатах : ^{[1] [2]}

1. В законах физики являются инвариантом (то есть одинаковый) во все инерциальных системах отсчета (то есть отсчет с не ускорением ).
2. Скорость света в вакууме одинакова для всех наблюдателей, независимо от движения источника света или наблюдателя.

Происхождение и значение [ править ]

Специальная теория относительности была первоначально предложена Альбертом Эйнштейном в статье, опубликованной 26 сентября 1905 г., под названием « Электродинамика движущихся тел ». ^{[р 1]} Несовместимость механики Ньютона с уравнениями Максвелла в электромагнетизма и, экспериментально, то Майкельсона-Морли результат нулевой (и последующие подобные эксперименты) продемонстрировали , что исторически гипотеза светоносного эфира не существует. Это привело к разработке Эйнштейном специальной теории относительности, которая корректирует механику для обработки ситуаций, включающих все движения, особенно те, которые происходят со скоростью, близкой к скорости света (известной какрелятивистские скорости ). Сегодня доказано, что специальная теория относительности является наиболее точной моделью движения с любой скоростью, когда гравитационные и квантовые эффекты незначительны. ^{[3] [4]} Тем не менее, модель Ньютона все еще действительна как простое и точное приближение при малых скоростях (относительно скорости света), например, при повседневных движениях на Земле.

Специальная теория относительности имеет широкий спектр следствий, подтвержденных экспериментально. ^[5] Они включают в себя относительность одновременности, сокращение длины , замедление времени , релятивистскую формулу сложения скоростей, релятивистский эффект Доплера, релятивистскую массу , универсальный предел скорости , эквивалентность массы и энергии , скорость причинности и прецессию Томаса . ^{[1] [2]} Он, например, заменил традиционное понятие абсолютного универсального времени понятием времени, которое зависит от системы отсчета и пространственногопозиция. Вместо инвариантного временного интервала между двумя событиями существует инвариантный пространственно-временной интервал . В сочетании с другими законами физики, два постулаты специальной теории относительности предсказывают эквивалентность массы и энергии , как выражено в эквивалентности массы и энергии формулы , где является скорость света в вакууме. ^{[6] [7]} Это также объясняет, как связаны явления электричества и магнетизма. ^{[1] [2]}${\displaystyle E=mc^{2}}$${\displaystyle c}$

Определяющей чертой специальной теории относительности является замена преобразований Галилея в механике Ньютона преобразованиями Лоренца . Время и пространство нельзя определять отдельно друг от друга (как считалось ранее). Скорее, пространство и время сплетены в единый континуум, известный как «пространство-время» . События, которые происходят в одно и то же время для одного наблюдателя, могут происходить в разное время для другого.

До тех пор, пока Эйнштейн не разработал общую теорию относительности , введя искривленное пространство-время для включения гравитации, фраза «специальная теория относительности» не использовалась. Иногда используется перевод как «ограниченная теория относительности»; «особый» на самом деле означает «особый случай». ^{[p 2] [p 3] [p 4] [примечание 1]} Некоторые работы Альберта Эйнштейна по специальной теории относительности построены на более ранних работах Хендрика Лоренца и Анри Пуанкаре . Теория была по существу завершена в 1907 г. ^[4]

Теория «особенная» в том, что она применима только в частном случае, когда пространство-время «плоское», то есть кривизна пространства-времени , описываемая тензором энергии-импульса и вызывающая гравитацию , незначительна. ^{[8] [примечание 2]} Чтобы правильно учесть гравитацию, Эйнштейн сформулировал общую теорию относительности в 1915 году. Специальная теория относительности, вопреки некоторым историческим описаниям, действительно учитывает ускорения, а также ускоряющие системы отсчета . ^{[9] [10]}

Точно так же, как теория относительности Галилея в настоящее время считается приближением специальной теории относительности, справедливой для малых скоростей, специальная теория относительности считается приближением общей теории относительности, которая действительна для слабых гравитационных полей , то есть в достаточно малых масштабах (например, когда приливные силы незначительны) и в условиях свободного падения . Общая теория относительности, однако, включает неевклидову геометрию , чтобы представить гравитационные эффекты как геометрическую кривизну пространства-времени. Специальная теория относительности ограничена плоским пространством-временем, известным как пространство Минковского . Пока Вселенную можно моделировать как псевдориманово многообразие, лоренц-инвариантная система отсчета, подчиняющаяся специальной теории относительности, может быть определена для достаточно малой окрестности каждой точки в этом искривленном пространстве-времени .

Галилео Галилей уже постулировал, что не существует абсолютного и четко определенного состояния покоя (без привилегированных систем отсчета ), принцип, который теперь называется принципом относительности Галилея . Эйнштейн расширил этот принцип, чтобы он объяснил постоянную скорость света ^[11] - явление, которое наблюдалось в эксперименте Майкельсона – Морли. Он также постулировал, что это справедливо для всех законов физики , включая законы механики и электродинамики . ^[12]

Традиционный подход "двух постулатов" к специальной теории относительности [ править ]

Эйнштейн выделил два фундаментальных положения, которые казались наиболее убедительными, независимо от точной справедливости (тогда) известных законов механики или электродинамики. Эти положения заключались в постоянстве скорости света в вакууме и независимости физических законов (особенно постоянстве скорости света) от выбора инерциальной системы. В своем первоначальном изложении специальной теории относительности в 1905 году он выразил эти постулаты следующим образом: ^{[p 1]}

• Принцип относительности - законы, по которым состояния физических систем претерпевают изменения, не затрагиваются, независимо от того, относятся ли эти изменения состояния к одной или другой из двух систем, находящихся в равномерном поступательном движении относительно друг друга. ^{[стр. 1]}
• Принцип инвариантной скорости света - «... свет всегда распространяется в пустом пространстве с определенной скоростью [скоростью] c, которая не зависит от состояния движения излучающего тела» (из предисловия). ^{[p 1]} То есть свет в вакууме распространяется со скоростью c (фиксированная константа, не зависящая от направления) по крайней мере в одной системе инерциальных координат («стационарная система»), независимо от состояния движения источника света. .

Постоянство скорости света было мотивировано теорией электромагнетизма Максвелла и отсутствием доказательств существования светоносного эфира . Существуют противоречивые данные о том, в какой степени на Эйнштейна повлиял нулевой результат эксперимента Майкельсона – Морли . ^{[13] [14]} В любом случае, нулевой результат эксперимента Майкельсона-Морли помог широко распространенному и быстрому принятию концепции постоянства скорости света.

Вывод специальной теории относительности зависит не только от этих двух явных постулатов, но и от нескольких неявных предположений ( сделанных почти во всех теориях физики ), включая изотропию и однородность пространства и независимость измерительных стержней и часов от их прошлой истории. ^{[стр. 6]}

После первоначального представления Эйнштейном специальной теории относительности в 1905 году было предложено множество различных наборов постулатов в различных альтернативных выводах. ^[15] Однако наиболее распространенным набором постулатов остается постулат, использованный Эйнштейном в его оригинальной статье. Более математическое изложение принципа относительности, сделанное позже Эйнштейном, которое вводит понятие простоты, не упомянутое выше:

Специальный принцип относительности : если система координат K выбрана так, что по отношению к ней физические законы выполняются в их простейшей форме, те же самые законы остаются в силе и по отношению к любой другой системе координат K ', движущейся с равномерным перемещением относительно К. ^[16]

Анри Пуанкаре предоставил математическую основу теории относительности, доказав, что преобразования Лоренца являются подмножеством его группы Пуанкаре преобразований симметрии. Позднее Эйнштейн вывел эти преобразования из своих аксиом.

Во многих статьях Эйнштейна представлены выводы преобразования Лоренца, основанные на этих двух принципах. ^{[стр. 7]}

Принцип относительности [ править ]

Справочные кадры и относительное движение [ править ]

Системы отсчета играют решающую роль в теории относительности. Термин «система отсчета», используемый здесь, представляет собой перспективу наблюдения в пространстве, которое не претерпевает каких-либо изменений в движении (ускорении), из которого можно измерить положение по 3 пространственным осям (то есть в состоянии покоя или с постоянной скоростью). Кроме того, опорный кадр имеет возможность определять измерение времени событий с помощью «часы» (любая ссылка устройства с равномерной периодичностью).

Событие является событие , которое может быть присвоен один уникальный момент и расположение в пространстве относительно системы отсчета: это «точка» в пространстве - времени . Поскольку скорость света в теории относительности постоянна, независимо от системы отсчета, импульсы света могут использоваться для однозначного измерения расстояний и отсчета времени, когда произошли события, по часам, даже если свету требуется время, чтобы достичь часов после того, как событие произошло. .

Например, взрыв петарды можно рассматривать как «событие». Мы можем полностью определить событие по его четырем пространственно-временным координатам: время возникновения и его трехмерное пространственное положение определяют точку отсчета. Назовем этот опорный кадр S .

В теории относительности мы часто хотим вычислить координаты события из разных систем отсчета. Уравнения, связывающие измерения, сделанные в разных системах отсчета, называются уравнениями преобразования .

Стандартная конфигурация [ править ]

Чтобы понять, как пространственно-временные координаты, измеренные наблюдателями в разных системах отсчета, сравниваются друг с другом, полезно работать с упрощенной установкой с кадрами в стандартной конфигурации. ^{[17] : 107} Осторожно, это позволяет упростить математику без потери общности сделанных выводов. На рис. 2‑1 два опорных кадра Галилея (т. Е. Обычные кадры с 3 промежутками) отображаются в относительном движении. Кадр S принадлежит первому наблюдателю O, а кадр S ′ (произносится как «S prime» или «S dash») принадлежит второму наблюдателю O ′.

• Х , у , Z оси рамы S ориентированы параллельно соответствующим осям загрунтованных рамы S '.
• Система отсчета S 'движется, для простоты, в одном направлении: в x- направлении системы отсчета S с постоянной скоростью v, измеренной в системе отсчета S.
• Истоки кадров S и S 'совпадают, когда время t = 0 для кадра S и t ' = 0 для кадра S '.

Поскольку в теории относительности не существует абсолютной системы отсчета, понятие «движение» строго не существует, поскольку все может перемещаться относительно какой-либо другой системы отсчета. Вместо этого, любые два кадра, которые движутся с одинаковой скоростью в одном направлении, считаются сопутствующими . Следовательно, S и S ′ несовместимы .

Отсутствие абсолютной системы отсчета [ править ]

Принцип относительности , который гласит , что физические законы имеют одинаковую форму в каждой инерциальной системе отсчета , восходит к Галилею , и был включен в ньютоновской физике. Однако в конце 19 века существование электромагнитных волн заставило некоторых физиков предположить, что Вселенная была заполнена веществом, которое они назвали « эфиром », который, как они постулировали, будет действовать как среда, через которую эти волны или вибрации , распространяется (во многом подобно тому, как звук распространяется по воздуху). Эфир считался абсолютной системой отсчетаотносительно которого могут быть измерены все скорости, и может считаться фиксированным и неподвижным относительно Земли или какой-либо другой фиксированной точки отсчета. Эфир должен был быть достаточно эластичным, чтобы поддерживать электромагнитные волны, в то время как эти волны могли взаимодействовать с веществом, но не оказывать сопротивления телам, проходящим через него (его единственное свойство заключалось в том, что он позволял электромагнитным волнам распространяться). Результаты различных экспериментов, включая эксперимент Майкельсона-Морли в 1887 году (впоследствии подтвержденный более точными и новаторскими экспериментами), привели к специальной теории относительности, показав, что эфира не существует. ^[18]Эйнштейн решил отказаться от понятия эфира и абсолютного состояния покоя. В теории относительности любая система отсчета, движущаяся с равномерным движением, будет соблюдать те же законы физики. В частности, скорость света в вакууме всегда измеряется равной c , даже если она измеряется несколькими системами, которые движутся с разными (но постоянными) скоростями.

Относительность без второго постулата [ править ]

Исходя только из принципа относительности без предположения о постоянстве скорости света (т. Е. С использованием изотропии пространства и симметрии, подразумеваемых принципом специальной теории относительности), можно показать, что преобразования пространства-времени между инерциальными системами отсчета являются либо евклидовыми, либо галилеевами. , или лоренцево. Тогда в лоренцевом случае можно получить релятивистское интервальное сохранение и некоторую конечную предельную скорость. Эксперименты предполагают, что эта скорость равна скорости света в вакууме. ^{[стр. 8] [19]}

Лоренц-инвариантность как сущность специальной теории относительности [ править ]

Альтернативные подходы к специальной теории относительности [ править ]

Эйнштейн последовательно основывал вывод лоренц-инвариантности (существенное ядро ​​специальной теории относительности) всего на двух основных принципах теории относительности и инвариантности скорости света. Он написал:

Фундаментальное понимание специальной теории относительности заключается в следующем: предположения об относительности и инвариантности скорости света совместимы, если постулируются отношения нового типа («преобразование Лоренца») для преобразования координат и времени событий ... Универсальный принцип специальной теории относительности содержится в постулате: законы физики инвариантны относительно преобразований Лоренца (для перехода от одной инерциальной системы к любой другой произвольно выбранной инерциальной системе). Это ограничивающий принцип для законов природы ... ^{[стр. 5]}

Таким образом, многие современные трактовки специальной теории относительности основывают ее на единственном постулате универсальной ковариантности Лоренца или, что то же самое, на единственном постулате пространства-времени Минковского . ^{[стр. 9] [стр. 10]}

Вместо того, чтобы рассматривать универсальную ковариацию Лоренца как производный принцип, в данной статье она рассматривается как фундаментальный постулат специальной теории относительности. Традиционный двухпостулатный подход к специальной теории относительности представлен в бесчисленных университетских учебниках и популярных презентациях. ^[20] Учебники, начинающиеся с единственного постулата пространства-времени Минковского, включают учебники Тейлора и Уиллера ^[21] и Каллахана. ^[22] Такого же подхода придерживаются статьи в Википедии « Пространство-время» и диаграмма Минковского .

Преобразование Лоренца и его обратное [ править ]

Определите событие, чтобы иметь пространственно-временные координаты ( t , x , y , z ) в системе S и ( t ′, x ′, y ′, z ′) в системе отсчета, движущейся со скоростью v относительно этой системы отсчета, S ′ . Тогда преобразование Лоренца указывает, что эти координаты связаны следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma \ (t-vx/c^{2})\\x'&=\gamma \ (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z,\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}}}}}$

является фактором Лоренца и с представляет собой скорость света в вакууме, а скорость v из S ', по отношению к S , параллельна х Оу. Для простоты координаты y и z не изменяются; преобразуются только координаты x и t . Эти преобразования Лоренца образуют однопараметрическую группу из линейных отображений , этот параметр называют быстротой .

Решение четырех приведенных выше уравнений преобразования для координат без штриха приводит к обратному преобразованию Лоренца:

${\displaystyle {\begin{aligned}t&=\gamma (t'+vx'/c^{2})\\x&=\gamma (x'+vt')\\y&=y'\\z&=z'.\end{aligned}}}$

Принуждение этого обратного преобразования Лоренца к совпадению с преобразованием Лоренца из системы со штрихом в систему без штриха показывает, что система без штриха движется со скоростью v ' = - v , измеренной в системе со штрихом.

В оси x нет ничего особенного . Преобразование может применяться к оси y или z , или, действительно, в любом направлении, параллельном движению (которые искажаются фактором γ ) и перпендикулярно; см. статью Преобразование Лоренца для подробностей.

Величина, инвариантная относительно преобразований Лоренца, известна как скаляр Лоренца .

Записывая преобразование Лоренца и его обратное в терминах разностей координат, где одно событие имеет координаты ( x ₁ , t ₁ ) и ( x ' ₁ , t ' ₁ ) , другое событие имеет координаты ( x ₂ , t ₂ ) и ( x ′ ₂ , t ′ ₂ ) , а различия определяются как

Уравнение 1:    ${\displaystyle \Delta x'=x'_{2}-x'_{1}\ ,\ \Delta t'=t'_{2}-t'_{1}\ .}$

Уравнение 2:    ${\displaystyle \Delta x=x_{2}-x_{1}\ ,\ \ \Delta t=t_{2}-t_{1}\ .}$

мы получили

Уравнение 3:    ${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ \left(\Delta t-v\ \Delta x/c^{2}\right)\ .}$

Уравнение 4:    ${\displaystyle \Delta x=\gamma \ (\Delta x'+v\,\Delta t')\ ,\ }$ ${\displaystyle \Delta t=\gamma \ \left(\Delta t'+v\ \Delta x'/c^{2}\right)\ .}$

Если мы возьмем дифференциалы вместо различий, мы получим

Уравнение 5:    ${\displaystyle dx'=\gamma \ (dx-v\,dt)\ ,\ \ }$ ${\displaystyle dt'=\gamma \ \left(dt-v\ dx/c^{2}\right)\ .}$

Уравнение 6:    ${\displaystyle dx=\gamma \ (dx'+v\,dt')\ ,\ }$ ${\displaystyle dt=\gamma \ \left(dt'+v\ dx'/c^{2}\right)\ .}$

Графическое представление преобразования Лоренца [ править ]

Диаграммы пространства- времени (диаграммы Минковского ) являются чрезвычайно полезным помощником для визуализации преобразования координат между различными системами отсчета. Хотя выполнить точные вычисления с их помощью не так просто, как с прямым вызовом преобразований Лоренца, их главная сила - это их способность обеспечивать интуитивное понимание результатов релятивистского сценария. ^[19]

Чтобы нарисовать пространственно-временную диаграмму, начните с рассмотрения двух галилеевых опорных систем, S и S ', в стандартной конфигурации, как показано на рис. 2‑1. ^{[19] [23] : 155–199}

Рис. 3‑1a. Нарисуйте оси и кадра S. Ось горизонтальна, а ось (фактически ) - вертикальна, что противоречит обычным правилам кинематики. Ось масштабируется с коэффициентом , так что обе оси имеют общие единицы длины. На показанной диаграмме линии сетки разнесены на единицу расстояния. Диагональные линии под углом 45 ° представляют мировые линии двух фотонов, проходящих через начало координат во времени . Наклон этих мировых линий равен 1, потому что фотоны перемещаются на одну единицу в пространстве за единицу времени. Два события и были нанесены на этот график, чтобы их координаты можно было сравнить в S и S 'кадрах.${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x}$${\displaystyle t}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle ct}$${\displaystyle c}$${\displaystyle t=0.}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle {\text{B}},}$

Рис. 3‑1b. Нарисуйте оси и кадра S '. Ось представляет из мировой линии происхождения S»систем координат , как измерена в кадре S. На этом рисунке, Оба и оси наклонены от нештрихованных осей на угле , где загрунтованные и нештрихованные оси имеют общее происхождение , так как кадры S и S 'были настроены в стандартной конфигурации, так что когда${\displaystyle x'}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle v=c/2.}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle \alpha =\tan ^{-1}(\beta ),}$${\displaystyle \beta =v/c.}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle t'=0.}$

Рис. 3‑1c. Единицы в осях с грунтовкой имеют другой масштаб, чем единицы на осях без грунтовки. Из преобразований Лоренца мы видим, что координаты в системе координат со штрихом преобразуются в в системе координат без штрихов. Аналогично, координаты в системе координат со штрихом преобразуются в систему без штриха. Нарисуйте линии сетки, параллельные оси, через точки, измеренные в кадре без штриховки, где - целое число. Точно так же нарисуйте линии сетки, параллельные сквозной оси, измеренной в незакрашенном кадре. Используя теорему Пифагора, мы замечаем, что расстояние между единицами равно размеру расстояния между${\displaystyle (x',ct')}$${\displaystyle (0,1)}$${\displaystyle (\beta \gamma ,\gamma )}$${\displaystyle (x',ct')}$${\displaystyle (1,0)}$${\displaystyle (\gamma ,\beta \gamma )}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle (k\gamma ,k\beta \gamma )}$${\displaystyle k}$${\displaystyle x'}$${\displaystyle (k\beta \gamma ,k\gamma )}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle {\sqrt {(1+\beta ^{2})/(1-\beta ^{2})}}}$${\displaystyle ct}$ единиц, как измерено в кадре S. Это отношение всегда больше 1, и в конечном итоге оно приближается к бесконечности, когда ${\displaystyle \beta \rightarrow 1.}$

Рис. 3‑1d. Поскольку скорость света является инвариантом, мировые линии двух фотонов, проходящих через начало координат во времени, по- прежнему отображаются как диагональные линии под углом 45 °. Координаты со штрихом и связаны с нештрихованными координатами посредством преобразований Лоренца и могут быть приблизительно измерены по графику (при условии, что он нанесен достаточно точно), но реальное достоинство диаграммы Минковского заключается в том, что она дает нам геометрическое представление сценарий. Например, на этом рисунке мы наблюдаем, что два разнесенных по времени события, которые имели разные координаты x в незаштрихованном кадре, теперь находятся в одной и той же позиции в пространстве.${\displaystyle t'=0}$${\displaystyle {\text{A}}}$${\displaystyle {\text{B}}}$

В то время как рамка без штриховки нарисована с осями пространства и времени, которые пересекаются под прямым углом, рамка с штрихом нарисована с осями, которые пересекаются под острыми или тупыми углами. Эта асимметрия возникает из-за неизбежных искажений того, как координаты пространства-времени отображаются на декартовую плоскость , но кадры фактически эквивалентны.

Последствия преобразования Лоренца [ править ]

Следствия специальной теории относительности могут быть получены из уравнений преобразования Лоренца . ^[24] Эти преобразования и, следовательно, специальная теория относительности приводят к физическим предсказаниям, отличным от предсказаний ньютоновской механики для всех относительных скоростей, и наиболее ярко проявляются, когда относительные скорости становятся сопоставимыми со скоростью света. Скорость света настолько превосходит все, с чем сталкивается большинство людей, что некоторые эффекты, предсказываемые теорией относительности, изначально противоречат здравому смыслу .

Инвариантный интервал [ править ]

В теории относительности Галилея длина ( ) ^{[примечание 3]} и временное разделение между двумя событиями ( ) являются независимыми инвариантами, значения которых не меняются при наблюдении из разных систем отсчета. ^{[примечание 4] [примечание 5]}${\displaystyle \Delta r}$${\displaystyle \Delta t}$

В специальной теории относительности, однако, переплетение пространственных и временных координат порождает концепцию инвариантного интервала , обозначаемого как :${\displaystyle \Delta s^{2}}$

${\displaystyle \Delta s^{2}\;{\overset {def}{=}}\;c^{2}\Delta t^{2}-(\Delta x^{2}+\Delta y^{2}+\Delta z^{2})}$^{[примечание 6]}

Переплетение пространства и времени отменяет неявно предполагаемые концепции абсолютной одновременности и синхронизации в несовместимых фреймах.

Форма является различием от квадрата промежутка времени и квадрата пространственного расстояния, демонстрирует фундаментальное несоответствие между евклидовым и пространственно - временными расстояниями. ^{[примечание 7]} Инвариантность этого интервала является свойством общего преобразования Лоренца (также называемого преобразованием Пуанкаре ), что делает его изометрией пространства-времени. Общее преобразование Лоренца расширяет стандартное преобразование Лоренца (которое имеет дело с переводами без вращения, то есть с усилением Лоренца в направлении x) всеми другими переводами , отражениями и поворотами между любой декартовой инерциальной системой отсчета.${\displaystyle \Delta s^{2},}$^{[28] : 33–34}

При анализе упрощенных сценариев, таких как пространственно-временные диаграммы, часто используется форма инвариантного интервала пониженной размерности:

${\displaystyle \Delta s^{2}\,=\,c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$

Демонстрация того, что интервал инвариантен, просто для случая уменьшенной размерности и с фреймами в стандартной конфигурации: ^[19]

${\displaystyle c^{2}\Delta t^{2}-\Delta x^{2}}$ ${\displaystyle =c^{2}\gamma ^{2}\left(\Delta t'+{\dfrac {v\Delta x'}{c^{2}}}\right)^{2}-\gamma ^{2}\ (\Delta x'+v\Delta t')^{2}}$

${\displaystyle =\gamma ^{2}\left(c^{2}\Delta t'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}\right)-}$ ${\displaystyle \gamma ^{2}\ (\Delta x'^{\,2}+2v\Delta x'\Delta t'+v^{2}\Delta t'^{\,2})}$

${\displaystyle =\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}v^{2}\Delta t'^{\,2}-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}+\gamma ^{2}{\dfrac {v^{2}\Delta x'^{\,2}}{c^{2}}}}$ ${\displaystyle =\gamma ^{2}c^{2}\Delta t'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)-\gamma ^{2}\Delta x'^{\,2}\left(1-{\dfrac {v^{2}}{c^{2}}}\right)}$

${\displaystyle =c^{2}\Delta t'^{\,2}-\Delta x'^{\,2}}$

Следовательно, значение не зависит от кадра, в котором оно измеряется.${\displaystyle \Delta s^{2}}$

Рассматривая физическое значение , следует отметить три случая: ^{[19] [29] : 25–39}${\displaystyle \Delta s^{2}}$

• Δs ² > 0: В этом случае два события разделены больше временем, чем пространством, и поэтому говорят, что они разделены времениподобно . Отсюда следует, что и с учетом преобразования Лоренца очевидно, что существует меньше, чем для которого (в частности, ). Другими словами, учитывая два события, разделенных по времени, можно найти кадр, в котором эти два события происходят в одном и том же месте. В этой структуре временное разделение называется собственным временем .${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|<c,}$${\displaystyle \Delta x'=\gamma \ (\Delta x-v\,\Delta t),}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta x'=0}$${\displaystyle v=\Delta x/\Delta t}$${\displaystyle \Delta s/c,}$
• Δs ² <0: В этом случае два события разделены большим пространством, чем временем, и поэтому говорят, что они разделены пространственноподобно . Отсюда следует, что и с учетом преобразования Лоренца существует меньше, чем для которого (в частности, ). Другими словами, учитывая два пространственно разделенных события, можно найти кадр, в котором эти два события происходят одновременно. В этом кадре разделение в пространстве называется надлежащим расстоянием или надлежащей длиной . Для значений больше и меньше знака${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|>c,}$${\displaystyle \Delta t'=\gamma \ (\Delta t-v\Delta x/c^{2}),}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c}$${\displaystyle \Delta t'=0}$${\displaystyle v=c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle {\sqrt {-\Delta s^{2}}},}$${\displaystyle v}$${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x,}$${\displaystyle \Delta t'}$изменяется, что означает, что временной порядок разделенных пространством событий меняется в зависимости от кадра, в котором события просматриваются. Однако временной порядок разделенных временем событий является абсолютным, поскольку единственный способ, который мог бы быть лучше, чем был бы, если бы${\displaystyle v}$${\displaystyle c^{2}\Delta t/\Delta x}$${\displaystyle v>c.}$
• Δs ² = 0: в этом случае говорят, что два события разделены светоподобным образом . Это означает, что и это отношение не зависит от кадра из-за инвариантности. Из этого мы видим, что скорость света находится в каждой инерциальной системе отсчета. Другими словами, исходя из предположения об универсальной лоренцевой ковариантности, постоянная скорость света является производным результатом, а не постулатом, как в формулировке двух постулатов специальной теории.${\displaystyle |\Delta x/\Delta t|=c,}$${\displaystyle s^{2}.}$${\displaystyle c}$

Относительность одновременности [ править ]

Рассмотрим два события, происходящие в двух разных местах, которые происходят одновременно в системе отсчета одного инерциального наблюдателя. Они могут происходить не одновременно в системе отсчета другого инерциального наблюдателя (отсутствие абсолютной одновременности ).

Из уравнения 3 (прямое преобразование Лоренца в терминах разностей координат)

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \left(\Delta t-{\frac {v\,\Delta x}{c^{2}}}\right)}$

Ясно, что два события, одновременные в системе S (удовлетворяющей Δ t = 0 ), не обязательно одновременны в другой инерциальной системе S '(удовлетворяющей Δ t ' = 0 ). Только если эти события дополнительно совмещены в кадре S (удовлетворяющем Δ x = 0 ), они будут одновременными в другом кадре S '.

Эффект Саньяка можно рассматривать как проявление относительности одновременности. ^[30] Так как относительность одновременности первого порядка в действие , ^[19] инструменты , основанные на эффекте Саньяка для их работы, такие как кольцевые лазерные гироскопы и волоконно - оптических гироскопов , способны уровней экстремальных чувствительности. ^{[стр. 14]}${\displaystyle v}$

Замедление времени [ править ]

Промежуток времени между двумя событиями не инвариантен для разных наблюдателей, но зависит от относительных скоростей систем отсчета наблюдателей (например, парадокс близнецов, который касается близнеца, который улетает на космическом корабле, летящем со скоростью, близкой к скорости света. и возвращается, чтобы обнаружить, что не путешествующий брат-близнец постарел намного больше, парадокс состоит в том, что при постоянной скорости мы не можем различить, какой из близнецов не путешествует, а какой из них путешествует).

Предположим, что часы находится в состоянии покоя в нештрихованной системе S . Расположение часов на двух разных тактах будет характеризоваться Δ x = 0 . Чтобы найти связь между временами между этими отметками, измеренными в обеих системах, можно использовать уравнение 3 для нахождения:

${\displaystyle \Delta t'=\gamma \,\Delta t}$    для мероприятий, удовлетворяющих    ${\displaystyle \Delta x=0\ .}$

Это показывает, что время (Δ t ') между двумя тактами, как видно в кадре, в котором движутся часы ( S '), больше, чем время (Δ t ) между этими тактами, измеренное в кадре покоя часы ( S ). Замедление времени объясняет ряд физических явлений; например, время жизни высокоскоростных мюонов, созданных столкновением космических лучей с частицами внешней атмосферы Земли и движущихся к поверхности, больше, чем время жизни медленно движущихся мюонов, созданных и распадающихся в лаборатории. ^[31]

Уменьшение длины [ править ]

Размеры (например, длина) объекта, измеренные одним наблюдателем, могут быть меньше, чем результаты измерений того же объекта, сделанные другим наблюдателем (например, парадокс лестницы предполагает, что длинная лестница движется со скоростью, близкой к скорости света, и удерживается в меньшем гараже).

Точно так же предположим, что измерительный стержень неподвижен и выровнен по оси x в системе S без штриха . В этой системе длина этого стержня записывается как Δ x . Для измерения длины этого стержня в системе S ', в которой стержень движется, расстояния x ' до концевых точек стержня должны быть измерены одновременно в этой системе S '. Другими словами, измерение характеризуется Δ t '= 0 , которое можно комбинировать с уравнением 3, чтобы найти соотношение между длинами Δ x и Δ x ':

${\displaystyle \Delta x'={\frac {\Delta x}{\gamma }}}$    для мероприятий, удовлетворяющих    ${\displaystyle \Delta t'=0\ .}$

Это показывает , что длина (Δ х ') стержня, измеренная в кадре , в котором он движется ( S '), является меньше , чем его длина (Δ х ) в его собственной системе покоя ( S ).

Замедление времени и сокращение длины - это не просто видимость. Замедление времени явно связано с нашим способом измерения временных интервалов между событиями, которые происходят в одном и том же месте в данной системе координат (так называемые «колокальные» события). Эти временные интервалы (которые могут быть и фактически измеряются экспериментально соответствующими наблюдателями) различаются в другой системе координат, движущейся относительно первой, если только события, помимо того, что они колокальны, также одновременны. Точно так же сокращение длины относится к нашим измеренным расстояниям между отдельными, но одновременными событиями в заданной выбранной системе координат. Если эти события не совпадают с локальными, но разделены расстоянием (пробелом), они не будут происходить в одном месте.пространственное расстояние друг от друга, если смотреть из другой движущейся системы координат.

Преобразование Лоренца скоростей [ править ]

Рассмотрим две рамки S и S ′ в стандартной конфигурации. Частица в S движется в направлении x с вектором скорости. Какова ее скорость в системе S ′ ?${\displaystyle \mathbf {u} .}$${\displaystyle \mathbf {u'} }$

Мы можем написать

Уравнение 7:    ${\displaystyle \mathbf {|u|} =u=dx/dt\ .}$

Уравнение 8:    ${\displaystyle \mathbf {|u'|} =u'=dx'/dt'\ .}$

Подстановка выражений для и из Уравнения 5 в Уравнение 8 с последующими простыми математическими манипуляциями и обратной подстановкой из Уравнения 7 приводит к преобразованию Лоренца скорости к :${\displaystyle dx'}$${\displaystyle dt'}$${\displaystyle u}$${\displaystyle u'}$

Уравнение 9:    ${\displaystyle u'={\frac {dx'}{dt'}}={\frac {\gamma (dx-vdt)}{\gamma \left(dt-{\frac {vdx}{c^{2}}}\right)}}=}$ ${\displaystyle {\frac {{\frac {dx}{dt}}-v}{1-\left({\frac {v}{c^{2}}}\right)\left({\frac {dx}{dt}}\right)}}={\frac {u-v}{1-uv/c^{2}}}.}$

Обратное соотношение получается заменой штрихованных и незаштрихованных символов местами и заменой на${\displaystyle v}$${\displaystyle -v\ .}$

Уравнение 10:    ${\displaystyle u={\frac {u'+v}{1+u'v/c^{2}}}.}$

Для невыровненных по оси x запишем: ^{[12] : 47–49}${\displaystyle \mathbf {u} }$

Уравнение 11:    ${\displaystyle \mathbf {u} =(u_{1},\ u_{2},\ u_{3})=}$ ${\displaystyle (dx/dt,\ dy/dt,\ dz/dt)\ .}$

Уравнение 12:    ${\displaystyle \mathbf {u'} =(u_{1}',\ u_{2}',\ u_{3}')=}$ ${\displaystyle (dx'/dt',\ dy'/dt',\ dz'/dt')\ .}$

Прямые и обратные преобразования для этого случая:

Уравнение 13:    ${\displaystyle u_{1}'={\frac {u_{1}-v}{1-u_{1}v/c^{2}}}\ ,}$   ${\displaystyle u_{2}'={\frac {u_{2}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ ,}$   ${\displaystyle u_{3}'={\frac {u_{3}}{\gamma \left(1-u_{1}v/c^{2}\right)}}\ .}$

Уравнение 14:    ${\displaystyle u_{1}={\frac {u_{1}'+v}{1+u_{1}'v/c^{2}}}\ ,}$   ${\displaystyle u_{2}={\frac {u_{2}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ ,}$   ${\displaystyle u_{3}={\frac {u_{3}'}{\gamma \left(1+u_{1}'v/c^{2}\right)}}\ .}$

Уравнение 10 и уравнение 14 может быть истолковано как предоставление равнодействующую двух скоростейии они заменяют формулукоторая действует в относительности Галилея. Интерпретированные таким образом, они обычно называются формулами сложения (или композиции) релятивистских скоростей , действительными для трех осей S и S ' , выровненных друг с другом (хотя не обязательно в стандартной конфигурации). ^{[12] : 47–49}${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {v} }$${\displaystyle \mathbf {u'} ,}$${\displaystyle \mathbf {u=u'+v} }$

Отметим следующие моменты:

• Если бы объект (например, фотон ) двигался со скоростью света в одном кадре (т.е. u = ± c или u ' = ± c ), то он также двигался бы со скоростью света в любом другом кадре, движется в | v | < c .
• Результирующая скорость двух скоростей с величиной меньше c всегда является скоростью с величиной меньше c .
• Если оба | u | и | v | (а также | u ′ | и | v ′ |) малы относительно скорости света (то есть, например, |ты/c| ≪ 1 ), то интуитивные преобразования Галилея восстанавливаются из уравнений преобразования специальной теории относительности
• Присоединение кадра к фотону ( движущемуся по лучу света, как считает Эйнштейн) требует особой обработки преобразований.

В стандартной конфигурации в направлении x нет ничего особенного . Приведенный выше формализм применим к любому направлению; а три ортогональных направления позволяют работать со всеми направлениями в пространстве путем разложения векторов скорости на их компоненты в этих направлениях. См. Подробности в формуле сложения скорости .

Вращение Томаса [ править ]

Комбинация двух неколлинеарных повышений Лоренца (т. Е. Двух неколлинеарных преобразований Лоренца, ни одно из которых не включает вращение) приводит к преобразованию Лоренца, которое не является чистым повышением, а представляет собой композицию повышения и вращения.

Вращение Томаса вытекает из относительности одновременности. На фиг. 4-2a, стержень длиной в ее покоя (т.е., имеющий правильную длину в ) поднимается вертикально вдоль оси у в первом кадре.${\displaystyle L}$${\displaystyle L}$

На рис. 4‑2b тот же стержень виден из рамы ракеты, движущейся вправо со скоростью . Если мы представим два часа, расположенные на левом и правом концах стержня, которые синхронизированы в рамке стержня, относительность одновременности заставляет наблюдателя в рамке ракеты наблюдать (не видеть ) часы на правом конце стержня. как продвигающийся во времени на, и штанга, соответственно, считается наклоненной. ^{[29] : 98–99}${\displaystyle v}$${\displaystyle Lv/c^{2},}$

В отличие от релятивистских эффектов второго порядка, таких как сокращение длины или замедление времени, этот эффект становится весьма значительным даже при довольно низких скоростях. Например, это можно увидеть в спине движущихся частиц , где прецессия Томаса - это релятивистская поправка, которая применяется к спину элементарной частицы или вращению макроскопического гироскопа , связывая угловую скорость вращения частицы, следующей за криволинейная орбита с угловой скоростью орбитального движения. ^{[29] : 169–174}

Вращение Томаса разрешает известный «парадокс метрической палки и отверстия». ^{[стр. 15] [29] : 98–99}

Причинно-следственная связь и запрет движения быстрее света [ править ]

На рис. 4‑3 временной интервал между событиями A («причина») и B («следствие») подобен времени; то есть существует система отсчета, в которой события A и B происходят в одном и том же месте в пространстве , разделенные только тем, что происходят в разное время. Если A предшествует B в этом кадре, то A предшествует B во всех кадрах, доступных для преобразования Лоренца. Материя (или информация) может перемещаться (ниже скорости света) от местоположения A, начиная с момента A, к местоположению B, прибывая во время B, поэтому может быть причинно-следственная связь ( с причиной А и следствием В).

Интервал AC на диаграмме «подобен пространству»; то есть существует система отсчета, в которой события A и C происходят одновременно, разделенные только пространством. Существуют также кадры, в которых A предшествует C (как показано), и кадры, в которых C предшествует A. Однако нет кадров, доступных для преобразования Лоренца, в которых события A и C происходят в одном месте. Если бы между событиями A и C существовала причинно-следственная связь, это привело бы к парадоксу причинно-следственной связи.

Например, если сигналы могут отправляться быстрее света, тогда сигналы могут отправляться в прошлое отправителя (наблюдатель B на диаграммах). ^{[32] [стр. 16]} Тогда можно было бы построить множество причинных парадоксов.

Рассмотрим пространственно-временные диаграммы на рис. 4‑4. A и B стоят рядом с железнодорожным полотном, когда мимо проезжает высокоскоростной поезд, C едет в последнем вагоне поезда, а D едет в ведущем. Мировые линии A и B вертикальны ( ct ), что указывает на неподвижное положение этих наблюдателей на земле, в то время как мировые линии C и D наклонены вперед ( ct ′ ), отражая быстрое движение наблюдателей C и D. неподвижно в своем поезде, если смотреть с земли.

1. Рис. 4‑4a. Событие «B передает сообщение D», когда ведущий автомобиль проезжает мимо, находится в начале кадра D. D отправляет сообщение по поезду к C в заднем вагоне, используя фиктивный «мгновенный коммуникатор». Мировая линия этого сообщения представляет собой жирную красную стрелку вдоль оси, которая представляет собой линию одновременности в выделенных кадрах C и D. В (незаштрихованном) наземном кадре сигнал приходит раньше, чем он был отправлен.${\displaystyle -x'}$
2. Рис. 4‑4b. Событие «C передает сообщение A», который стоит у железнодорожных путей, находится в начале их кадров. Теперь A отправляет сообщение по дорожкам к B через «мгновенный коммуникатор». Мировая линия этого сообщения - синяя толстая стрелка вдоль оси, которая является линией одновременности для кадров A и B. Как видно из пространственно-временной диаграммы, B получит сообщение до того, как отправит его, нарушение причинность. ^[33]${\displaystyle +x}$

Для нарушения причинно-следственной связи необязательно, чтобы сигналы были мгновенными. Даже если бы сигнал от D к C был немного мельче, чем ось (а сигнал от A к B немного круче, чем ось), B все равно мог бы получить свое сообщение до того, как он его отправил. При увеличении скорости поезда до почти скоростей света, то и оси могут быть сжаты очень близко к пунктирной линии , представляющей скорость света. С помощью этой модифицированной установки можно продемонстрировать, что даже сигналы, лишь немного превышающие скорость света, приведут к нарушению причинно-следственной связи. ^[34]${\displaystyle x'}$${\displaystyle x}$${\displaystyle ct'}$${\displaystyle x'}$

Следовательно, если необходимо сохранить причинность , одним из следствий специальной теории относительности является то, что никакой информационный сигнал или материальный объект не может двигаться быстрее света в вакууме.

Это не означает, что все скорости выше скорости света невозможны. Можно описать различные тривиальные ситуации, когда некоторые «вещи» (не реальная материя или энергия) движутся быстрее света. ^[35] Например, место, где луч прожектора попадает в нижнюю часть облака, может двигаться быстрее света при быстром поворачивании прожектора (хотя это не нарушает причинно-следственную связь или любое другое релятивистское явление). ^{[36] [37]}

Оптические эффекты [ править ]

Эффекты перетаскивания [ править ]

В 1850 году Ипполит Физо и Леон Фуко независимо друг от друга установили, что свет движется в воде медленнее, чем в воздухе, тем самым подтвердив предсказание волновой теории света Френеля и опровергнув соответствующее предсказание корпускулярной теории Ньютона . ^[38] Скорость света измерялась в стоячей воде. Какой была бы скорость света в текущей воде?

В 1851 г. Физо провел эксперимент, чтобы ответить на этот вопрос, упрощенное представление которого показано на рис. 5‑1. Луч света разделяется светоделителем, и разделенные лучи проходят в противоположных направлениях через трубку с текущей водой. Они рекомбинированы, чтобы сформировать интерференционные полосы, указывающие на разницу в длине оптического пути, которую может видеть наблюдатель. Эксперимент показал, что перетаскивание света текущей водой вызывает смещение полос, показывая, что движение воды влияет на скорость света.

Согласно теории , преобладающих в то время, свет , проходящий через движущуюся среду будет простой суммой его скорости через среды плюс скорость в среде. Вопреки ожиданиям, Физо обнаружил, что, хотя свет, казалось, увлекался водой, величина затягивания была намного ниже, чем ожидалось. Если - это скорость света в стоячей воде, и - это скорость воды, и - это скорость света, переносимого водой в лабораторном кадре, когда поток воды прибавляет или вычитает скорость света, тогда${\displaystyle u'=c/n}$${\displaystyle v}$${\displaystyle u_{\pm }}$

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)\ .}$

Результаты Физо, хотя и согласовывались с более ранней гипотезой Френеля о частичном увлечении эфира , крайне сбивали с толку физиков того времени. Среди прочего, наличие показателя преломления означало, что, поскольку он зависит от длины волны, эфир должен быть способен выдерживать разные движения одновременно. ^{[примечание 8]} Для объяснения коэффициента увлечения Френеля были предложены различные теоретические объяснения, которые полностью противоречили друг другу. Еще до эксперимента Майкельсона – Морли экспериментальные результаты Физо были среди ряда наблюдений, которые создали критическую ситуацию в объяснении оптики движущихся тел. ^[39]${\displaystyle n}$

С точки зрения специальной теории относительности результат Физо есть не что иное, как приближение к уравнению 10 , релятивистской формуле для композиции скоростей. ^[28]

${\displaystyle u_{\pm }={\frac {u'\pm v}{1\pm u'v/c^{2}}}=}$ ${\displaystyle {\frac {c/n\pm v}{1\pm v/cn}}\approx }$ ${\displaystyle c\left({\frac {1}{n}}\pm {\frac {v}{c}}\right)\left(1\mp {\frac {v}{cn}}\right)\approx }$ ${\displaystyle {\frac {c}{n}}\pm v\left(1-{\frac {1}{n^{2}}}\right)}$

Релятивистская аберрация света [ править ]

Из-за конечной скорости света, если относительные движения источника и приемника включают поперечную составляющую, то направление, из которого свет достигает приемника, будет смещено от геометрического положения в пространстве источника относительно приемника. Классический расчет смещения принимает две формы и дает разные прогнозы в зависимости от того, движутся ли приемник, источник или оба они по отношению к среде. (1) Если приемник находится в движении, смещение будет следствием аберрации света . Угол падения луча относительно приемника можно вычислить из векторной суммы движений приемника и скорости падающего света. ^[40](2) Если источник находится в движении, смещение будет следствием коррекции светового времени . Смещение видимого положения источника от его геометрического положения будет результатом движения источника в течение времени, которое его свету требуется, чтобы достичь приемника. ^[41]

Классическое объяснение не прошло экспериментальную проверку. Поскольку угол аберрации зависит от соотношения между скоростью приемника и скоростью падающего света, прохождение падающего света через преломляющую среду должно изменить угол аберрации. В 1810 году Араго использовал это ожидаемое явление в неудачной попытке измерить скорость света ^[42], а в 1870 году Джордж Эйри проверил эту гипотезу с помощью телескопа, заполненного водой, и обнаружил, что, вопреки ожиданиям, измеренная аберрация была идентична аберрация, измеренная с помощью телескопа, заполненного воздухом. ^[43] «Громоздкая» попытка объяснить эти результаты использовала гипотезу частичного сопротивления эфира ^[44], но была несовместима с результатамиЭксперимент Майкельсона – Морли , который, по-видимому, требовал полного сопротивления эфира. ^[45]

Предполагая инерциальные системы отсчета, релятивистское выражение для аберрации света применимо как к случаям перемещения приемника, так и случая перемещения источника. Было опубликовано множество тригонометрически эквивалентных формул. Выраженные в терминах переменных на рис. 5‑2, они включают ^{[28] : 57–60}

${\displaystyle \cos \theta '={\frac {\cos \theta +v/c}{1+(v/c)\cos \theta }}}$   ИЛИ    ИЛИ${\displaystyle \sin \theta '={\frac {\sin \theta }{\gamma [1+(v/c)\cos \theta ]}}}$      ${\displaystyle \tan {\frac {\theta '}{2}}=\left({\frac {c-v}{c+v}}\right)^{1/2}\tan {\frac {\theta }{2}}}$

Релятивистский эффект Доплера [ править ]

Релятивистский продольный эффект Доплера [ править ]

Классический эффект Доплера зависит от того, движутся ли источник, приемник или и то, и другое по отношению к среде. Релятивистский эффект Доплера не зависит от какой-либо среды. Тем не менее, релятивистский доплеровский сдвиг для продольного случая, когда источник и приемник движутся непосредственно навстречу друг другу или от них, может быть получен, как если бы это было классическое явление, но модифицированное добавлением члена замедления времени, и это трактовка описано здесь. ^{[46] [47]}

Предположим , что приемник и источник движутся вдали друг от друга с относительной скоростью , измеренная наблюдателем на приемнике или источнике (знак конвенция , принятая здесь является то , что является отрицательным , если приемник и источник движутся по направлению друг к другу). Предположим, что источник неподвижен в среде. потом${\displaystyle v\,}$${\displaystyle v\,}$

${\displaystyle f_{r}=(1-v/c_{s})f_{s}}$

где скорость звука.${\displaystyle c_{s}}$

Для света и с приемником, движущимся с релятивистской скоростью, часы на приемнике имеют замедление по времени относительно часов в источнике. Приемник будет измерять принимаемую частоту, чтобы

${\displaystyle f_{r}=\gamma (1-\beta )f_{s}}$ ${\displaystyle ={\sqrt {\frac {1-\beta }{1+\beta }}}\,f_{s}.}$

куда

${\displaystyle \beta =v/c}$    и

${\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-\beta ^{2}}}}}$    - фактор Лоренца .

Идентичное выражение для релятивистского доплеровского сдвига получается при проведении анализа в системе отсчета приемника с движущимся источником. ^{[48] [19]}

Поперечный эффект Доплера [ править ]

Поперечный эффект Доплера - одно из главных новых предсказаний специальной теории относительности.

Классически можно было бы ожидать, что если источник и приемник движутся поперек друг друга без продольной составляющей их относительных движений, то не должно быть доплеровского сдвига в свете, поступающем на приемник.

Специальная теория относительности предсказывает иное. На рис. 5‑3 показаны два распространенных варианта этого сценария. Оба варианта можно проанализировать, используя простые аргументы замедления времени. ^[19] На рис. 5‑3a приемник видит свет от источника с синим смещением в 1 раз . На рис. 5‑3b свет смещен в красную сторону с тем же коэффициентом.${\displaystyle \gamma }$

Измерение в сравнении с внешним видом [ править ]

Замедление времени и сокращение длины - это не оптические иллюзии, а реальные эффекты. Измерения этих эффектов не являются артефактом доплеровского сдвига и не являются результатом игнорирования времени, которое требуется свету, чтобы пройти от события до наблюдателя.

Ученые проводят фундаментальное различие между измерением или наблюдением, с одной стороны, и внешним видом или тем, что человек видит . Измеренная форма объекта - это гипотетический снимок всех точек объекта, существующих в один момент времени. Однако на внешний вид объекта влияет различная продолжительность времени, которое требуется свету, чтобы пройти от разных точек объекта к глазу.

В течение многих лет различие между ними не ценилось в целом, и обычно считалось, что объект с сокращенной длиной, проходящий мимо наблюдателя, на самом деле будет рассматриваться как сокращенный по длине. В 1959 году Джеймс Террелл и Роджер Пенроуз независимо друг от друга указали, что эффекты дифференциальной временной задержки в сигналах, доходящих до наблюдателя от разных частей движущегося объекта, приводят к тому, что внешний вид быстро движущегося объекта сильно отличается от его измеренной формы. Например, удаляющийся объект будет казаться сжатым, приближающийся объект будет казаться удлиненным, а проходящий объект будет иметь вид перекоса, который можно сравнить с вращением. ^{[стр. 19] [стр. 20][49] [50]} Движущаяся сфера сохраняет вид сферы, хотя изображения на поверхности сферы будут казаться искаженными. ^[51]

На рис. 5‑4 показан куб, если смотреть с расстояния, в четыре раза превышающего длину его сторон. На высоких скоростях стороны куба, перпендикулярные направлению движения, выглядят гиперболическими. Куб фактически не вращается. Скорее, свету задней части куба требуется больше времени, чтобы достичь глаз по сравнению со светом спереди, в течение которого куб переместился вправо. Эта иллюзия стала известна как вращение Террелла или эффект Террелла – Пенроуза . ^{[примечание 9]}

Другой пример, когда внешний вид расходится с измерениями, - это наблюдение видимого сверхсветового движения в различных радиогалактиках , объектах BL Lac , квазарах и других астрономических объектах, которые выбрасывают струи вещества с релятивистской скоростью под узкими углами по отношению к наблюдателю. В результате возникает кажущаяся оптическая иллюзия, создающая впечатление движения быстрее скорости света. ^{[52] [53] [54]} На Рис. 5‑5 галактика M87излучает высокоскоростную струю субатомных частиц почти прямо к нам, но вращение Пенроуза-Террелла заставляет струю казаться движущейся вбок таким же образом, как куб на рис. 5-4 был растянут. ^[55]

Динамика [ править ]

Раздел " Последствия" преобразования Лоренца касался строго кинематики , изучения движения точек, тел и систем тел без учета сил, вызывающих движение. В этом разделе обсуждаются массы, силы, энергия и так далее, и поэтому необходимо учитывать физические эффекты, выходящие за рамки тех, которые охватываются самим преобразованием Лоренца.

Эквивалентность массы и энергии [ править ]

По мере того, как скорость объекта приближается к скорости света с точки зрения наблюдателя, его релятивистская масса увеличивается, тем самым делая его все более и более трудным для ускорения изнутри системы отсчета наблюдателя.

Энергосодержание покоящегося объекта с массой m равно mc ² . Сохранение энергии означает, что в любой реакции уменьшение суммы масс частиц должно сопровождаться увеличением кинетической энергии частиц после реакции. Точно так же массу объекта можно увеличить, принимая кинетическую энергию.

В дополнение к упомянутым выше статьям, в которых дается вывод преобразования Лоренца и описываются основы специальной теории относительности, Эйнштейн также написал по крайней мере четыре статьи, в которых приводятся эвристические аргументы в пользу эквивалентности (и трансмутируемости) массы и энергии для E = mc ² .

Эквивалентность массы и энергии является следствием специальной теории относительности. Энергия и импульс, которые разделены в механике Ньютона, образуют четырехвектор в теории относительности, и это связывает временную составляющую (энергию) с пространственными компонентами (импульсом) нетривиальным образом. Для объекта в состоянии покоя четырехвектор энергии-импульса равен ( E / c , 0, 0, 0) : он имеет компонент времени, который является энергией, и три компонента пространства, которые равны нулю. Путем изменения системы отсчета с преобразованием Лоренца в направлении x с малым значением скорости v четырехвектор энергии-импульса становится ( E / c , Ev / c ² , 0, 0). Импульс равен энергии, умноженной на скорость, деленную на c ² . Таким образом, ньютоновская масса объекта, которая представляет собой отношение количества движения к скорости для медленных скоростей, равна E / c ² .

Энергия и импульс являются свойствами материи и излучения, и невозможно сделать вывод, что они образуют четырехмерный вектор только из двух основных постулатов специальной теории относительности сами по себе, потому что они не говорят о материи или излучении, они только говорят о пространстве и времени. Поэтому вывод требует некоторых дополнительных физических рассуждений. В своей статье 1905 года Эйнштейн использовал дополнительные принципы, которые ньютоновская механика должна соблюдать для медленных скоростей, так что существует один скаляр энергии и один трехвекторный импульс для медленных скоростей, и что закон сохранения энергии и импульса в точности верен в теории относительности. . Кроме того, он предположил, что энергия света преобразуется тем же фактором доплеровского сдвига, что и его частота, что он ранее доказал на основе уравнений Максвелла.^{[стр. 1]}Первой из статей Эйнштейна на эту тему была «Зависит ли инерция тела от его энергоемкости?» в 1905 г. ^{[стр. 21]} Хотя аргумент Эйнштейна в этой статье почти повсеместно признается физиками как правильный, даже самоочевидный, многие авторы на протяжении многих лет полагали, что это неверно. ^[56] Другие авторы предполагают, что этот аргумент был просто неубедительным, потому что он опирался на некоторые неявные предположения. ^[57]

Эйнштейн признал наличие разногласий по поводу своего вывода в своей обзорной статье 1907 года по специальной теории относительности. Там он отмечает, что полагаться на уравнения Максвелла для эвристического аргумента масса – энергия проблематично. Аргументация в его статье 1905 года может быть проведена с использованием излучения любых безмассовых частиц, но уравнения Максвелла неявно используются, чтобы сделать очевидным, что излучение света, в частности, может быть достигнуто только путем выполнения работы. Чтобы излучить электромагнитные волны, все, что вам нужно сделать, это встряхнуть заряженную частицу, и она явно выполняет работу, так что излучение имеет энергию. ^{[стр. 22] [примечание 10]}

Как далеко можно уехать от Земли? [ редактировать ]

Поскольку человек не может путешествовать быстрее света, можно сделать вывод, что человек никогда не сможет путешествовать дальше от Земли, чем на 40 световых лет, если путешественник будет активен в возрасте от 20 до 60 лет. Можно легко подумать, что путешественник никогда не сможет достигают большего, чем очень немногие солнечные системы, существующие в пределах 20–40 световых лет от Земли. Но это было бы ошибочным выводом. Из-за замедления времени гипотетический космический корабль может путешествовать на тысячи световых лет в течение 40 лет активности пилота. Если бы можно было построить космический корабль с постоянным ускорением в 1 g , то менее чем через год он будет лететь почти со скоростью света, если смотреть с Земли. Это описывается:

${\displaystyle v(t)={\frac {at}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}t^{2}}{c^{2}}}}}}}$

где v ( t ) - скорость в момент времени t , a - ускорение в 1 g, а t - время, измеренное людьми на Земле. ^{[стр. 23]} Следовательно, после одного года ускорения со скоростью 9,81 м / с ² космический корабль будет лететь со скоростью v = 0,77 c.относительно Земли. Замедление времени увеличит продолжительность жизни путешественника, как видно из системы отсчета Земли, до 2,7 лет, но продолжительность его жизни, измеренная часами, путешествующими с ним, не изменится. Во время своего путешествия люди на Земле проведут больше времени, чем он. Пятилетний полет туда и обратно займет 6,5 земных лет и преодолеет расстояние более 6 световых лет. 20-летний полет туда и обратно (5 лет ускорения, 5 лет замедления, дважды каждое) вернет его обратно на Землю, пройдя 335 земных лет и расстояние в 331 световой год. ^[58] Полное 40-летнее путешествие на 1 g на Земле будет длиться 58 000 лет и преодолевать расстояние в 55 000 световых лет. 40-летнее путешествие при 1,1 гзаймет 148 000 земных лет и покроет около 140 000 световых лет. Путешествие в один конец в течение 28 лет (14 лет с ускорением, 14 лет с замедлением по часам астронавта) с ускорением 1 g может достичь 2000000 световых лет до Галактики Андромеды. ^[58] Это же замедление времени является причиной того, что мюон, путешествующий близко к точке c, проходит гораздо дальше, чем время его полураспада в c раз (в состоянии покоя). ^[59]

Относительность и объединяющий электромагнетизм [ править ]

Теоретические исследования классического электромагнетизма привели к открытию распространения волн. Уравнения, обобщающие электромагнитные эффекты, показали, что конечная скорость распространения полей E и B требует определенного поведения заряженных частиц. Общее исследование движущихся зарядов формирует потенциал Льенара – Вихерта , который является шагом к специальной теории относительности.

Преобразование Лоренца электрического поля движущегося заряда в систему отсчета неподвижного наблюдателя приводит к появлению математического термина, обычно называемого магнитным полем . И наоборот, магнитное поле, создаваемое движущимся зарядом, исчезает и становится чисто электростатическим полем в сопутствующей системе отсчета. Таким образом , уравнения Максвелла просто эмпирически соответствуют особым релятивистским эффектам в классической модели Вселенной. Поскольку электрическое и магнитное поля зависят от системы отсчета и, таким образом, взаимосвязаны, говорят об электромагнитном поле.поля. Специальная теория относительности предоставляет правила преобразования того, как электромагнитное поле в одной инерциальной системе отсчета появляется в другой инерциальной системе отсчета.

Уравнения Максвелла в трехмерной форме уже согласуются с физическим содержанием специальной теории относительности, хотя ими легче манипулировать в явно ковариантной форме, то есть на языке тензорного исчисления. ^[60]

Теории относительности и квантовая механика [ править ]

Специальную теорию относительности можно объединить с квантовой механикой, чтобы сформировать релятивистскую квантовую механику и квантовую электродинамику . Как можно объединить общую теорию относительности и квантовую механику - одна из нерешенных проблем физики ; квантовая гравитация и « теория всего », которые требуют объединения, включая общую теорию относительности, являются активными и продолжающимися областями теоретических исследований.

Ранний Бор-Зоммерфельд атомная модель объясняет тонкую структуру из щелочных металлов атомов , используя как специальную теорию относительности и предварительное знание о квантовой механике того времени. ^[61]

В 1928 году Поль Дирак построил влиятельное релятивистское волновое уравнение , известное теперь как уравнение Дирака в его честь ^{[стр. 24]} , которое полностью совместимо как со специальной теорией относительности, так и с последней версией квантовой теории, существовавшей после 1926 года. Это уравнение не только описать собственный угловой момент электронов, называемый спином , это также привело к предсказанию античастицы электрона ( позитрона ), ^{[стр. 24] [стр. 25],} а тонкую структуру можно полностью объяснить только с помощью специальной теории относительности. Это было первое основание релятивистской квантовой механики .

С другой стороны, существование античастиц приводит к выводу, что релятивистской квантовой механики недостаточно для более точной и полной теории взаимодействий частиц. Вместо этого становится необходимой теория частиц, интерпретируемая как квантованные поля, называемая квантовой теорией поля ; в котором частицы могут создаваться и разрушаться в пространстве и времени.

Статус [ изменить ]

Специальная теория относительности в пространстве - времени Минковского является точным только тогда , когда абсолютное значение от гравитационного потенциала гораздо меньше , чем с ² в интересующей области. ^[62] В сильном гравитационном поле нужно использовать общую теорию относительности . Общая теория относительности становится специальной теорией относительности на пределе слабого поля. В очень малых масштабах, таких как длина Планка и ниже, необходимо учитывать квантовые эффекты, приводящие к квантовой гравитации . Однако на макроскопических масштабах и в отсутствие сильных гравитационных полей специальная теория относительности экспериментально проверена с чрезвычайно высокой степенью точности (10⁻²⁰ ) ^[63] и, таким образом, приняты физическим сообществом. Экспериментальные результаты, которые кажутся противоречащими этому, не воспроизводятся и, таким образом, широко считается, что они вызваны экспериментальными ошибками.

Специальная теория относительности математически самосогласованной, и она является органической частью всех современных физических теорий, прежде всего квантовой теории поля , теории струн и общей теории относительности (в предельном случае пренебрежимо малых гравитационных полей).

Механика Ньютона математически следует из специальной теории относительности при малых скоростях (по сравнению со скоростью света) - таким образом, механику Ньютона можно рассматривать как специальную теорию относительности медленно движущихся тел. См. Классическую механику для более подробного обсуждения.

Несколько экспериментов, предшествовавших работе Эйнштейна 1905 года, теперь интерпретируются как свидетельство теории относительности. Известно, что Эйнштейн знал об эксперименте Физо до 1905 года ^[64], и историки пришли к выводу, что Эйнштейн знал об эксперименте Майкельсона-Морли еще в 1899 году, несмотря на заявления, которые он делал в более поздние годы, что он не сыграл никакой роли. роль в его развитии теории. ^[14]

• Эксперимент Физо (1851, повторил Майкельсона и Морли в 1886 году) измерили скорость света в движущейся среде, с результатами, которые согласуются с релятивистского сложения коллинеарных скоростей.
• Известным Майкельсона-Морли (1881, 1887) дал дальнейшую поддержку постулата , что определение абсолютного опорного скорость была не достижима. Здесь следует отметить, что, вопреки многим альтернативным утверждениям, он мало говорит об инвариантности скорости света относительно скорости источника и наблюдателя, поскольку и источник, и наблюдатель все время движутся вместе с одной и той же скоростью.
• Эксперимент Троутона-Нобл (1903) показали , что крутящий момент на конденсаторе не зависит от положения и инерциальной системе отсчета.
• В экспериментах Рэлея и Brace (1902, 1904) показали , что сокращение длины не приводит к двулучепреломлению для совместного перемещения наблюдателя, в соответствии с принципом относительности.

Ускорители элементарных частиц обычно ускоряют и измеряют свойства частиц, движущихся со скоростью, близкой к скорости света, где их поведение полностью соответствует теории относительности и несовместимо с ранней ньютоновской механикой . Эти машины просто не работали бы, если бы они не были спроектированы в соответствии с релятивистскими принципами. Кроме того, было проведено значительное количество современных экспериментов для проверки специальной теории относительности. Некоторые примеры:

• Тесты релятивистской энергии и импульса - проверка предельной скорости частиц
• Эксперимент Айвса – Стилвелла - проверка релятивистского эффекта Доплера и замедления времени
• Экспериментальная проверка замедления времени - релятивистские эффекты на период полураспада быстро движущейся частицы
• Эксперимент Кеннеди – Торндайка - замедление времени в соответствии с преобразованиями Лоренца.
• Эксперимент Хьюза – Древера - проверка изотропии пространства и массы
• Современные поиски нарушения Лоренца - различные современные тесты
• Эксперименты по проверке теории излучения показали, что скорость света не зависит от скорости излучателя.
• Эксперименты по проверке гипотезы сопротивления эфира - отсутствие «препятствий потоку эфира».

Техническое обсуждение пространства-времени [ править ]

Геометрия пространства-времени [ править ]

Сравнение плоского евклидова пространства и пространства Минковского [ править ]

Специальная теория относительности использует «плоское» 4-мерное пространство Минковского - пример пространства-времени . Пространство-время Минковского кажется очень похожим на стандартное трехмерное евклидово пространство , но есть существенное различие во времени.

В трехмерном пространстве дифференциал расстояния (линейный элемент) ds определяется как

${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2},}$

где d x = ( dx ₁ , dx ₂ , dx ₃ ) - дифференциалы трех пространственных измерений. В геометрии Минковского есть дополнительное измерение с координатой X ^0, полученной из времени, так что дифференциал расстояний удовлетворяет

${\displaystyle ds^{2}=-dX_{0}^{2}+dX_{1}^{2}+dX_{2}^{2}+dX_{3}^{2},}$

где d X = ( dX ₀ , dX ₁ , dX ₂ , dX ₃ ) - дифференциалы четырех измерений пространства-времени. Это предполагает глубокое теоретическое понимание: специальная теория относительности - это просто вращательная симметрия нашего пространства-времени, аналогичная вращательной симметрии евклидова пространства (см. Рис. 10‑1). ^[66] Так же, как евклидово пространство использует евклидову метрику , пространство-время использует метрику Минковского .По сути, специальная теория относительности может быть сформулирована как инвариантность любого пространственно-временного интервала (то есть четырехмерного расстояния между любыми двумя событиями) при просмотре из любой инерциальной системы отсчета . Все уравнения и эффекты специальной теории относительности могут быть выведены из этой вращательной симметрии ( группы Пуанкаре ) пространства-времени Минковского.

Фактическая форма ds выше зависит от метрики и от выбора координаты X ⁰ . Чтобы временная координата выглядела как пространственная, ее можно рассматривать как мнимую : X ₀ = ict (это называется вращением Вика ). Согласно Мизнеру, Торну и Уиллеру (1971, §2.3), в конечном итоге более глубокое понимание как специальной, так и общей теории относительности придет из изучения метрики Минковского (описанной ниже) и принятия X ⁰ = ct , а не «замаскированного» «Евклидова метрика с использованием ict в качестве временной координаты.

Некоторые авторы используют X ⁰ = t с коэффициентами c в другом месте для компенсации; например, пространственные координаты делятся на c или множители c ^{± 2} включаются в метрический тензор. ^[67] Эти многочисленные условные обозначения можно заменить использованием натуральных единиц, где c = 1 . Тогда пространство и время имеют эквивалентные единицы, и никакие множители c нигде не появляются.

3D пространство-время [ править ]

Если мы уменьшим пространственные измерения до 2, чтобы мы могли представить физику в трехмерном пространстве

${\displaystyle ds^{2}=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2},}$

мы видим, что нулевые геодезические лежат вдоль двойного конуса (см. рис. 10‑2), определяемого уравнением;

${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}-c^{2}dt^{2}}$

или просто

${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}=c^{2}dt^{2},}$

 что является уравнением окружности радиуса  c dt .

4D пространство-время [ править ]

Если мы расширим это до трех пространственных измерений, нулевые геодезические будут 4-мерным конусом:

${\displaystyle ds^{2}=0=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}-c^{2}dt^{2}}$

так

${\displaystyle dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}=c^{2}dt^{2}.}$

Как показано на рис. 10‑3, нулевые геодезические можно визуализировать как набор непрерывных концентрических сфер с радиусом =  c dt .

Этот нулевой двойной конус представляет собой «линию обзора» точки в пространстве. То есть, когда мы смотрим на звезды и говорим: «Свету той звезды, которую я принимаю, исполнилось X лет», мы смотрим вниз по этому лучу зрения: нулевая геодезическая. Мы смотрим на событие на расстоянии и время d / c в прошлом. По этой причине нулевой двойной конус также известен как «световой конус». (Точка в нижнем левом углу рис. 10‑2 представляет звезду, начало координат представляет наблюдателя, а линия представляет собой нулевую геодезическую «линию обзора».)${\displaystyle d={\sqrt {x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+x_{3}^{2}}}}$

Конус в области - t - это информация, которую точка «принимает», а конус в разделе + t - это информация, которую точка «отправляет».

Геометрию пространства Минковского можно изобразить с помощью диаграмм Минковского , которые также полезны для понимания многих мысленных экспериментов в специальной теории относительности.

Обратите внимание, что в 4-м пространстве-времени концепция центра масс становится более сложной, см. Центр масс (релятивистский) .

Физика в пространстве-времени [ править ]

Преобразования физических величин между системами отсчета [ править ]

Выше преобразование Лоренца для временной координаты и трех пространственных координат показывает, что они взаимосвязаны. Это верно в более общем смысле: определенные пары «времениподобных» и «пространственноподобных» величин естественно объединяются на равных основаниях при одном и том же преобразовании Лоренца.

Преобразование Лоренца в стандартной конфигурации, приведенное выше, то есть для увеличения в направлении x , может быть преобразовано в матричную форму следующим образом:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\\y'\\z'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &0&0\\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\gamma ct-\gamma \beta x\\\gamma x-\beta \gamma ct\\y\\z\end{pmatrix}}.}$

В механике Ньютона величины, которые имеют величину и направление, математически описываются как трехмерные векторы в евклидовом пространстве, и, как правило, они параметризованы временем. В специальной теории относительности это понятие расширяется путем добавления соответствующей времениподобной величины к пространственно-подобной векторной величине, и у нас есть 4d-векторы, или « четыре вектора » в пространстве-времени Минковского. Компоненты векторов записываются с использованием обозначения тензорного индекса , так как это дает множество преимуществ. Из обозначений видно, что уравнения явно ковариантны относительно группы Пуанкаре, минуя утомительные вычисления, чтобы проверить этот факт. При построении таких уравнений мы часто обнаруживаем, что уравнения, которые ранее считались несвязанными, на самом деле тесно связаны, являясь частью одного и того же тензорного уравнения. Признание других физических величин тензорами упрощает их законы преобразования. Повсюду верхние индексы (верхние индексы) являются контравариантными индексами, а не показателями степени, за исключением случаев, когда они указывают на квадрат (это должно быть ясно из контекста), а нижние индексы (индексы) являются ковариантными индексами. Для простоты и согласованности с предыдущими уравнениями будут использоваться декартовы координаты.

Простейший пример четырехмерного вектора является позиция события в пространстве - времени, который представляет собой компонент времениподобная кт и пространственноподобный компонент х = ( х , у , г ) , в контравариантного положении четыре вектора с компонентами:

${\displaystyle X^{\nu }=(X^{0},X^{1},X^{2},X^{3})=(ct,x,y,z)=(ct,\mathbf {x} ).}$

где мы определяем X ⁰ = ct, так что координата времени имеет такое же измерение расстояния, как и другие пространственные измерения; так что пространство и время рассматриваются одинаково. ^{[68] [69] [70]} Теперь преобразование контравариантных компонент 4-вектора позиции можно компактно записать как:

${\displaystyle X^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }X^{\nu }}$

где есть подразумеваемое суммирование по от 0 до 3, и является матрицей .${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

В более общем смысле, все контравариантные компоненты четырехвекторного преобразования из одного кадра в другой с помощью преобразования Лоренца :${\displaystyle T^{\nu }}$

${\displaystyle T^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }T^{\nu }}$

Примеры других 4-векторов включают в себя 4-скорость, определенную как производную 4-вектора положения по собственному времени :${\displaystyle U^{\mu },}$

${\displaystyle U^{\mu }={\frac {dX^{\mu }}{d\tau }}=\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\gamma (v)(c,\mathbf {v} ).}$

где фактор Лоренца:

${\displaystyle \gamma (v)={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {v}{c}}\right)^{2}}}}\qquad v^{2}=v_{x}^{2}+v_{y}^{2}+v_{z}^{2}.}$

Релятивистская энергия и релятивистский импульс объекта соответственно времениподобные и пространственноподобные компоненты контравариантного четыре импульса вектора:${\displaystyle E=\gamma (v)mc^{2}}$ ${\displaystyle \mathbf {p} =\gamma (v)m\mathbf {v} }$

${\displaystyle P^{\mu }=mU^{\mu }=m\gamma (v)(c,v_{x},v_{y},v_{z})=\left({\frac {E}{c}},p_{x},p_{y},p_{z}\right)=\left({\frac {E}{c}},\mathbf {p} \right).}$

где m - инвариантная масса .

Четыре ускорения является надлежащей производной по времени от 4-скорости:

${\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}.}$

Правила преобразования для трехмерных скоростей и ускорений очень неудобны; даже выше, в стандартной конфигурации уравнения скорости довольно сложны из-за их нелинейности. С другой стороны, преобразование четырехскоростей и четырех ускорений проще с помощью матрицы преобразования Лоренца.

Четыре градиента о наличии скалярного поля ф преобразований ковариантно , а не контравариантно:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t'}}&{\frac {\partial \phi }{\partial x'}}&{\frac {\partial \phi }{\partial y'}}&{\frac {\partial \phi }{\partial z'}}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \phi }{\partial t}}&{\frac {\partial \phi }{\partial x}}&{\frac {\partial \phi }{\partial y}}&{\frac {\partial \phi }{\partial z}}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}\gamma &+\beta \gamma &0&0\\+\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}.}$

который является транспонированием:

${\displaystyle (\partial _{\mu '}\phi )=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }(\partial _{\nu }\phi )\qquad \partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}.}$

только в декартовых координатах. Это ковариантная производная, которая преобразуется в явную ковариацию, в декартовых координатах это происходит с уменьшением до частных производных, но не в других координатах.

В более общем смысле, ковариантные компоненты 4-векторного преобразования согласно обратному преобразованию Лоренца:

${\displaystyle T_{\mu '}=\Lambda _{\mu '}{}^{\nu }T_{\nu },}$

где - обратная матрица .${\displaystyle \Lambda _{\mu '}{}^{\nu }}$${\displaystyle \Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }}$

Постулаты специальной теории относительности ограничивают точную форму, которую принимают матрицы преобразования Лоренца.

В более общем смысле, большинство физических величин лучше всего описывать как (компоненты) тензоров . Поэтому для перехода от одной системы отсчета к другой мы используем известный закон тензорного преобразования ^[71]

${\displaystyle T_{\theta '\iota '\cdots \kappa '}^{\alpha '\beta '\cdots \zeta '}=\Lambda ^{\alpha '}{}_{\mu }\Lambda ^{\beta '}{}_{\nu }\cdots \Lambda ^{\zeta '}{}_{\rho }\Lambda _{\theta '}{}^{\sigma }\Lambda _{\iota '}{}^{\upsilon }\cdots \Lambda _{\kappa '}{}^{\phi }T_{\sigma \upsilon \cdots \phi }^{\mu \nu \cdots \rho }}$

где - обратная матрица . Все тензоры преобразуются по этому правилу.${\displaystyle \Lambda _{\chi '}{}^{\psi }}$${\displaystyle \Lambda ^{\chi '}{}_{\psi }}$

Примером четырехмерного антисимметричного тензора второго порядка является релятивистский угловой момент , который имеет шесть компонентов: три являются классическим угловым моментом , а другие три связаны с усилением центра масс системы. Производная релятивистского углового момента по собственному времени - это релятивистский момент, который также является антисимметричным тензором второго порядка .

Тензор электромагнитного поля является еще второго порядка антисимметричным тензорное поле , с шестью компонентами: три для электрического поля и еще три для магнитного поля . Существует также тензор напряжения-энергии для электромагнитного поля, а именно электромагнитный тензор напряжения-энергии .

Метрика [ править ]

Метрический тензор позволяет определить скалярное произведение двух векторов, которые , в свою очередь , позволяют назначить величину к вектору. Учитывая четырехмерную природу пространства-времени, метрика Минковского η имеет компоненты (действительные с подходящим образом выбранными координатами), которые можно упорядочить в матрицу 4 × 4 :

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }={\begin{pmatrix}-1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}}$

который равен его обратной,, в этих кадрах. Повсюду мы используем знаки, как указано выше, разные авторы используют разные соглашения - см. Альтернативные метрические знаки Минковского .${\displaystyle \eta ^{\alpha \beta }}$

Группа Пуанкаре - это наиболее общая группа преобразований, сохраняющая метрику Минковского:

${\displaystyle \eta _{\alpha \beta }=\eta _{\mu '\nu '}\Lambda ^{\mu '}{}_{\alpha }\Lambda ^{\nu '}{}_{\beta }}$

и это физическая симметрия, лежащая в основе специальной теории относительности.

Метрика может использоваться для повышения и понижения индексов векторов и тензоров. Инварианты могут быть построены с использованием метрики, скалярное произведение 4-вектора T на другой 4-вектор S :

${\displaystyle T^{\alpha }S_{\alpha }=T^{\alpha }\eta _{\alpha \beta }S^{\beta }=T_{\alpha }\eta ^{\alpha \beta }S_{\beta }={\text{invariant scalar}}}$

Инвариантность означает, что она принимает одно и то же значение во всех инерциальных системах отсчета, потому что это скаляр (тензор 0 ранга), и поэтому в его тривиальном преобразовании не появляется Λ. Величина 4-вектора T - это положительный квадратный корень из внутреннего произведения с самим собой:

${\displaystyle |\mathbf {T} |={\sqrt {T^{\alpha }T_{\alpha }}}}$

Эту идею можно распространить на тензоры более высокого порядка, для тензора второго порядка мы можем сформировать инварианты:

${\displaystyle T^{\alpha }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\alpha },T^{\alpha }{}_{\beta }T^{\beta }{}_{\gamma }T^{\gamma }{}_{\alpha }={\text{invariant scalars}},}$

аналогично для тензоров высших порядков. Инвариантные выражения, особенно скалярные произведения 4-векторов с самими собой, предоставляют уравнения, которые полезны для вычислений, потому что нет необходимости выполнять преобразования Лоренца для определения инвариантов.

Релятивистская кинематика и инвариантность [ править ]

Координатные дифференциалы также преобразуются контрвариантно:

${\displaystyle dX^{\mu '}=\Lambda ^{\mu '}{}_{\nu }dX^{\nu }}$

так что квадрат длины дифференциала позиционного четырехвектора dX ^μ, построенный с использованием

${\displaystyle d\mathbf {X} ^{2}=dX^{\mu }\,dX_{\mu }=\eta _{\mu \nu }\,dX^{\mu }\,dX^{\nu }=-(cdt)^{2}+(dx)^{2}+(dy)^{2}+(dz)^{2}\,}$

инвариант. Обратите внимание, что когда линейный элемент d X ² отрицателен, √ - d X ² является дифференциалом собственного времени , а когда d X ² положительно, √ d X ² является дифференциалом надлежащего расстояния .

4-скорость U ^μ имеет инвариантный вид:

${\displaystyle {\mathbf {U} }^{2}=\eta _{\nu \mu }U^{\nu }U^{\mu }=-c^{2}\,,}$

что означает, что все четыре вектора скорости имеют величину c . Это выражение того факта, что в теории относительности не бывает координатного покоя: по крайней мере, вы всегда движетесь вперед во времени. Дифференцирование приведенного выше уравнения на τ дает:

${\displaystyle 2\eta _{\mu \nu }A^{\mu }U^{\nu }=0.}$

Итак, в специальной теории относительности четырехвектор ускорения и четырехвектор скорости ортогональны.

Релятивистская динамика и инвариантность [ править ]

Инвариантная величина 4-вектора импульса порождает соотношение энергия-импульс :

${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=\eta ^{\mu \nu }P_{\mu }P_{\nu }=-\left({\frac {E}{c}}\right)^{2}+p^{2}.}$

Мы можем выяснить, что это за инвариант, сначала аргументируя это тем, что, поскольку он является скаляром, не имеет значения, в какой системе отсчета мы его вычисляем, а затем преобразовав его в систему отсчета, в которой полный импульс равен нулю.

${\displaystyle \mathbf {P} ^{2}=-\left({\frac {E_{\mathrm {rest} }}{c}}\right)^{2}=-(mc)^{2}.}$

Мы видим, что энергия покоя - независимый инвариант. Энергию покоя можно вычислить даже для движущихся частиц и систем путем перевода в систему отсчета, в которой импульс равен нулю.

Энергия покоя связана с массой согласно знаменитому уравнению, обсужденному выше:

${\displaystyle E_{\mathrm {rest} }=mc^{2}.}$

Масса систем, измеренная в их системе координат центра импульса (где полный импульс равен нулю), определяется полной энергией системы в этой системе отсчета. Он может не совпадать с суммой масс отдельных систем, измеренных в других кадрах.

Чтобы использовать третий закон движения Ньютона , обе силы должны быть определены как скорость изменения количества движения относительно одной и той же временной координаты. То есть для этого требуется трехмерная сила, определенная выше. К сожалению, в 4D нет тензора, который содержит среди своих компонентов компоненты трехмерного вектора силы.

Если частица не движется в точке c , можно преобразовать трехмерную силу из системы координат, движущейся вместе с частицей, в систему координат наблюдателя. Это дает 4-вектор, называемый четырьмя силами . Это скорость изменения вышеуказанного четырехвектора импульса энергии по отношению к собственному времени. Ковариантная версия четырехсиловой системы:

${\displaystyle F_{\nu }={\frac {dP_{\nu }}{d\tau }}=mA_{\nu }}$

В системе покоя объекта временная составляющая четырех сил равна нулю, если только « инвариантная масса » объекта не меняется (для этого требуется незамкнутая система, в которой энергия / масса напрямую добавляются или удаляются из объекта. ), и в этом случае это отрицательное значение скорости изменения массы, умноженное на c . В общем, однако, компоненты четырех сил не равны компонентам трех сил, потому что три силы определяются скоростью изменения количества движения относительно координатного времени, то есть dp / dt, в то время как Четыре силы определяются скоростью изменения количества движения относительно собственного времени, то есть dp / d τ.

В сплошной среде трехмерная плотность силы в сочетании с плотностью мощности образует ковариантный 4-вектор. Пространственная часть - результат деления силы, действующей на маленькую ячейку (в 3-м пространстве), на объем этой ячейки. Компонент времени равен -1 / c, умноженной на мощность, передаваемую в эту ячейку, деленную на ее объем. Это будет использовано ниже в разделе по электромагнетизму.

См. Также [ править ]

Люди : Хендрик Лоренц | Анри Пуанкаре | Альберт Эйнштейн | Макс Планк | Герман Минковский | Макс фон Лауэ | Арнольд Зоммерфельд | Макс Борн | Густав Херглотц | Ричард К. Толмен

Относительность : теория относительности | История специальной теории относительности | Принцип относительности | Двойная специальная теория относительности | Общая теория относительности | Круг ведения | Инерциальная система отсчета | Преобразования Лоренца | Бонди k-исчисление | Синхронизация Эйнштейна | Аргумент Ритдейка – Патнэма | Специальная теория относительности (альтернативные формулировки) | Критика теории относительности | Спор о приоритете относительности

Физика : мысленные эксперименты Эйнштейна | Ньютоновская механика | пространство-время | скорость света | одновременность | центр масс (релятивистский) | физическая космология | Эффект Доплера | релятивистские уравнения Эйлера | Гипотеза сопротивления эфира | Теория эфира Лоренца | Проблема движущегося магнита и проводника | Форма волны | Релятивистская теплопроводность | Релятивистский диск | Прецессия Томаса | Родилась жесткость| Родившиеся координаты

Математика : Вывод преобразований Лоренца | Пространство Минковского | четырехвекторный | мировая линия | световой конус | Группа Лоренца | Группа Пуанкаре | геометрия | тензоры | сплит-комплексное число | Относительность в формализме APS

Философия : актуализм | условность | формализм

Парадоксы : Парадокс близнецов | Парадокс Эренфеста | Парадокс лестницы | Парадокс космического корабля Белла | Парадокс скоростной композиции | Парадокс маяка

Примечания [ править ]

Первоисточники [ править ]

Ссылки [ править ]