Парадокс Эренфеста

В эренфестовском парадоксе касается вращения «жесткого» диска в теории относительности .

В своей первоначальной формулировке 1909 года, представленной Полом Эренфестом в связи с концепцией жесткости Борна в рамках специальной теории относительности , ^[1] обсуждается идеально жесткий цилиндр, который вращается вокруг своей оси симметрии. ^[2] Радиус R, видимый в лабораторной системе координат, всегда перпендикулярен его движению и, следовательно, должен быть равен его значению R _{0 в} неподвижном состоянии. Однако окружность (2 π R ) должна казаться лоренц-сжатой до меньшего значения, чем в состоянии покоя, на обычный коэффициент γ. Это приводит к противоречию, что R  =  R ₀ и R  <  R ₀ . ^[3]

Парадокс было углублено далее Альберта Эйнштейна , который показал , что , так как измерительные стержни , выровненные по периферии и перемещение с ним должно появиться по контракту, будет соответствовать более по окружности, которая, таким образом , измерения больше , чем 2 & pi ; R . Это указывает на то, что геометрия неевклидова для вращающихся наблюдателей и была важна для разработки Эйнштейном общей теории относительности . ^[4]

Любой жесткий объект, сделанный из реальных материалов, который вращается с поперечной скоростью, близкой к скорости звука в материале, должен превышать точку разрыва из-за центробежной силы , потому что центробежное давление не может превышать модуль сдвига материала.

${\ displaystyle {\ frac {F} {S}} = {\ frac {mv ^ {2}} {rS}} <{\ frac {mc_ {s} ^ {2}} {rS}} \ приблизительно {\ гидроразрыв {mG} {rS \ rho}} \ приблизительно G}$

где это скорость звука, плотность , а это модуль сдвига . Следовательно, если рассматривать скорости, близкие к скорости света , это всего лишь мысленный эксперимент . Нейтронно-вырожденная материя может допускать скорости, близкие к скорости света, поскольку скорость колебаний нейтронной звезды является релятивистской (хотя эти тела нельзя строго назвать « твердыми »).${\ displaystyle c_ {s}}$${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle G}$

Суть парадокса [ править ]

Представьте себе диск радиуса R, вращающийся с постоянной угловой скоростью .${\ displaystyle \ omega}$

Парадокс Эренфеста - окружность вращающегося диска должна сжиматься, но не радиус, так как радиус перпендикулярен направлению движения.

Система отсчета закреплена в неподвижном центре диска. Тогда величина относительной скорости любой точки на окружности диска равна . Таким образом, окружность будет сокращаться по Лоренцеву в раз .${\ displaystyle \ omega R}$${\ displaystyle {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}}$

Однако, поскольку радиус перпендикулярен направлению движения, он не будет испытывать сжатия. Так

${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {окружность}} {\ mathrm {диаметр}}} = {\ frac {2 \ pi R {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2 }}}} {2R}} = \ pi {\ sqrt {1 - (\ omega R) ^ {2} / c ^ {2}}}.}$

Это парадоксально, поскольку в соответствии с евклидовой геометрией оно должно быть в точности равно  π .

Аргумент Эренфеста [ править ]

Эренфест считал идеальным жестким по Борну цилиндром, который вращается. Если предположить, что цилиндр не расширяется и не сжимается, его радиус остается прежним. Но измерительные стержни, расположенные по окружности, должны быть лоренцевы сужены до меньшего значения, чем в состоянии покоя, на обычный коэффициент γ. Это приводит к парадоксу: жесткие измерительные стержни должны отделяться друг от друга из-за лоренцевского сжатия; Несоответствие, отмеченное Эренфестом, по-видимому, предполагает, что повернутый жесткий диск Борна должен разрушиться.${\ Displaystyle 2 \ pi R}$

Таким образом, Эренфест доказывал с помощью reductio ad absurdum, что жесткость Борна обычно несовместима со специальной теорией относительности. Согласно специальной теории относительности, объект не может быть раскручен из невращающегося состояния при сохранении борновской жесткости, но как только он достигает постоянной ненулевой угловой скорости, он сохраняет борновскую жесткость без нарушения специальной теории относительности, а затем (как позже показал Эйнштейн) Дисковый наблюдатель измерит окружность: ^[3] ${\ displaystyle C ^ {\ prime} = {\ frac {2 \ pi R} {\ sqrt {1-v ^ {2} / c ^ {2}}}}.}$

Эйнштейн и общая теория относительности [ править ]

Вращающийся диск и его связь с жесткостью также были важным мысленным экспериментом Альберта Эйнштейна при разработке общей теории относительности. ^[4] Он упоминал об этом в нескольких публикациях в 1912, 1916, 1917, 1922 годах и сделал вывод о том, что геометрия диска становится неевклидовой для наблюдателя, вращающегося в одном направлении. Эйнштейн писал (1922 г.): ^[5]

66ff: Представьте себе окружность, начерченную вокруг начала координат в плоскости x'y 'K', и диаметр этой окружности. Далее представьте, что мы дали большое количество жестких стержней, все равных друг другу. Мы предполагаем, что они уложены последовательно по периферии и диаметру круга в состоянии покоя относительно K '. Если U - количество этих стержней по периферии, D - количество по диаметру, то, если K 'не вращается относительно K, мы будем иметь . Но если K 'вращается, мы получим другой результат. Предположим, что в определенный момент времени t K мы определяем концы всех стержней. Что касается K, все стержни на периферии испытывают сокращение Лоренца, но стержни на диаметре не испытывают этого сжатия (по своей длине!). Отсюда следует, что .${\ Displaystyle U / D = \ pi}$${\ Displaystyle U / D> \ pi}$

Отсюда следует, что законы конфигурации твердых тел относительно K 'не согласуются с законами конфигурации твердых тел, которые соответствуют евклидовой геометрии. Если, кроме того, мы поместим два одинаковых часа (вращающихся вместе с K '), один на периферии, а другой в центре круга, то, судя по K, часы на периферии будут идти медленнее, чем часы на периферии. центр. То же самое должно произойти, если судить по K ', если мы определим время относительно K' не совсем неестественным образом, то есть таким образом, что законы относительно K 'явно зависят от времени. Следовательно, пространство и время не могут быть определены относительно K ', как это было в специальной теории относительности относительно инерциальных систем. Но, согласно принципу эквивалентности, K 'также следует рассматривать как покоящуюся систему, относительно которой существует гравитационное поле (поле центробежной силы и сила Кориолиса). Таким образом, мы приходим к результату: гравитационное поле влияет и даже определяет метрические законы пространственно-временного континуума. Если законы конфигурации идеальных твердых тел выражаются геометрически, то в присутствии гравитационного поля геометрия не является евклидовой.тогда в присутствии гравитационного поля геометрия не евклидова.тогда в присутствии гравитационного поля геометрия не евклидова.

Краткая история [ править ]

Ссылки на статьи, упомянутые ниже (и многие из них), можно найти в статье Ойвинда Грена, доступной в Интернете. ^[3]

• 1909: Макс Борн вводит понятие твердого движения в специальной теории относительности. ^[6]
• 1909: Изучив концепцию жесткости Борна, Пауль Эренфест продемонстрировал с помощью парадокса о цилиндре, который переходит из состояния покоя во вращение, что большинство движений протяженных тел не могут быть жесткими по Борну. ^[1]
• 1910: Густав Херглотц и Фриц Нётер независимо друг от друга разработали модель Борна и показали ( теорема Херглотца – Нётер ), что жесткость Борна допускает только три степени свободы для движущихся тел. Например, возможно, что твердое тело совершает равномерное вращение, но ускоренное вращение невозможно. Таким образом, твердое тело Борна нельзя перевести из состояния покоя во вращение, что подтверждает результат Эренфеста. ^{[7] [8]}
• 1910: Макс Планк обращает внимание на тот факт, что не следует путать проблему сжатия диска из-за его раскручивания с проблемой того, что наблюдатели на диске будут измерять по сравнению со стационарными наблюдателями. Он предполагает, что решение первой проблемы потребует введения некоторой модели материала и использования теории упругости . ^[9]
• 1910: Теодор Калуца отмечает, что нет ничего парадоксального в том, что статические наблюдатели и наблюдатели на дисках получают разные результаты для окружности. Однако это означает, утверждает Калуца, что «геометрия вращающегося диска» неевклидова . Он утверждает без доказательства, что эта геометрия на самом деле является просто геометрией гиперболической плоскости . ^[10]
• 1911: Макс фон Лауэ показывает, что ускоряемое тело имеет бесконечное количество степеней свободы, поэтому никакие твердые тела не могут существовать в специальной теории относительности. ^[11]
• 1916: Во время написания своей новой общей теории относительности , Альберт Эйнштейн замечает , что наблюдатели диска езды измерить длиннее окружности, C '  = 2 πr / √ 1- v ² . То есть, поскольку линейки, движущиеся параллельно своей оси длины, кажутся короче, как измерено статическими наблюдателями, наблюдатели, движущиеся по диску, могут разместить больше меньших линейок заданной длины по окружности, чем стационарные наблюдатели.
• 1922: В своей основополагающей книге «Математическая теория относительности» (стр. 113) А.С. Эддингтон вычисляет сокращение радиуса вращающегося диска (по сравнению со стационарными весами) на одну четверть коэффициента «лоренцевского сжатия», примененного к окружности. .
• 1935: Поль Ланжевен по существу вводит движущуюся систему отсчета (или поле кадра на современном языке), соответствующую семейству наблюдателей на дисках, которые теперь называются наблюдателями Ланжевена . (См. Рисунок.) Он также показывает, что расстояния, измеренные ближайшими ланжевеновскими наблюдателями, соответствуют определенной римановой метрике , которая теперь называется метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица. (См. Подробности в координатах Борна .) ^[12]
• 1937: Ян Вейссенхофф (теперь, возможно, наиболее известный своей работой о связностях Картана с нулевой кривизной и ненулевым кручением) замечает, что наблюдатели Ланжевена не являются ортогональными гиперповерхностями. Следовательно, метрика Ланжевена-Ландау-Лифшица определена не на некотором гиперсрезе пространства-времени Минковского, а на фактор-пространстве, полученном заменой каждой мировой линии точкой . Это дает трехмерное гладкое многообразие, которое становится римановым многообразием, когда мы добавляем метрическую структуру.
• 1946: Натан Розен показывает, что инерционные наблюдатели, мгновенно соприкасающиеся с наблюдателями Ланжевена, также измеряют небольшие расстояния, заданные метрикой Ланжевена-Ландау-Лифшица.
• 1946: Э.Л. Хилл анализирует релятивистские напряжения в материале, в котором (грубо говоря) скорость звука равна скорости света, и показывает, что они просто компенсируют радиальное расширение из-за центробежной силы (в любом физически реалистичном материале релятивистские эффекты уменьшаются, но уменьшаются). не отменять радиальное расширение). Хилл объясняет ошибки в более ранних анализах Артура Эддингтона и других. ^[13]
• 1952: К. Мёллер пытается изучить нулевые геодезические с точки зрения вращающихся наблюдателей (но неправильно пытается использовать срезы, а не соответствующее фактор-пространство)
• 1968: В. Кантони дает прямое, чисто кинематическое объяснение парадокса, показывая, что «одно из предположений, неявно содержащихся в формулировке парадокса Эренфеста, неверно, поскольку предполагается, что геометрия пространства-времени Минковского допускает переход диск из состояния покоя во вращение таким образом, чтобы как длина радиуса, так и длина периферии, измеренная относительно движущейся системы отсчета, оставалась неизменной "
• 1975: Эйвинд Грен пишет классическую обзорную статью о разрешении «парадокса».
• 1977: Грюнбаум и Янис вводят понятие физически реализуемой «нежесткости», которое может быть применено к раскрутке изначально невращающегося диска (это понятие физически нереально для реальных материалов, из которых можно сделать диск, но это полезно для мысленных экспериментов). ^[14]
• 1981: Грон замечает, что закон Гука не согласуется с преобразованиями Лоренца, и вводит релятивистское обобщение.
• 1997: Т.А. Вебер явно вводит поле фрейма, связанное с наблюдателями Ланжевена.
• 2000: Хрвое Николич указывает, что парадокс исчезает, когда (в соответствии с общей теорией относительности ) каждая часть вращающегося диска рассматривается отдельно, как живущая в своей собственной локальной неинерциальной системе отсчета.
• 2002: Рицци и Руджеро (и Бел) явно вводят фактор-многообразие, упомянутое выше.

Разрешение парадокса [ править ]

Грон утверждает, что разрешение парадокса проистекает из невозможности синхронизировать часы во вращающейся системе отсчета. ^[15] Если наблюдатели на вращающейся окружности пытаются синхронизировать свои часы по окружности, чтобы установить время диска, существует разница во времени между двумя конечными точками, где они встречаются.

Кратко современное разрешение можно резюмировать следующим образом:

1. Небольшие расстояния, измеряемые наблюдателями на диске, описываются метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица, которая действительно хорошо аппроксимируется (для малой угловой скорости) геометрией гиперболической плоскости, как и утверждал Калуца.
2. Для физически разумных материалов во время фазы раскрутки реальный диск расширяется радиально за счет центробежных сил; релятивистские поправки частично противодействуют (но не отменяют) этому эффекту Ньютона. После достижения установившегося вращения и расслабления диска геометрия «в малом» приближенно задается метрикой Ланжевена – Ландау – Лифшица.

См. Также [ править ]

• Координаты Борна для карты координат, адаптированной для наблюдателей, движущихся на жестко вращающемся диске.
• Уменьшение длины
• Релятивистский диск

Некоторые другие «парадоксы» специальной теории относительности

• Парадокс космического корабля Белла
• Лестничный парадокс
• Физический парадокс
• Парадокс Supplee
• Парадокс близнецов

Заметки [ править ]

Цитаты [ править ]

Процитированные работы [ править ]

Несколько статей, представляющих исторический интерес [ править ]

Несколько классических "современных" ссылок [ править ]

Некоторая экспериментальная работа и последующее обсуждение [ править ]

Избранные недавние источники [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с парадоксом Эренфеста .

• Жесткий вращающийся диск в теории относительности , Майкл Вайс (1995), из sci.physics FAQ .
• Карусель Эйнштейна (раздел 3.4.4) Б. Кроуэлла