Модуль сдвига

Модуль сдвига
Общие символы	$G$ , $S$
Единица СИ	паскаль
Производные от других величин	$G = τ / γ$ $G = E / 2 (1+ n)$

Деформация сдвига

В науке материалов , модуль сдвига или модулем жесткости , обозначаемой G , или иногда S или М , является мерой упругого сдвига жесткости материала и определяется как отношение напряжения сдвига к сдвиговой деформации : ^[1]

G\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\frac {\tau _{xy}}{\gamma _{xy}}}={\frac {F/A}{\Delta x/l}}={\frac {Fl}{A\Delta x}}

куда

\tau _{xy}=F/A\,

= напряжение сдвига

F

это сила, которая действует

A

это область, на которую действует сила

\gamma _{xy}

= деформация сдвига. В машиностроении , в другом

:=\Delta x/l=\tan \theta

:=\theta

\Delta x

поперечное смещение

l

начальная длина

Производной единицей модуля сдвига в системе СИ является паскаль (Па), хотя обычно он выражается в гигапаскалях (ГПа) или тысячах фунтов на квадратный дюйм (ksi). Ее мерная форма есть М ¹ л ^-1 Т ^-2 , заменив силы на массовые времена ускорения .

Объяснение [ править ]

Материал	Типичные значения модуля сдвига (ГПа) (при комнатной температуре)
Бриллиант ^[2]	478,0
Сталь ^[3]	79,3
Утюг ^[4]	52,5
Медь ^[5]	44,7
Титан ^[3]	41,4
Стекло ^[3]	26,2
Алюминий ^[3]	25,5
Полиэтилен ^[3]	0,117
Резина ^[6]	0,0006
Гранит ^[7]^[8]	24
Сланец ^[7]^[8]	1.6
Известняк ^[7]^[8]	24
Мел ^[7]^[8]	3,2
Песчаник ^[7]^[8]	0,4
Дерево	4

Модуль сдвига - это одна из нескольких величин для измерения жесткости материалов. Все они возникают в обобщенном законе Гука :

Модуль Юнга E описывает реакцию деформации материала на одноосное напряжение в направлении этого напряжения (например, натягивание концов проволоки или размещение груза на вершине колонны, при этом проволока становится длиннее, а колонна теряет высоту).
в коэффициент Пуассона ν описывает отклик в направлениях , ортогональных к этому одноосного напряжения (проволоки становится тоньше и толще колонны),
объемный модуль упругости К описывает реакцию материала к (однородной) гидростатического давления (например , давление на дне океана или глубокий бассейн),
модуль сдвига G описывает отклик материала к напряжению сдвига (как резок его с тупыми ножницами). Эти модули не являются независимыми, и для изотропных материалов они связаны уравнениями . ^[9] $2G(1+\nu )=E=3K(1-2\nu )$

Модуль сдвига связан с деформацией твердого тела, когда оно испытывает силу, параллельную одной из его поверхностей, в то время как его противоположная сторона испытывает противодействующую силу (например, трение). Если объект имеет форму прямоугольной призмы, он деформируется в параллелепипед . Анизотропные материалы, такие как дерево , бумага, а также практически все монокристаллы, демонстрируют различную реакцию материала на напряжение или деформацию при испытании в разных направлениях. В этом случае может потребоваться использовать полное тензорное выражение упругих констант, а не одно скалярное значение.

Одно из возможных определений жидкости - это материал с нулевым модулем сдвига.

Сдвиговые волны [ править ]

Влияние добавок выбранных стеклянных компонентов на модуль сдвига определенного базового стекла. ^[10]

В однородных и изотропных твердых телах есть два вида волн: волны давления и поперечные волны . Скорость поперечной волны контролируется модулем сдвига, $(v_{s})$

v_{s}={\sqrt {\frac {G}{\rho }}}

куда

G - модуль сдвига

\rho

- плотность твердого тела .

Модуль сдвига металлов [ править ]

Модуль сдвига меди как функция температуры. Экспериментальные данные ^[11]^[12] показаны цветными символами.

Модуль сдвига металлов обычно уменьшается с повышением температуры. При высоких давлениях модуль сдвига также увеличивается с приложенным давлением. Корреляция между температурой плавления, энергией образования вакансий и модулем сдвига наблюдалась во многих металлах. ^[13]

Существует несколько моделей, которые пытаются предсказать модуль сдвига металлов (и, возможно, сплавов). Модели модуля сдвига, которые использовались в расчетах пластического течения, включают:

модель модуля сдвига MTS, разработанная ^[14] и используемая в сочетании с моделью напряжения пластического течения с механическим пороговым напряжением (MTS). ^[15]^[16]
модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гвинана (SCG), разработанная в ^[17] и используемая вместе с моделью напряжения течения Стейнберга-Кохрана-Гинан-Лунда (SCGL).
модель модуля сдвига Надаля и Лепоака (NP) ^{[12], в} которой используется теория Линдемана для определения температурной зависимости, и модель SCG для зависимости модуля сдвига от давления.

Модель МТС [ править ]

Модель модуля сдвига MTS имеет вид:

\mu (T)=\mu _{0}-{\frac {D}{\exp(T_{0}/T)-1}}

где - модуль сдвига при , и - материальные постоянные. $\mu _{0}$ $T=0K$ $D$ $T_{0}$

Модель SCG [ править ]

Модель модуля сдвига Стейнберга-Кохрана-Гинана (SCG) зависит от давления и имеет вид

\mu (p,T)=\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}+{\frac {\partial \mu }{\partial T}}(T-300);\quad \eta :={\frac {\rho }{\rho _{0}}}

где μ ₀ - модуль сдвига в исходном состоянии ( T = 300 K, p = 0, η = 1), p - давление, а T - температура.

Модель NP [ править ]

Модель модуля сдвига Надаля-Ле Поака (NP) представляет собой модифицированную версию модели SCG. Эмпирическая температурная зависимость модуля сдвига в модели SCG заменена уравнением, основанным на теории плавления Линдемана . Модель модуля сдвига NP имеет вид:

\mu (p,T)={\frac {1}{{\mathcal {J}}\left({\hat {T}}\right)}}\left[\left(\mu _{0}+{\frac {\partial \mu }{\partial p}}{\frac {p}{\eta ^{\frac {1}{3}}}}\right)\left(1-{\hat {T}}\right)+{\frac {\rho }{Cm}}~T\right];\quad C:={\frac {\left(6\pi ^{2}\right)^{\frac {2}{3}}}{3}}f^{2}

куда

{\mathcal {J}}({\hat {T}}):=1+\exp \left[-{\frac {1+1/\zeta }{1+\zeta /\left(1-{\hat {T}}\right)}}\right]\quad {\text{for}}\quad {\hat {T}}:={\frac {T}{T_{m}}}\in [0,1+\zeta ],

и μ ₀ - модуль сдвига при абсолютном нуле и атмосферном давлении, ζ - параметр материала, m - атомная масса , а f - постоянная Линдемана .

Модуль релаксации сдвига [ править ]

Модуль релаксации сдвига - это зависящее от времени обобщение модуля сдвига ^[18] : $G(t)$ $G$

G=\lim _{t\to \infty }G(t)

.

См. Также [ править ]

Динамический модуль
Техника импульсного возбуждения
Прочность на сдвиг
Сейсмический момент

Ссылки [ править ]

^ ИЮПАК , Сборник химической терминологии , 2-е изд. («Золотая книга») (1997). Исправленная онлайн-версия: (2006–) « Модуль сдвига, G ». DOI : 10,1351 / goldbook.S05635
^ McSkimin, HJ; Андреатч, П. (1972). «Модули упругости алмаза в зависимости от давления и температуры». J. Appl. Phys . 43 (7): 2944–2948. Bibcode : 1972JAP .... 43.2944M . DOI : 10.1063 / 1.1661636 .
^ a b c d e Крэндалл, Даль, Ларднер (1959). Введение в механику твердого тела . Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-013441-3.CS1 maint: multiple names: authors list (link)
^ Rayne, JA (1961). «Упругие постоянные железа от 4,2 до 300 ° К». Физический обзор . 122 (6): 1714–1716. Bibcode : 1961PhRv..122.1714R . DOI : 10.1103 / PhysRev.122.1714 .
^ Свойства материала
^ Спанос, Пит (2003). «Влияние системы отверждения на низкотемпературный динамический модуль сдвига натурального каучука» . Резиновый мир .
^ a b c d e Хук, Эверт и Джонатан Д. Брей. Проектирование скальных склонов. CRC Press, 1981.
^ a b c d e Паризо, Уильям Г. Анализ конструкции в механике горных пород. CRC Press, 2017.
^ [Ландау ЛД, Лифшиц ЭМ. Теория упругости , т. 7. Курс теоретической физики. (2-е изд.) Пергамон: Оксфорд, 1970, стр. 13]
^ Расчет модуля сдвига стекол
^ Overton, W .; Гаффни, Джон (1955). «Температурное изменение упругих постоянных кубических элементов. I. Медь». Физический обзор . 98 (4): 969. Полномочный код : 1955PhRv ... 98..969O . DOI : 10.1103 / PhysRev.98.969 .
^ а б Надаль, Мария-Элен; Ле Поак, Филипп (2003). «Непрерывная модель модуля сдвига как функции давления и температуры до точки плавления: анализ и ультразвуковая проверка». Журнал прикладной физики . 93 (5): 2472. Bibcode : 2003JAP .... 93.2472N . DOI : 10.1063 / 1.1539913 .
^ March, NH, (1996), Электронная корреляция в молекулах и конденсированных фазах , Springer, ISBN 0-306-44844-0 стр. 363
^ Varshni, Y. (1970). «Температурная зависимость упругих постоянных». Physical Review B . 2 (10): 3952–3958. Bibcode : 1970PhRvB ... 2.3952V . DOI : 10.1103 / PhysRevB.2.3952 .
^ Чен, Шух Ронг; Грей, Джордж Т. (1996). «Материальное поведение тантала и тантал-вольфрамовых сплавов» . Металлургическая и Транзакции материалов A . 27 (10): 2994. Bibcode : 1996MMTA ... 27.2994C . DOI : 10.1007 / BF02663849 .
^ Гото, DM; Гарретт, РК; Bingert, JF; Чен, SR; Серый, GT (2000). «Описание модели конструктивной прочности механического порогового напряжения для стали HY-100» . Металлургическая и Транзакции материалов A . 31 (8): 1985–1996. DOI : 10.1007 / s11661-000-0226-8 .
^ Guinan, M; Стейнберг, Д. (1974). «Производные по давлению и температуре модуля изотропного поликристаллического сдвига для 65 элементов». Журнал физики и химии твердого тела . 35 (11): 1501. Bibcode : 1974JPCS ... 35.1501G . DOI : 10.1016 / S0022-3697 (74) 80278-7 .
↑ Рубинштейн, Майкл, 1956, 20 декабря (2003). Физика полимеров . Колби, Ральф Х. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 284. ISBN 019852059X. OCLC 50339757 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

Формулы преобразования
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам.
	$K=\,$	$E=\,$	$\lambda =\,$	$G=\,$	$\nu =\,$	$M=\,$	Примечания
$(K,\,E)$			${\tfrac {3K(3K-E)}{9K-E}}$	${\tfrac {3KE}{9K-E}}$	${\tfrac {3K-E}{6K}}$	${\tfrac {3K(3K+E)}{9K-E}}$
$(K,\,\lambda )$		${\tfrac {9K(K-\lambda )}{3K-\lambda }}$		${\tfrac {3(K-\lambda )}{2}}$	${\tfrac {\lambda }{3K-\lambda }}$	$3K-2\lambda \,$
$(K,\,G)$		${\tfrac {9KG}{3K+G}}$	$K-{\tfrac {2G}{3}}$		${\tfrac {3K-2G}{2(3K+G)}}$	$K+{\tfrac {4G}{3}}$
$(K,\,\nu )$		$3K(1-2\nu )\,$	${\tfrac {3K\nu }{1+\nu }}$	${\tfrac {3K(1-2\nu )}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {3K(1-\nu )}{1+\nu }}$
$(K,\,M)$		${\tfrac {9K(M-K)}{3K+M}}$	${\tfrac {3K-M}{2}}$	${\tfrac {3(M-K)}{4}}$	${\tfrac {3K-M}{3K+M}}$
$(E,\,\lambda )$	${\tfrac {E+3\lambda +R}{6}}$			${\tfrac {E-3\lambda +R}{4}}$	${\tfrac {2\lambda }{E+\lambda +R}}$	${\tfrac {E-\lambda +R}{2}}$	$R={\sqrt {E^{2}+9\lambda ^{2}+2E\lambda }}$
$(E,\,G)$	${\tfrac {EG}{3(3G-E)}}$		${\tfrac {G(E-2G)}{3G-E}}$		${\tfrac {E}{2G}}-1$	${\tfrac {G(4G-E)}{3G-E}}$
$(E,\,\nu )$	${\tfrac {E}{3(1-2\nu )}}$		${\tfrac {E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}}$	${\tfrac {E}{2(1+\nu )}}$		${\tfrac {E(1-\nu )}{(1+\nu )(1-2\nu )}}$
$(E,\,M)$	${\tfrac {3M-E+S}{6}}$		${\tfrac {M-E+S}{4}}$	${\tfrac {3M+E-S}{8}}$	${\tfrac {E-M+S}{4M}}$		$S=\pm {\sqrt {E^{2}+9M^{2}-10EM}}$ Есть два верных решения. Знак плюс ведет к . $\nu \geq 0$ Знак минус ведет к . $\nu \leq 0$
$(\lambda ,\,G)$	$\lambda +{\tfrac {2G}{3}}$	${\tfrac {G(3\lambda +2G)}{\lambda +G}}$			${\tfrac {\lambda }{2(\lambda +G)}}$	$\lambda +2G\,$
$(\lambda ,\,\nu )$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )}{3\nu }}$	${\tfrac {\lambda (1+\nu )(1-2\nu )}{\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-2\nu )}{2\nu }}$		${\tfrac {\lambda (1-\nu )}{\nu }}$	Не может использоваться, когда $\nu =0\Leftrightarrow \lambda =0$
$(\lambda ,\,M)$	${\tfrac {M+2\lambda }{3}}$	${\tfrac {(M-\lambda )(M+2\lambda )}{M+\lambda }}$		${\tfrac {M-\lambda }{2}}$	${\tfrac {\lambda }{M+\lambda }}$
$(G,\,\nu )$	${\tfrac {2G(1+\nu )}{3(1-2\nu )}}$	$2G(1+\nu )\,$	${\tfrac {2G\nu }{1-2\nu }}$			${\tfrac {2G(1-\nu )}{1-2\nu }}$
$(G,\,M)$	$M-{\tfrac {4G}{3}}$	${\tfrac {G(3M-4G)}{M-G}}$	$M-2G\,$		${\tfrac {M-2G}{2M-2G}}$
$(\nu ,\,M)$	${\tfrac {M(1+\nu )}{3(1-\nu )}}$	${\tfrac {M(1+\nu )(1-2\nu )}{1-\nu }}$	${\tfrac {M\nu }{1-\nu }}$	${\tfrac {M(1-2\nu )}{2(1-\nu )}}$

[1] ИЮПАК , Сборник химической терминологии , 2-е изд. («Золотая книга») (1997). Исправленная онлайн-версия: (2006–) « Модуль сдвига, G ». DOI : 10,1351 / goldbook.S05635

[McSkimin-2] McSkimin, HJ; Андреатч, П. (1972). «Модули упругости алмаза в зависимости от давления и температуры». J. Appl. Phys . 43 (7): 2944–2948. Bibcode : 1972JAP .... 43.2944M . DOI : 10.1063 / 1.1661636 .

[CDL-3] Крэндалл, Даль, Ларднер (1959). Введение в механику твердого тела . Бостон: Макгроу-Хилл. ISBN 0-07-013441-3.CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[rayne61-4] Rayne, JA (1961). «Упругие постоянные железа от 4,2 до 300 ° К». Физический обзор . 122 (6): 1714–1716. Bibcode : 1961PhRv..122.1714R . DOI : 10.1103 / PhysRev.122.1714 .

[5] Свойства материала

[Spanos-6] Спанос, Пит (2003). «Влияние системы отверждения на низкотемпературный динамический модуль сдвига натурального каучука» . Резиновый мир .

[Hoek-7] Хук, Эверт и Джонатан Д. Брей. Проектирование скальных склонов. CRC Press, 1981.

[Pariseau-8] Паризо, Уильям Г. Анализ конструкции в механике горных пород. CRC Press, 2017.

[9] [Ландау ЛД, Лифшиц ЭМ. Теория упругости , т. 7. Курс теоретической физики. (2-е изд.) Пергамон: Оксфорд, 1970, стр. 13]

[10] Расчет модуля сдвига стекол

[Overton55-11] Overton, W .; Гаффни, Джон (1955). «Температурное изменение упругих постоянных кубических элементов. I. Медь». Физический обзор . 98 (4): 969. Полномочный код : 1955PhRv ... 98..969O . DOI : 10.1103 / PhysRev.98.969 .

[Nadal03-12] а б Надаль, Мария-Элен; Ле Поак, Филипп (2003). «Непрерывная модель модуля сдвига как функции давления и температуры до точки плавления: анализ и ультразвуковая проверка». Журнал прикладной физики . 93 (5): 2472. Bibcode : 2003JAP .... 93.2472N . DOI : 10.1063 / 1.1539913 .

[March-13] March, NH, (1996), Электронная корреляция в молекулах и конденсированных фазах , Springer, ISBN 0-306-44844-0 стр. 363

[Varshni70-14] Varshni, Y. (1970). «Температурная зависимость упругих постоянных». Physical Review B . 2 (10): 3952–3958. Bibcode : 1970PhRvB ... 2.3952V . DOI : 10.1103 / PhysRevB.2.3952 .

[Chen96-15] Чен, Шух Ронг; Грей, Джордж Т. (1996). «Материальное поведение тантала и тантал-вольфрамовых сплавов» . Металлургическая и Транзакции материалов A . 27 (10): 2994. Bibcode : 1996MMTA ... 27.2994C . DOI : 10.1007 / BF02663849 .

[Goto00-16] Гото, DM; Гарретт, РК; Bingert, JF; Чен, SR; Серый, GT (2000). «Описание модели конструктивной прочности механического порогового напряжения для стали HY-100» . Металлургическая и Транзакции материалов A . 31 (8): 1985–1996. DOI : 10.1007 / s11661-000-0226-8 .

[Guinan74-17] Guinan, M; Стейнберг, Д. (1974). «Производные по давлению и температуре модуля изотропного поликристаллического сдвига для 65 элементов». Журнал физики и химии твердого тела . 35 (11): 1501. Bibcode : 1974JPCS ... 35.1501G . DOI : 10.1016 / S0022-3697 (74) 80278-7 .

[18] Рубинштейн, Майкл, 1956, 20 декабря (2003). Физика полимеров . Колби, Ральф Х. Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. п. 284. ISBN 019852059X. OCLC 50339757 .CS1 maint: multiple names: authors list (link)

[1]