В материаловедения и механики деформируемого твердого тела , коэффициент Пуассона ( nu ) - мера эффекта Пуассона , деформации (расширения или сжатия) материала в направлениях, перпендикулярных определенному направлению нагрузки . Величина коэффициента Пуассона является отрицательной величиной отношения поперечной деформации к осевой деформации . При малых значениях этих измененийпредставляет собой величину поперечного удлинения, деленную на величину осевого сжатия . Для большинства материалов коэффициент Пуассона находится в диапазоне от 0,0 до 0,5. Мягкие материалы [1], такие как резина, у которых модуль объемной упругости намного выше модуля сдвига, коэффициент Пуассона составляет около 0,5. Для пенопласта с открытыми порами коэффициент Пуассона близок к нулю, поскольку ячейки имеют тенденцию разрушаться при сжатии. Многие типичные твердые тела имеют коэффициент Пуассона в диапазоне 0,2-0,3. Отношение названо в честь французского математика и физика Симеона Пуассона .
Источник
Коэффициент Пуассона является мерой эффекта Пуассона, явления, при котором материал имеет тенденцию расширяться в направлениях, перпендикулярных направлению сжатия. И наоборот, если материал растягивается, а не сжимается, он обычно имеет тенденцию сжиматься в направлениях, поперечных направлению растяжения. Обычное наблюдение, когда резинка растягивается, она становится заметно тоньше. Опять же, коэффициент Пуассона будет отношением относительного сжатия к относительному расширению и будет иметь то же значение, что и выше. В некоторых редких случаях [2] материал действительно сжимается в поперечном направлении при сжатии (или расширяется при растяжении), что дает отрицательное значение коэффициента Пуассона.
Коэффициент Пуассона стабильной, изотропной , линейной упругой материала должна быть в пределах от -1,0 и +0,5 из-за требования для модуля Юнга , с модулем сдвига и объемного модуля , чтобы иметь положительные значения. [3] Для большинства материалов коэффициент Пуассона находится в диапазоне от 0,0 до 0,5. Совершенно несжимаемый изотропный материал, упруго деформируемый при малых деформациях, имел бы коэффициент Пуассона точно 0,5. Большинство сталей и жестких полимеров при использовании в пределах их проектных ограничений (до текучести ) показывают значения около 0,3, увеличиваясь до 0,5 для деформации после выхода текучести, которая происходит в основном при постоянном объеме. [4] Каучук имеет коэффициент Пуассона около 0,5. Коэффициент Пуассона Корка близок к 0, показывая очень небольшое поперечное расширение при сжатии, а стекло находится между 0,18 и 0,30. Некоторые материалы, например, полимерная пена, складки оригами, [5] [6] и некоторые ячейки могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона, и их называют ауксетическими материалами . Если эти ауксетические материалы растягиваются в одном направлении, они становятся толще в перпендикулярном направлении. Напротив, некоторые анизотропные материалы, такие как углеродные нанотрубки , зигзагообразные листовые материалы [7] [8] и сотовые ауксетические метаматериалы [9], и многие другие, могут иметь один или несколько коэффициентов Пуассона выше 0,5 в определенных направлениях.
Предполагая, что материал растягивается или сжимается только в одном направлении ( ось x на диаграмме ниже):
где
- - результирующий коэффициент Пуассона,
- - поперечная деформация (отрицательная для осевого растяжения (растяжения), положительная для осевого сжатия)
- - осевая деформация (положительная для осевого растяжения, отрицательная для осевого сжатия).
Коэффициент Пуассона от изменений геометрии
Изменение длины
Для куба, вытянутого в направлении оси x (см. Рисунок 1) с увеличением длины нав направлении x , и уменьшение длины нав направлениях y и z бесконечно малые диагональные деформации равны
Если коэффициент Пуассона постоянен из-за деформации, интегрирование этих выражений и использование определения коэффициента Пуассона дает
Решая и возводя в степень, отношения между а также затем
Для очень малых значений а также , первое приближение дает:
Объемное изменение
Теперь можно рассчитать относительное изменение объема ΔV / V куба из-за растяжения материала. С использованием а также :
Используя полученное выше отношение между а также :
и для очень малых значений а также , первое приближение дает:
Для изотропных материалов можно использовать соотношение Ламе [10]
где это объемный модуль упругости и- модуль Юнга .
Изменение ширины
Если стержень диаметром (или шириной, или толщиной) d и длиной L подвергается растяжению, так что его длина изменится на ΔL, то его диаметр d изменится на:
Приведенная выше формула верна только в случае небольших деформаций; если деформации большие, то можно использовать следующую (более точную) формулу:
где
- оригинальный диаметр
- изменение диаметра стержня
- коэффициент Пуассона
- исходная длина, до растяжки
- изменение длины.
Значение отрицательное, потому что оно уменьшается с увеличением длины.
Характерные материалы
Изотропный
Для линейного изотропного материала, подверженного только сжимающим (то есть нормальным) силам, деформация материала в направлении одной оси вызовет деформацию материала вдоль другой оси в трех измерениях. Таким образом, можно обобщить закон Гука (для сжимающих сил) в трех измерениях:
где:
- , а также которые напрягают в направлении , а также ось
- , а также это напряжение в направлении , а также ось
- - модуль Юнга (одинаков во всех направлениях: , а также для изотропных материалов)
- - коэффициент Пуассона (одинаков во всех направлениях: , а также для изотропных материалов)
все эти уравнения можно синтезировать следующим образом:
В самом общем случае будут сохраняться и касательные напряжения , и нормальные напряжения, и полное обобщение закона Гука дается выражением:
где - дельта Кронекера . Обычно используются обозначения Эйнштейна :
написать уравнение просто как:
Анизотропный
Для анизотропных материалов коэффициент Пуассона зависит от направления растяжения и поперечной деформации.
Здесь коэффициент Пуассона, - модуль Юнга , - единичный вектор, направленный вдоль направления растяжения, - единичный вектор, направленный перпендикулярно направлению растяжения. Коэффициент Пуассона имеет разное количество специальных направлений в зависимости от типа анизотропии. [11] [12]
Ортотропный
Ортотропные материалы имеют три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии свойств материала. Примером может служить древесина, которая является наиболее жесткой (и прочной) вдоль волокон и менее - в других направлениях.
Тогда закон Гука можно выразить в матричной форме как [13] [14]
где
- - модуль Юнга по оси
- является модуль сдвига в направлении на плоскости, нормаль которой направлена
- коэффициент Пуассона, соответствующий сжатию в направлении когда расширение применяется в направлении .
Коэффициент Пуассона ортотропного материала различен в каждом направлении (x, y и z). Однако симметрия тензоров напряжений и деформаций означает, что не все шесть коэффициентов Пуассона в уравнении являются независимыми. Есть только девять независимых свойств материала: три модуля упругости, три модуля сдвига и три коэффициента Пуассона. Остальные три коэффициента Пуассона можно получить из соотношений
Из приведенных выше соотношений видно, что если тогда . Чем больше коэффициент Пуассона (в данном случае) называется большим коэффициентом Пуассона, а меньший (в данном случае) называется минорным коэффициентом Пуассона . Мы можем найти аналогичные отношения между другими коэффициентами Пуассона.
Поперечно изотропный
Трансверсально изотропные материалы имеют плоскость изотропии, в которой упругие свойства изотропны. Если предположить, что эта плоскость изотропии равна, то закон Гука принимает вид [15]
где мы использовали плоскость изотропии чтобы уменьшить количество констант, т. е. .
Из симметрии тензоров напряжений и деформаций следует, что
Это оставляет нам шесть независимых констант . Однако поперечная изотропия приводит к дополнительному ограничению между а также который
Следовательно, существует пять независимых свойств упругого материала, два из которых являются коэффициентами Пуассона. Для предполагаемой плоскости симметрии большее из а также - главный коэффициент Пуассона. Остальные большие и второстепенные коэффициенты Пуассона равны.
Значения коэффициента Пуассона для разных материалов
Материал | Коэффициент Пуассона |
---|---|
резинка | 0,4999 [17] |
золото | 0,42–0,44 |
насыщенная глина | 0,40–0,49 |
магний | 0,252–0,289 |
титан | 0,265–0,34 |
медь | 0,33 |
алюминий - сплав | 0,32 |
глина | 0,30–0,45 |
нержавеющая сталь | 0,30–0,31 |
стали | 0,27–0,30 |
чугун | 0,21–0,26 |
песок | 0,20–0,455 |
конкретный | 0,1–0,2 |
стекло | 0,18–0,3 |
металлические очки | 0,276–0,409 [18] |
мыло | 0,10–0,50 |
пробка | 0,0 |
Материал | Плоскость симметрии | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Ячеистая сердцевина Nomex | , лента в направление | 0,49 | 0,69 | 0,01 | 2,75 | 3,88 | 0,01 |
стекловолокно - эпоксидная смола | 0,29 | 0,32 | 0,06 | 0,06 | 0,32 |
Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона
Некоторые материалы, известные как ауксетические материалы, имеют отрицательный коэффициент Пуассона. Когда он подвергается положительной деформации по продольной оси, поперечная деформация в материале фактически будет положительной (т. Е. Увеличит площадь поперечного сечения). Для этих материалов это обычно связано с однозначно ориентированными шарнирными молекулярными связями. Чтобы эти скрепления растягивались в продольном направлении, петли должны «открываться» в поперечном направлении, эффективно демонстрируя положительную деформацию. [19] Это также может быть сделано структурированным образом и приведет к новым аспектам в материальном дизайне, как и в отношении механических метаматериалов .
Исследования показали, что некоторые виды твердой древесины демонстрируют отрицательный коэффициент Пуассона исключительно во время испытания на ползучесть при сжатии . [20] [21] Первоначально испытание на ползучесть при сжатии показывает положительные коэффициенты Пуассона, но постепенно уменьшается, пока не достигнет отрицательных значений. Следовательно, это также показывает, что коэффициент Пуассона для древесины зависит от времени при постоянной нагрузке, а это означает, что деформации в осевом и поперечном направлениях не увеличиваются с одинаковой скоростью.
Среды с инженерной микроструктурой могут иметь отрицательный коэффициент Пуассона. В простом случае ауксетичность достигается удалением материала и созданием периодической пористой среды. [22] Решетки могут достигать более низких значений коэффициента Пуассона, [23] которые могут быть бесконечно близкими к предельному значению -1 в изотропном случае. [24]
Более трехсот кристаллических материалов имеют отрицательный коэффициент Пуассона. [25] [26] [27] Например, Li, Na, K, Cu, Rb, Ag, Fe, Ni, Co, Cs, Au, Be, Ca, Zn Sr, Sb, MoS и другие.
Функция Пуассона
При конечных деформациях соотношение поперечных и осевых деформаций а также обычно не очень хорошо описывается коэффициентом Пуассона. Фактически, коэффициент Пуассона часто считается функцией приложенной деформации в режиме большой деформации. В таких случаях коэффициент Пуассона заменяется функцией Пуассона, для которой существует несколько конкурирующих определений. [28] Определение поперечного растяжения и осевое растяжение , где поперечное растяжение является функцией осевого растяжения (т. е. ) наиболее распространены функции Генки, Био, Грина и Альманси.
Приложения эффекта Пуассона
Одна область, в которой эффект Пуассона имеет значительное влияние, - это поток в трубе под давлением. Когда воздух или жидкость внутри трубы находятся под высоким давлением, они оказывают равномерное усилие на внутреннюю часть трубы, что приводит к кольцевому напряжению внутри материала трубы. Из-за эффекта Пуассона это кольцевое напряжение приведет к увеличению диаметра трубы и небольшому уменьшению ее длины. Уменьшение длины, в частности, может оказать заметное влияние на соединения труб, поскольку эффект будет накапливаться для каждой секции трубы, соединенной последовательно. Сдерживаемый сустав может быть разорван или иным образом подвержен поломке. [ необходима цитата ]
Еще одна область применения эффекта Пуассона - структурная геология . Камни, как и большинство материалов, подвержены эффекту Пуассона при напряжении. В геологическом масштабе времени чрезмерная эрозия или осаждение земной коры может создавать или снимать большие вертикальные напряжения на подстилающей породе. Эта порода будет расширяться или сжиматься в вертикальном направлении как прямой результат приложенного напряжения, а также будет деформироваться в горизонтальном направлении в результате эффекта Пуассона. Это изменение деформации в горизонтальном направлении может повлиять на соединения и спящие напряжения в породе или образовать их. [29]
Хотя исторически пробка была выбрана для герметизации винных бутылок по другим причинам (включая ее инертную природу, непроницаемость, гибкость, герметичность и упругость) [30] , нулевой коэффициент Пуассона пробки дает еще одно преимущество. Когда пробка вставляется в бутылку, верхняя часть, которая еще не вставлена, не расширяется в диаметре, поскольку она сжимается в осевом направлении. Сила, необходимая для того, чтобы вставить пробку в бутылку, возникает только из-за трения между пробкой и бутылкой из-за радиального сжатия пробки. Если бы стопор был изготовлен, например, из резины (с коэффициентом Пуассона около 1/2), то для преодоления радиального расширения верхней части резинового стопора потребовалась бы относительно большая дополнительная сила.
Большинство автомехаников знают, что трудно снять резиновый шланг (например, шланг охлаждающей жидкости) с металлического отрезка трубы, так как растягивающее усилие приводит к уменьшению диаметра шланга, плотно сжимая отрезок. Шланги легче снимать с концов с помощью широкого плоского лезвия.
Смотрите также
- Линейная эластичность
- Закон Гука
- Техника импульсного возбуждения
- Ортотропный материал
- Модуль сдвига
- Модуль для младших
- Коэффициент температурного расширения
Рекомендации
- ^ Для мягких материалов объемный модуль (K) обычно больше по сравнению с модулем сдвига (G), поэтому их можно рассматривать как несжимаемые, поскольку легче изменить форму, чем сжать. Это приводит к тому, что модуль Юнга (E) равен и поэтому . Ястшебский Д. (1959). Природа и свойства инженерных материалов (изд. Wiley International). John Wiley & Sons, Inc.
- ^ Лейкс, Р. и Войцеховски, К.В., 2008. Отрицательная сжимаемость, отрицательный коэффициент Пуассона и стабильность. Physica Status Solidi (B), 245 (3), стр. 545-551.
- ^ Герчек, Х. (январь 2007 г.). «Значения коэффициента Пуассона для горных пород». Международный журнал механики горных пород и горных наук . 44 (1): 1–13. DOI : 10.1016 / j.ijrmms.2006.04.011 .
- ^ Парк, RJT. Сейсмические характеристики стальных бетонных свай
- ^ Марк, Шенк (2011). Складчатые конструкции оболочки, кандидатская диссертация (PDF) . Кембриджский университет, Клэр-колледж.
- ^ Вэй, З.Ы .; Guo, ZV; Dudte, L .; Liang, HY; Махадеван, Л. (21 мая 2013 г.). "Геометрическая механика периодического гофрированного оригами" (PDF) . Письма с физическим обзором . 110 (21): 215501. arXiv : 1211.6396 . Bibcode : 2013PhRvL.110u5501W . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.110.215501 . PMID 23745895 . S2CID 9145953 .
- ^ Эйдини, Марьям; Паулино, Глаусио Х. (2015). «Раскрытие свойств метаматериалов в листах, сложенных зигзагообразно» . Наука продвигается . 1 (8): e1500224. arXiv : 1502.05977 . Bibcode : 2015SciA .... 1E0224E . DOI : 10.1126 / sciadv.1500224 . ISSN 2375-2548 . PMC 4643767 . PMID 26601253 .
- ^ Эйдини, Марьям (2016). «Ячеистые механические метаматериалы листовые гнутые зигзагообразно» Письма об экстремальной механике . 6 : 96–102. arXiv : 1509.08104 . DOI : 10.1016 / j.eml.2015.12.006 . S2CID 118424595 .
- ^ Мусанежад, Давуд; Бабай, Сахаб; Эбрахими, Хамид; Гош, Ранаджай; Хамуда, Абдельмагид Салем; Бертольди, Катя; Вазири, Ашкан (16 декабря 2015 г.). «Иерархические сотовые ауксетические метаматериалы» . Научные отчеты . 5 : 18306. Bibcode : 2015NatSR ... 518306M . DOI : 10.1038 / srep18306 . ISSN 2045-2322 . PMC 4680941 . PMID 26670417 .
- ^ https://arxiv.org/ftp/arxiv/papers/1204/1204.3859.pdf - Пределы коэффициента Пуассона в изотропных материалах - общий результат для произвольной деформации.
- ^ Епишин А.И. Лисовенко, Д.С. (2016). «Экстремальные значения коэффициента Пуассона кубических кристаллов». Техническая физика . 61 (10): 1516–1524. Bibcode : 2016JTePh..61.1516E . DOI : 10.1016 / j.mechmat.2019.03.017 .
- ^ Городцов В.А.; Лисовенко Д.С. (2019). «Экстремальные значения модуля Юнга и коэффициента Пуассона гексагональных кристаллов». Механика материалов . 134 : 1–8. DOI : 10.1016 / j.mechmat.2019.03.017 .
- ^ Boresi, А. Р, Шмидт, RJ и Sidebottom О.М., 1993, Advanced механика материалов , Wiley.
- ^ Лехницкий С.Г., (1963), Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.
- ^ Тан, SC, 1994, Концентрации напряжений в ламинированных композитах , Technomic Publishing Company, Ланкастер, Пенсильвания.
- ^ Флюгель, Александр. «Расчет коэффициента Пуассона для очков» . www.glassproperties.com . Архивировано 23 октября 2017 года . Проверено 28 апреля 2018 .
- ^ «Архивная копия» (PDF) . Архивировано (PDF) из оригинала 31.10.2014 . Проверено 24 сентября 2014 .CS1 maint: заархивированная копия как заголовок ( ссылка )
- ^ Журнал прикладной физики 110, 053521 (2011)
- ^ Озера, Род. «Отрицательный коэффициент Пуассона» . silver.neep.wisc.edu . Архивировано 16 февраля 2018 года . Проверено 28 апреля 2018 .
- ^ Озихар, Томаш; Геринг, Стефан; Немц, Питер (март 2013). «Вязкоупругие характеристики древесины: зависимость от времени ортотропной податливости при растяжении и сжатии». Журнал реологии . 57 (2): 699–717. Bibcode : 2013JRheo..57..699O . DOI : 10.1122 / 1.4790170 . ISSN 0148-6055 .
- ^ Цзян, Цзяли; Эрик Валентин, Бахтияр; Лу, Цзяньсюн; Немц, Питер (2016-11-01). "Временная зависимость модулей ортотропного сжатия Юнга и коэффициентов Пуассона древесины пихты китайской" (PDF) . Holzforschung . 70 (11): 1093–1101. DOI : 10,1515 / ВЧ-2016-0001 . ЛВП : 20.500.11850 / 122097 . ISSN 1437-434X . S2CID 137799672 .
- ^ Carta, Джорджио; Брун, Мишель; Бальди, Антонио (2016). «Конструкция пористого материала с изотропным отрицательным коэффициентом Пуассона». Механика материалов . 97 : 67–75. DOI : 10.1016 / j.mechmat.2016.02.012 .
- ^ Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2016). «Класс ауксетических трехмерных решеток» . Журнал механики и физики твердого тела . 91 : 56–72. arXiv : 1506.04919 . Bibcode : 2016JMPSo..91 ... 56C . DOI : 10.1016 / j.jmps.2016.02.010 . S2CID 85547530 .
- ^ Кабрас, Луиджи; Брун, Мишель (2014). «Ауксетические двумерные решетки с коэффициентом Пуассона, сколь угодно близким к -1». Труды Королевского общества А . 470 (2172): 20140538. arXiv : 1407.5679 . Bibcode : 2014RSPSA.47040538C . DOI : 10,1098 / rspa.2014.0538 . S2CID 119321604 .
- ^ Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2013). «Классификация кубических ауксетиков». Physica Status Solidi B . 250 (10): 2038–2043. DOI : 10.1002 / pssb.201384233 .
- ^ Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко, Д.С. (2011). «Изменчивость упругих свойств гексагональных ауксетиков». Доклады Физики . 56 (12): 602–605. DOI : 10.1134 / S1028335811120019 . S2CID 120998323 .
- ^ Гольдштейн, Р.В.; Городцов В.А.; Лисовенко Д.С.; Волков, М.А. (2015). «Ауксетики среди 6-константных тетрагональных кристаллов» . Письма о материалах . 5 (4): 409–413. DOI : 10.22226 / 2410-3535-2015-4-409-413 .
- ^ Михай, Луизиана; Гориели, А. (03.11.2017). «Как охарактеризовать нелинейный упругий материал? Обзор нелинейных основных параметров в изотропной конечной упругости» . Труды Королевского общества А . 473 (2207): 20170607. Bibcode : 2017RSPSA.47370607M . DOI : 10,1098 / rspa.2017.0607 . PMC 5719638 . PMID 29225507 .
- ^ «Конспект по структурной геологии - эффективное напряжение» . Проверено 3 июля 2019 .
- ^ Сильва и др. «Корк: свойства, возможности и приложения». Архивировано 9августа 2017 г.в Wayback Machine. Проверено 4 мая 2017 г.
Внешние ссылки
- Значение коэффициента Пуассона
- Материалы с отрицательным коэффициентом Пуассона
- Подробнее о материалах с отрицательным коэффициентом Пуассона (ауксетические)
Формулы преобразования | |||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
Однородные изотропные линейные упругие материалы обладают своими упругими свойствами, однозначно определяемыми любыми двумя модулями из них; таким образом, для любых двух любых других модулей упругости можно рассчитать по этим формулам. | |||||||
Заметки | |||||||
Есть два верных решения. | |||||||
Не может использоваться, когда | |||||||