Ортотропный материал

Дерево - пример ортотропного материала. Свойства материалов в трех перпендикулярных направлениях (осевом, радиальном и окружном) различны.

В материальной науке и механики твердого тела , ортотропные материалы имеют свойства материала в определенной точке, которые отличаются по трем взаимно - ортогональных осей, где каждая ось имеет двойное поворотную симметрию . Эти направленные различия в силе можно количественно оценить с помощью уравнения Хэнкинсона .

Они являются разновидностью анизотропных материалов , поскольку их свойства меняются при измерении с разных сторон.

Знакомый пример ортотропного материала - дерево . В дереве можно определить три взаимно перпендикулярных направления в каждой точке, в которых свойства различны. Он наиболее жесткий (и прочный) вдоль волокон, потому что большинство фибрилл целлюлозы выровнены таким образом. Обычно он наименее жесткий в радиальном направлении (между годичными кольцами) и является промежуточным в направлении по окружности. Эта анизотропия была обеспечена эволюцией, так как она лучше всего позволяет дереву оставаться в вертикальном положении.

Поскольку предпочтительной системой координат является цилиндрическо-полярная, этот тип ортотропии также называется полярной ортотропией .

Другой пример ортотропного материала - листовой металл, образованный путем сжатия толстых участков металла между тяжелыми роликами. Это сглаживает и растягивает его зернистую структуру . В результате материал становится анизотропным - его свойства различаются в зависимости от направления прокатки и в каждом из двух поперечных направлений. Этот метод успешно используется для изготовления балок из конструкционной стали и алюминиевых обшивок самолетов.

Если ортотропные свойства различаются между точками внутри объекта, он обладает как ортотропией, так и неоднородностью . Это говорит о том, что ортотропия - это свойство точки внутри объекта, а не для объекта в целом (если объект не является однородным). Соответствующие плоскости симметрии также определены для небольшой области вокруг точки и не обязательно должны быть идентичны плоскостям симметрии всего объекта.

Ортотропные материалы - это подмножество анизотропных материалов ; их свойства зависят от направления, в котором они измеряются. Ортотропные материалы имеют три плоскости / оси симметрии. Изотропным материал, в отличие от этого , обладает теми же свойствами в каждом направлении. Можно доказать, что материал, имеющий две плоскости симметрии, должен иметь третью. Изотропные материалы имеют бесконечное количество плоскостей симметрии.

Поперечно изотропныйматериалы - это специальные ортотропные материалы, имеющие одну ось симметрии (любая другая пара осей, перпендикулярная основной и ортогональная между собой, также являются осями симметрии). Одним из распространенных примеров поперечно-изотропного материала с одной осью симметрии является полимер, армированный параллельными стеклянными или графитовыми волокнами. Прочность и жесткость такого композитного материала обычно больше в направлении, параллельном волокнам, чем в поперечном направлении, а направление толщины обычно имеет свойства, аналогичные поперечному направлению. Другим примером может быть биологическая мембрана, свойства которой в плоскости мембраны будут отличаться от свойств в перпендикулярном направлении. Было показано, что ортотропные свойства материала обеспечивают более точное представление костной ткани.s эластичная симметрия, а также может дать информацию о трехмерной направленности свойств материала костной ткани на уровне ткани.^[1]

Важно иметь в виду, что материал, который является анизотропным на одном масштабе длины, может быть изотропным на другом (обычно более крупном) масштабе длины. Например, большинство металлов являются поликристаллическими с очень мелкими зернами . Каждое из отдельных зерен может быть анизотропным, но если материал в целом содержит множество случайно ориентированных зерен, то его измеренные механические свойства будут средним значением свойств по всем возможным ориентациям отдельных зерен.

Ортотропия в физике [ править ]

Анизотропные материальные отношения [ править ]

Материальное поведение представлено в физических теориях определяющими отношениями . Большой класс физического поведения может быть представлен линейными моделями материала, которые принимают форму тензора второго порядка . Тензор материала обеспечивает связь между двумя векторами и может быть записан как

{\ displaystyle \ mathbf {f} = {\ boldsymbol {K}} \ cdot \ mathbf {d}}

где - два вектора, представляющие физические величины, и - материальный тензор второго порядка. Если мы выразим вышеприведенное уравнение через компоненты относительно ортонормированной системы координат , мы можем написать ${\ displaystyle \ mathbf {d}, \ mathbf {f}}$ ${\ displaystyle {\ boldsymbol {K}}}$

f_{i}=K_{ij}~d_{j}~.

В приведенном выше соотношении предполагается суммирование по повторяющимся индексам . В матричной форме имеем

{\underline {\mathbf {f} }}={\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\mathbf {d} }}\implies {\begin{bmatrix}f_{1}\\f_{2}\\f_{3}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&K_{13}\\K_{21}&K_{22}&K_{23}\\K_{31}&K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}d_{1}\\d_{2}\\d_{3}\end{bmatrix}}

Примеры физических проблем, соответствующих вышеуказанному шаблону, перечислены в таблице ниже. ^[2]

Проблема	$\mathbf {f}$	$\mathbf {d}$	${\boldsymbol {K}}$
Электрическая проводимость	Электрический ток $\mathbf {J}$	Электрическое поле $\mathbf {E}$	Электрическая проводимость ${\boldsymbol {\sigma }}$
Диэлектрики	Электрическое смещение $\mathbf {D}$	Электрическое поле $\mathbf {E}$	Электрическая проницаемость ${\boldsymbol {\varepsilon }}$
Магнетизм	Магнитная индукция $\mathbf {B}$	Магнитное поле $\mathbf {H}$	Магнитная проницаемость ${\boldsymbol {\mu }}$
Теплопроводность	Поток горячего воздуха $\mathbf {q}$	Температурный градиент $-{\boldsymbol {\nabla }}T$	Теплопроводность ${\boldsymbol {\kappa }}$
Диффузия	Поток частиц $\mathbf {J}$	Градиент концентрации $-{\boldsymbol {\nabla }}c$	Диффузность ${\boldsymbol {D}}$
Течение в пористой среде	Взвешенная скорость жидкости $\eta _{\mu }\mathbf {v}$	Градиент давления ${\boldsymbol {\nabla }}P$	Проницаемость для жидкости ${\boldsymbol {\kappa }}$

Условие симметрии материала [ править ]

Матрица материала обладает симметрией относительно данного ортогонального преобразования ( ), если она не изменяется при выполнении этого преобразования. Для неизменности свойств материала при таком преобразовании нам потребуется ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$ ${\boldsymbol {A}}$

{\boldsymbol {A}}\cdot \mathbf {f} ={\boldsymbol {K}}\cdot ({\boldsymbol {A}}\cdot {\boldsymbol {d}})\implies \mathbf {f} =({\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}})\cdot {\boldsymbol {d}}

Следовательно, условие симметрии материала (используя определение ортогонального преобразования)

{\boldsymbol {K}}={\boldsymbol {A}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}={\boldsymbol {A}}^{T}\cdot {\boldsymbol {K}}\cdot {\boldsymbol {A}}

Ортогональные преобразования могут быть представлены в декартовых координатах матрицей, заданной как $3\times 3$ ${\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}$

{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

Следовательно, условие симметрии можно записать в матричной форме как

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {A}}}}

Свойства ортотропных материалов [ править ]

Ортотропный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут

{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

Можно показать, что если матрица материала инвариантна относительно отражения относительно двух ортогональных плоскостей, то она также инвариантна относительно отражения относительно третьей ортогональной плоскости. ${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}$

Рассмотрим отражение о плоскости. Тогда у нас есть ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}$ $1-2\,$

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{3}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&K_{12}&-K_{13}\\K_{21}&K_{22}&-K_{23}\\-K_{31}&-K_{32}&K_{33}\end{bmatrix}}

Из приведенного выше отношения следует, что . Затем рассмотрим отражение о плоскости. Тогда у нас есть $K_{13}=K_{23}=K_{31}=K_{32}=0$ ${\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}$ $1-3\,$

{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}^{T}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}~{\underline {\underline {{\boldsymbol {A}}_{2}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&-K_{12}&0\\-K_{21}&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}

Это подразумевает это . Следовательно, свойства ортотропного материала описываются матрицей $K_{12}=K_{21}=0$

${\underline {\underline {\boldsymbol {K}}}}={\begin{bmatrix}K_{11}&0&0\\0&K_{22}&0\\0&0&K_{33}\end{bmatrix}}$

Ортотропия при линейной упругости [ править ]

Анизотропная эластичность [ править ]

В линейной упругости соотношение между напряжением и деформацией зависит от типа рассматриваемого материала. Это соотношение известно как закон Гука . Для анизотропных материалов закон Гука можно записать в виде ^[3]

{\boldsymbol {\sigma }}={\mathsf {c}}\cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}

где - тензор напряжений , - тензор деформации, - тензор упругой жесткости . Если тензоры в приведенном выше выражении описываются в терминах компонентов относительно ортонормированной системы координат, мы можем написать ${\boldsymbol {\sigma }}$ ${\boldsymbol {\varepsilon }}$ ${\mathsf {c}}$

\sigma _{ij}=c_{ijk\ell }~\varepsilon _{k\ell }

где по повторяющимся индексам предполагалось суммирование. Поскольку тензоры напряжений и деформаций симметричны , и поскольку соотношение напряжение-деформация в линейной упругости может быть получено из функции плотности энергии деформации , для линейных упругих материалов выполняются следующие симметрии

c_{ijk\ell }=c_{jik\ell }~,~~c_{ijk\ell }=c_{ij\ell k}~,~~c_{ijk\ell }=c_{k\ell ij}~.

Из-за вышеупомянутой симметрии соотношение напряжение-деформация для линейных упругих материалов может быть выражено в матричной форме как

{\begin{bmatrix}\sigma _{11}\\\sigma _{22}\\\sigma _{33}\\\sigma _{23}\\\sigma _{31}\\\sigma _{12}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1111}&c_{1122}&c_{1133}&c_{1123}&c_{1131}&c_{1112}\\c_{2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\\c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112}\\c_{1211}&c_{1222}&c_{1233}&c_{1223}&c_{1231}&c_{1212}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2\varepsilon _{31}\\2\varepsilon _{12}\end{bmatrix}}

Альтернативным представлением в нотации Фойгта является

{\begin{bmatrix}\sigma _{1}\\\sigma _{2}\\\sigma _{3}\\\sigma _{4}\\\sigma _{5}\\\sigma _{6}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{1}\\\varepsilon _{2}\\\varepsilon _{3}\\\varepsilon _{4}\\\varepsilon _{5}\\\varepsilon _{6}\end{bmatrix}}

или же

{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}={\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}

Матрица жесткости в приведенной выше соотношению удовлетворяет точечную симметрию . ^[4] ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$

Условие симметрии материала [ править ]

Матрица жесткости удовлетворяет заданному условию симметрии, если она не изменяется при соответствующем ортогональном преобразовании . Ортогональное преобразование может представлять симметрию относительно точки , оси или плоскости . Ортогональные преобразования в линейной упругости включают вращения и отражения, но не преобразования с изменением формы, и могут быть представлены в ортонормированных координатах матрицей, заданной следующим образом: ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$ $3\times 3$ ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$

{\underline {\underline {\mathbf {A} }}}={\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}\end{bmatrix}}~.

В нотации Фойгта матрица преобразования для тензора напряжений может быть выражена как матрица, заданная формулой ^[4] $6\times 6$ ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}$

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&2A_{12}A_{13}&2A_{11}A_{13}&2A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&2A_{22}A_{23}&2A_{21}A_{23}&2A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&2A_{32}A_{33}&2A_{31}A_{33}&2A_{31}A_{32}\\A_{21}A_{31}&A_{22}A_{32}&A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\A_{11}A_{31}&A_{12}A_{32}&A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\A_{11}A_{21}&A_{12}A_{22}&A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

Преобразование для тензора деформации имеет несколько иной вид из-за выбора обозначений. Эта матрица преобразования

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}A_{11}^{2}&A_{12}^{2}&A_{13}^{2}&A_{12}A_{13}&A_{11}A_{13}&A_{11}A_{12}\\A_{21}^{2}&A_{22}^{2}&A_{23}^{2}&A_{22}A_{23}&A_{21}A_{23}&A_{21}A_{22}\\A_{31}^{2}&A_{32}^{2}&A_{33}^{2}&A_{32}A_{33}&A_{31}A_{33}&A_{31}A_{32}\\2A_{21}A_{31}&2A_{22}A_{32}&2A_{23}A_{33}&A_{22}A_{33}+A_{23}A_{32}&A_{21}A_{33}+A_{23}A_{31}&A_{21}A_{32}+A_{22}A_{31}\\2A_{11}A_{31}&2A_{12}A_{32}&2A_{13}A_{33}&A_{12}A_{33}+A_{13}A_{32}&A_{11}A_{33}+A_{13}A_{31}&A_{11}A_{32}+A_{12}A_{31}\\2A_{11}A_{21}&2A_{12}A_{22}&2A_{13}A_{23}&A_{12}A_{23}+A_{13}A_{22}&A_{11}A_{23}+A_{13}A_{21}&A_{11}A_{22}+A_{12}A_{21}\end{bmatrix}}

Это можно показать . ${\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\sigma }}}}^{-1}$

Упругие свойства континуума инвариантны относительно ортогонального преобразования тогда и только тогда, когда ^[4] ${\underline {\underline {\mathbf {A} }}}$
${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

Матрицы жесткости и податливости в ортотропной эластичности [ править ]

Ортотропный эластичный материал имеет три ортогональные плоскости симметрии . Если мы выберем ортонормированную систему координат так, чтобы оси совпадали с нормалями к трем плоскостям симметрии, матрицы преобразования будут

{\underline {\underline {\mathbf {A} _{1}}}}={\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&-1&0\\0&0&1\end{bmatrix}}~;~~{\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&-1\end{bmatrix}}

Мы можем показать, что если матрица для линейного упругого материала инвариантна относительно отражения относительно двух ортогональных плоскостей, то она также инвариантна относительно отражения относительно третьей ортогональной плоскости. ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}$

Если мы рассмотрим отражение относительно плоскости, то имеем ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{3}}}}$ $1-2\,$

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&-1&0\\0&0&0&0&0&1\end{bmatrix}}

Тогда из требования следует, что ^[4] ${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}^{T}~{\underline {\underline {\mathsf {C}}}}~{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}$

{\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&C_{14}&C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&C_{24}&C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&C_{34}&C_{35}&C_{36}\\C_{14}&C_{24}&C_{34}&C_{44}&C_{45}&C_{46}\\C_{15}&C_{25}&C_{35}&C_{45}&C_{55}&C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&C_{46}&C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&-C_{14}&-C_{15}&C_{16}\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&-C_{24}&-C_{25}&C_{26}\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&-C_{34}&-C_{35}&C_{36}\\-C_{14}&-C_{24}&-C_{34}&C_{44}&C_{45}&-C_{46}\\-C_{15}&-C_{25}&-C_{35}&C_{45}&C_{55}&-C_{56}\\C_{16}&C_{26}&C_{36}&-C_{46}&-C_{56}&C_{66}\end{bmatrix}}

Вышеуказанное требование может быть выполнено только в том случае, если

C_{14}=C_{15}=C_{24}=C_{25}=C_{34}=C_{35}=C_{46}=C_{56}=0~.

Давайте теперь рассмотрим отражение о плоскости. В таком случае ${\underline {\underline {\mathbf {A} _{2}}}}$ $1-3\,$

{\underline {\underline {{\mathsf {A}}_{\varepsilon }}}}={\begin{bmatrix}1&0&0&0&0&0\\0&1&0&0&0&0\\0&0&1&0&0&0\\0&0&0&-1&0&0\\0&0&0&0&1&0\\0&0&0&0&0&-1\end{bmatrix}}

Снова используя условие инвариантности, получаем дополнительное требование:

C_{16}=C_{26}=C_{36}=C_{45}=0~.

Никакой дополнительной информации получить нельзя, потому что отражение относительно третьей плоскости симметрии не является независимым от отражений относительно плоскостей, которые мы уже рассмотрели. Следовательно, матрица жесткости ортотропного линейно-упругого материала может быть записана как

${\underline {\underline {\mathsf {C}}}}={\begin{bmatrix}C_{11}&C_{12}&C_{13}&0&0&0\\C_{12}&C_{22}&C_{23}&0&0&0\\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}$

Обращение к этой матрице обычно записывается как ^[5]

{\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}{\tfrac {1}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {21}}}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {31}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {12}}}{E_{\rm {1}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {2}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {32}}}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\-{\tfrac {\nu _{\rm {13}}}{E_{\rm {1}}}}&-{\tfrac {\nu _{\rm {23}}}{E_{\rm {2}}}}&{\tfrac {1}{E_{\rm {3}}}}&0&0&0\\0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {23}}}}&0&0\\0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {31}}}}&0\\0&0&0&0&0&{\tfrac {1}{G_{\rm {12}}}}\\\end{bmatrix}}

где - модуль Юнга вдоль оси , - модуль сдвига в направлении на плоскости, нормаль к которой направлена , и - коэффициент Пуассона, который соответствует сжатию в направлении, когда растяжение применяется в направлении . ${E}_{\rm {i}}\,$ $i$ $G_{\rm {ij}}\,$ $j$ $i$ $\nu _{\rm {ij}}\,$ $j$ $i$

Границы модулей ортотропных упругих материалов [ править ]

Соотношение деформаций и напряжений для ортотропных линейных упругих материалов может быть записано в обозначениях Фойгта как

{\underline {\underline {\boldsymbol {\varepsilon }}}}={\underline {\underline {\mathsf {S}}}}~{\underline {\underline {\boldsymbol {\sigma }}}}

где матрица соответствия дается выражением ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$

{\underline {\underline {\mathsf {S}}}}={\begin{bmatrix}S_{11}&S_{12}&S_{13}&0&0&0\\S_{12}&S_{22}&S_{23}&0&0&0\\S_{13}&S_{23}&S_{33}&0&0&0\\0&0&0&S_{44}&0&0\\0&0&0&0&S_{55}&0\\0&0&0&0&0&S_{66}\end{bmatrix}}

Матрица податливости является симметричной и должна быть положительно определенной, чтобы плотность энергии деформации была положительной. Это следует из критерия Сильвестра, что все главные миноры матрицы положительны, ^[6] т. Е.

\Delta _{k}:=\det({\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}})>0

где является главной подматрицей из . ${\underline {\underline {{\mathsf {S}}_{k}}}}$ $k\times k$ ${\underline {\underline {\mathsf {S}}}}$

Потом,

{\begin{aligned}\Delta _{1}>0&\implies \quad S_{11}>0\\\Delta _{2}>0&\implies \quad S_{11}S_{22}-S_{12}^{2}>0\\\Delta _{3}>0&\implies \quad (S_{11}S_{22}-S_{12}^{2})S_{33}-S_{11}S_{23}^{2}+2S_{12}S_{23}S_{13}-S_{22}S_{13}^{2}>0\\\Delta _{4}>0&\implies \quad S_{44}\Delta _{3}>0\implies S_{44}>0\\\Delta _{5}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}\Delta _{3}>0\implies S_{55}>0\\\Delta _{6}>0&\implies \quad S_{44}S_{55}S_{66}\Delta _{3}>0\implies S_{66}>0\end{aligned}}

Мы можем показать, что из этого набора условий следует, что ^[7]

S_{11}>0~,~~S_{22}>0~,~~S_{33}>0~,~~S_{44}>0~,~~S_{55}>0~,~~S_{66}>0

или же

E_{1}>0,E_{2}>0,E_{3}>0,G_{12}>0,G_{23}>0,G_{13}>0

Однако нельзя поставить аналогичные нижние границы на значения коэффициентов Пуассона . ^[6] $\nu _{ij}$

См. Также [ править ]

Анизотропия
Стресс (механика)
Теория бесконечно малых деформаций
Теория конечных деформаций
Закон Гука

Ссылки [ править ]

^ Geraldes DM et al, 2014, Сравнительное исследование ортотропной и изотропной адаптации кости в бедренной кости , Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, том 30, выпуск 9, страницы 873–889, DOI: 10.1002 / cnm.2633, http : //onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full
^ Милтон, GW, 2002, Теория композитов , Cambridge University Press.
^ Lekhnitskii, SG, 1963, Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.
^ a b c d Славинский, М. А., 2010, Волны и лучи в упругих сплошных средах: 2-е изд. , World Scientific. [1]
^ Boresi, А. Р, Шмидт, RJ и Sidebottom О.М., 1993, Advanced механика материалов , Wiley.
^ a b Ting, TCT и Chen, T., 2005, Коэффициент Пуассона для анизотропных упругих материалов не может иметь границ , QJ Mech. Прил. Math., 58 (1), с. 73-82.
^ Тин, ТСТ (1996), "Положительная определенность анизотропных упругих констант", Математика и Механика твердого тела , 1 (3): 301-314, DOI : 10,1177 / 108128659600100302 , S2CID 122747373.

Дальнейшее чтение [ править ]

Уравнения моделирования ортотропии из раздела руководства OOFEM Matlib.
Закон Гука для ортотропных материалов

[Gera-1] Geraldes DM et al, 2014, Сравнительное исследование ортотропной и изотропной адаптации кости в бедренной кости , Международный журнал численных методов в биомедицинской инженерии, том 30, выпуск 9, страницы 873–889, DOI: 10.1002 / cnm.2633, http : //onlinelibrary.wiley.com/wol1/doi/10.1002/cnm.2633/full

[Milton-2] Милтон, GW, 2002, Теория композитов , Cambridge University Press.

[Lekh-3] Lekhnitskii, SG, 1963, Теория упругости анизотропного упругого тела , Holden-Day Inc.

[Slawinski-4] Славинский, М. А., 2010, Волны и лучи в упругих сплошных средах: 2-е изд. , World Scientific. [1]

[Boresi-5] Boresi, А. Р, Шмидт, RJ и Sidebottom О.М., 1993, Advanced механика материалов , Wiley.

[Ting-6] Ting, TCT и Chen, T., 2005, Коэффициент Пуассона для анизотропных упругих материалов не может иметь границ , QJ Mech. Прил. Math., 58 (1), с. 73-82.

[Ting1-7] Тин, ТСТ (1996), "Положительная определенность анизотропных упругих констант", Математика и Механика твердого тела , 1 (3): 301-314, DOI : 10,1177 / 108128659600100302 , S2CID 122747373.

[1]