Тензор

Тензор напряжений Коши второго порядка ( ) описывает силы напряжения, испытываемые материалом в данной точке. Произведение тензора напряжений и единичного вектора , указывающее в заданном направлении, представляет собой вектор, описывающий силы напряжения, испытываемые материалом в точке, описываемой тензором напряжений, вдоль плоскости, перпендикулярной к . На этом изображении показаны векторы напряжений вдоль трех перпендикулярных направлений, каждое из которых представлено гранью куба. Поскольку тензор напряжений описывает отображение, которое принимает один вектор в качестве входных данных и дает один вектор в качестве выходных данных, это тензор второго порядка.${\ displaystyle \ mathbf {T}}$${\ Displaystyle \ mathbf {T} \ cdot \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$${\ displaystyle \ mathbf {v}}$

В математике , А тензор является алгебраическим объект , который описывает ( полилинейную ) взаимосвязь между наборами алгебраических объектов , связанными с векторным пространством . Объекты , которые могут тензоры отображения между включают векторы и скаляры , и даже другие тензоры. Тензоры могут принимать несколько различных форм - например: скаляры и векторы (которые являются простейшими тензорами), двойственные векторы , полилинейные карты между векторными пространствами и даже некоторые операции, такие как скалярное произведение . Тензоры определяются независимо от какого-либо базиса, хотя они часто упоминаются их компонентами в основе, относящейся к определенной системе координат.

Тензоры важны в физике, потому что они обеспечивают краткую математическую основу для формулирования и решения физических задач в таких областях, как механика ( напряжение , упругость , механика жидкости , момент инерции , ...), электродинамика ( электромагнитный тензор , тензор Максвелла , диэлектрическая проницаемость , магнитная восприимчивость , ...), или общая теория относительности ( тензор энергии-импульса , тензор кривизны, ... ) и другие. В приложениях обычно изучаются ситуации, когда в каждой точке объекта может встречаться другой тензор; например, напряжение внутри объекта может варьироваться от одного места к другому. Это приводит к концепции тензорного поля . В некоторых областях тензорные поля настолько распространены, что их часто называют просто «тензорами».

Тензоры были изобретены в 1900 году Туллио Леви-Чивита и Грегорио Риччи-Курбастро , которые продолжили более раннюю работу Бернхарда Римана и Элвина Бруно Кристоффеля и других как часть абсолютного дифференциального исчисления . Концепция включена альтернативная формулировка внутренней дифференциальной геометрии в виде коллектора в виде тензора кривизны Римана . ^[1]

Определение [ править ]

Несмотря на кажущуюся разность, различные подходы к определению тензоров описывают одну и ту же геометрическую концепцию, используя разный язык и на разных уровнях абстракции. Например, тензоры определяются и обсуждаются для приложений статистики и машинного обучения. ^[2]

В виде многомерных массивов [ править ]

Тензор можно представить в виде (потенциально многомерного) массива. Так же, как вектор в n - мерном пространстве представлен одномерным массивом с n компонентами относительно данного базиса , любой тензор относительно базиса представлен многомерным массивом. Например, линейный оператор представлен в базисе как двумерный квадратный массив n × n . Числа в многомерном массиве известны как скалярные компоненты тензора или просто его компоненты . Они обозначаются индексами, указывающими их позицию в массиве, какнижние и верхние индексы , следующие за символьным именем тензора. Например, компоненты тензора T порядка 2 можно обозначить как T _ij  , где i и j - индексы от 1 до n , или также через T ^я
_j. Отображение индекса в виде надстрочного или подстрочного индекса зависит от свойств преобразования тензора, описанных ниже. Таким образом, пока T _ij и T ^я
_jобе могут быть выражены как матрицы n на n и численно связаны посредством манипулирования индексами , различие в их законах преобразования указывает на то, что было бы неправильно складывать их вместе. Общее количество индексов, необходимых для уникальной идентификации каждого компонента, равно размерности массива и называется порядком , степенью или рангом тензора. Однако термин «ранг» обычно имеет другое значение в контексте матриц и тензоров.

Так же, как компоненты вектора изменяются при изменении базиса векторного пространства, компоненты тензора также изменяются при таком преобразовании. Каждый тип тензора снабжен законом преобразования, в котором подробно описано, как компоненты тензора реагируют на изменение базиса . Компоненты вектора могут реагировать на изменение базиса двумя разными способами (см. Ковариацию и контравариантность векторов ), где новые базисные векторы выражаются в терминах старых базисных векторов как,${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{j}}$

${\displaystyle \mathbf {\hat {e}} _{i}=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}=\mathbf {e} _{j}R_{i}^{j}.}$

Здесь R ^j _i - элементы изменения базисной матрицы, а в крайнем правом выражении знак суммирования был убран: это соглашение Эйнштейна о суммировании , которое будет использоваться в этой статье. ^{[Примечание 1]} Компоненты v ⁱ вектора-столбца v преобразуются с обратной матрицей R ,

${\displaystyle {\hat {v}}^{i}=\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}v^{j},}$

где шляпкой обозначены компоненты в новом базисе. Это называется контравариантным законом преобразования, потому что компоненты вектора преобразуются обратным изменению базиса. Напротив, компоненты w _i ковектора (или вектора-строки) w преобразуются вместе с самой матрицей R ,

${\displaystyle {\hat {w}}_{i}=w_{j}R_{i}^{j}.}$

Это называется законом ковариантного преобразования, потому что компоненты ковектора преобразуются по той же матрице, что и изменение базисной матрицы. Компоненты более общего тензорного преобразования преобразуются посредством некоторой комбинации ковариантных и контравариантных преобразований с одним законом преобразования для каждого индекса. Если матрица преобразования индекса является обратной матрицей базисного преобразования, то индекс называется контравариантным и условно обозначается верхним индексом (верхним индексом). Если матрица преобразования индекса является самим преобразованием базиса, то индекс называется ковариантным и обозначается нижним индексом (нижним индексом).

В качестве простого примера, матрица линейного оператора относительно базиса представляет собой прямоугольный массив, который преобразуется при изменении базисной матрицы на . Для отдельных элементов матрицы этот закон преобразования имеет вид, так что тензор, соответствующий матрице линейного оператора, имеет один ковариантный и один контравариантный индекс: он имеет тип (1,1).${\displaystyle T}$${\displaystyle R=\left(R_{i}^{j}\right)}$${\displaystyle {\hat {T}}=R^{-1}TR}$${\displaystyle {\hat {T}}_{j'}^{i'}=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}}$

Комбинации ковариантных и контравариантных компонентов с одним индексом позволяют выразить геометрические инварианты. Например, тот факт, что вектор является одним и тем же объектом в разных системах координат, может быть зафиксирован следующими уравнениями, используя формулы, определенные выше:

${\displaystyle \mathbf {v} ={\hat {v}}^{i}\,\mathbf {\hat {e}} _{i}=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}{v}^{j}\right)\left(\mathbf {e} _{k}R_{i}^{k}\right)=\left(\left(R^{-1}\right)_{j}^{i}R_{i}^{k}\right){v}^{j}\mathbf {e} _{k}=\delta _{j}^{k}{v}^{j}\mathbf {e} _{k}={v}^{k}\,\mathbf {e} _{k}={v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$,

где - дельта Кронекера , которая функционирует аналогично единичной матрице и имеет эффект переименования индексов ( j в k в этом примере). Это демонстрирует несколько особенностей нотации компонентов: способность переупорядочивать термины по желанию ( коммутативность ), необходимость использования разных индексов при работе с несколькими объектами в одном выражении, возможность переименовывать индексы и способ контравариантности. и ковариантные тензоры комбинируются, так что все экземпляры матрицы преобразования и ее обратной аннулируются, так что выражения вроде сразу становятся геометрически идентичными во всех системах координат.${\displaystyle \delta _{j}^{k}}$${\displaystyle {v}^{i}\,\mathbf {e} _{i}}$

Точно так же линейный оператор, рассматриваемый как геометрический объект, на самом деле не зависит от базиса: это просто линейная карта, которая принимает вектор в качестве аргумента и производит другой вектор. Закон преобразования того, как матрица компонентов линейного оператора изменяется с базисом, согласуется с законом преобразования для контравариантного вектора, так что действие линейного оператора на контравариантный вектор представляется в координатах как матричное произведение их соответствующие координатные представления. То есть компоненты даны по . Эти компоненты преобразуются контравариантно, так как${\displaystyle (Tv)^{i}}$${\displaystyle (Tv)^{i}=T_{j}^{i}v^{j}}$

${\displaystyle \left({\widehat {Tv}}\right)^{i'}={\hat {T}}_{j'}^{i'}{\hat {v}}^{j'}=\left[\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}T_{j}^{i}R_{j'}^{j}\right]\left[\left(R^{-1}\right)_{j}^{j'}v^{j}\right]=\left(R^{-1}\right)_{i}^{i'}(Tv)^{i}.}$

Таким образом, закон преобразования для тензора порядка p + q с p контравариантными индексами и q ковариантными индексами имеет вид

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1},\ldots ,j'_{q}}^{i'_{1},\ldots ,i'_{p}}=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Здесь индексы со штрихом обозначают компоненты в новых координатах, а индексы без штриха обозначают компоненты в старых координатах. Говорят, что такой тензор имеет порядок или тип ( p , q ) . Термины «порядок», «тип», «ранг», «валентность» и «степень» иногда используются для обозначения одного и того же понятия. Здесь термин «порядок» или «общий порядок» будет использоваться для общего измерения массива (или его обобщения в других определениях), p + q в предыдущем примере, а термин «тип» для пары, дающей количество контравариантных и ковариантных индексов. Тензор типа ( p ,q ) также называется a ( p, q ) -тензор для краткости.

Это обсуждение мотивирует следующее формальное определение: ^{[3] [4]}

Определение. Тензор типа ( p , q ) - это присвоение многомерного массива

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}[\mathbf {f} ]}$

каждый базис е = ( е ₁ , ..., е _п ) в качестве п - мерного векторного пространства таким образом, что, если мы применяем изменение базиса

${\displaystyle \mathbf {f} \mapsto \mathbf {f} \cdot R=\left(\mathbf {e} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {e} _{i}R_{n}^{i}\right)}$

то многомерный массив подчиняется закону преобразования

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Определение тензора как многомерного массива, удовлетворяющего закону преобразования, восходит к работе Риччи. ^[1]

Эквивалентное определение тензора использует представления о линейной группы . Существует действие общей линейной группы на множестве всех упорядоченных оснований в качестве п - мерного векторного пространства. Если - упорядоченный базис и обратимая матрица, то действие задается формулой${\displaystyle \mathbf {f} =(\mathbf {f} _{1},\dots ,\mathbf {f} _{n})}$${\displaystyle R=(R_{j}^{i})}$${\displaystyle n\times n}$

${\displaystyle \mathbf {f} R=(\mathbf {f} _{i}R_{1}^{i},\dots ,\mathbf {f} _{i}R_{n}^{i}).}$

Пусть F - множество всех упорядоченных базисов. Тогда F - главное однородное пространство для GL ( n ). Пусть W - векторное пространство и пусть - представление GL ( n ) на W (то есть гомоморфизм групп ). Тогда тензор типа является эквивариантным отображением . Эквивариантность здесь означает, что${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \rho :{\text{GL}}(n)\to {\text{GL}}(W)}$${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle T:F\to W}$

${\displaystyle T(FR)=\rho (R^{-1})T(F).}$

Когда - тензорное представление общей линейной группы, это дает обычное определение тензоров как многомерных массивов. Это определение часто используется для описания тензоров на многообразиях ^[5] и легко обобщается на другие группы. ^[3]${\displaystyle \rho }$

В виде многолинейных карт [ править ]

Обратной стороной определения тензора с использованием подхода многомерного массива является то, что из определения не очевидно, что определенный объект действительно не зависит от базиса, как ожидается от геометрического объекта по своей сути. Хотя можно показать, что законы преобразования действительно гарантируют независимость от основы, иногда предпочтительнее более внутреннее определение. Один из подходов, который является общим в дифференциальной геометрии, заключается в определении тензоров относительно фиксированного (конечномерного) векторного пространства V , которое обычно считается конкретным векторным пространством некоторого геометрического значения, например касательным пространством к многообразию. ^[6] В этом подходе тип ( p , q) тензор T определяется как полилинейное отображение ,

${\displaystyle T:\underbrace {V^{*}\times \dots \times V^{*}} _{p{\text{ copies}}}\times \underbrace {V\times \dots \times V} _{q{\text{ copies}}}\rightarrow \mathbf {R} ,}$

где V ^∗ - соответствующее дуальное пространство ковекторов, линейное по каждому из своих аргументов. Вышеупомянутое предполагает, что V - векторное пространство над действительными числами , ℝ . В более общем смысле, V можно взять над произвольным полем чисел F (например, комплексными числами ) с одномерным векторным пространством над F, заменяя ℝ как область значений полилинейных отображений.

Применяя полилинейное отображение T типа ( p , q ) к базису { e _j } для V и каноническому кобазису { ε ⁱ } для V ^∗ ,

${\displaystyle T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\equiv T\left({\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{1}},\ldots ,{\boldsymbol {\varepsilon }}^{i_{p}},\mathbf {e} _{j_{1}},\ldots ,\mathbf {e} _{j_{q}}\right),}$

( р + д ) -мерный массив компонентов может быть получен. Другой выбор основы даст разные компоненты. Но поскольку T линейен по всем своим аргументам, компоненты удовлетворяют закону преобразования тензора, используемому в определении полилинейного массива. Таким образом, многомерный массив компонентов T образует тензор в соответствии с этим определением. Кроме того, такой массив может быть реализован как компоненты некоторых полилинейных карт T . Это мотивирует рассматривать полилинейные карты как внутренние объекты, лежащие в основе тензоров.

Рассматривая тензор как полилинейная карту, это обычное для идентификации двойной двойной V ^** векторного пространства V , то есть пространство линейных функционалов на двойственном векторном пространстве V ^* , с векторным пространством V . Существует всегда естественное линейное отображение из V в его двойной двойной, дается оценка линейной формы в V ^* против вектора V . Это линейное отображение является изоморфизмом в конечных размерностях, и тогда часто бывает целесообразно отождествить V с его двойным двойным.

Использование тензорных произведений [ править ]

Для некоторых математических приложений иногда бывает полезен более абстрактный подход. Это может быть достигнуто путем определения тензоров в терминах элементов тензорных произведений векторных пространств, которые, в свою очередь, определяются через универсальное свойство . Тензор типа ( p , q ) определяется в этом контексте как элемент тензорного произведения векторных пространств, ^{[7] [8]}

${\displaystyle T\in \underbrace {V\otimes \dots \otimes V} _{p{\text{ copies}}}\otimes \underbrace {V^{*}\otimes \dots \otimes V^{*}} _{q{\text{ copies}}}.}$

Основа v _I из V и базис ш _J из W естественно индуцирует базис V _я ⊗ ш _J тензорного произведения V ⊗ W . Компоненты тензора T - это коэффициенты тензора относительно базиса, полученного из базиса { e _i } для V и его дуального базиса { ε ^j } , т. Е.

${\displaystyle T=T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\;\mathbf {e} _{i_{1}}\otimes \cdots \otimes \mathbf {e} _{i_{p}}\otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{1}}\otimes \cdots \otimes {\boldsymbol {\varepsilon }}^{j_{q}}.}$

Используя свойства тензорного произведения, можно показать, что эти компоненты удовлетворяют закону преобразования для тензора типа ( p , q ) . Кроме того, универсальное свойство тензорного произведения дает 1 -До- 1 соответствие между тензорами , определенных таким образом и тензорами , определенными как полилинейные картами.

Тензорные произведения могут быть определены в очень общем виде - например, с участием произвольных модулей над кольцом. В принципе, можно было бы определить «тензор» просто как элемент любого тензорного произведения. Однако в математической литературе термин тензор обычно используется для элемента тензорного произведения любого числа копий одного векторного пространства V и его двойственного, как указано выше.

Тензоры в бесконечных измерениях [ править ]

Это обсуждение тензоров до сих пор предполагает конечномерность рассматриваемых пространств, где пространства тензоров, полученные каждой из этих конструкций, естественно изоморфны . ^{[Примечание 2]} Конструкции пространств тензоров, основанные на тензорном произведении и полилинейных отображениях, могут быть обобщены, по существу, без изменений, на векторные расслоения или когерентные пучки . ^[9] Для бесконечномерных векторных пространств неэквивалентные топологии приводят к неэквивалентным понятиям тензора, и эти различные изоморфизмы могут иметь место, а могут и не выполняться в зависимости от того, что именно подразумевается под тензором (см. Топологическое тензорное произведение ). В некоторых приложениях это тензорное произведение гильбертовых пространств.то есть, свойства которого наиболее близки к конечномерному случаю. Более современная точка зрения состоит в том, что структура тензоров как симметричной моноидальной категории кодирует их наиболее важные свойства, а не конкретные модели этих категорий. ^[10]

Тензорные поля [ править ]

Во многих приложениях, особенно в дифференциальной геометрии и физике, естественно рассматривать тензор с компонентами, которые являются функциями точки в пространстве. Это была установка оригинальной работы Риччи. В современной математической терминологии такой объект называется тензорным полем , часто называемым просто тензором. ^[1]

В этом контексте для касательного векторного пространства часто выбирают координатный базис . Тогда закон преобразования может быть выражен через частные производные координатных функций:

${\displaystyle {\bar {x}}^{i}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right),}$

определение преобразования координат, ^[1]

${\displaystyle {\hat {T}}_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}\left({\bar {x}}^{1},\ldots ,{\bar {x}}^{n}\right)={\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{1}}}{\partial x^{i_{1}}}}\cdots {\frac {\partial {\bar {x}}^{i'_{p}}}{\partial x^{i_{p}}}}{\frac {\partial x^{j_{1}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{1}}}}\cdots {\frac {\partial x^{j_{q}}}{\partial {\bar {x}}^{j'_{q}}}}T_{j_{1}\dots j_{q}}^{i_{1}\dots i_{p}}\left(x^{1},\ldots ,x^{n}\right).}$

Примеры [ править ]

Элементарным примером отображения, описываемого как тензор, является скалярное произведение , которое отображает два вектора в скаляр. Более сложным примером является тензор напряжений Коши T , который принимает единичный вектор v в качестве входных данных и отображает его в вектор напряжений T ^{( v )} , который представляет собой силу (на единицу площади), прилагаемую материалом к ​​отрицательной стороне плоскость, ортогональная v относительно материала на положительной стороне плоскости, таким образом выражая связь между этими двумя векторами, показанными на рисунке (справа). Перекрестное произведение, где два вектора отображаются в третий, строго говоря, не тензор, потому что он меняет свой знак при тех преобразованиях, которые меняют ориентацию системы координат. Тем не менее, полностью антисимметричный символ позволяет удобно работать с кросс-произведением в одинаково ориентированных трехмерных системах координат.${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

В этой таблице показаны важные примеры тензоров на векторных пространствах и тензорных полей на многообразиях. Тензоры классифицируются в соответствии с их типом ( n , m ) , где n - количество контравариантных индексов, m - количество ковариантных индексов, а n + m дает общий порядок тензора. Например, билинейная форма - это то же самое, что (0, 2) -тензор; скалярное произведение является примером (0, 2) -тензора, но не все (0, 2) -тензоров являются скалярными произведениями. В (0, M )-запись таблицы, M обозначает размерность лежащего в основе векторного пространства или многообразия, потому что для каждого измерения пространства необходим отдельный индекс, чтобы выбрать это измерение, чтобы получить максимально ковариантный антисимметричный тензор.

Повышение индекса на ( n , m ) -тензоре дает ( n + 1, m - 1) -тензор; это соответствует перемещению по диагонали вниз и влево по столу. Симметрично понижение индекса соответствует перемещению по таблице вверх и вправо по диагонали. Сужение из верхних с более низким индексом ( п , м ) -тензорным производит ( п - 1, т - 1) -тензорные; это соответствует перемещению по таблице вверх и влево по диагонали.

Свойства [ править ]

Принимая за основу реальное векторное пространство, например систему координат в окружающем пространстве, тензор может быть представлен как организованный многомерный массив числовых значений относительно этого конкретного базиса. При изменении базиса значения в массиве преобразуются характерным образом, что позволяет определять тензоры как объекты, придерживающиеся этого трансформирующего поведения. Например, существуют инварианты тензоров, которые должны сохраняться при любом изменении базиса, тем самым делая тензором только определенные многомерные массивы чисел . Сравните это с массивом, не являющимся тензором, для изменения знака при преобразованиях, изменяющих ориентацию.${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Поскольку компоненты векторов и их двойники преобразуются по-разному при изменении их двойственных базисов, существует ковариантный и / или контравариантный закон преобразования, который связывает массивы, которые представляют тензор по отношению к одному базису и по отношению к другому. . Количество соответственно векторов: n ( контравариантные индексы) и двойственных векторов: m ( ковариантные индексы) на входе и выходе тензора определяют тип (или валентность ) тензора, пары натуральных чисел ( n , m ), которые определяют точный вид закона преобразования. Порядок тензора является суммой этих двух чисел.

Порядок (также степень или ранг ) тензора, таким образом, является суммой порядков его аргументов плюс порядок результирующего тензора. Это также размерность массива чисел, необходимого для представления тензора относительно определенного базиса, или, что эквивалентно, количество индексов, необходимых для маркировки каждого компонента в этом массиве. Например, в фиксированном базисе стандартная линейная карта, которая отображает вектор в вектор, представлена ​​матрицей (двумерным массивом) и, следовательно, является тензором 2-го порядка. Простой вектор может быть представлен как одномерный массив и, следовательно, является тензором 1-го порядка. Скаляры - это простые числа и, следовательно, тензоры 0-го порядка. Таким образом, тензор, представляющий скалярное произведение, берет два вектора и дает скаляр, имеет порядок2 + 0 = 2 , то же самое, что тензор напряжений, беря один вектор и возвращая другой 1 + 1 = 2 . -Символ, отображение двух векторов в одном векторе, будет иметь порядок 2 + 1 = 3.${\displaystyle \varepsilon _{ijk}}$

Набор тензоров в векторном пространстве и его двойственных образуют тензорную алгебру , которая допускает произведения произвольных тензоров. Простые приложения тензоров порядка 2 , которые могут быть представлены в виде квадратной матрицы, могут быть решены путем умного расположения транспонированных векторов и применения правил умножения матриц, но не следует путать с этим тензорное произведение.

Обозначение [ править ]

Существует несколько систем обозначений, которые используются для описания тензоров и выполнения вычислений с их участием.

Исчисление Риччи [ править ]

Исчисление Риччи - это современный формализм и обозначение тензорных индексов: указание внутренних и внешних произведений , ковариантности и контравариантности , суммирования компонент тензора, симметрии и антисимметрии , а также частных и ковариантных производных .

Соглашение о суммировании Эйнштейна [ править ]

Соглашение Эйнштейна о суммировании не требует записи знаков суммирования , оставляя суммирование неявным. Суммируется любой повторяющийся индексный символ: если индекс i используется дважды в данном члене тензорного выражения, это означает, что этот член должен быть суммирован для всех i . Таким образом можно суммировать несколько различных пар индексов.

Графические обозначения Пенроуза [ править ]

Графическая нотация Пенроуза - это схематическая нотация, в которой символы тензоров заменяются фигурами, а их индексы - линиями и кривыми. Он не зависит от базовых элементов и не требует символов для индексов.

Обозначение абстрактного индекса [ править ]

Абстрактный индекс обозначение способ тензоров записи таким образом, что индексы не больше не думала , как числовые, а скорее неизвестных . Эта нотация отражает выразительность индексов и базисную независимость нотации без индексов.

Обозначение без компонентов [ править ]

Компонент-бесплатное лечение тензоров использования обозначений , что подчеркивает , что тензоры не полагаться на какой - либо основе, и определяется в терминах тензорного произведения векторных пространств .

Операции [ править ]

Есть несколько операций с тензорами, которые снова производят тензор. Линейный характер тензора подразумевает, что два тензора одного типа могут быть сложены вместе, и что тензоры могут быть умножены на скаляр с результатами, аналогичными масштабированию вектора . С компонентами эти операции просто выполняются покомпонентно. Эти операции не меняют тип тензора; но есть также операции, которые производят тензор другого типа.

Тензорный продукт [ править ]

Тензорное произведение имеет два тензора, S и T , и производит новый тензор, S ⊗ T , порядок которого равен сумме порядков исходных тензоров. Когда описывается как полилинейные карты, тензорное произведение просто умножает два тензора, т. Е.

${\displaystyle (S\otimes T)(v_{1},\ldots ,v_{n},v_{n+1},\ldots ,v_{n+m})=S(v_{1},\ldots ,v_{n})T(v_{n+1},\ldots ,v_{n+m}),}$

что снова дает карту, линейную по всем своим аргументам. На компонентах эффект заключается в попарном умножении компонентов двух входных тензоров, т. Е.

${\displaystyle (S\otimes T)_{j_{1}\ldots j_{k}j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{1}\ldots i_{l}i_{l+1}\ldots i_{l+n}}=S_{j_{1}\ldots j_{k}}^{i_{1}\ldots i_{l}}T_{j_{k+1}\ldots j_{k+m}}^{i_{l+1}\ldots i_{l+n}},}$

Если S имеет тип ( l , k ), а T имеет тип ( n , m ) , то тензорное произведение S ⊗ T имеет тип ( l + n , k + m ) .

Сокращение [ править ]

Тензорное сжатие - это операция, которая сводит тензор типа ( n , m ) к тензору типа ( n - 1, m - 1) , частным случаем которого является след . Таким образом, общий порядок тензора уменьшается на два. Операция достигается суммированием компонентов, для которых один указанный контравариантный индекс совпадает с одним указанным ковариантным индексом для создания нового компонента. Компоненты, для которых эти два индекса различны, отбрасываются. Например, ( 1,1 ) -тензор может быть сжат до скаляра через . Где снова подразумевается суммирование. Когда (1, 1)${\displaystyle T_{i}^{j}}$${\displaystyle T_{i}^{i}}$-tensor интерпретируется как линейное отображение, эта операция известна как трассировка .

Сжатие часто используется вместе с тензорным произведением для сжатия индекса от каждого тензора.

Сжатие также можно понять, используя определение тензора как элемента тензорного произведения копий пространства V на пространство V ^∗ , сначала разложив тензор на линейную комбинацию простых тензоров, а затем применив множитель из V ^* до множителя от V . Например, тензор можно записать как линейную комбинацию${\displaystyle T\in V\otimes V\otimes V^{*}}$

${\displaystyle T=v_{1}\otimes w_{1}\otimes \alpha _{1}+v_{2}\otimes w_{2}\otimes \alpha _{2}+\cdots +v_{N}\otimes w_{N}\otimes \alpha _{N}.}$

Сжатие T на первом и последнем слотах - это вектор

${\displaystyle \alpha _{1}(v_{1})w_{1}+\alpha _{2}(v_{2})w_{2}+\cdots +\alpha _{N}(v_{N})w_{N}.}$

В векторном пространстве с внутренним произведением (также известным как метрика ) g термин сжатие используется для удаления двух контравариантных или двух ковариантных индексов путем формирования следа с метрическим тензором или его обратным. Например, (2, 0) -тензор может быть сжат до скаляра через (опять же при условии соглашения о суммировании).${\displaystyle T^{ij}}$${\displaystyle T^{ij}g_{ij}}$

Повышение или понижение индекса [ править ]

Когда векторное пространство оснащено невырожденной билинейной формой (или метрическим тензором, как его часто называют в этом контексте), могут быть определены операции, которые преобразуют контравариантный (верхний) индекс в ковариантный (нижний) индекс и наоборот. Метрический тензор - это (симметричный) ( 0, 2) -тензор; таким образом, можно свести верхний индекс тензора к одному из нижних индексов метрического тензора в произведении. Это создает новый тензор с той же структурой индекса, что и предыдущий тензор, но с нижним индексом, обычно показываемым в той же позиции, что и сжатый верхний индекс. Эта операция графически известна как понижение индекса .

И наоборот, может быть определена обратная операция, которая называется повышением индекса . Это эквивалентно аналогичному сжатию произведения с (2, 0) -тензором. Этот обратный метрический тензор имеет компоненты, которые являются матрицами, обратными компонентам метрического тензора.

Приложения [ править ]

Механика сплошной среды [ править ]

Важные примеры дает механика сплошной среды . Напряжения внутри твердого тела или жидкости описываются тензорным полем. Тензор напряжения и деформация тензор оба второго порядок тензорных полей, и связаны в общем линейном упругом материале с помощью четвертого порядка тензора упругостиполе. В деталях, тензор, определяющий количественное напряжение в трехмерном твердом объекте, имеет компоненты, которые можно удобно представить в виде массива 3 × 3. Каждая из трех граней куба бесконечно малого объема твердого тела подвержена действию некоторой заданной силы. Составляющих вектора силы также три. Таким образом, для описания напряжения на этом бесконечно малом отрезке кубической формы требуется 3 × 3 или 9 компонентов. В пределах этого твердого тела находится целая масса различных величин напряжения, для описания каждой из которых требуется 9 величин. Таким образом, нужен тензор второго порядка.

Если выделить конкретный элемент поверхности внутри материала, материал на одной стороне поверхности будет прикладывать силу к другой стороне. В общем, эта сила не будет ортогональной к поверхности, но она будет линейно зависеть от ориентации поверхности. Это описывается тензором типа (2, 0) , в линейной упругости , а точнее тензором поля типа (2, 0) , так как напряжения может изменяться от точки к точке.

Другие примеры из физики [ править ]

Общие приложения включают:

• Электромагнитный тензор (или тензор Фарадея) в электромагнетизме
• Тензоры конечных деформаций для описания деформаций и тензор деформаций для деформации в механике сплошных сред
• Диэлектрическая проницаемость и электрическая восприимчивость - тензоры в анизотропных средах.
• Четыре-тензоры в общей теории относительности (например, тензор энергии-импульса ), используемые для представления потоков импульса
• Сферические тензорные операторы являются собственными функциями квантового оператора углового момента в сферических координатах
• Тензоры диффузии, основа визуализации тензоров диффузии , представляют собой скорости диффузии в биологических средах.
• Квантовая механика и квантовые вычисления используют тензорные произведения для комбинации квантовых состояний.

Приложения тензоров порядка> 2 [ править ]

Понятие тензора второго порядка часто объединяют с понятием матрицы. Однако тензоры более высокого порядка улавливают идеи, важные в науке и технике, как было последовательно показано во многих областях по мере их развития. Это происходит, например, в области компьютерного зрения , когда трифокальный тензор обобщает фундаментальную матрицу .

Область нелинейной оптики изучает изменение плотности поляризации материала в экстремальных электрических полях. Генерируемые волны поляризации связаны с генерирующими электрическими полями через тензор нелинейной восприимчивости. Если поляризация P не линейно пропорциональна электрическому полю E , среда называется нелинейной . В хорошем приближении (для достаточно слабых полей, при условии отсутствия постоянных дипольных моментов) P задается рядом Тейлора по E , коэффициенты которого являются нелинейными восприимчивостями:

${\displaystyle {\frac {P_{i}}{\varepsilon _{0}}}=\sum _{j}\chi _{ij}^{(1)}E_{j}+\sum _{jk}\chi _{ijk}^{(2)}E_{j}E_{k}+\sum _{jk\ell }\chi _{ijk\ell }^{(3)}E_{j}E_{k}E_{\ell }+\cdots .\!}$

Вот линейная восприимчивость, дает эффект Поккельса и генерацию второй гармоники , а также дает эффект Керра . Это разложение показывает, как естественным образом возникают тензоры более высокого порядка в предметной области.${\displaystyle \chi ^{(1)}}$${\displaystyle \chi ^{(2)}}$${\displaystyle \chi ^{(3)}}$

Обобщения [ править ]

Тензорные произведения векторных пространств [ править ]

Векторные пространства тензорного произведения не обязательно должны быть одинаковыми, и иногда элементы такого более общего тензорного произведения называют «тензорами». Например, элемент пространства тензорного произведения V ⊗ W является «тензором» второго порядка в этом более общем смысле ^[14], и тензор порядка d можно также определить как элемент тензорного произведения d различных векторные пространства. ^[15] Тензор типа ( n , m ) в смысле, определенном ранее, также является тензором порядка n + m в этом более общем смысле. Понятие тензорного произведенияпродолжается до произвольных модулей над кольцом .

Тензоры в бесконечных измерениях [ править ]

Понятие тензора можно различными способами обобщить на бесконечные измерения . Один из них , например, есть через тензорное произведение в гильбертовых пространствах . ^[16] Другой способ обобщения идеи тензора, распространенный в нелинейном анализе , - это определение полилинейных отображений, где вместо использования конечномерных векторных пространств и их алгебраических двойников используются бесконечномерные банаховы пространства и их непрерывные двойственные . ^[17] Таким образом, тензоры естественным образом живут на банаховых многообразиях ^[18] и многообразиях Фреше .

Тензорные плотности [ править ]

Предположим, что однородная среда заполняет R ³ , так что плотность среды описывается одним скалярным значением ρ в кг м ⁻³ . Масса в кг области Ω получается путем умножения ρ на объем области Ω или эквивалентного интегрирования постоянной ρ по области:

${\displaystyle m=\int _{\Omega }\rho \,dx\,dy\,dz}$

где декартовы координаты xyz измеряются в метрах. Если единицы длины заменены на см, то числовые значения координатных функций необходимо масштабировать с коэффициентом 100:

${\displaystyle x'=100x,\quad y'=100y,\quad z'=100z}$

Числовое значение плотности ρ должно затем также преобразоваться на, чтобы компенсировать, так что числовое значение массы в кг по-прежнему дается интегралом от . Таким образом (в единицах кг см ⁻³ ).${\displaystyle 100^{-3}m^{3}/cm^{3}}$${\displaystyle \rho \,dx\,dy\,dz}$${\displaystyle \rho '=100^{-3}\rho }$

В более общем смысле, если декартовы координаты xyz претерпевают линейное преобразование, то числовое значение плотности ρ должно измениться в раз, обратном абсолютному значению определителя преобразования координат, так что интеграл остается неизменным на величину формула замены переменных для интегрирования. Такая величина, которая масштабируется пропорционально абсолютному значению определителя карты перехода координат, называется скалярной плотностью . Для моделирования непостоянной плотности ρ является функцией переменных xyz ( скалярное поле), а при криволинейном изменении координат преобразуется обратно пропорционально якобиану изменения координат. Для получения дополнительной информации о внутреннем значении см. Плотность на многообразии .

Плотность тензора трансформируется как тензор при изменении координаты, за исключением того, что она дополнительно учитывает коэффициент абсолютного значения определителя координатного перехода: ^[19]

${\displaystyle T_{j'_{1}\dots j'_{q}}^{i'_{1}\dots i'_{p}}[\mathbf {f} \cdot R]=|\det R|^{-w}\left(R^{-1}\right)_{i_{1}}^{i'_{1}}\cdots \left(R^{-1}\right)_{i_{p}}^{i'_{p}}}$ ${\displaystyle T_{j_{1},\ldots ,j_{q}}^{i_{1},\ldots ,i_{p}}[\mathbf {f} ]}$ ${\displaystyle R_{j'_{1}}^{j_{1}}\cdots R_{j'_{q}}^{j_{q}}.}$

Здесь w называется весом. В общем, любой тензор, умноженный на степень этой функции или ее абсолютное значение, называется тензорной плотностью или взвешенным тензором. ^{[20] [21]} Пример плотности тензора является плотность тока от электромагнетизма .

При аффинном преобразовании координат тензор преобразуется линейной частью самого преобразования (или его обратной) по каждому индексу. Они происходят из рациональных представлений общей линейной группы. Но это не самый общий закон линейного преобразования, который может иметь такой объект: тензорные плотности нерациональны, но все же являются полупростыми представлениями. Еще один класс преобразований происходит из логарифмического представления общей линейной группы, приводимого, но не полупростого представления ^[22], состоящего из ( x , y ) ∈ R ² с законом преобразования

${\displaystyle (x,y)\mapsto (x+y\log |\det R|,y).}$

Геометрические объекты [ править ]

Закон преобразования для тензора ведет себя как функтор в категории допустимых систем координат при общих линейных преобразованиях (или других преобразованиях в пределах некоторого класса, таких как локальные диффеоморфизмы ). Это делает тензор частным случаем геометрического объекта в технический смысл, что это функция системы координат, функционально преобразующейся при изменении координат. ^[23] Примерами объектов, подчиняющихся более общим видам законов преобразования, являются струи и, в более общем смысле, естественные пучки . ^{[24] [25]}

Спиноры [ править ]

При переходе от одного ортонормированного базиса (называемого фреймом ) к другому посредством поворота компоненты тензора преобразуются тем же поворотом. Это преобразование не зависит от пути, пройденного через пространство фреймов. Однако пространство фреймов не является односвязным (см. Запутывание ориентации и трюк с пластиной ): в пространстве фреймов с одинаковой начальной и конечной конфигурациями есть непрерывные пути, которые не деформируются друг в друга. К каждому кадру можно присоединить дополнительный дискретный инвариант, который включает эту зависимость от траектории и который оказывается (локально) имеет значения ± 1. ^[26] спинорная- это объект, который трансформируется как тензор при поворотах в кадре, за исключением возможного знака, который определяется значением этого дискретного инварианта. ^{[27] [28]}

Вкратце, спиноры являются элементами спинового представления группы вращений, а тензоры - элементами ее тензорных представлений . Другие классические группы имеют тензорные представления, а также тензоры, совместимые с группой, но все некомпактные классические группы также имеют бесконечномерные унитарные представления.

История [ править ]

Концепции более позднего тензорного анализа возникли из работ Карла Фридриха Гаусса по дифференциальной геометрии , и на формулировку сильно повлияла теория алгебраических форм и инвариантов, разработанная в середине девятнадцатого века. ^[29] Само слово «тензор» было введено в 1846 году Уильямом Роуэном Гамильтоном ^[30] для описания чего-то отличного от того, что сейчас понимается под тензором. ^{[Примечание 3]} Современное употребление ввел Вольдемар Фойгт в 1898 году. ^[31]

Тензорное исчисление было разработано около 1890 года Грегорио Риччи-Курбастро под названием « Абсолютное дифференциальное исчисление» и первоначально представлено Риччи-Курбастро в 1892 году. ^[32] Оно стало доступным для многих математиков благодаря публикации Риччи-Курбастро и Туллио Леви-Чивита. «S 1900 классический текст Méthodes де Расчитать différentiel Absolu и др Leurs приложений (методы абсолютного дифференциального исчисления и их применения). ^[33]

В 20 - м века, предмет стал известен как тензорным анализом , и достигается более широкое признанием с введением Эйнштейн теории «s в общей теории относительности , около 1915. Общей теории относительности формулируются полностью на языке тензоров. Эйнштейн с большим трудом узнал о них от геометра Марселя Гроссмана . ^[34] Леви-Чивита затем начал переписку с Эйнштейном, чтобы исправить ошибки, которые Эйнштейн допустил при использовании тензорного анализа. Переписка длилась 1915-17 гг. И характеризовалась взаимным уважением:

Я восхищаюсь элегантностью вашего метода вычислений; должно быть приятно ехать по этим полям на лошади истинной математики, в то время как нам подобным приходится с трудом пробираться пешком.

-  Альберт Эйнштейн ^[35]

Тензоры также оказались полезными в других областях, таких как механика сплошных сред . Некоторыми хорошо известными примерами тензоров в дифференциальной геометрии являются квадратичные формы, такие как метрические тензоры и тензор кривизны Римана . Внешняя алгебра из Грассман , с середины девятнадцатого века, сама теория тензора, и высоко геометрическая, но это было некоторое время , прежде чем он был замечен, с теорией дифференциальных форм , так как , естественно , унифицирован с тензорным исчислением. Работа Эли Картана сделала дифференциальные формы одним из основных видов тензоров, используемых в математике.

Примерно с 1920-х годов стало ясно, что тензоры играют основную роль в алгебраической топологии (например, в теореме Кюннета ). ^[36] Соответственно, существуют типы тензоров, работающих во многих разделах абстрактной алгебры , особенно в гомологической алгебре и теории представлений . Полилинейная алгебра может быть разработана в более широком смысле, чем для скаляров, полученных из поля . Например, скаляры могут происходить из кольца . Но тогда теория становится менее геометрической, а вычисления более техничными и менее алгоритмическими. ^[37] Тензоры обобщены в теории категорий.с помощью концепции моноидальной категории 1960-х гг. ^[38]

См. Также [ править ]

• Тип данных массива , для хранения и обработки тензора

Основополагающий [ править ]

• Декартов тензор
• Пучок волокон
• Глоссарий тензорной теории
• Многолинейная проекция
• Одна форма
• Тензорное произведение модулей

Приложения [ править ]

• Применение тензорной теории в технике
• Механика сплошной среды
• Ковариантная производная
• Кривизна
• Диффузионно-тензорная МРТ
• Уравнения поля Эйнштейна
• Гидравлическая механика
• Сила тяжести
• Мультилинейное подпространственное обучение
• Риманова геометрия
• Структурный тензор
• Тензорная декомпозиция
• Тензорная производная
• Тензорное программное обеспечение

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

Конкретный [ править ]

Общие [ править ]

• Эта статья включает материал из tenor на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме тензоров .

• Вайсштейн, Эрик В. «Тензор» . MathWorld .
• Рэй М. Боуэн и К.С. Ван (1976). Введение в векторы и тензоры, Том 1: Линейная и полилинейная алгебра . Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Plenum Press. ЛВП : 1969,1 / 2502 .CS1 maint: uses authors parameter (link)
• Рэй М. Боуэн и Си Си Ван (2006). Введение в векторы и тензоры, Том 2: Векторный и тензорный анализ . ЛВП : 1969,1 / 3609 .CS1 maint: uses authors parameter (link)
• Введение в тензоры для студентов-физиков и инженеров Джозефа Колецки, Исследовательский центр Гленна, Кливленд, Огайо, выпущено НАСА
• Основы тензорного анализа для студентов-физиков и инженеров с введением в теорию относительности Джозефа К. Колецки, Исследовательский центр Гленна, Кливленд, Огайо, выпущено НАСА
• Обсуждение различных подходов к обучению тензоров и рекомендации учебников.
• Введение в тензоры - оригинальный подход С. Пуарье
• Шарипов, Руслан (2004). «Краткое введение в тензорный анализ». arXiv : math.HO / 0403252 .
• Лекция Ричарда П. Фейнмана о тензорах.