Тензор напряжений Коши

Рисунок 2.3 Составляющие напряжения в трех измерениях

В механике сплошных сред , то тензор Коши напряжений , истинный тензор напряжений , ^[1] или просто называется тензором напряжений является вторым порядком Тензором имени Огюстен Луи Коши . Тензор состоит из девяти компонентов, которые полностью определяют состояние напряжения в точке внутри материала в деформированном состоянии, размещении или конфигурации. Тензор связывает вектор направления единичной длины n с вектором тяги T ^{( n )} через воображаемую поверхность, перпендикулярную n :${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\displaystyle \sigma _{ij}}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

куда,

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right]}$

Единицами СИ как тензора напряжений, так и вектора напряжений являются Н / м ² , соответствующие скаляру напряжений. Единичный вектор безразмерен .

Тензор напряжений Коши подчиняется закону преобразования тензора при изменении системы координат. Графическое представление этого закона преобразования - круг Мора для напряжения.

Тензор напряжений Коши используется для анализа напряжений материальных тел, испытывающих небольшие деформации : это центральное понятие в линейной теории упругости . Для больших деформаций, называемых также конечных деформаций , другие меры стресса необходимы, такие как тензор Пиола-Кирхгофа напряжений , в тензора напряжений Biot , и тензора напряжений Кирхгофа .

Согласно принципу сохранения количества движения , если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно продемонстрировать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия ( уравнениям движения Коши для нулевого ускорения) . В то же время, согласно принципу сохранения углового момента , для равновесия требуется, чтобы сумма моментов относительно произвольной точки была равна нулю, что приводит к выводу о симметричности тензора напряжений, таким образом, имея только шесть независимых компонентов напряжения вместо исходных девяти. Однако при наличии парных напряжений, то есть моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда число Кнудсена близко к единице, или континуум является неньютоновской жидкостью, что может привести к вращательно неинвариантным жидкостям, таким как полимеры .${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Есть определенные инварианты, связанные с тензором напряжений, значения которых не зависят от выбранной системы координат или элемента площади, на котором действует тензор напряжений. Это три собственных значения тензора напряжений, которые называются главными напряжениями .

Принцип напряжений Эйлера – Коши - вектор напряжений [ править ]

Рисунок 2.1a Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на дифференциале внутренней поверхности в континууме в результате взаимодействия между двумя частями континуума, разделенными поверхностью${\displaystyle dS}$${\displaystyle S}$

Рисунок 2.1b Внутреннее распределение контактных сил и парных напряжений на дифференциале внутренней поверхности в континууме в результате взаимодействия между двумя частями континуума, разделенными поверхностью.${\displaystyle dS}$${\displaystyle S}$

Рисунок 2.1c Вектор напряжений на внутренней поверхности S с вектором нормали n. В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения может не обязательно быть перпендикулярным этой плоскости, т. Е. Параллельным ей , и может быть разделен на два компонента: один компонент, перпендикулярный плоскости, называемый нормальным напряжением , и другой компонент, параллельный эта плоскость называется напряжением сдвига .${\displaystyle \mathbf {n} }$ ${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$ ${\displaystyle \tau }$

Принцип напряжений Эйлера – Коши утверждает, что на любой поверхности (реальной или воображаемой), которая разделяет тело, действие одной части тела на другую эквивалентно (равнозначно) системе распределенных сил и пар на поверхности, разделяющей body , ^[2] и он представлен полем , называемым вектором тяги , заданным на поверхности и предположительно непрерывно зависящим от единичного вектора поверхности . ^{[3] [4] : с.66–96.}${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Чтобы сформулировать принцип напряжений Эйлера-Коши, рассмотрим воображаемую поверхность, проходящую через внутреннюю материальную точку, разделяющую непрерывное тело на два сегмента, как показано на рис. 2.1a или 2.1b (можно использовать либо диаграмму плоскости сечения, либо диаграмму с произвольный объем внутри континуума, заключенного поверхностью ).${\displaystyle S}$${\displaystyle P}$${\displaystyle S}$

Следуя классической динамике Ньютона и Эйлера , движение материального тела вызывается действием приложенных извне сил, которые, как предполагается, бывают двух видов: поверхностные силы и объемные силы . ^[5] Таким образом, общая сила, приложенная к телу или части тела, может быть выражена как:${\displaystyle \mathbf {F} }$ ${\displaystyle \mathbf {b} }$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}=\mathbf {b} +\mathbf {F} }$

В этой статье будут обсуждаться только поверхностные силы, поскольку они имеют отношение к тензору напряжений Коши.

Когда тело подвергается воздействию внешних поверхностных сил или контактных сил , в соответствии с уравнениями движения Эйлера , внутренние контактные силы и моменты передаются от точки к точке тела и от одного сегмента к другому через разделяющую поверхность из-за механических контакт одной части континуума с другой (рис. 2.1a и 2.1b). На элементе площади, содержащей вектор нормали , распределение силы равно силе контакта, действующей в точке P, и моменту поверхности . В частности, контактная сила определяется выражением${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle S}$${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} }$${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

${\displaystyle \Delta \mathbf {F} =\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,\Delta S}$

где - среднее сцепление с поверхностью .${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$

Принцип напряжений Коши утверждает ^{[6] : стр.47–102,} что по мере того, как становится очень малым и стремится к нулю, отношение становится равным, а вектор напряжений пары исчезает. В конкретных областях механики сплошных сред предполагается, что напряжение пары не обращается в нуль; однако классические разделы механики сплошной среды обращаются к неполярным материалам, которые не принимают во внимание парные напряжения и моменты тела.${\displaystyle \Delta S}$${\displaystyle \Delta \mathbf {F} /\Delta S}$${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$${\displaystyle \Delta \mathbf {M} }$

Результирующий вектор определяется как поверхности тяги , ^[7] также называемый вектор напряжения , ^[8] тяги , ^[4] или вектором тяги . ^[6] дано в точке , связанной с плоскостью с нормальным вектором :${\displaystyle d\mathbf {F} /dS}$ ${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}\mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{i}}{\Delta S}}={dF_{i} \over dS}.}$

Это уравнение означает, что вектор напряжения зависит от его положения в теле и ориентации плоскости, на которой он действует.

Это означает, что уравновешивающее действие внутренних контактных сил создает плотность контактных сил или тяговое поле Коши ^[5], которое представляет собой распределение внутренних контактных сил по объему тела в определенной конфигурации тела в данный момент времени . Это не векторное поле, потому что оно зависит не только от положения конкретной материальной точки, но и от локальной ориентации элемента поверхности, определяемой его вектором нормали . ^[9]${\displaystyle \mathbf {T} (\mathbf {n} ,\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$

В зависимости от ориентации рассматриваемой плоскости вектор напряжения может не обязательно быть перпендикулярным этой плоскости, т. Е. Параллельным ей , и может быть разделен на две составляющие (рисунок 2.1c):${\displaystyle \mathbf {n} }$

• одна нормаль к плоскости, называемая нормальным напряжением

${\displaystyle \mathbf {\sigma _{\mathrm {n} }} =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {n} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {n} }}{dS}},}$

где - нормальная составляющая силы к дифференциальной площади${\displaystyle dF_{\mathrm {n} }}$${\displaystyle d\mathbf {F} }$${\displaystyle dS}$

• а другой, параллельный этой плоскости, называется напряжением сдвига.

${\displaystyle \mathbf {\tau } =\lim _{\Delta S\to 0}{\frac {\Delta F_{\mathrm {s} }}{\Delta S}}={\frac {dF_{\mathrm {s} }}{dS}},}$

где - тангенциальная составляющая силы к дифференциальной площади поверхности . Напряжение сдвига можно дополнительно разложить на два взаимно перпендикулярных вектора.${\displaystyle dF_{\mathrm {s} }}$${\displaystyle d\mathbf {F} }$${\displaystyle dS}$

Постулат Коши [ править ]

Согласно Кошам постулата , вектор напряжения остается неизменным на все поверхности , проходящие через точку и имеющие тот же вектор нормали в , ^{[7] [10]} т.е. имеющие общую касательная в . Это означает, что вектор напряжения является функцией только вектора нормали и не зависит от кривизны внутренних поверхностей.${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

Основная лемма Коши [ править ]

Следствием постулата Коши является фундаментальной леммы Коши , ^{[1] [7] [11]} также называется Коши теорема взаимности , ^{[12] : p.103-130} в котором говорится , что векторы напряжений , действующих на противоположных сторонах одного и того же поверхности, равны по величине и противоположны по направлению. Основная лемма Коши эквивалентна третьему закону движения действия и противодействия Ньютона и выражается как

${\displaystyle -\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(-\mathbf {n} )}.}$

Теорема Коши о напряжениях - тензор напряжений [ править ]

Состояние напряжения в точке тела затем определяется всеми векторами напряжений T ^{( n ),} связанными со всеми плоскостями (бесконечным числом), которые проходят через эту точку. ^[13] Однако, согласно основной теореме Коши , ^[11] также называемая теорема Коши напряжений , ^[1] просто зная векторы напряжений на трех взаимно перпендикулярных плоскостях, вектор напряжения на любой другой плоскости , проходящей через эту точку можно найти с помощью уравнения преобразования координат.

Теорема Коши о напряжениях утверждает, что существует тензорное поле второго порядка σ ( x , t), называемое тензором напряжений Коши, не зависящее от n , такое, что T является линейной функцией от n :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {n} \cdot {\boldsymbol {\sigma }}\quad {\text{or}}\quad T_{j}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

Это уравнение подразумевает, что вектор напряжения T ^{( n )} в любой точке P в непрерывной среде, связанной с плоскостью с нормальным единичным вектором n, может быть выражен как функция векторов напряжений на плоскостях, перпендикулярных осям координат, то есть через компоненты σ _ij тензора напряжений σ .

Чтобы доказать это выражение, рассмотрим тетраэдр с тремя гранями, ориентированными в координатных плоскостях, и с бесконечно малой площадью d A, ориентированной в произвольном направлении, заданном нормальным единичным вектором n (рисунок 2.2). Тетраэдр образован разрезанием бесконечно малого элемента вдоль произвольной плоскости с единичной нормалью n . Вектор напряжений на этой плоскости обозначается T ^{( n )} . Векторы напряжений, действующие на грани тетраэдра, обозначаются как T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} и T ^{( e₃ )} , и по определению являются компонентами σ _ij тензора напряжений σ . Этот тетраэдр иногда называют тетраэдром Коши . Равновесие сил, т.е. первый закон движения Эйлера (второй закон движения Ньютона), дает:

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\,dA-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\,dA_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\,dA_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\,dA_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}dA\right)\mathbf {a} ,}$

где правая часть представляет собой произведение массы, заключенной в тетраэдр, на его ускорение: ρ - плотность, a - ускорение, а h - высота тетраэдра, принимая плоскость n за основание. Площадь граней тетраэдра, перпендикулярных осям, может быть найдена путем проецирования d A на каждую грань (с использованием скалярного произведения):

${\displaystyle dA_{1}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{1}\right)dA=n_{1}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{2}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{2}\right)dA=n_{2}\;dA,}$

${\displaystyle dA_{3}=\left(\mathbf {n} \cdot \mathbf {e} _{3}\right)dA=n_{3}\;dA,}$

а затем подставляем в уравнение, чтобы сократить d A :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}-\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}=\rho \left({\frac {h}{3}}\right)\mathbf {a} .}$

Чтобы рассмотреть предельный случай, когда тетраэдр сжимается до точки, h должен стремиться к 0 (интуитивно, плоскость n перемещается вдоль n в сторону O ). В результате правая часть уравнения стремится к 0, так что

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}.}$

Предполагая материальный элемент (рисунок 2.3) с плоскостями, перпендикулярными осям координат декартовой системы координат, векторы напряжений, связанные с каждой из плоскостей элемента, то есть T ^{( e ₁ )} , T ^{( e ₂ )} и T ^{( e ₃ )} можно разложить на нормальную составляющую и две составляющие сдвига, то есть составляющие в направлении трех осей координат. Для частного случая поверхности с нормальным единичным вектором, ориентированным в направлении оси x ₁ , обозначим нормальное напряжение через σ ₁₁, а два касательных напряжения - σ ₁₂ и σ ₁₃ :

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{1})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{11}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{12}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{13}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{2})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{21}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{22}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{23}\mathbf {e} _{3},}$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}=T_{1}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{1}+T_{2}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{2}+T_{3}^{(\mathbf {e} _{3})}\mathbf {e} _{3}=\sigma _{31}\mathbf {e} _{1}+\sigma _{32}\mathbf {e} _{2}+\sigma _{33}\mathbf {e} _{3},}$

В индексной записи это

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}=T_{j}^{(\mathbf {e} _{i})}\mathbf {e} _{j}=\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}.}$

Девять компонентов σ _ij векторов напряжений являются компонентами декартова тензора второго порядка, называемого тензором напряжений Коши , который полностью определяет состояние напряжения в точке и задается выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\sigma _{ij}=\left[{\begin{matrix}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}\\\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{xx}&\sigma _{xy}&\sigma _{xz}\\\sigma _{yx}&\sigma _{yy}&\sigma _{yz}\\\sigma _{zx}&\sigma _{zy}&\sigma _{zz}\\\end{matrix}}\right]\equiv \left[{\begin{matrix}\sigma _{x}&\tau _{xy}&\tau _{xz}\\\tau _{yx}&\sigma _{y}&\tau _{yz}\\\tau _{zx}&\tau _{zy}&\sigma _{z}\\\end{matrix}}\right],}$

где σ ₁₁ , σ ₂₂ и σ ₃₃ - нормальные напряжения, а σ ₁₂ , σ ₁₃ , σ ₂₁ , σ ₂₃ , σ ₃₁ и σ ₃₂ - напряжения сдвига. Первый индекс i указывает, что напряжение действует в плоскости, перпендикулярной оси X _i , а второй индекс j обозначает направление, в котором действует напряжение (например, σ ₁₂ означает, что напряжение действует в плоскости, которая нормально к 1- _муось т.е. X ₁ и действует вдоль 2- _й оси, т.е. Х ₂ ). Компонент напряжения является положительным, если он действует в положительном направлении осей координат, и если плоскость, в которой он действует, имеет вектор внешней нормали, указывающий в положительном направлении координат.

Таким образом, используя компоненты тензора напряжений

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{1})}n_{1}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{2})}n_{2}+\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{3})}n_{3}\\&=\sum _{i=1}^{3}\mathbf {T} ^{(\mathbf {e} _{i})}n_{i}\\&=\left(\sigma _{ij}\mathbf {e} _{j}\right)n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}\mathbf {e} _{j}\end{aligned}}}$

или, что то же самое,

${\displaystyle T_{j}^{(\mathbf {n} )}=\sigma _{ij}n_{i}.}$

В качестве альтернативы в матричной форме мы имеем

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}T_{1}^{(\mathbf {n} )}&T_{2}^{(\mathbf {n} )}&T_{3}^{(\mathbf {n} )}\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}n_{1}&n_{2}&n_{3}\end{matrix}}\right]\cdot \left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Обозначения Воят представление напряжений Кошей тензора имеет преимущество в симметрии тензора напряжений , чтобы выразить стресс как шесть-мерный вектор формы:

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&\sigma _{2}&\sigma _{3}&\sigma _{4}&\sigma _{5}&\sigma _{6}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}\equiv {\begin{bmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{22}&\sigma _{33}&\sigma _{23}&\sigma _{13}&\sigma _{12}\end{bmatrix}}^{\textsf {T}}.}$

Обозначение Фойгта широко используется для представления соотношений напряжение-деформация в механике твердого тела и для повышения эффективности вычислений в программном обеспечении численной структурной механики.

Правило преобразования тензора напряжений [ править ]

Можно показать, что тензор напряжений - это контравариантный тензор второго порядка, который является утверждением того, как он трансформируется при изменении системы координат. Из x _i -системы в x _i ' -систему компоненты σ _ij в исходной системе преобразуются в компоненты σ _ij ' в новой системе в соответствии с правилом преобразования тензора (рисунок 2.4):

${\displaystyle \sigma '_{ij}=a_{im}a_{jn}\sigma _{mn}\quad {\text{or}}\quad {\boldsymbol {\sigma }}'=\mathbf {A} {\boldsymbol {\sigma }}\mathbf {A} ^{\textsf {T}},}$

где A - матрица вращения с компонентами a _ij . В матричной форме это

${\displaystyle \left[{\begin{matrix}\sigma '_{11}&\sigma '_{12}&\sigma '_{13}\\\sigma '_{21}&\sigma '_{22}&\sigma '_{23}\\\sigma '_{31}&\sigma '_{32}&\sigma '_{33}\\\end{matrix}}\right]=\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{31}&a_{32}&a_{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{matrix}}\right]\left[{\begin{matrix}a_{11}&a_{21}&a_{31}\\a_{12}&a_{22}&a_{32}\\a_{13}&a_{23}&a_{33}\\\end{matrix}}\right].}$

Расширение матричной операции и упрощение членов с использованием симметрии тензора напряжений дает

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{11}'={}&a_{11}^{2}\sigma _{11}+a_{12}^{2}\sigma _{22}+a_{13}^{2}\sigma _{33}+2a_{11}a_{12}\sigma _{12}+2a_{11}a_{13}\sigma _{13}+2a_{12}a_{13}\sigma _{23},\\\sigma _{22}'={}&a_{21}^{2}\sigma _{11}+a_{22}^{2}\sigma _{22}+a_{23}^{2}\sigma _{33}+2a_{21}a_{22}\sigma _{12}+2a_{21}a_{23}\sigma _{13}+2a_{22}a_{23}\sigma _{23},\\\sigma _{33}'={}&a_{31}^{2}\sigma _{11}+a_{32}^{2}\sigma _{22}+a_{33}^{2}\sigma _{33}+2a_{31}a_{32}\sigma _{12}+2a_{31}a_{33}\sigma _{13}+2a_{32}a_{33}\sigma _{23},\\\sigma _{12}'={}&a_{11}a_{21}\sigma _{11}+a_{12}a_{22}\sigma _{22}+a_{13}a_{23}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{22}+a_{12}a_{21})\sigma _{12}+(a_{12}a_{23}+a_{13}a_{22})\sigma _{23}+(a_{11}a_{23}+a_{13}a_{21})\sigma _{13},\\\sigma _{23}'={}&a_{21}a_{31}\sigma _{11}+a_{22}a_{32}\sigma _{22}+a_{23}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{21}a_{32}+a_{22}a_{31})\sigma _{12}+(a_{22}a_{33}+a_{23}a_{32})\sigma _{23}+(a_{21}a_{33}+a_{23}a_{31})\sigma _{13},\\\sigma _{13}'={}&a_{11}a_{31}\sigma _{11}+a_{12}a_{32}\sigma _{22}+a_{13}a_{33}\sigma _{33}\\&+(a_{11}a_{32}+a_{12}a_{31})\sigma _{12}+(a_{12}a_{33}+a_{13}a_{32})\sigma _{23}+(a_{11}a_{33}+a_{13}a_{31})\sigma _{13}.\end{aligned}}}$

Mohr круг стресса представляет собой графическое представление этого преобразования напряжений.

Нормальные и касательные напряжения [ править ]

Величина нормального напряжения компонента сг _п любой вектор напряжений Т ^{( п )} действует на произвольной плоскости с нормальным единичным вектором п в данной точке, с точки зрения компонентов сг _Ij тензора напряжений сг , является скалярное произведение из вектор напряжения и нормальный единичный вектор:

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}\cdot \mathbf {n} \\&=T_{i}^{(\mathbf {n} )}n_{i}\\&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}.\end{aligned}}}$

Величина составляющей напряжения сдвига τ _n , действующей ортогонально вектору n , затем может быть найдена с помощью теоремы Пифагора :

${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\mathrm {n} }&={\sqrt {\left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}}\\&={\sqrt {T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}-\sigma _{\mathrm {n} }^{2}}},\end{aligned}}}$

куда

${\displaystyle \left(T^{(\mathbf {n} )}\right)^{2}=T_{i}^{(\mathbf {n} )}T_{i}^{(\mathbf {n} )}=\left(\sigma _{ij}n_{j}\right)\left(\sigma _{ik}n_{k}\right)=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}.}$

Законы баланса - уравнения движения Коши [ править ]

Первый закон движения Коши [ править ]

Согласно принципу сохранения количества движения , если сплошное тело находится в статическом равновесии, можно продемонстрировать, что компоненты тензора напряжений Коши в каждой материальной точке тела удовлетворяют уравнениям равновесия.

${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$

Например, для гидростатической жидкости в условиях равновесия тензор напряжений принимает вид:

${\displaystyle {\sigma _{ij}}=-p{\delta _{ij}},}$

где - гидростатическое давление, а - дельта кронекера .${\displaystyle p}$${\displaystyle {\delta _{ij}}\ }$

Вывод уравнений равновесия.

Рассмотрим сплошное тело (см. Рисунок 4), занимающее объем , имеющее площадь поверхности , с определенными тяговыми или поверхностными силами на единицу площади, действующими на каждую точку поверхности тела, и телесными силами на единицу объема в каждой точке внутри объема . Таким образом, если тело находится в равновесии, результирующая сила, действующая на объем, равна нулю, таким образом:${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T_{i}^{(n)}}$${\displaystyle F_{i}}$${\displaystyle V}$ ${\displaystyle \int _{S}T_{i}^{(n)}dS+\int _{V}F_{i}dV=0}$ По определению вектор напряжений равен , тогда${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ji}n_{j}}$ ${\displaystyle \int _{S}\sigma _{ji}n_{j}\,dS+\int _{V}F_{i}\,dV=0}$ Использование теоремы Гаусса о расходимости для преобразования поверхностного интеграла в объемный интеграл дает ${\displaystyle \int _{V}\sigma _{ji,j}\,dV+\int _{V}F_{i}\,dV=0}$ ${\displaystyle \int _{V}(\sigma _{ji,j}+F_{i}\,)dV=0}$ Для произвольного объема интеграл обращается в нуль, и мы имеем уравнения равновесия ${\displaystyle \sigma _{ji,j}+F_{i}=0}$

Второй закон движения Коши [ править ]

Согласно принципу сохранения углового момента , равновесие требует, чтобы сумма моментов относительно произвольной точки была равна нулю, что приводит к заключению, что тензор напряжений является симметричным , таким образом, имеющим только шесть независимых компонент напряжения вместо исходного. 9:

${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$

Вывод симметрии тензора напряжений.

Суммируя моменты относительно точки O (рисунок 4), результирующий момент равен нулю, поскольку тело находится в равновесии. Таким образом, ${\displaystyle {\begin{aligned}M_{O}&=\int _{S}(\mathbf {r} \times \mathbf {T} )dS+\int _{V}(\mathbf {r} \times \mathbf {F} )dV=0\\0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}T_{k}^{(n)}dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}dV\\\end{aligned}}}$ где - вектор положения и выражается как${\displaystyle \mathbf {r} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} =x_{j}\mathbf {e} _{j}}$ Зная это и используя теорему Гаусса о расходимости для перехода от поверхностного интеграла к объемному интегралу, мы имеем${\displaystyle T_{k}^{(n)}=\sigma _{mk}n_{m}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}0&=\int _{S}\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk}n_{m}\,dS+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk})_{,m}dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk}+\varepsilon _{ijk}x_{j}\sigma _{mk,m})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}F_{k}\,dV\\&=\int _{V}(\varepsilon _{ijk}x_{j,m}\sigma _{mk})dV+\int _{V}\varepsilon _{ijk}x_{j}(\sigma _{mk,m}+F_{k})dV\\\end{aligned}}}$ Второй интеграл равен нулю, так как он содержит уравнения равновесия. Это оставляет первый интеграл, где , следовательно,${\displaystyle x_{j,m}=\delta _{jm}}$ ${\displaystyle \int _{V}(\varepsilon _{ijk}\sigma _{jk})dV=0}$ Тогда для произвольного объема V имеем ${\displaystyle \varepsilon _{ijk}\sigma _{jk}=0}$ который удовлетворяется в каждой точке тела. Расширяя это уравнение, мы имеем ${\displaystyle \sigma _{12}=\sigma _{21}}$, И${\displaystyle \sigma _{23}=\sigma _{32}}$${\displaystyle \sigma _{13}=\sigma _{31}}$ или вообще ${\displaystyle \sigma _{ij}=\sigma _{ji}}$ Это доказывает, что тензор напряжений симметричен

Однако при наличии парных напряжений, то есть моментов на единицу объема, тензор напряжений несимметричен. Это также имеет место, когда число Кнудсена близко к единице, или континуум является неньютоновской жидкостью, что может привести к вращательно неинвариантным жидкостям, таким как полимеры .${\displaystyle K_{n}\rightarrow 1}$

Основные напряжения и инварианты напряжений [ править ]

В каждой точке напряженного тела есть по крайней мере три плоскости, называемые главными плоскостями , с векторами нормалей , называемыми главными направлениями , где соответствующий вектор напряжения перпендикулярен плоскости, т. Е. Параллелен или в том же направлении, что и вектор нормали , и где нет нормальных касательных напряжений . Три напряжения, нормальные к этим основным плоскостям, называются главными напряжениями .${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$

Компоненты тензора напряжений зависят от ориентации системы координат в рассматриваемой точке. Однако тензор напряжений сам по себе является физической величиной и как таковой не зависит от системы координат, выбранной для его представления. С каждым тензором связаны определенные инварианты, которые также не зависят от системы координат. Например, вектор - это простой тензор первого ранга. В трех измерениях он состоит из трех компонентов. Значение этих компонентов будет зависеть от системы координат, выбранной для представления вектора, но величина вектора является физической величиной (скаляром) и не зависит от декартовой системы координат, выбранной для представления вектора (при условии, что она${\displaystyle \sigma _{ij}}$нормальный ). Точно так же каждый тензор второго ранга (такой как тензоры напряжений и деформаций) имеет три независимых инвариантных величины, связанных с ним. Один набор таких инвариантов - это главные напряжения тензора напряжений, которые являются собственными значениями тензора напряжений. Их векторы направления являются главными направлениями или собственными векторами .

Вектор напряжения, параллельный единичному вектору нормали , определяется как:${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {T} ^{(\mathbf {n} )}=\lambda \mathbf {n} =\mathbf {\sigma } _{\mathrm {n} }\mathbf {n} }$

где - константа пропорциональности, и в этом частном случае соответствует величинам векторов нормальных напряжений или главных напряжений.${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \sigma _{\mathrm {n} }}$

Зная это, и у нас есть${\displaystyle T_{i}^{(n)}=\sigma _{ij}n_{j}}$${\displaystyle n_{i}=\delta _{ij}n_{j}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}T_{i}^{(n)}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}&=\lambda n_{i}\\\sigma _{ij}n_{j}-\lambda n_{i}&=0\\\left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}&=0\\\end{aligned}}}$

Это однородная система , т. Е. Равная нулю, трех линейных уравнений, где - неизвестные. Для получения нетривиального (ненулевого) решения для определяющая матрица коэффициентов должна быть равна нулю, т. Е. Система является сингулярной. Таким образом,${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle n_{j}}$

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|={\begin{vmatrix}\sigma _{11}-\lambda &\sigma _{12}&\sigma _{13}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}-\lambda &\sigma _{23}\\\sigma _{31}&\sigma _{32}&\sigma _{33}-\lambda \\\end{vmatrix}}=0}$

Разложение определителя приводит к характеристическому уравнению

${\displaystyle \left|\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right|=-\lambda ^{3}+I_{1}\lambda ^{2}-I_{2}\lambda +I_{3}=0}$

куда

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{11}+\sigma _{22}+\sigma _{33}\\&=\sigma _{kk}={\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\\[4pt]I_{2}&={\begin{vmatrix}\sigma _{22}&\sigma _{23}\\\sigma _{32}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{13}\\\sigma _{31}&\sigma _{33}\\\end{vmatrix}}+{\begin{vmatrix}\sigma _{11}&\sigma _{12}\\\sigma _{21}&\sigma _{22}\\\end{vmatrix}}\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}+\sigma _{22}\sigma _{33}+\sigma _{11}\sigma _{33}-\sigma _{12}^{2}-\sigma _{23}^{2}-\sigma _{31}^{2}\\&={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{ii}\sigma _{jj}-\sigma _{ij}\sigma _{ji}\right)={\frac {1}{2}}\left[\left({\text{tr}}({\boldsymbol {\sigma }})\right)^{2}-{\text{tr}}\left({\boldsymbol {\sigma }}^{2}\right)\right]\\[4pt]I_{3}&=\det(\sigma _{ij})=\det({\boldsymbol {\sigma }})\\&=\sigma _{11}\sigma _{22}\sigma _{33}+2\sigma _{12}\sigma _{23}\sigma _{31}-\sigma _{12}^{2}\sigma _{33}-\sigma _{23}^{2}\sigma _{11}-\sigma _{31}^{2}\sigma _{22}\\\end{aligned}}}$

Характеристическое уравнение имеет три действительных корня , т.е. не мнимые из-за симметрии тензора напряжений. , И являются главными напряжениями, функция собственных значений . Собственные значения - это корни характеристического полинома . Главные напряжения уникальны для данного тензора напряжений. Таким образом, из характеристического уравнения, коэффициенты , и , называется первой, второй и третий инварианты напряжений , соответственно, всегда имеют одинаковое значение независимо от ориентации системы координат.${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle \sigma _{1}=\max \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$${\displaystyle \sigma _{3}=\min \left(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}\right)}$${\displaystyle \sigma _{2}=I_{1}-\sigma _{1}-\sigma _{3}}$${\displaystyle \lambda _{i}}$${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

Для каждого собственного значения существует нетривиальное решение для уравнения . Эти решения являются главными направлениями или собственными векторами, определяющими плоскость, в которой действуют основные напряжения. Главные напряжения и главные направления характеризуют напряжение в точке и не зависят от ориентации.${\displaystyle n_{j}}$${\displaystyle \left(\sigma _{ij}-\lambda \delta _{ij}\right)n_{j}=0}$

Система координат с осями, ориентированными в главные направления, означает, что нормальные напряжения являются главными напряжениями, а тензор напряжений представлен диагональной матрицей:

${\displaystyle \sigma _{ij}={\begin{bmatrix}\sigma _{1}&0&0\\0&\sigma _{2}&0\\0&0&\sigma _{3}\end{bmatrix}}}$

Главные напряжения могут быть объединены для формирования напряжений инвариантов, , , и . Первый и третий инварианты - это след и определитель тензора напряжений соответственно. Таким образом,${\displaystyle I_{1}}$${\displaystyle I_{2}}$${\displaystyle I_{3}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}I_{1}&=\sigma _{1}+\sigma _{2}+\sigma _{3}\\I_{2}&=\sigma _{1}\sigma _{2}+\sigma _{2}\sigma _{3}+\sigma _{3}\sigma _{1}\\I_{3}&=\sigma _{1}\sigma _{2}\sigma _{3}\\\end{aligned}}}$

Из-за своей простоты основная система координат часто бывает полезной при рассмотрении состояния упругой среды в определенной точке. Основные напряжения часто выражаются в следующем уравнении для оценки напряжений в направлениях x и y или осевых напряжений и напряжений изгиба в детали. ^{[14] : стр.58–59} Затем основные нормальные напряжения можно использовать для расчета напряжения фон Мизеса и, в конечном итоге, коэффициента безопасности и запаса прочности.

${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2}={\frac {\sigma _{x}+\sigma _{y}}{2}}\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Использование только части уравнения под квадратным корнем равно максимальному и минимальному напряжению сдвига для плюса и минуса. Это показано как:

${\displaystyle \tau _{\max },\tau _{\min }=\pm {\sqrt {\left({\frac {\sigma _{x}-\sigma _{y}}{2}}\right)^{2}+\tau _{xy}^{2}}}}$

Максимальные и минимальные касательные напряжения [ править ]

Максимальное напряжение сдвига или максимальное главное напряжение сдвига равно половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями и действует в плоскости, которая делит пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего главных напряжений, т.е. максимальное напряжение сдвига ориентировано от главных плоскостей напряжений. Максимальное напряжение сдвига выражается как${\displaystyle 45^{\circ }}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$

Предполагая тогда${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$

${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|}$

Когда тензор напряжений не равен нулю, составляющая нормального напряжения, действующая на плоскость для максимального напряжения сдвига, не равна нулю и равна

${\displaystyle \sigma _{\text{n}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma _{1}+\sigma _{3}\right)}$

Определение максимального и минимального касательного напряжения [8] : с.45–78 [11] : с.1–46 [13] [15] : с.111–157 [16] : с.9–41 [17] : с.33–66 [18] : с.43–61

Нормальное напряжение можно записать в терминах главных напряжений как${\displaystyle (\sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3})}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{\mathrm {n} }&=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}\\&=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}$ Зная это , напряжение сдвига с точки зрения компонентов главных напряжений выражается как${\displaystyle \left(T^{(n)}\right)^{2}=\sigma _{ij}\sigma _{ik}n_{j}n_{k}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=\left(T^{(n)}\right)^{2}-\sigma _{\text{n}}^{2}\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\\&=\left(\sigma _{1}^{2}-\sigma _{2}^{2}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}-\left[\left(\sigma _{1}-\sigma _{3}\right)n_{1}^{2}+\left(\sigma _{2}-\sigma _{2}\right)n_{2}^{2}+\sigma _{3}\right]^{2}\\&=(\sigma _{1}-\sigma _{2})^{2}n_{1}^{2}n_{2}^{2}+(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}+(\sigma _{1}-\sigma _{3})^{2}n_{1}^{2}n_{3}^{2}\\\end{aligned}}}$ Максимальное напряжение сдвига в точке сплошного тела определяется максимизацией при условии, что${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }^{2}}$ ${\displaystyle n_{i}n_{i}=n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ Это проблема ограниченной максимизации, которую можно решить с помощью метода множителя Лагранжа , чтобы преобразовать проблему в задачу неограниченной оптимизации. Таким образом, стационарные значения (максимальное и минимальное значения) возникают там, где градиент параллелен градиенту .${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$${\displaystyle F}$ Функцию Лагранжа для этой задачи можно записать как ${\displaystyle {\begin{aligned}F\left(n_{1},n_{2},n_{3},\lambda \right)&=\tau ^{2}+\lambda \left(g\left(n_{1},n_{2},n_{3}\right)-1\right)\\&=\sigma _{1}^{2}n_{1}^{2}+\sigma _{2}^{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}^{2}n_{3}^{2}-\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}-1\right)\\\end{aligned}}}$ где - множитель Лагранжа (который отличается от использования для обозначения собственных значений).${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle \lambda }$ Крайние значения этих функций равны ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=0\qquad {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=0}$ оттуда ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{1}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=n_{2}\sigma _{2}^{2}-2n_{2}\sigma _{2}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=n_{3}\sigma _{3}^{2}-2n_{3}\sigma _{3}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\lambda n_{3}=0}$ Эти три уравнения вместе с условием могут быть решены для и${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$${\displaystyle \lambda ,n_{1},n_{2},}$${\displaystyle n_{3}}$ Умножая первые три уравнения на и , соответственно, и зная, что мы получаем${\displaystyle n_{1},\,n_{2},}$${\displaystyle n_{3}}$${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{ij}n_{i}n_{j}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$ ${\displaystyle n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}n_{1}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{1}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}n_{2}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{2}^{2}\lambda =0}$ ${\displaystyle n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{1}n_{3}^{2}\sigma _{\text{n}}+n_{3}^{2}\lambda =0}$ Складывая эти три уравнения, получаем ${\displaystyle {\begin{aligned}\left[n_{1}^{2}\sigma _{1}^{2}+n_{2}^{2}\sigma _{2}^{2}+n_{3}^{2}\sigma _{3}^{2}\right]-2\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\sigma _{\mathrm {n} }+\lambda \left(n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}\right)&=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\left[\tau _{\mathrm {n} }^{2}+\sigma _{\mathrm {n} }^{2}\right]-2\sigma _{\mathrm {n} }^{2}+\lambda &=0\\\lambda &=\sigma _{\mathrm {n} }^{2}-\tau _{\mathrm {n} }^{2}\end{aligned}}}$ этот результат можно подставить в каждое из первых трех уравнений, чтобы получить ${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\left(\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\n_{1}\sigma _{1}^{2}-2n_{1}\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\left(\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\left(\sigma _{1}^{2}-2\sigma _{1}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{1}&=0\\\end{aligned}}}$ Проделав то же самое с двумя другими уравнениями, мы имеем ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\left(\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\left(\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}\right)n_{3}=0}$ Первый подход к решению последних трех уравнений - рассмотреть тривиальное решение . Однако этот вариант не соответствует ограничению .${\displaystyle n_{i}=0}$${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$ Учитывая решение , в котором и , это определить , из условия , что , то из исходного уравнения для нее видно , что . Два других возможных значения для могут быть получены аналогичным образом, если принять${\displaystyle n_{1}=n_{2}=0}$${\displaystyle n_{3}\neq 0}$${\displaystyle n_{i}n_{i}=1}$${\displaystyle n_{3}=\pm 1}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}^{2}}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}=0}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ ${\displaystyle n_{1}=n_{3}=0}$ и ${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{2}=n_{3}=0}$ и ${\displaystyle n_{1}\neq 0}$ Таким образом, один набор решений для этих четырех уравнений: ${\displaystyle {\begin{aligned}n_{1}&=0,&n_{2}&=0,&n_{3}&=\pm 1,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=0,&n_{2}&=\pm 1,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\\n_{1}&=\pm 1,&n_{2}&=0,&n_{3}&=0,&\tau _{\text{n}}&=0\end{aligned}}}$ Они соответствуют минимальным значениям и подтверждают отсутствие касательных напряжений в плоскостях, перпендикулярных основным направлениям напряжения, как показано ранее.${\displaystyle \tau _{\mathrm {n} }}$ Второй набор решений получается при условии и . Таким образом, мы имеем${\displaystyle n_{1}=0,\,n_{2}\neq 0}$${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{2}}}=\sigma _{2}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{3}}}=\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}+\sigma _{\text{n}}^{2}-\tau _{\text{n}}^{2}=0}$ Чтобы найти значения для и, мы сначала добавляем эти два уравнения${\displaystyle n_{2}}$${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{2}\sigma _{\text{n}}+2\sigma _{3}\sigma _{\text{n}}&=0\\\sigma _{2}^{2}-\sigma _{3}^{2}-2\sigma _{\text{n}}\left(\sigma _{2}-\sigma _{3}\right)&=0\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\end{aligned}}}$ Зная, что для ${\displaystyle n_{1}=0}$ ${\displaystyle \sigma _{\text{n}}=\sigma _{1}n_{1}^{2}+\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}=\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}}$ и ${\displaystyle n_{1}^{2}+n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=n_{2}^{2}+n_{3}^{2}=1}$ у нас есть ${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\sigma _{\text{n}}\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}n_{3}^{2}\right)\\\sigma _{2}+\sigma _{3}&=2\left(\sigma _{2}n_{2}^{2}+\sigma _{3}\left(1-n_{2}^{2}\right)\right)=0\end{aligned}}}$ и решение для нас есть${\displaystyle n_{2}}$ ${\displaystyle n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ Затем, решая, мы имеем${\displaystyle n_{3}}$ ${\displaystyle n_{3}={\sqrt {1-n_{2}^{2}}}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}}}$ и ${\displaystyle {\begin{aligned}\tau _{\text{n}}^{2}&=(\sigma _{2}-\sigma _{3})^{2}n_{2}^{2}n_{3}^{2}\\\tau _{\text{n}}&={\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}\end{aligned}}}$ Два других возможных значения для могут быть получены аналогичным образом, если принять${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ ${\displaystyle n_{2}=0,\,n_{1}\neq 0}$ и ${\displaystyle n_{3}\neq 0}$ ${\displaystyle n_{3}=0,\,n_{1}\neq 0}$ и ${\displaystyle n_{2}\neq 0}$ Следовательно, второй набор решений для , представляющий максимум для, равен${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial n_{1}}}=0}$${\displaystyle \tau _{\text{n}}}$ ${\displaystyle n_{1}=0,\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{2}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=0,\,\,n_{3}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{3}}{2}}}$ ${\displaystyle n_{1}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{2}=\pm {\frac {1}{\sqrt {2}}},\,\,n_{3}=0,\,\,\tau _{\text{n}}=\pm {\frac {\sigma _{1}-\sigma _{2}}{2}}}$ Следовательно, если предположить , что максимальное напряжение сдвига выражается как${\displaystyle \sigma _{1}\geq \sigma _{2}\geq \sigma _{3}}$ ${\displaystyle \tau _{\max }={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{1}-\sigma _{3}\right|={\frac {1}{2}}\left|\sigma _{\max }-\sigma _{\min }\right|}$ и его можно утверждать как равное половине разницы между наибольшим и наименьшим главными напряжениями, действующими в плоскости, которая делит пополам угол между направлениями наибольшего и наименьшего главных напряжений.