Рассмотрим ситуацию, показанную на следующем рисунке. В следующих определениях используются обозначения, показанные на рисунке.
Величины, используемые при определении меры стресса |
В эталонной конфигурации , внешняя нормаль к элементу поверхности является и сила тяги, действующая на эту поверхность, равна приводящий к вектору силы . В деформированной конфигурации, элемент поверхности изменится на с нормальным внешним видом и вектор тяги ведущий к силе . Обратите внимание, что эта поверхность может быть либо гипотетическим разрезом внутри тела, либо реальной поверхностью. Количество- тензор градиента деформации , это его определитель.
Напряжение Коши
Напряжение Коши (или истинное напряжение) - это мера силы, действующей на элемент площади в деформированной конфигурации. Этот тензор симметричен и определяется через
или же
где это тяга и нормаль к поверхности, на которую действует сила тяги.
Напряжение Кирхгофа
Количество,
называется тензором напряжений Кирхгофа , причем детерминант . Он широко используется в численных алгоритмах пластической деформации металлов (где нет изменения объема во время пластической деформации). Его также можно назвать взвешенным тензором напряжений Коши .
Напряжение Пиолы – Кирхгофа
Номинальное напряжение / Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа
Номинальное напряжение представляет собой транспонирование первого напряжения Пиолы – Кирхгофа (напряжение PK1, также называемое инженерным напряжением) и определяется через
или же
Это напряжение несимметрично и представляет собой двухточечный тензор, подобный градиенту деформации.
Асимметрия проистекает из того факта, что в качестве тензора он имеет один индекс, прикрепленный к эталонной конфигурации, а другой - к деформированной конфигурации. [4]
Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа
Если мы отступим к эталонной конфигурации, мы имеем
или же,
Напряжение PK2 () симметрична и определяется соотношением
Следовательно,
Био стресс
Напряжение Био полезно, потому что это энергия, сопряженная с правым тензором растяжения. . Напряжение Био определяется как симметричная часть тензора где - тензор вращения, полученный из полярного разложения градиента деформации. Поэтому тензор напряжений Био определяется как
Стресс Био также называют стрессом Яуманна.
Количество не имеет физической интерпретации. Однако несимметричное напряжение Био имеет интерпретацию
Связь между напряжением Коши и номинальным напряжением
Из формулы Нансона, связывающей площади в исходной и деформированной конфигурациях:
Сейчас,
Следовательно,
или же,
или же,
В индексной записи
Следовательно,
Обратите внимание, что а также (как правило) не симметричны, потому что (как правило) не симметричен.
Связь между номинальным напряжением и вторым напряжением P – K
Напомним, что
а также
Следовательно,
или (используя симметрию ),
В индексной записи
В качестве альтернативы мы можем написать
Связь между напряжением Коши и вторым напряжением P – K
Напомним, что
Что касается 2-го ПК-стресса, мы имеем
Следовательно,
В индексной записи
Поскольку напряжение Коши (и, следовательно, напряжение Кирхгофа) симметрично, второе ПК-напряжение также симметрично.
В качестве альтернативы мы можем написать
или же,
Ясно, что из определения операций продвижения вперед и назад мы имеем
а также
Следовательно, это отступление от а также это толчок вперед .