Эластичный материал Коши

В физике , А Коши-эластичный материал является тот , в котором напряжение в каждой точке определяется только текущим состоянием деформации по отношению к произвольной эталонной конфигурации. ^[1] Эластичный материал Коши также называют простым эластичным материалом.

Из этого определения следует, что напряжение в эластичном по Коши материале не зависит от траектории деформации или истории деформации, или от времени, необходимого для достижения этой деформации, или скорости, с которой достигается состояние деформации. Из определения также следует, что определяющие уравнения пространственно локальны; то есть на напряжение влияет только состояние деформации в бесконечно малой окрестности рассматриваемой точки, без учета деформации или движения остального материала. Это также означает, что телесные силы (например, сила тяжести) и силы инерции не могут влиять на свойства материала. Наконец, эластичный по Коши материал должен удовлетворять требованиям материальной объективности .

Эластичные материалы Коши - это математические абстракции, и ни один реальный материал не подходит под это определение идеально. Однако многие эластичные материалы, представляющие практический интерес, такие как сталь, пластик, дерево и бетон, часто можно считать упругими по Коши для целей анализа напряжений .

Математическое определение [ править ]

Формально материал называется упругим по Коши, если тензор напряжений Коши является функцией только тензора деформации ( градиента деформации ) :${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ sigma}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {F}}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})}$

Это определение предполагает, что влияние температуры можно игнорировать, а тело однородно. Это определяющее уравнение для упругого по Коши материала.

Обратите внимание, что функция зависит от выбора эталонной конфигурации. Обычно за эталонную конфигурацию принимают расслабленную (без напряжения) конфигурацию, но это не обязательно.${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Материальное безразличие к кадрам требует, чтобы определяющее отношение не изменялось при изменении местоположения наблюдателя. Следовательно, можно записать определяющее уравнение для другого произвольного наблюдателя . Зная, что тензор напряжений Коши и градиент деформации являются объективными величинами, можно записать:${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}^{*}={\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {G}}({\boldsymbol {F}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {G}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}})\end{aligned}}}$

где - собственный ортогональный тензор.${\displaystyle {\boldsymbol {R}}}$

Вышеизложенное является условием, которое должен соблюдать конституционный закон , чтобы гарантировать, что реакция материала не будет зависеть от наблюдателя. Подобные условия могут быть получены для основных законов, связывающих градиент деформации с первым или вторым тензором напряжений Пиолы-Кирхгофа .${\displaystyle {\mathcal {G}}}$

Изотропные эластичные материалы Коши [ править ]

Для изотропного материала тензор напряжений Коши может быть выражен как функция левого тензора Коши-Грина . Тогда материальное уравнение можно записать:${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$

${\displaystyle \ {\boldsymbol {\sigma }}={\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}).}$

Чтобы найти ограничение, при котором будет обеспечен принцип безразличия материального каркаса, можно написать:${\displaystyle h}$

${\displaystyle \ {\begin{array}{rrcl}&{\boldsymbol {\sigma }}^{*}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}}^{*})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {\sigma }}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {F}}^{*}\cdot ({\boldsymbol {F}}^{*})^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T})\\\Rightarrow &{\boldsymbol {R}}\cdot {\mathcal {H}}({\boldsymbol {B}})\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}&=&{\mathcal {H}}({\boldsymbol {R}}\cdot {\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {R}}^{T}).\end{array}}}$

Уравнение состояния, что отношения вышеуказанного условие называется изотропное .

Неконсервативные материалы [ править ]

Несмотря на то, что напряжение в эластичном по Коши материале зависит только от состояния деформации, работа, выполняемая напряжениями, может зависеть от пути деформации. Следовательно, эластичный материал Коши в целом имеет неконсервативную структуру, и напряжение не обязательно может быть получено из скалярной функции «упругого потенциала». Консервативные в этом смысле материалы называются гиперупругими или «зелено-эластичными».

Ссылки [ править ]