Гиперупругий материал

Гиперупругая или зеленый упругая материал ^[1] представляет собой тип конститутивной модели для идеально упругого материала , для которого напряжения-деформация отношений происходят от функции плотности энергии деформации . Гиперупругий материал - это частный случай эластичного материала Коши .

Для многих материалов линейные упругие модели неточно описывают наблюдаемое поведение материала. Наиболее распространенным примером такого рода материала резины, чье напряжение - деформация отношения могут быть определены как нелинейно упругой, изотропной , несжимаемой и вообще не зависит от скорости деформации . Гиперупругость позволяет моделировать поведение таких материалов при напряжении и деформации. ^[2] Поведение ненаполненных вулканизированных эластомеров часто близко соответствует идеалу гиперупругости. Наполненные эластомеры и биологические ткани ^{[3] [4]} также часто моделируются с помощью гиперупругой идеализации.

Рональд Ривлин и Мелвин Муни разработали первые гиперупругие модели, твердые тела Неогука и Муни – Ривлина . С тех пор было разработано много других гиперупругих моделей. Другие широко используемые модели гиперупругого материала включают модель Огдена и модель Арруда – Бойса .

Модели гиперупругих материалов [ править ]

Модель Сен-Венана – Кирхгофа [ править ]

Простейшей моделью гиперупругого материала является модель Сен-Венана – Кирхгофа, которая является просто расширением геометрически линейной модели упругого материала до геометрически нелинейного режима. Эта модель имеет общий вид и изотропный вид соответственно.

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = {\ boldsymbol {C}}: {\ boldsymbol {E}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}} = \ lambda ~ {\ text {tr}} ({\ boldsymbol {E}}) {\ boldsymbol {\ mathit {I}}} + 2 \ mu {\ boldsymbol {E }}{\текст{.}}}$

где - второе напряжение Пиолы – Кирхгофа, - тензор жесткости четвертого порядка и - лагранжева деформация Грина, определяемая формулой${\ displaystyle {\ boldsymbol {S}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {C}}: {\ rm {I \! R}} ^ {3 \ times 3} \ rightarrow {\ rm {I \! R}} ^ {3 \ times 3}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {E}}}$

${\ displaystyle \ mathbf {E} = {\ frac {1} {2}} \ left [(\ nabla _ {\ mathbf {X}} \ mathbf {u}) ^ {T} + \ nabla _ {\ mathbf {X}} \ mathbf {u} + (\ nabla _ {\ mathbf {X}} \ mathbf {u}) ^ {T} \ cdot \ nabla _ {\ mathbf {X}} \ mathbf {u} \ right ] \, \!}$

${\ displaystyle \ lambda}$и - константы Ламе , - единичный тензор второго порядка.${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {\ mathit {I}}}}$

Функция плотности энергии деформации для модели Сен-Венана – Кирхгофа имеет вид

${\displaystyle W({\boldsymbol {E}})={\frac {\lambda }{2}}[{\text{tr}}({\boldsymbol {E}})]^{2}+\mu {\text{tr}}({\boldsymbol {E}}^{2})}$

а второе напряжение Пиолы – Кирхгофа может быть получено из соотношения

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}~.}$

Классификация моделей гиперупругих материалов [ править ]

Модели гиперупругих материалов можно разделить на:

1) феноменологические описания наблюдаемого поведения

• Гриб
• Муни – Ривлин
• Огден
• Полиномиальный
• Сен-Венан-Кирхгоф
• Ага
• Марлоу

2) механистические модели, основанные на аргументах о базовой структуре материала.

• Модель Арруда – Бойса
• Неогукейский

3) гибриды феноменологической и механистической моделей

• Гент
• Ван дер Ваальс

Как правило, гиперупругая модель должна удовлетворять критерию устойчивости Друкера . Некоторые гиперупругие модели удовлетворяют гипотезе Валаниса-Ланделя, согласно которой функция энергии деформации может быть разделена на сумму отдельных функций главных участков :${\displaystyle (\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

${\displaystyle W=f(\lambda _{1})+f(\lambda _{2})+f(\lambda _{3})\,.}$

Отношения напряжения и деформации [ править ]

Сжимаемые гиперупругие материалы [ править ]

Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа [ править ]

Если - функция плотности энергии деформации, 1-й тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа может быть рассчитан для гиперупругого материала как${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}={\frac {\partial W}{\partial F_{iK}}}.}$

где - градиент деформации . В терминах лагранжевой деформации Грина ( )${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {E}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial E_{LK}}}~.}$

В терминах правого тензора деформации Коши – Грина ( )${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad P_{iK}=2~F_{iL}~{\frac {\partial W}{\partial C_{LK}}}~.}$

Второе напряжение Пиолы – Кирхгофа [ править ]

Если - второй тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа, то${\displaystyle {\boldsymbol {S}}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=F_{Ik}^{-1}{\frac {\partial W}{\partial F_{kJ}}}~.}$

В терминах лагранжевой деформации Грина

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}={\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}={\frac {\partial W}{\partial E_{IJ}}}~.}$

В терминах правого тензора деформации Коши – Грина

${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2~{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\qquad {\text{or}}\qquad S_{IJ}=2~{\frac {\partial W}{\partial C_{IJ}}}~.}$

Вышеупомянутое соотношение также известно как формула Дойля-Эриксена в конфигурации материала.

Напряжение Коши [ править ]

Точно так же напряжение Коши определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~;~~J:=\det {\boldsymbol {F}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\cfrac {1}{J}}~{\cfrac {\partial W}{\partial F_{iK}}}~F_{jK}~.}$

В терминах лагранжевой деформации Грина

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\cfrac {1}{J}}~F_{iK}~{\cfrac {\partial W}{\partial E_{KL}}}~F_{jL}~.}$

В терминах правого тензора деформации Коши – Грина

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\cfrac {2}{J}}~F_{iK}~{\cfrac {\partial W}{\partial C_{KL}}}~F_{jL}~.}$

Приведенные выше выражения действительны даже для анизотропных сред (в этом случае подразумевается, что потенциальная функция неявно зависит от эталонных направленных величин, таких как начальная ориентация волокон). В частном случае изотропии напряжение Коши может быть выражено через левый тензор деформации Коши-Грина следующим образом: ^[5]

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {B}}}}\qquad {\text{or}}\qquad \sigma _{ij}={\cfrac {2}{J}}~B_{ik}~{\cfrac {\partial W}{\partial B_{kj}}}~.}$

Несжимаемые гиперупругие материалы [ править ]

Для несжимаемого материала . Таким образом, ограничение несжимаемости равно . Для обеспечения несжимаемости гиперупругого материала функцию энергии деформации можно записать в виде:${\displaystyle J:=\det {\boldsymbol {F}}=1}$${\displaystyle J-1=0}$

${\displaystyle W=W({\boldsymbol {F}})-p~(J-1)}$

где гидростатическое давление действует как множитель Лагранжа для обеспечения ограничения несжимаемости. Первое напряжение Пиолы – Кирхгофа теперь становится${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\boldsymbol {P}}=-p~J{\boldsymbol {F}}^{-T}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-T}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}=-p~{\boldsymbol {F}}^{-T}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.}$

Этот тензор напряжений впоследствии может быть преобразован в любой из других обычных тензоров напряжений, например, тензор напряжений Коши, который определяется выражением

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\boldsymbol {P}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {F}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {E}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}=-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+2~{\boldsymbol {F}}\cdot {\frac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}~.}$

Выражения для напряжения Коши [ править ]

Сжимаемые изотропные гиперупругие материалы [ править ]

Для изотропных гиперупругих материалов напряжение Коши может быть выражено через инварианты левого тензора деформации Коши – Грина (или правого тензора деформации Коши – Грина ). Если функция плотности энергии деформации равна , то${\displaystyle W({\boldsymbol {F}})={\hat {W}}(I_{1},I_{2},I_{3})={\bar {W}}({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J)={\tilde {W}}(\lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\cfrac {2}{\sqrt {I_{3}}}}\left[\left({\cfrac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\cfrac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2{\sqrt {I_{3}}}~{\cfrac {\partial {\hat {W}}}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\&={\cfrac {2}{J}}\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}\left({\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&\qquad \qquad +\left[{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\&={\cfrac {2}{J}}\left[\left({\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right){\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]+\left[{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial {\bar {W}}}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\\&={\cfrac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\cfrac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\cfrac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~{\cfrac {\partial {\tilde {W}}}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\end{aligned}}}$

( Определения этих символов см. На странице слева тензор деформации Коши – Грина ).

Доказательство 1:

Второго тензора напряжений Пиола-Кирхгофа для гиперупругого материала задается ${\displaystyle {\boldsymbol {S}}=2~{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}}$ где это верно Коши-Грина тензор деформации и является градиент деформации . Напряжений Коши задается${\displaystyle {\boldsymbol {C}}={\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\boldsymbol {F}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {S}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$ где . Позвольте быть три основных инварианта . Затем${\displaystyle J=\det {\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle I_{1},I_{2},I_{3}}$${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\cfrac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\cfrac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\cfrac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}~.}$ В производные инвариантов симметричного тензора являются${\displaystyle {\boldsymbol {C}}}$ ${\displaystyle {\frac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\boldsymbol {\mathit {1}}}~;~~{\frac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {C}}~;~~{\frac {\partial I_{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}=\det({\boldsymbol {C}})~{\boldsymbol {C}}^{-1}}$ Следовательно, мы можем написать ${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {F}}^{-1}\cdot {\boldsymbol {F}}^{-T}~.}$ Подстановка выражения для напряжения Коши дает ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~\left[{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}-{\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T})+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}~I_{3}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\right]}$ Используя левый тензор деформации Коши – Грина и учитывая, что мы можем записать${\displaystyle {\boldsymbol {B}}={\boldsymbol {F}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}}$${\displaystyle I_{3}=J^{2}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$ Для несжимаемого материала и, следовательно ,.${\displaystyle I_{3}=1}$${\displaystyle W=W(I_{1},I_{2})}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\cfrac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\cfrac {\partial I_{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~(I_{1}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}-{\boldsymbol {F}}^{T}\cdot {\boldsymbol {F}})}$ Следовательно, напряжение Коши определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$ где - неопределенное давление, которое действует как множитель Лагранжа для обеспечения ограничения несжимаемости.${\displaystyle p}$ Если, кроме того, имеем и, следовательно,${\displaystyle I_{1}=I_{2}}$${\displaystyle W=W(I_{1})}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\cfrac {\partial I_{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}}$ В этом случае напряжение Коши можно выразить как ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}~{\boldsymbol {B}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$

Доказательство 2:

Изохорная градиент деформации определяется как , в результате чего изохорной градиент деформации , имеющей определитель 1, другими словами , это объем простирания бесплатно. Используя это, впоследствии можно определить изохорный левый тензор деформации Коши – Грина .${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {F}}}:=J^{-1/3}{\boldsymbol {F}}}$${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}:={\bar {\boldsymbol {F}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {F}}}^{T}=J^{-2/3}{\boldsymbol {B}}}$ Инварианты : Набор инвариантов, которые используются для определения искажающего поведения, представляют собой первые два инварианта изохорного левого тензора деформации Коши – Грина (которые идентичны тем, которые используются для правого тензора растяжения Коши Грина), и добавляют в бой, чтобы описать объемное поведение.${\displaystyle {\bar {\boldsymbol {B}}}}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\bar {I}}_{1}&={\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})=J^{-2/3}I_{1}\\{\bar {I}}_{2}&={\frac {1}{2}}\left({\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}})^{2}-{\text{tr}}({\bar {\boldsymbol {B}}}^{2})\right)={\frac {1}{2}}\left(\left(J^{-2/3}{\text{tr}}({\boldsymbol {B}})\right)^{2}-{\text{tr}}(J^{-4/3}{\boldsymbol {B}}^{2})\right)=J^{-4/3}I_{2}\\{\bar {I}}_{3}&=\det({\bar {\boldsymbol {B}}})=J^{-6/3}\det({\boldsymbol {B}})=J^{-2}I_{3}=J^{-2}J^{2}=1\end{aligned}}}$${\displaystyle J}$ Чтобы выразить напряжение Коши через инварианты, напомним, что${\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}$ ${\displaystyle {\bar {I}}_{1}=J^{-2/3}~I_{1}=I_{3}^{-1/3}~I_{1}~;~~{\bar {I}}_{2}=J^{-4/3}~I_{2}=I_{3}^{-2/3}~I_{2}~;~~J=I_{3}^{1/2}~.}$ Цепное правило дифференциации дает нам ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}&={\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\cfrac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{1}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\cfrac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{1}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial J}}~{\cfrac {\partial J}{\partial I_{1}}}\\&=I_{3}^{-1/3}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}=J^{-2/3}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}\\{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}&={\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\cfrac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{2}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\cfrac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{2}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial J}}~{\cfrac {\partial J}{\partial I_{2}}}\\&=I_{3}^{-2/3}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}=J^{-4/3}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\\{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}&={\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\cfrac {\partial {\bar {I}}_{1}}{\partial I_{3}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\cfrac {\partial {\bar {I}}_{2}}{\partial I_{3}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial J}}~{\cfrac {\partial J}{\partial I_{3}}}\\&=-{\cfrac {1}{3}}~I_{3}^{-4/3}~I_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}-{\cfrac {2}{3}}~I_{3}^{-5/3}~I_{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}+{\cfrac {1}{2}}~I_{3}^{-1/2}~{\cfrac {\partial W}{\partial J}}\\&=-{\cfrac {1}{3}}~J^{-8/3}~J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}-{\cfrac {2}{3}}~J^{-10/3}~J^{4/3}~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}+{\cfrac {1}{2}}~J^{-1}~{\cfrac {\partial W}{\partial J}}\\&=-{\cfrac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\cfrac {1}{2}}~J^{-1}~{\cfrac {\partial W}{\partial J}}\end{aligned}}}$ Напомним, что напряжение Коши определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{\sqrt {I_{3}}}}~\left[\left({\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}+I_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~{\sqrt {I_{3}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$ В терминах инвариантов имеем${\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~\left[\left({\cfrac {\partial W}{\partial I_{1}}}+J^{2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\cfrac {\partial W}{\partial I_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+2~J~{\cfrac {\partial W}{\partial I_{3}}}~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$ Подставляя выражения для производных от по , мы имеем${\displaystyle W}$${\displaystyle {\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2},J}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\cfrac {2}{J}}~\left[\left(J^{-2/3}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+J^{-2/3}~{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-J^{-4/3}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]+\\&\qquad 2~J~\left[-{\cfrac {1}{3}}~J^{-2}~\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)+{\cfrac {1}{2}}~J^{-1}~{\cfrac {\partial W}{\partial J}}\right]~{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}$ или же, ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\cfrac {2}{J}}~\left[{\cfrac {1}{J^{2/3}}}~\left({\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\boldsymbol {B}}-{\cfrac {1}{J^{4/3}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\boldsymbol {B}}\cdot {\boldsymbol {B}}\right]\\&\qquad +\left[{\cfrac {\partial W}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}$ В терминах девиаторной части мы можем написать${\displaystyle {\boldsymbol {B}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\sigma }}&={\cfrac {2}{J}}~\left[\left({\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+{\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]\\&\qquad +\left[{\cfrac {\partial W}{\partial J}}-{\cfrac {2}{3J}}\left({\bar {I}}_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+2~{\bar {I}}_{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)\right]{\boldsymbol {\mathit {1}}}\end{aligned}}}$ Для несжимаемого материала и, следовательно, напряжение Коши определяется выражением${\displaystyle J=1}$${\displaystyle W=W({\bar {I}}_{1},{\bar {I}}_{2})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2\left[\left({\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}+I_{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}\right)~{\bar {\boldsymbol {B}}}-{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{2}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}\cdot {\bar {\boldsymbol {B}}}\right]-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$ где - неопределенный член множителя Лагранжа, подобный давлению. Кроме того, если , у нас есть и, следовательно, напряжение Коши может быть выражено как${\displaystyle p}$${\displaystyle {\bar {I}}_{1}={\bar {I}}_{2}}$${\displaystyle W=W({\bar {I}}_{1})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=2{\cfrac {\partial W}{\partial {\bar {I}}_{1}}}~{\bar {\boldsymbol {B}}}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~.}$

Доказательство 3:

Чтобы выразить напряжение Коши через отрезки, напомним, что${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle {\cfrac {\partial \lambda _{i}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}={\cfrac {1}{2\lambda _{i}}}~{\boldsymbol {R}}^{T}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {R}}~;~~i=1,2,3~.}$ Цепное правило дает ${\displaystyle {\begin{aligned}{\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}&={\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~{\cfrac {\partial \lambda _{1}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~{\cfrac {\partial \lambda _{2}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}+{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~{\cfrac {\partial \lambda _{3}}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\\&={\boldsymbol {R}}^{T}\cdot \left[{\cfrac {1}{2\lambda _{1}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{2\lambda _{2}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{2\lambda _{3}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {R}}\end{aligned}}}$ Напряжение Коши определяется выражением ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {F}}\cdot {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot {\boldsymbol {F}}^{T}={\cfrac {2}{J}}~({\boldsymbol {V}}\cdot {\boldsymbol {R}})\cdot {\cfrac {\partial W}{\partial {\boldsymbol {C}}}}\cdot ({\boldsymbol {R}}^{T}\cdot {\boldsymbol {V}})}$ Подстановка выражения для производной от приводит к${\displaystyle W}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {2}{J}}~{\boldsymbol {V}}\cdot \left[{\cfrac {1}{2\lambda _{1}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+{\cfrac {1}{2\lambda _{2}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+{\cfrac {1}{2\lambda _{3}}}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]\cdot {\boldsymbol {V}}}$ Используя спектральное разложение из нас${\displaystyle {\boldsymbol {V}}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {V}}\cdot (\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i})\cdot {\boldsymbol {V}}=\lambda _{i}^{2}~\mathbf {n} _{i}\otimes \mathbf {n} _{i}~;~~i=1,2,3.}$ Также обратите внимание, что ${\displaystyle J=\det({\boldsymbol {F}})=\det({\boldsymbol {V}})\det({\boldsymbol {R}})=\det({\boldsymbol {V}})=\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}~.}$ Следовательно, выражение для напряжения Коши можно записать как ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}={\cfrac {1}{\lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}}}~\left[\lambda _{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}\right]}$ Для несжимаемого материала а значит . Следуя Огдену [1] с. 485, можно написать${\displaystyle \lambda _{1}\lambda _{2}\lambda _{3}=1}$${\displaystyle W=W(\lambda _{1},\lambda _{2})}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}~\mathbf {n} _{1}\otimes \mathbf {n} _{1}+\lambda _{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}~\mathbf {n} _{2}\otimes \mathbf {n} _{2}+\lambda _{3}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~\mathbf {n} _{3}\otimes \mathbf {n} _{3}-p~{\boldsymbol {\mathit {1}}}~}$ На этом этапе требуется некоторая осторожность, потому что, когда собственное значение повторяется, оно, как правило, дифференцируемо только по Гато , но не по Фреше . [6] [7] Строгую тензорную производную можно найти только путем решения другой задачи на собственные значения. Если выразить напряжение в терминах различий между компонентами, ${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}~;~~\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{2}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{2}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}$ Если в дополнение к несжимаемости у нас есть то возможное решение проблемы требует, и мы можем записать разницу напряжений в виде${\displaystyle \lambda _{1}=\lambda _{2}}$${\displaystyle \sigma _{11}=\sigma _{22}}$ ${\displaystyle \sigma _{11}-\sigma _{33}=\sigma _{22}-\sigma _{33}=\lambda _{1}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{1}}}-\lambda _{3}~{\cfrac {\partial W}{\partial \lambda _{3}}}}$