Смещение тела состоит из двух компонентов: смещения твердого тела и деформации.
Смещение твердого тела состоит из одновременного перемещения (физика) и вращения тела без изменения его формы или размера.
Деформация подразумевает изменение формы и / или размера тела по сравнению с исходной или недеформированной конфигурацией. в текущую или деформированную конфигурацию (Фигура 1).
Изменение конфигурации сплошного тела можно описать полем смещения . Поле смещения представляет собой векторное поле всех векторов смещения для всех частиц в теле, которое связывает деформированную конфигурацию с недеформированной конфигурацией. Расстояние между любыми двумя частицами изменяется тогда и только тогда, когда произошла деформация. Если смещение происходит без деформации, то это смещение твердого тела.
Материальные координаты (лагранжевое описание)
Смещение частиц, индексируемое переменной i, можно выразить следующим образом. Вектор, соединяющий положения частицы в недеформированной конфигурации и деформированная конфигурация называется вектором смещения . С использованием на месте а также на месте , оба из которых являются векторами от начала системы координат до каждой соответствующей точки, у нас есть лагранжевое описание вектора смещения:
Где являются ортонормированными единичными векторами, которые определяют основу пространственной (лабораторной) системы координат.
Выраженное в материальных координатах поле смещения:
Где - вектор смещения, представляющий перенос твердого тела.
Частная производная от смещения вектора по отношению к материалу координатам дает тензор градиента перемещения материала. Таким образом, мы имеем
В эйлеровом описании вектор, исходящий от частицыв недеформированной конфигурации к ее положению в деформированной конфигурации называется вектором смещения :
Где являются единичными векторами, которые определяют основу системы координат материала (тело-рама).
Выраженное в терминах пространственных координат поле смещения:
Частная производная вектора смещения по пространственным координатам дает тензор градиента пространственного смещения. Таким образом, мы имеем
Связь материальной и пространственной систем координат
- направляющие косинусы между материальной и пространственной системами координат с единичными векторами а также , соответственно. Таким образом
Отношение между а также тогда дается
Знаю это
тогда
Объединение систем координат деформированной и недеформированной конфигураций
Обычно системы координат для деформированной и недеформированной конфигураций накладываются друг на друга, что приводит к , а направляющие косинусы становятся дельтами Кронекера , т.е.
Таким образом, в материальных (недеформированных) координатах смещение может быть выражено как:
А в пространственных (деформированных) координатах смещение можно выразить как:
Тензор градиента деформации
Рис. 2. Деформация сплошного тела.
Тензор градиента деформации связан как с опорной, так и с текущей конфигурацией, как видно из единичных векторов а также , следовательно, это двухточечный тензор .
В силу предположения о непрерывности , имеет обратное , где - тензор градиента пространственной деформации . Тогда по теореме о неявной функции , [1] якобиан определительдолжно быть невырожденным , т. е.
Тензор градиента деформации материалаявляется тензором второго порядка , который представляет собой градиент функции отображения или функциональной зависимости, который описывает движение сплошной среды . Тензор градиента деформации материала характеризует локальную деформацию в материальной точке с вектором положения, т.е. деформация в соседних точках, путем преобразования ( линейного преобразования ) элемента линии материала, исходящего из этой точки, из исходной конфигурации в текущую или деформированную конфигурацию, предполагая непрерывность в функции отображения, То есть дифференцируемая функция от и время , что означает, что трещины и пустоты не открываются и не закрываются во время деформации. Таким образом, мы имеем
Вектор относительного смещения
Рассмотрим частицу или материальную точку с вектором положения в недеформированной конфигурации (рисунок 2). После перемещения тела новое положение частицы, обозначенное в новой конфигурации задается векторным положением . Системы координат для недеформированной и деформированной конфигурации могут быть совмещены для удобства.
Рассмотрим теперь материальную точку соседний , с вектором положения . В деформированной конфигурации эта частица имеет новое положение заданный вектором положения . Предполагая, что отрезки линии а также соединение частиц а также как в недеформированной, так и в деформированной конфигурации, соответственно, очень малы, то мы можем выразить их как а также . Таким образом, из рисунка 2 мы имеем
где - вектор относительного смещения , который представляет относительное смещение относительно в деформированном состоянии.
Приближение Тейлора
Для бесконечно малого элемента , и предполагая непрерывность поля смещения, можно использовать разложение в ряд Тейлора вокруг точкипренебрегая членами более высокого порядка, чтобы аппроксимировать компоненты вектора относительного смещения для соседней частицы в виде
Таким образом, предыдущее уравнение можно записать как
Производная по времени от градиента деформации
Расчеты, которые включают зависящую от времени деформацию тела, часто требуют вычисления производной по времени от градиента деформации. Геометрически согласованное определение такой производной требует экскурсии в дифференциальную геометрию [2], но мы избегаем этих вопросов в этой статье.
Производная по времени от является
где - скорость. Производная справа представляет градиент скорости материала . Обычно это преобразовывают в пространственный градиент, т. Е.
где - градиент пространственной скорости . Если градиент пространственной скорости постоянен, указанное выше уравнение может быть решено точно, чтобы дать
предполагая в . Есть несколько методов вычисления экспоненты выше.
Связанные величины , часто используемые в механике сплошной среды , являются скоростью тензора деформации и тензор спина определен, соответственно, как:
Тензор скорости деформации дает скорость растяжения элементов линии, а тензор спина указывает скорость вращения или завихренность движения.
Материальная производная по времени от обратной величины градиента деформации (сохраняя фиксированную исходную конфигурацию) часто требуется в анализах, которые включают конечные деформации. Эта производная
Вышеупомянутое соотношение можно проверить, взяв материальную производную по времени от и отмечая, что .
Преобразование поверхности и элемента объема
Чтобы преобразовать величины, которые определены относительно площадей в деформированной конфигурации, в те, которые относятся к площадям в эталонной конфигурации, и наоборот, мы используем соотношение Нансона, выраженное как
где - площадь области в деформированной конфигурации, это та же область в эталонной конфигурации, и является внешней нормалью к элементу площади в текущей конфигурации, в то время как это внешняя нормаль в эталонной конфигурации, - градиент деформации , а.
Соответствующая формула преобразования элемента объема:
Чтобы увидеть, как выводится эта формула, мы начнем с ориентированных элементов площади.
в эталонной и текущей конфигурациях:
Справочный и текущий объемы элемента
где .
Следовательно,
или же,
так,
Итак, мы получаем
или же,
Полярное разложение тензора градиента деформации
Рис. 3. Представление полярного разложения градиента деформации.
Градиент деформации , как любой обратимый тензор второго порядка, можно разложить, используя теорему о полярном разложении , в произведение двух тензоров второго порядка (Truesdell and Noll, 1965): ортогонального тензора и положительно определенного симметричного тензора, т.
где тензор - собственный ортогональный тензор , т. е. а также , представляющий вращение; тензор- правый тензор растяжения ; а такжелевый тензор растяжения . Члены справа и слева означают, что они находятся справа и слева от тензора вращения, соответственно. а также оба положительно определены , т. е. а также для всех ненулевых , и симметричные тензоры , т.е. а также , второго порядка.
Из этого разложения следует, что деформация линейного элемента в недеформированной конфигурации на в деформированной конфигурации, т.е. , может быть получен либо путем предварительного растяжения элемента на , т.е. с последующим вращением , т.е. ; или что то же самое, применяя жесткое вращение во-первых, т.е. с последующим растяжением , т.е. (См. Рисунок 3).
Благодаря ортогональности
чтобы а также имеют одинаковые собственные значения или главные участки , но разные собственные векторы или главные направления а также , соответственно. Основные направления связаны между собой
Это полярное разложение, уникальное как обратима с положительным определителем, является следствием сингулярного разложения .
Тензоры деформации
В механике используется несколько не зависящих от вращения тензоров деформации. В механике деформируемого твердого тела наиболее популярны правые и левые тензоры деформации Коши – Грина.
Поскольку чистое вращение не должно вызывать никаких деформаций в деформируемом теле, в механике сплошных сред часто удобно использовать независимые от вращения меры деформации . Поскольку вращение с последующим его обратным вращением не приводит к изменению () можно исключить поворот, умножив по его транспонированию .
Правый тензор деформации Коши – Грина
В 1839 году Джордж Грин ввел тензор деформации, известный как правый тензор деформации Коши – Грина или тензор деформации Грина , определенный как: [4] [5]
Физически тензор Коши – Грина дает нам квадрат локального изменения расстояний из-за деформации, т. Е.
Инварианты часто используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Наиболее часто используемые инварианты :
где являются коэффициентами растяжения для единичных волокон, которые изначально ориентированы вдоль направлений собственных векторов правого (эталонного) тензора растяжения (обычно они не выровнены по трем осям систем координат).
Тензор деформации пальца
ИЮПАК рекомендует [5] , что обратная правого тензора деформации Коши-Грина ( так называемый тензор Коши в этом документе), т.е., назовем тензором Пальца . Однако эта номенклатура не является общепринятой в прикладной механике.
Левый тензор деформации Коши – Грина или Фингера
Изменение порядка умножения в формуле для правого тензора деформации Грина – Коши приводит к левому тензору деформации Коши – Грина, который определяется как:
Левый тензор деформации Коши – Грина часто называют тензором деформации Фингера в честь Джозефа Фингера (1894). [5] [6] [7]
Инварианты также используются в выражениях для функций плотности энергии деформации . Обычные инварианты определяются как
где - определитель градиента деформации.
Для несжимаемых материалов используется несколько иной набор инвариантов:
Тензор деформации Коши
Ранее в 1828 году [8] Огюстен Луи Коши ввел тензор деформации, определенный как обратный левому тензору деформации Коши – Грина:. Этот тензор также называется тензором Пиолы [5] и тензором Фингера [9] в литературе по реологии и гидродинамике.
Спектральное представление
Если есть три различных основных участка , Что спектральные разложения из а также дан кем-то
Более того,
Заметьте, что
Следовательно, из единственности спектрального разложения также следует, что . Левая полоса () также называют тензором пространственного растяжения, а правое растяжение () называется тензором растяжения материала .
Эффект действующий на растянуть вектор на и повернуть его в новую ориентацию , т.е.
В том же духе,
Примеры
Одноосное удлинение несжимаемого материала
Это тот случай , когда образец растянут в 1-направлении с натяжным отношением от. Если объем остается постоянным, сокращение в двух других направлениях таково, что или же . Потом:
Простой сдвиг
Вращение жесткого тела
Производные от стрейч
Производные растяжения относительно правого тензора деформации Коши – Грина используются для вывода соотношений напряжение-деформация многих твердых тел, особенно гиперупругих материалов . Эти производные
и из наблюдений следует, что
Физическая интерпретация тензоров деформации
Позволять - декартова система координат, определенная на недеформированном теле, и пусть - другая система, заданная на деформируемом теле. Пусть кривая в недеформированном теле параметризовать с помощью . Его образ в деформированном теле.
Недеформированная длина кривой определяется выражением
После деформации длина становится равной
Отметим, что правый тензор деформации Коши – Грина определяется как
Следовательно,
что указывает на то, что изменения длины характеризуются .
Тензоры конечных деформаций
Концепция деформации используется для оценки того, насколько данное смещение локально отличается от смещения твердого тела. [1] [10] [11] Одной из таких деформаций для больших деформаций является лагранжев тензор конечных деформаций , также называемый тензором деформации Грина-Лагранжа или тензором деформации Грина-Сен-Венана , определяемый как
или как функция тензора градиента смещения
или же
Тензор деформации Грина-Лагранжа является мерой того, насколько отличается от .
Тензор конечной деформации Эйлерово-Альманзите , привязан к деформированной конфигурации, т.е. эйлерова описания, определяются как
или как функция градиентов смещения мы имеем
Вывод тензоров лагранжевых и эйлеровых конечных деформаций
Мерой деформации является разница между квадратами дифференциального линейного элемента. , в недеформированной конфигурации и , в деформированной конфигурации (рис. 2). Деформация произошла, если разница не равна нулю, в противном случае произошло смещение твердого тела. Таким образом, мы имеем
В лагранжевом описании, используя материальные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями имеет вид
Тогда у нас есть
где компоненты правого тензора деформации Коши – Грина ,. Затем, заменив это уравнение первым уравнением, которое мы имеем,
или же
где , являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором деформаций Грина - Сен-Венана или лагранжевым тензором конечных деформаций ,
В описании Эйлера, используя пространственные координаты в качестве системы отсчета, линейное преобразование между дифференциальными линиями имеет вид
где - компоненты тензора градиента пространственной деформации ,. Таким образом, мы имеем
где тензор второго порядка называется тензором деформации Коши ,. Тогда у нас есть
или же
где , являются компонентами тензора второго порядка, называемого тензором конечных деформаций Эйлера-Альманси ,
И лагранжев, и эйлеров тензоры конечных деформаций удобно выразить через тензор градиента смещения . Для тензора лагранжевых деформаций сначала продифференцируем вектор смещения относительно материальных координат для получения тензора градиента смещения материала ,
Подставляя это уравнение в выражение для лагранжевого тензора конечных деформаций, имеем
или же
Аналогично тензор конечных деформаций Эйлера-Альманси может быть выражен как
Семейство обобщенных тензоров деформации Сета – Хилла.
BR Seth из Индийского технологического института Kharagpur был первым, кто показал, что тензоры деформации Грина и Альманси являются частными случаями более общей меры деформации . [12] [13] Идея была далее расширена Родни Хиллом в 1968 году. [14] Семейство мер деформации Сета – Хилла (также называемых тензорами Дойла-Эриксена) [15] может быть выражено как
Для разных значений у нас есть:
Второе приближение этих тензоров имеет вид
где - тензор бесконечно малых деформаций.
Множество других различных определений тензоров допустимы при условии, что все они удовлетворяют следующим условиям: [16]
исчезает при всех движениях твердого тела
зависимость на тензоре градиента смещения непрерывна, непрерывно дифференцируема и монотонна
также желательно, чтобы сводится к тензору бесконечно малых деформаций как норма
Примером может служить набор тензоров
которые не принадлежат классу Сета – Хилла, но имеют то же приближение 2-го порядка, что и меры Сета – Хилла при для любого значения . [17]
Коэффициент растяжения
Коэффициент растяжения является мерой растяжения или нормальной деформации дифференциального линейного элемента, который может быть определен либо в недеформированной конфигурации, либо в деформированной конфигурации.
Степень растяжения дифференциального элемента (Рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке в недеформированной конфигурации определяется как
где - деформированная величина дифференциального элемента .
Аналогично, степень растяжения дифференциального элемента (Рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке в деформированной конфигурации определяется как
Нормальный штамм в любом направлении можно выразить как функцию степени растяжения,
Это уравнение означает, что нормальная деформация равна нулю, то есть деформации нет, когда растяжение равно единице. Некоторые материалы, такие как эластометры, могут выдерживать степени растяжения 3 или 4 до того, как выйдут из строя, тогда как традиционные конструкционные материалы, такие как бетон или сталь, терпят неудачу при гораздо более низких степенях растяжения, возможно, порядка 1,1 (ссылка?)
Диагональные компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа связаны с нормальной деформацией, например
где нормальная деформация или инженерная деформация в направлении .
Недиагональные компоненты тензора конечных деформаций Лагранжа связаны со сдвиговой деформацией, например
где это изменение угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны направлениям а также , соответственно.
При определенных обстоятельствах, то есть при малых смещениях и малых скоростях смещений, компоненты лагранжевого тензора конечных деформаций могут быть аппроксимированы компонентами тензора бесконечно малых деформаций
Вывод физической интерпретации тензоров лагранжевых и эйлеровых конечных деформаций.
Степень растяжения дифференциального элемента (Рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке в недеформированной конфигурации определяется как
где - деформированная величина дифференциального элемента .
Аналогично, степень растяжения дифференциального элемента (Рисунок) в направлении единичного вектора в материальной точке в деформированной конфигурации определяется как
Квадрат степени растяжения определяется как
Знаю это
у нас есть
где а также являются единичными векторами.
Нормальное напряжение или инженерное напряжение в любом направлении можно выразить как функцию степени растяжения,
Таким образом, нормальная деформация в направлении в материальной точке может быть выражено в терминах степени растяжения как
решение для у нас есть
Сдвиг деформация , или изменение угла между двумя линейными элементами а также изначально перпендикулярно и ориентировано в основных направлениях а также соответственно, также могут быть выражены как функция степени растяжения. Из скалярного произведения между деформированными линиями а также у нас есть
где угол между линиями а также в деформированном состоянии. Определение в качестве деформации сдвига или уменьшения угла между двумя линейными элементами, которые изначально были перпендикулярны, мы имеем
таким образом,
тогда
или же
Тензоры деформации в конвективных криволинейных координатах
Представление тензоров деформации в криволинейных координатах полезно для решения многих задач механики сплошных сред, таких как теории нелинейных оболочек и большие пластические деформации. Позволять обозначают функцию, с помощью которой вектор положения в пространстве строится из координат . Координаты называются "конвекционными", если они соответствуют взаимно однозначному отображению в и из лагранжевых частиц в сплошном теле. Если координатная сетка «нарисована» на теле в его начальной конфигурации, то эта сетка будет деформироваться и течь вместе с движением материала, чтобы оставаться нарисованными на тех же частицах материала в деформированной конфигурации, так что линии сетки пересекаются на одной и той же частице материала в любой конфигурации. Касательный вектор к кривой линии деформированной координатной сетки в дан кем-то
Три касательных вектора в точке образуют локальную основу. Эти векторы связаны с векторами обратного базиса соотношением
Определим тензорное поле второго порядка (также называемый метрическим тензором ) с компонентами
В символы Кристоффеля первого рода могут быть выражены как
Чтобы увидеть, как символы Кристоффеля связаны с правым тензором деформации Коши – Грина, давайте аналогичным образом определим два основания: уже упомянутое, касательное к линиям деформированной сетки, а другое - к линиям недеформированной сетки. А именно,
Градиент деформации в криволинейных координатах
Используя определение градиента векторного поля в криволинейных координатах, градиент деформации можно записать как
Правый тензор Коши – Грина в криволинейных координатах
Правый тензор деформации Коши – Грина имеет вид
Если мы выразим в терминах компонентов по отношению к базису {} у нас есть
Следовательно,
и соответствующий символ Кристоффеля первого типа может быть записан в следующей форме.
Некоторые отношения между мерами деформации и символами Кристоффеля
Рассмотрим взаимно однозначное отображение из к и предположим, что существуют два положительно определенных симметричных тензорных поля второго порядка а также это удовлетворяет
Потом,
Отмечая, что
а также у нас есть
Определять
Следовательно
Определять
потом
Определим символы Кристоффеля второго рода как
потом
Следовательно,
Из обратимости отображения следует, что
Мы также можем сформулировать аналогичный результат в терминах производных по . Следовательно,
Условия совместимости
Проблема совместимости в механике сплошных сред включает определение допустимых однозначных непрерывных полей на телах. Эти допустимые условия оставляют тело без нефизических зазоров или перекрытий после деформации. Большинство таких условий применимо к односвязным телам. Для внутренних границ многосвязных тел требуются дополнительные условия.
Совместимость градиента деформации
Необходимые и достаточные условия существования совместимого поля над односвязным телом
Совместимость правого тензора деформации Коши – Грина.
Необходимые и достаточные условия существования совместимого поля над односвязным телом
Мы можем показать, что это смешанные компоненты тензора кривизны Римана – Кристоффеля . Следовательно, необходимые условия для-совместимость заключаются в том, что кривизна деформации Римана – Кристоффеля равна нулю.
Совместимость левого тензора деформации Коши – Грина.
Общие условия достаточности для левого тензора деформации Коши – Грина в трехмерном пространстве неизвестны. Условия совместимости для двумерныхполя были обнаружены Джанет Блюм. [18] [19]
Смотрите также
Бесконечно малая деформация
Совместимость (механика)
Криволинейные координаты
Тензор напряжений Пиолы – Кирхгофа, тензор напряжений при конечных деформациях.
Стрессовые меры
Деформационное разделение
Рекомендации
^ a b Люблинер, Джейкоб (2008). Теория пластичности (PDF) (Пересмотренная ред.). Dover Publications. ISBN 978-0-486-46290-5. Архивировано из оригинального (PDF) 31 марта 2010 года.
^ А. Явари, Дж. Э. Марсден и М. Ортис, О пространственных и материальных законах ковариантного баланса в упругости , Журнал математической физики, 47, 2006, 042903; С. 1–53.
^Оуэнс, Эдуардо де Соуза Нето, Джордже Перич, Дэвид (2008). Вычислительные методы пластичности: теория и приложения . Чичестер, Западный Сассекс, Великобритания: Wiley. п. 65. ISBN 978-0-470-69452-7.
^ ИЮПАК рекомендует этот тензор можно назвать тензором деформации Коши.
^ а б в гA. Kaye, RFT Stepto, WJ Work, JV Aleman (Испания), A. Ya. Малкин (1998). «Определение терминов, относящихся к не конечным механическим свойствам полимеров» . Pure Appl. Chem . 70 (3): 701–754. DOI : 10,1351 / pac199870030701 .CS1 maint: несколько имен: список авторов ( ссылка )
^ Эдуардо Н. Дворкин, Марсела Б. Гольдшмит, 2006 Нелинейные континуумы , стр. 25, Springer ISBN 3-540-24985-0 .
^ ИЮПАК рекомендует этот тензор можно назвать Зеленый тензор деформации.
^ Jirásek, Милан; Бажант, З.П. (2002) Неупругий анализ конструкций , Wiley, стр. 463 ISBN 0-471-98716-6
^ JN Reddy, Дэвид К. Гартлинг (2000) Метод конечных элементов в теплопередаче и гидродинамике , стр. 317, CRC Press ISBN 1-4200-8598-0 .
^Беличко, Тед; Лю, Винг Кам; Моран, Брайан (2000). Нелинейные конечные элементы для сплошных сред и структур (переиздание с исправлениями, 2006 г.). John Wiley & Sons Ltd., стр. 92–94. ISBN 978-0-471-98773-4.
^Зейди, Махди; Ким, Чун Иллинойс (2018). «Механика упругого твердого тела, армированного двунаправленным волокном в эластостатике конечной плоскости: полный анализ». Механика сплошной среды и термодинамика . 30 (3): 573–592. DOI : 10.1007 / s00161-018-0623-0 . ISSN 1432-0959 .
^Сет, Б.Р. (1961), "Обобщенная мера деформации с приложениями к физическим задачам" , сводный технический отчет MRC № 248 , Центр математических исследований, Армия США, Университет Висконсина: 1–18
^Сет, Б.Р. (1962), "Обобщенная мера деформации с приложениями к физическим проблемам", Симпозиум IUTAM по эффектам второго порядка в упругости, пластичности и механике жидкости, Хайфа, 1962.
^Хилл Р. (1968), "О материальных неравенствах для простых материалов - I", Журнал механики и физики твердых тел , 16 (4): 229–242, Bibcode : 1968JMPSo..16..229H , doi : 10.1016 / 0022-5096 (68) 90031-8
^ ЗП Bažant и Л. Cedolin (1991). Устойчивость конструкций. Теории упругости, неупругости, разрушения и повреждения. Oxford Univ. Press, New York (2-е изд. Dover Publ., New York 2003; 3-е изд., World Scientific 2010).
^ ЗП Bažant (1998). « Легко вычисляемые тензоры с симметричной обратной аппроксимацией конечной деформации Генки и ее скорости ». Журнал материалов технологии ASME , 120 (апрель), 131–136.
^Блюм, Дж. А. (1989). «Условия совместимости для левого поля деформаций Коши – Грина». Журнал эластичности . 21 (3): 271–308. DOI : 10.1007 / BF00045780 . S2CID 54889553 .
^Ачарья, А. (1999). "Об условиях совместимости для левого деформационного поля Коши – Грина в трех измерениях" (PDF) . Журнал эластичности . 56 (2): 95–105. DOI : 10,1023 / A: 1007653400249 . S2CID 116767781 .
Димитриенко, Юрий (2011). Нелинейная механика сплошной среды и большие неупругие деформации . Германия: Springer. ISBN 978-94-007-0033-8.
Хаттер, Колумбан; Клаус Йёнк (2004). Континуальные методы физического моделирования . Германия: Springer. ISBN 3-540-20619-1.
Любарда, Владо А. (2001). Теория упругопластичности . CRC Press. ISBN 0-8493-1138-1.
Макоско, CW (1994). Реология: принципы, измерения и приложения . Издатели ВЧ. ISBN 1-56081-579-5.
Мейс, Джордж Э. (1970). Механика сплошной среды . McGraw-Hill Professional. ISBN 0-07-040663-4.
Мейс, Дж. Томас; Джордж Э. Мейс (1999). Механика сплошной среды для инженеров (второе изд.). CRC Press. ISBN 0-8493-1855-6.
Немат-Насер, Сиа (2006). Пластичность: трактат о конечной деформации неоднородных неупругих материалов . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-83979-3.
Рис, Дэвид (2006). Базовая инженерная пластичность - Введение в инженерные и производственные приложения . Баттерворт-Хайнеманн. ISBN 0-7506-8025-3.
Внешние ссылки
Заметки профессора Амита Ачарьи о совместимости на iMechanica