В математике , то Кронекера (названный в честь Леопольда Кронекера ) является функцией двух переменных , как правило , только неотрицательных целых чисел . Функция равна 1, если переменные равны, и 0 в противном случае:
или с использованием скобок Айверсона :
где символ Кронекера δ ij является кусочной функцией переменных i и j . Например, δ 1 2 = 0 , тогда как δ 3 3 = 1 .
Дельта Кронекера естественным образом появляется во многих областях математики, физики и инженерии как средство компактного выражения своего определения, приведенного выше.
В линейной алгебре , то п х п матрица I имеет записи , равный Кронекер:
где я и J принимают значения 1, 2, ..., п и скалярное произведение из векторов можно записать в виде
Здесь евклидовы векторы определены как n -наборы: и, а последний шаг получается путем использования значений дельты Кронекера для уменьшения суммирования по j .
Ограничение на положительные или неотрицательные целые числа является обычным явлением, но фактически дельта Кронекера может быть определена на произвольном множестве.
Свойства [ править ]
Удовлетворяются следующие уравнения:
Следовательно, матрицу δ можно рассматривать как единичную матрицу.
Еще одно полезное представление - это следующая форма:
Это может быть получено с помощью формулы для конечного геометрического ряда .
Альтернативная нотация [ править ]
Используя скобку Айверсона :
Часто используется запись с одним аргументом δ i , что эквивалентно установке j = 0 :
В линейной алгебре его можно рассматривать как тензор , и он записывается как δя
j. Иногда дельту Кронекера называют тензором подстановки. [1]
Цифровая обработка сигналов [ править ]
При исследовании цифровой обработки сигналов (DSP) функция единичной выборки представляет собой частный случай двумерной дельта-функции Кронекера, в которой индексы Кронекера включают в себя число ноль, а один из индексов равен нулю. В этом случае:
Или, в более общем смысле, где:
Однако это только очень частный случай. В тензорном исчислении базисные векторы в конкретном измерении чаще нумеруются, начиная с индекса 1, а не индекса 0. В этом случае отношения не существует, и фактически дельта-функция Кронекера и функция единичной выборки действительно разные функции, которые случайно перекрываются в одном конкретном случае, когда индексы включают число 0, количество индексов равно 2, а один из индексов имеет нулевое значение.
Хотя в функции дискретной единичной выборки и дельта-функции Кронекера используется одна и та же буква, они различаются следующими способами. Для функции дискретной единичной выборки более условно помещать единственный целочисленный индекс в квадратные скобки, в отличие от дельты Кронекера, которая может иметь любое количество индексов. Кроме того, цель дискретной единичной выборочной функции отличается от дельта-функции Кронекера. В DSP функция дискретной единичной выборки обычно используется в качестве входной функции для дискретной системы для обнаружения системной функции системы, которая будет производиться как выход системы. Напротив, типичной целью дельта-функции Кронекера является фильтрация членов из соглашения Эйнштейна о суммировании .
Функцию дискретной единичной выборки проще определить как:
Кроме того, в DSP есть функция, называемая дельта-функцией Дирака , которую часто путают как с дельта-функцией Кронекера, так и с функцией единичной выборки. Дельта Дирака определяется как:
В отличие от дельта-функции Кронекера и функции единичной выборки , дельта-функция Дирака не имеет целочисленного индекса, она имеет единственное непрерывное нецелое значение t.
Чтобы еще больше запутать ситуацию, функция единичного импульса иногда используется для обозначения либо дельта-функции Дирака , либо функции единичной выборки .
Свойства дельта-функции [ править ]
Дельта Кронекера обладает так называемым свойством просеивания, что для j ∈ ℤ :
и если целые числа рассматриваются как пространство меры , наделенное счетной мерой , то это свойство совпадает с определяющим свойством дельта-функции Дирака
и фактически дельта Дирака была названа в честь дельты Кронекера из-за этого аналогичного свойства [ цитата необходима ] . В обработке сигналов обычно контекст (дискретное или непрерывное время) отличает «функции» Кронекера и Дирака. По соглашению, δ ( t ) обычно обозначает непрерывное время (Дирак), тогда как такие аргументы, как i , j , k , l , m и n , обычно зарезервированы для дискретного времени (Кронекер). Другой распространенной практикой является представление дискретных последовательностей в квадратных скобках; таким образом: δ [ n ]. Дельта Кронекера не является результатом прямой выборки дельта-функции Дирака.
Кронекера образует мультипликативный единичный элемент в качестве инцидентности алгебры . [2]
Связь с дельта-функцией Дирака [ править ]
В теории вероятностей и статистике дельта Кронекера и дельта-функция Дирака могут использоваться для представления дискретного распределения . Если носитель распределения состоит из точек x = { x 1 , ..., x n } , с соответствующими вероятностями p 1 , ..., p n , то функция массы вероятностей p ( x ) распределения по x можно записать, используя дельту Кронекера, как
Эквивалентно, функция плотности вероятности f ( x ) распределения может быть записана с использованием дельта-функции Дирака как
При определенных условиях дельта Кронекера может возникнуть в результате выборки дельта-функции Дирака. Например, если дельта-импульс Дирака возникает точно в точке выборки и в идеале проходит фильтрацию нижних частот (с отсечкой на критической частоте) в соответствии с теоремой Найквиста – Шеннона , результирующий сигнал в дискретном времени будет дельта-функцией Кронекера.
Обобщения [ править ]
Если рассматривать его как тензор типа (1,1), тензор Кронекера можно записать в виде δя
jс ковариантным индексом j и контравариантным индексом i :
Этот тензор представляет:
- Единичное отображение (или единичная матрица), рассматриваемое как линейное отображение V → V или V ∗ → V ∗
- Следа или тензор сжатия , рассматривать как отображение V * ⊗ V → K
- Отображение K → V ∗ ⊗ V , представляющее скалярное умножение как сумму внешних произведений .
Обобщен Кронекер или многоиндексный Кронекер порядка 2 р представляет собой тип ( р , р ) тензор, является полностью антисимметричным в его р верхних индексов, а также в его р нижних индексах.
Два определения, различающиеся в p раз ! уже используются. Ниже представлена версия с ненулевыми компонентами, масштабируемыми до ± 1 . Вторая версия имеет ненулевые компоненты, которые равны ±1/п !, с последующими изменениями коэффициентов масштабирования в формулах, таких как коэффициенты масштабирования 1/п !в § Исчезающие снизу свойства обобщенной дельты Кронекера . [3]
Определения обобщенной дельты Кронекера [ править ]
В терминах индексов обобщенная дельта Кронекера определяется как: [4] [5]
Пусть S p - симметрическая группа степени p , тогда:
Использование антисимметризации :
В терминах определителя p × p : [6]
Используя разложение Лапласа ( формула Лапласа ) определителя, она может быть определена рекурсивно : [7]
где гачеком, указывает индекс , который опускается из последовательности.
Когда p = n (размерность векторного пространства), в терминах символа Леви-Чивиты :
Свойства обобщенной дельты Кронекера [ править ]
Обобщенная дельта Кронекера может использоваться для антисимметризации :
Из приведенных выше уравнений и свойств антисимметричных тензоров мы можем вывести свойства обобщенной дельты Кронекера:
которые являются обобщенной версией формул, записанных в § Свойства . Последняя формула эквивалентна формуле Коши – Бине .
Уменьшение порядка путем суммирования индексов может быть выражено тождеством [8]
Используя как правило суммирования для случая p = n, так и связь с символом Леви-Чивиты, выводится правило суммирования символа Леви-Чивита :
Четырехмерная версия последнего соотношения появляется в спинорном подходе Пенроуза к общей теории относительности [9], который он позже обобщил, когда разрабатывал диаграммы Эйткена [10], чтобы стать частью техники графической записи Пенроуза . [11] Кроме того, это отношение широко используется в теориях S-двойственности , особенно когда они написаны на языке дифференциальных форм и двойственных по Ходжу .
Интегральные представления [ править ]
Для любого целого числа n , используя стандартное вычисление остатка, мы можем записать интегральное представление для дельты Кронекера в виде интеграла ниже, где контур интеграла идет против часовой стрелки вокруг нуля. Это представление также эквивалентно определенному интегралу поворотом в комплексной плоскости.
Гребень Кронекера [ править ]
Функция гребенки Кронекера с периодом N определяется (в нотации DSP ) как:
где N и n - целые числа. Таким образом, гребенка Кронекера состоит из бесконечной серии единичных импульсов, разделенных на N единиц, и включает единичный импульс в нуле. Его можно рассматривать как дискретный аналог гребенки Дирака .
Интеграл Кронекера [ править ]
Дельта Кронекера также называется степенью отображения одной поверхности в другую. [12] Предположим, что отображение имеет место с поверхности S uvw на S xyz, которые являются границами областей, R uvw и R xyz, которое просто связано взаимно однозначным соответствием. В этой структуре, если s и t являются параметрами для S uvw , а S uvw - S uvw каждый ориентирован внешней нормалью n :
в то время как нормаль имеет направление
Пусть x = x ( u , v , w ) , y = y ( u , v , w ) , z = z ( u , v , w ) определены и гладкие в области, содержащей S uvw , и пусть эти уравнения определяют отображение S uvw на S xyz . Тогда степень отображения δ равна1/4πраз телесный угол изображения S из S UVW по отношению к внутренней точке S хуга , O . Если O - начало области R xyz , то степень δ определяется интегралом:
См. Также [ править ]
- Мера Дирака
- Функция индикатора
- Символ Леви-Чивита
- Функция устройства
- XNOR ворота
Ссылки [ править ]
- ^ Троубриджа, JH (1998). «О методике измерения турбулентных касательных напряжений при наличии поверхностных волн» . Журнал атмосферных и океанических технологий . 15 (1): 291. Bibcode : 1998JAtOT..15..290T . DOI : 10,1175 / 1520-0426 (1998) 015 <0290: OATFMO> 2.0.CO; 2 .
- ^ Шпигель, Юджин; О'Доннелл, Кристофер Дж. (1997), Алгебры инцидентности , Чистая и прикладная математика, 206 , Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0036-8.
- ^ Папа, Кристофер (2008). «Геометрия и теория групп» (PDF) .
- ^ Франкель, Теодор (2012). Геометрия физики: введение (3-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 9781107602601.
- Перейти ↑ Agarwal, DC (2007). Тензорное исчисление и риманова геометрия (22-е изд.). Кришна Пракашан СМИ.[ ISBN отсутствует ]
- ^ Лавлок, Дэвид; Рунд, Ханно (1989). Тензоры, дифференциальные формы и вариационные принципы . Courier Dover Publications. ISBN 0-486-65840-6.
- ^ Рекурсивное определение требует первого случая, который может быть взят как δ = 1 для p = 0 , или, альтернативно, δμ
ν= δμ
νдля p = 1 (обобщенная дельта в терминах стандартной дельты). - ^ Хассани, Садри (2008). Математические методы: для студентов, изучающих физику и смежные специальности (2-е изд.). Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-09503-5.
- ^ Пенроуз, Роджер (июнь 1960). «Спинорный подход к общей теории относительности» . Анналы физики . 10 (2): 171–201. Bibcode : 1960AnPhy..10..171P . DOI : 10.1016 / 0003-4916 (60) 90021-X .
- Перейти ↑ Aitken, Alexander Craig (1958). Детерминанты и матрицы . Великобритания: Оливер и Бойд.
- ^ Роджер Пенроуз , "Приложения тензоров отрицательной размерности", в Комбинаторной математике и ее приложениях , Academic Press (1971).
- ^ Каплан, Уилфред (2003). Расширенный расчет . Pearson Education. п. 364. ISBN 0-201-79937-5.