Символ Кронекера

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Май 2015 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В теории чисел , то символ Кронекера , написанный , как и , является обобщением символа Якоби для всех целых чисел . Он был введен Леопольдом Кронекером  ( 1885 , стр. 770).${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {n}} \ right)}$${\ Displaystyle (а | п)}$ ${\ displaystyle n}$

Определение [ править ]

Позвольте быть ненулевым целым числом с простой факторизацией${\ displaystyle n}$

${\displaystyle n=u\cdot p_{1}^{e_{1}}\cdots p_{k}^{e_{k}},}$

где - единица (т. е. ), а - простые числа . Позвольте быть целым числом. Символ Кронекера определяется следующим образом: ${\displaystyle u}$${\displaystyle u=\pm 1}$${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{n}}\right)=\left({\frac {a}{u}}\right)\prod _{i=1}^{k}\left({\frac {a}{p_{i}}}\right)^{e_{i}}.}$

Для нечетных число - это просто обычный символ Лежандра . Это оставляет случай, когда . Определим по ${\displaystyle p_{i}}$${\displaystyle \left({\frac {a}{p_{i}}}\right)}$${\displaystyle p_{i}=2}$${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{2}}\right)={\begin{cases}0&{\mbox{if }}a{\mbox{ is even,}}\\1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 1{\pmod {8}},\\-1&{\mbox{if }}a\equiv \pm 3{\pmod {8}}.\end{cases}}}$

Поскольку он расширяет символ Якоби, количество просто когда . Когда мы определяем это как${\displaystyle \left({\frac {a}{u}}\right)}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle u=1}$${\displaystyle u=-1}$

${\displaystyle \left({\frac {a}{-1}}\right)={\begin{cases}-1&{\mbox{if }}a<0,\\1&{\mbox{if }}a\geq 0.\end{cases}}}$

Наконец, положим

${\displaystyle \left({\frac {a}{0}}\right)={\begin{cases}1&{\text{if }}a=\pm 1,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Этих расширений достаточно, чтобы определить символ Кронекера для всех целочисленных значений .${\displaystyle a,n}$

Некоторые авторы определяют символ Кронекера только для более ограниченных значений; например, конгруэнтно и .${\displaystyle a}$${\displaystyle 0,1{\bmod {4}}}$${\displaystyle n>0}$

Таблица значений [ править ]

Ниже приводится таблица значений символа Кронекера при n , k ≤ 30.${\displaystyle \left({\frac {k}{n}}\right)}$

Свойства [ править ]

Символ Кронекера разделяет многие основные свойства символа Якоби при определенных ограничениях:

• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\pm 1}$если , иначе .${\displaystyle \gcd(a,n)=1}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=0}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {ab}{n}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$если только один из них равен нулю, а другой отрицателен.${\displaystyle n=-1}$${\displaystyle a,b}$
• ${\displaystyle \left({\tfrac {a}{mn}}\right)=\left({\tfrac {a}{m}}\right)\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$если только один из них равен нулю, а другой имеет нечетную часть ( определение ниже ), совпадающую с .${\displaystyle a=-1}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle 3{\bmod {4}}}$
• Для , у нас есть всякий раз , когда Если дополнительно имеют тот же знак, то же верно и для .${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {b}{n}}\right)}$${\displaystyle a\equiv b{\bmod {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$${\displaystyle a,b}$${\displaystyle n<0}$
• Для , у нас есть всякий раз${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{m}}\right)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$${\displaystyle m\equiv n{\bmod {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}}$

С другой стороны, символ Кронекера не имеет такой же связи с квадратичными вычетами, как символ Якоби. В частности, символ Кронекера для четности может принимать значения независимо от того, является ли он квадратичным вычетом или невычетом по модулю .${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$

Квадратичная взаимность [ править ]

Символ Кронекера также удовлетворяет следующим версиям квадратичного закона взаимности .

Для любого ненулевого целого числа пусть обозначает его нечетную часть : где нечетное (для , мы положили ). Тогда следующая симметричная версия квадратичной взаимности верна для любой пары целых чисел такой, что :${\displaystyle n}$${\displaystyle n'}$${\displaystyle n=2^{e}n'}$${\displaystyle n'}$${\displaystyle n=0}$${\displaystyle 0'=1}$${\displaystyle m,n}$${\displaystyle \gcd(m,n)=1}$

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{m}}\right)=\pm (-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}},}$

где знак равен if или и равен if и .${\displaystyle \pm }$${\displaystyle +}$${\displaystyle m\geq 0}$${\displaystyle n\geq 0}$${\displaystyle -}$${\displaystyle m<0}$${\displaystyle n<0}$

Существует также эквивалентная несимметричная версия квадратичной взаимности, которая выполняется для каждой пары относительно простых целых чисел :${\displaystyle m,n}$

${\displaystyle \left({\frac {m}{n}}\right)\left({\frac {n}{|m|}}\right)=(-1)^{{\frac {m'-1}{2}}{\frac {n'-1}{2}}}.}$

Для любого целого числа пусть . Тогда у нас есть другая эквивалентная несимметричная версия, в которой говорится${\displaystyle n}$${\displaystyle n^{*}=(-1)^{(n'-1)/2}n}$

${\displaystyle \left({\frac {m^{*}}{n}}\right)=\left({\frac {n}{|m|}}\right)}$

для каждой пары целых чисел (не обязательно относительно простых).${\displaystyle m,n}$

В дополнительных законах обобщаются на символ Кронекера , а также. Эти законы легко следуют из каждой версии квадратичного закона взаимности, указанной выше (в отличие от символа Лежандра и Якоби, где для полного описания квадратичной взаимности необходимы как основной, так и дополнительные законы).

Для любого целого числа имеем${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {-1}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n'-1}{2}}}$

и для любого нечетного целого числа это${\displaystyle n}$

${\displaystyle \left({\frac {2}{n}}\right)=(-1)^{\frac {n^{2}-1}{8}}.}$

Связь с персонажами Дирихле [ править ]

Если и , отображение является реальным характером Дирихле модуля. И наоборот, каждый реальный символ Дирихле может быть записан в этой форме с помощью (для него ).${\displaystyle a\not \equiv 3{\pmod {4}}}$${\displaystyle a\neq 0}$${\displaystyle \chi (n)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$${\displaystyle {\begin{cases}4|a|,&a\equiv 2{\pmod {4}},\\|a|,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$${\displaystyle a\equiv 0,1{\pmod {4}}}$${\displaystyle a\equiv 2{\pmod {4}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{n}}\right)=\left({\tfrac {4a}{n}}\right)}$

В частности, примитивные вещественные символы Дирихле находятся в соответствии 1–1 с квадратичными полями , где - ненулевое целое число без квадратов (мы можем включить случай для представления главного символа, даже если это не собственное квадратичное поле). Этот символ может быть восстановлен из поля как символ Артина : то есть для положительного простого числа значение зависит от поведения идеала в кольце целых чисел :${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle F=\mathbb {Q} ({\sqrt {m}})}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {1}})=\mathbb {Q} }$${\displaystyle \chi }$ ${\displaystyle \left({\tfrac {F/\mathbb {Q} }{\cdot }}\right)}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \chi (p)}$${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle O_{F}}$

${\displaystyle \chi (p)={\begin{cases}0,&(p){\text{ is ramified,}}\\1,&(p){\text{ splits,}}\\-1,&(p){\text{ is inert.}}\end{cases}}}$

Тогда равно символу Кронекера , где${\displaystyle \chi (n)}$${\displaystyle \left({\tfrac {D}{n}}\right)}$

${\displaystyle D={\begin{cases}m,&m\equiv 1{\pmod {4}},\\4m,&m\equiv 2,3{\pmod {4}}\end{cases}}}$

является дискриминант из . Дирижер есть .${\displaystyle F}$${\displaystyle \chi }$${\displaystyle |D|}$

Точно так же, если карта является реальным символом Дирихле модуля. Однако не все реальные символы могут быть представлены таким образом, например, символ не может быть записан как любой . По закону квадратичной взаимности имеем . Символ может быть представлен как если бы и только если его нечетная часть , и в этом случае мы можем взять .${\displaystyle n>0}$${\displaystyle \chi (a)=\left({\tfrac {a}{n}}\right)}$${\displaystyle {\begin{cases}4n,&n\equiv 2{\pmod {4}},\\n,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$${\displaystyle \left({\tfrac {-4}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)=\left({\tfrac {n^{*}}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {a}{\cdot }}\right)}$${\displaystyle \left({\tfrac {\cdot }{n}}\right)}$${\displaystyle a'\equiv 1{\pmod {4}}}$${\displaystyle n=|a|}$

См. Также [ править ]

• Символ Гильберта

Ссылки [ править ]

• Кронекер, Л. (1885), "Zur Theorie der elliptischen Funktionen" , Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 761–784
• Монтгомери, Хью Л ; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские исследования в области высшей математики. 97 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-84903-9. Zbl  1142.11001 .

Эта статья включает материал из символа Кронекера на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .