Dirichlet персонаж

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Октябрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , в частности , теория чисел , характеры Дирихля некоторые арифметические функции , которые возникают из вполне мультипликативных символов на единицы из . Характеры Дирихле используются для определения L- функций Дирихле , которые являются мероморфными функциями с множеством интересных аналитических свойств. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / к \ mathbb {Z}}$

Если - символ Дирихле, то его L- серию Дирихле определяют как${\ displaystyle \ chi}$

${\ Displaystyle L (s, \ чи) = \ сумма _ {п = 1} ^ {\ infty} {\ гидроразрыва {\ чи (п)} {п ^ {s}}}}$

где s - комплексное число с вещественной частью > 1. С помощью аналитического продолжения эту функцию можно продолжить до мероморфной функции на всей комплексной плоскости . L -функции Дирихле являются обобщением дзета-функции Римана и заметно фигурируют в обобщенной гипотезе Римана .

Персонажи Дирихле названы в честь Питера Густава Лежена Дирихле . Позже они были обобщены Эрихом Гекке на персонажей Гекке (также известных как Grössencharacter).

Аксиоматическое определение [ править ]

Мы говорим, что функция от целых чисел до комплексных чисел является символом Дирихле, если она обладает следующими свойствами: ^[1]${\ displaystyle \ chi}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

1. Существует натуральное число k такое, что χ ( n ) = χ ( n  +  k ) для всех целых n .
2. Если gcd ( n ,  k )> 1, то χ ( n ) = 0; если gcd ( n ,  k ) = 1, то χ ( n ) ≠ 0.
3. χ ( mn ) = χ ( m )  χ ( n ) для всех целых m и n .

Из этого определения можно вывести несколько других свойств. По свойству 3 χ (1) = χ (1 × 1) = χ (1)  χ (1). Поскольку gcd (1,  k ) = 1, свойство 2 говорит, что χ (1) ≠ 0, поэтому

4. χ (1) = 1.

Свойства 3 и 4 показывают, что всякий характер Дирихле χ вполне мультипликативен .

Свойство 1 говорит, что символ периодичен с периодом k ; мы говорим, что это характер модуля k . Это эквивалентно тому, что ${\ displaystyle \ chi}$

5. Если a ≡ b (mod k ), то χ ( a ) = χ ( b ).

Если gcd ( a ,  k ) = 1, теорема Эйлера гласит, что a ^{φ ( k )} ≡ 1 (mod k ) (где φ ( k ) - общая функция ). Следовательно, по свойствам 5 и 4 χ ( a ^{φ ( k )} ) = χ (1) = 1, а по 3 χ ( a ^{φ ( k )} ) = χ ( a ) ^{φ ( k )} . Так

6. Для всех а взаимно простых с K , χ ( ) является φ ( к ) -й комплекс корень из единицы , то есть для некоторого целого числа 0 ≤ г <ф ( K ).${\ Displaystyle е ^ {2ri \ pi / \ varphi (k)}}$

Уникальный характер периода 1 называется тривиальным характером . ^{[ необходима цитата ]} Обратите внимание, что любой символ обращается в ноль в 0, кроме тривиального, который равен 1 для всех целых чисел.

Персонаж называется главным, если он принимает значение 1 для аргументов, взаимно простых с его модулем, и в противном случае равен 0. ^[2] Символ называется действительным, если все его значения действительны (т.е. χ ( n ) равно 0, 1 или - 1 для всех n ). Неглавный действительный характер также называется квадратичным . Неверный персонаж называется сложным . ^[3]

Знак символа зависит от его значения в -1. В частности, считается нечетным, если и даже если .${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle \ chi}$${\ Displaystyle \ чи (-1) = - 1}$${\ Displaystyle \ чи (-1) = 1}$

Построение через классы остатков [ править ]

Дирихле символы могут быть рассмотрены с точки зрения характеров группы из группы единиц в кольцо Z / K Z , так как расширенные символы остатков класса . ^[4]

Классы остатков [ править ]

Принимая во внимание целое число K , один определяет класс вычетов целого числа п как множество всех целых чисел , сравнимых с п по модулю к : То есть, остаток класс является смежным классом по п в фактор - кольца Z / K Z .${\ displaystyle {\ hat {n}} = \ {x \ mid x \ Equiv n \ ({\ text {mod}} \ k) \}.}$${\ Displaystyle {\ шляпа {п}}}$

Набор единиц по модулю k образует абелеву группу порядка , где групповое умножение дается и снова обозначает фи-функцию Эйлера . Идентичность в этой группе является остатком класса и обратный класс остатка , где , то есть . Например, для k = 6 набор единиц равен, потому что 0, 2, 3 и 4 не взаимно просты с 6.${\ Displaystyle \ varphi (к)}$${\ displaystyle {\ widehat {mn}} = {\ hat {m}} {\ hat {n}}}$${\ displaystyle \ varphi}$${\ displaystyle {\ hat {1}}}$${\displaystyle {\hat {m}}}$${\displaystyle {\hat {n}}}$${\displaystyle {\hat {m}}{\hat {n}}={\hat {1}}}$${\displaystyle mn\equiv 1\mod k}$${\displaystyle \{{\hat {1}},{\hat {5}}\}}$

Группа символов ( Z / k ) ^* состоит из символов класса остатка . Характер класса вычетов θ на ( Z / k ) ^* является примитивным, если не существует собственного делителя d числа k, такого что θ факторизуется как отображение ( Z / k ) ^* → ( Z / d ) ^* → C ^* , где первый стрелка - это естественная карта "моддинг d  ". ^[5]

Персонажи Дирихле [ править ]

Определение характера Дирихле по модулю k гарантирует, что он ограничивается характером единичной группы по модулю k : ^[6] гомоморфизм группы из ( Z / k Z ) ^* на ненулевые комплексные числа${\displaystyle \chi }$

${\displaystyle \chi :(\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} )^{*}\to \mathbb {C} ^{*}}$,

со значениями, которые обязательно являются корнями из единицы, поскольку единицы по модулю k образуют конечную группу. В обратном направлении, учитывая гомоморфизм группы на единичной группе по модулю k , мы можем подняться до полностью мультипликативной функции на целых числах, взаимно простых с k, а затем распространить эту функцию на все целые числа, определив ее равной 0 для целых чисел, имеющих не- тривиальный фактор, общий с k . Получившаяся функция будет символом Дирихле. ^[7]${\displaystyle \chi }$

Главный характер по модулю k обладает свойствами ^[7]${\displaystyle \chi _{0}}$

${\displaystyle \chi _{0}(n)=1}$если gcd ( n , k ) = 1 и

${\displaystyle \chi _{0}(n)=0}$если gcd ( n , k )> 1.

Ассоциированный символ мультипликативной группы ( Z / k Z ) ^* является главным символом, который всегда принимает значение 1. ^[8]

Когда k равно 1, главный символ по модулю k равен 1 для всех целых чисел. Если k больше 1, главный символ по модулю k обращается в ноль в целых числах, имеющих нетривиальный общий делитель с k, и равен 1 в других целых числах.

Имеются φ ( n ) характеров Дирихле по модулю n . ^[7]

Эквивалентные определения [ править ]

Есть несколько способов определения символов Дирихле, основанных на других свойствах, которым удовлетворяют эти функции.

Условие Шаркози ^[9] [ править ]

Характер Дирихле - это полностью мультипликативная функция , удовлетворяющая линейному рекуррентному соотношению : то есть, если${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle a_{1}f(n+b_{1})+\cdots +a_{k}f(n+b_{k})=0}$

для всех положительных целых чисел , где не все равны нулю и различны, то является символом Дирихле.${\displaystyle n}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$${\displaystyle b_{1},\ldots ,b_{k}}$${\displaystyle f}$

Состояние Чудакова [ править ]

Характер Дирихле - это полностью мультипликативная функция, удовлетворяющая следующим трем свойствам: а) принимает только конечное число значений; б) обращается в нуль только при конечном числе простых чисел; в) есть такой, для которого остаток${\displaystyle f:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {C} }$${\displaystyle f}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \alpha \in \mathbb {C} }$

${\displaystyle \left|\sum _{n\leq x}f(n)-\alpha x\right|}$

равномерно ограничена, так как . Это эквивалентное определение характеров Дирихле было высказано Чудаковым ^[10] в 1956 г. и доказано в 2017 г. Клурманом и Мангерелем. ^[11]${\displaystyle x\rightarrow \infty }$

Несколько таблиц символов [ править ]

Приведенные ниже таблицы помогают проиллюстрировать природу символа Дирихле. Они представляют все характеры от модуля 1 до модуля 12. Характеры χ ₀ являются главными.

Модуль 1 [ править ]

Есть символ по модулю 1:${\displaystyle \varphi (1)=1}$

χ \  n	0
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (0), поскольку 0 порождает группу единиц по модулю 1.

Это банальный персонаж.

L- серия Дирихле для - это дзета-функция Римана${\displaystyle \chi _{0}(n)}$

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}={\frac {1}{1^{s}}}+{\frac {1}{2^{s}}}+{\frac {1}{3^{s}}}+{\frac {1}{4^{s}}}+\cdots }$.

Модуль 2 [ править ]

Есть символ по модулю 2:${\displaystyle \varphi (2)=1}$

χ \  n	0	1
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (1), поскольку 1 порождает группу единиц по модулю 2.

L- серия Дирихле для является лямбда-функцией Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле )${\displaystyle \chi _{0}(n)}$

${\displaystyle L(\chi _{0},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)\,}$

Модуль 3 [ править ]

Есть символы по модулю 3:${\displaystyle \varphi (3)=2}$

χ \  n	0	1	2
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2), поскольку 2 порождает группу единиц по модулю 3.

Модуль 4 [ править ]

Есть символы по модулю 4:${\displaystyle \varphi (4)=2}$

χ \  n	0	1	2	3
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3), поскольку 3 порождает группу единиц по модулю 4.

L- серия Дирихле для является лямбда-функцией Дирихле (тесно связанной с эта-функцией Дирихле )${\displaystyle \chi _{0}(n)}$

${\displaystyle L(\chi _{0},s)=(1-2^{-s})\zeta (s)\,}$

где - дзета-функция Римана. Л -рядов для является Дирихле бета-функция${\displaystyle \zeta (s)}$${\displaystyle \chi _{1}(n)}$

${\displaystyle L(\chi _{1},s)=\beta (s).\,}$

Модуль 5 [ править ]

Есть символы по модулю 5. В таблице ниже i - мнимая единица .${\displaystyle \varphi (5)=4}$

χ \  n	0	1	2	3	4
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	я	- я	−1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	−1	−1	1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	- я	я	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2) и χ (3), поскольку 2 и 3 порождают группу единиц по модулю 5.

Модуль 6 [ править ]

Есть символы по модулю 6:${\displaystyle \varphi (6)=2}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	0	0	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	0	0	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (5), поскольку 5 порождает группу единиц по модулю 6.

Модуль 7 [ править ]

Есть символы по модулю 7. В таблице ниже${\displaystyle \varphi (7)=6}$${\displaystyle \omega =e^{i\pi /3}.}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5	6
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	1	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	ω 2	ω	ω	ω 2	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	ω	ω 2	ω 2	ω	1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	1	−1	1	−1	−1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	ω 2	−ω	ω	−ω 2	−1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	ω	−ω 2	ω 2	−ω	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3), поскольку 3 порождает группу единиц по модулю 7.

Модуль 8 [ править ]

Есть символы по модулю 8.${\displaystyle \varphi (8)=4}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5	6	7
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	0	1	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	1	0	−1	0	−1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	−1	0	1	0	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	−1	0	−1	0	1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3) и χ (5), поскольку 3 и 5 порождают группу единиц по модулю 8.

Модуль 9 [ править ]

Есть символы по модулю 9. В таблице ниже${\displaystyle \varphi (9)=6}$${\displaystyle \omega =e^{i\pi /3}.}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5	6	7	8
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	1	0	1	1	0	1	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	ω	0	ω 2	−ω 2	0	−ω	−1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	ω 2	0	−ω	−ω	0	ω 2	1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	−1	0	1	−1	0	1	−1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	−ω	0	ω 2	ω 2	0	−ω	1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	−ω 2	0	−ω	ω	0	ω 2	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2), поскольку 2 порождает группу единиц по модулю 9.

Модуль 10 [ править ]

Есть символы по модулю 10. В таблице ниже i - мнимая единица .${\displaystyle \varphi (10)=4}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	0	1	0	0	0	1	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	я	0	0	0	- я	0	−1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	−1	0	0	0	−1	0	1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	- я	0	0	0	я	0	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (3), поскольку 3 порождает группу единиц по модулю 10.

Модуль 11 [ править ]

Есть символы по модулю 11. В таблице ниже${\displaystyle \varphi (11)=10}$${\displaystyle \omega =e^{i\pi /5}.}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	ω	ω 3	ω 2	ω 4	ω 4	ω 2	ω 3	ω	1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	ω 2	ω	ω 4	ω 3	ω 3	ω 4	ω	ω 2	1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	ω 3	ω 4	ω	ω 2	ω 2	ω	ω 4	ω 3	1
${\displaystyle \chi _{4}(n)}$	0	1	ω 4	ω 2	ω 3	ω	ω	ω 3	ω 2	ω 4	1
${\displaystyle \chi _{5}(n)}$	0	1	−1	1	1	1	−1	−1	−1	1	−1
${\displaystyle \chi _{6}(n)}$	0	1	−ω	ω 3	ω 2	ω 4	−ω 4	−ω 2	−ω 3	ω	−1
${\displaystyle \chi _{7}(n)}$	0	1	−ω 2	ω	ω 4	ω 3	−ω 3	−ω 4	−ω	ω 2	−1
${\displaystyle \chi _{8}(n)}$	0	1	−ω 3	ω 4	ω	ω 2	−ω 2	−ω	−ω 4	ω 3	−1
${\displaystyle \chi _{9}(n)}$	0	1	−ω 4	ω 2	ω 3	ω	−ω	−ω 3	−ω 2	ω 4	−1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (2), поскольку 2 порождает группу единиц по модулю 11.

Модуль 12 [ править ]

Есть символы по модулю 12.${\displaystyle \varphi (12)=4}$

χ \  n	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
${\displaystyle \chi _{0}(n)}$	0	1	0	0	0	1	0	1	0	0	0	1
${\displaystyle \chi _{1}(n)}$	0	1	0	0	0	1	0	−1	0	0	0	−1
${\displaystyle \chi _{2}(n)}$	0	1	0	0	0	−1	0	1	0	0	0	−1
${\displaystyle \chi _{3}(n)}$	0	1	0	0	0	−1	0	−1	0	0	0	1

Обратите внимание, что χ полностью определяется χ (5) и χ (7), поскольку 5 и 7 порождают группу единиц по модулю 12.

Примеры [ править ]

Если p - нечетное простое число , то функция

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{p}}\right),\ }$где - символ Лежандра , - примитивный символ Дирихле по модулю p . ^[12]${\displaystyle \left({\frac {n}{p}}\right)}$

В более общем смысле, если m - положительное нечетное число, функция

${\displaystyle \chi (n)=\left({\frac {n}{m}}\right),\ }$где - символ Якоби , - характер Дирихле по модулю m . ^[12]${\displaystyle \left({\frac {n}{m}}\right)}$

Это примеры реальных персонажей. В общем, все настоящие персонажи происходят от символа Кронекера .

Примитивные персонажи и дирижер [ править ]

Остатки по модулю N приводят к остаткам по модулю M для любого множителя M из N , отбрасывая некоторую информацию. Влияние на персонажах Дирихля идет в направлении , противоположном: если χ является характер по модулю М , он индуцирует характер χ * по модулю N для любого множественного N из M . Символ является примитивным, если он не индуцирован каким-либо персонажем с меньшим модулем. ^[3]

Если χ является характером по модулю n и d делит n , то мы говорим, что модуль d является индуцированным модулем для χ, если из взаимно простого с n и 1 mod d следует χ ( a ) = 1: ^[13] эквивалентно, χ ( a ) = χ ( b ) всякий раз , когда a , b конгруэнтны по модулю d и все взаимно просты с n . ^[14] Характер примитивен, если нет меньшего индуцированного модуля. ^[14]

Мы можем формализовать это иначе, определив характеры χ ₁ mod N ₁ и χ ₂ mod N ₂ для совместного обучения, если для некоторого модуля N такого, что N ₁ и N ₂ оба делят N, имеем χ ₁ ( n ) = χ ₂ ( n ) для всех n, взаимно простых с N : то есть существует некоторый характер χ *, индуцированный каждым из χ ₁ и χ ₂ . В этом случае существует персонаж по модулю НОД матрицы N₁ и N ₂ индуцируют как χ _{1, так} и χ _2. Это отношение эквивалентности характеров. Символ с наименьшим модулем в смысле делимости в классе эквивалентности является примитивным, и этот наименьший модуль является проводником персонажей в классе.

Импримитивность символов может привести к отсутствию факторов Эйлера в их L-функциях .

Ортогональность персонажей [ править ]

Соотношения ортогональности характеров конечной группы переходят в характеры Дирихле. ^[15] Если зафиксировать характер χ по модулю n, то сумма

${\displaystyle \sum _{a{\bmod {n}}}\chi (a)=0\ }$

если только χ не является главным, в этом случае сумма равна φ ( n ). Аналогичным образом, если мы зафиксируем класс вычетов a по модулю n и просуммируем по всем символам, мы получим

${\displaystyle \sum _{\chi }\chi (a)=0\ }$

если только в этом случае сумма не равна φ ( n ). Мы выводим, что любая периодическая функция с периодом n с носителем на классах вычетов, простых с n, является линейной комбинацией характеров Дирихле. ^[16] У нас также есть отношение суммы символов, приведенное в главе 4 Давенпорта, заданное формулой ${\displaystyle a\equiv 1{\pmod {n}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{\phi (q)}}\sum _{\chi }{\bar {\chi }}(a)\chi (n)={\begin{cases}1,&{\text{ if }}n\equiv a{\pmod {q}}\\0,&{\text{ otherwise, }}\end{cases}}}$

где сумма берется по всем характерам Дирихле по модулю некоторого фиксированного q, a и n фиксированы с помощью , и обозначает функцию Эйлера .${\displaystyle (a,q)=1}$${\displaystyle \phi (q)}$

История [ править ]

Характеры Дирихле и их L- ряды были введены Петером Густавом Леженом Дирихле в 1831 году для доказательства теоремы Дирихле об арифметических прогрессиях . Он изучал L- серию только для вещественных s и особенно для s, стремящихся к 1. Распространение этих функций на комплексные s на всей комплексной плоскости было получено Бернхардом Риманом в 1859 году.

См. Также [ править ]

Ссылки [ править ]

• См. Главу 6 Апостола, Том М. (1976), Введение в аналитическую теорию чисел , Тексты для студентов по математике, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, Руководство по ремонту  0434929 , Zbl  0335.10001
• Апостол ТМ (1971). «Некоторые свойства полностью мультипликативных арифметических функций». Американский математический ежемесячник . 78 (3): 266–271. DOI : 10.2307 / 2317522 . JSTOR  2317522 . Руководство по ремонту  0279053 . Zbl  0209.34302 .
• Давенпорт, Гарольд (1967). Мультипликативная теория чисел . Лекции по высшей математике. 1 . Чикаго: Маркхэм. Zbl  0159.06303 .
• Хассе, Гельмут (1964). Vorlesungen über Zahlentheorie . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften в Einzeldarstellungen. 59 (2-е изд. Изм.). Springer-Verlag . Руководство по ремонту  0188128 . Zbl  0123.04201 . см. главу 13.
• Матар, RJ (2010). "Таблица L-рядов Дирихле и простые дзета-функции по модулю малых модулей". arXiv : 1008,2547 [ math.NT ].
• Монтгомери, Хью Л ; Воан, Роберт С. (2007). Мультипликативная теория чисел. I. Классическая теория . Кембриджские исследования в области высшей математики. 97 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0-521-84903-6. Zbl  1142.11001 .
• Спира, Роберт (1969). «Вычисление L-функций Дирихле» . Математика вычислений . 23 (107): 489–497. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1969-0247742-X . Руководство по ремонту  0247742 . Zbl  0182.07001 .
• Fröhlich, A .; Тейлор, MJ (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования по высшей математике. 27 . Издательство Кембриджского университета . ISBN 0-521-36664-X. Zbl  0744.11001 .

Внешние ссылки [ править ]

• «Характер Дирихле» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• «Персонажи Дирихле» . в LMFDB